Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân laplace, fourier và ứng dụng unprotected

M— ĐẦU 1. TŒng quan v• hướng nghi¶n cøu và lý do chọn đ• tài Lý thuy‚t v• ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n đ¢ đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu tł r§t sớm. Đ‚n nay, nó đ¢ trở thành mºt bº ph“n quan trọng cıa Gi£i t‰ch to¡n học. Mºt trong nhœng nºi dung đưæc quan t¥m cıa ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n là nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p. Đó là mºt ph†p nh¥n đặc bi»t đưæc định nghĩa qua ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng, thường đưæc đưa vào nghi¶n cøu trong c¡c không gian hàm mà ở đó ph†p nh¥n thông thường không tồn t⁄i. C¡c t‰ch ch“p đƒu ti¶n đưæc nghi¶n cøu là t‰ch ch“p Laplace, t‰ch ch“p Fourier. N«m 1951, t‰ch ch“p suy rºng đƒu ti¶n đưæc Sneddon I.N. đ• c“p và nghi¶n là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine và Fourier cosine. Cho đ‚n nhœng n«m 90 cıa th‚ kỷ trước, mºt vài t‰ch ch“p suy rºng đŁi với c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n kh¡c mới ti‚p tục đưæc nghi¶n cøu bởi Yakubovich S.B. Đó là c¡c t‰ch ch“p suy rºng đŁi với c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Mellin, KontorovichLebedev, ph†p bi‚n đŒi G và ph†p bi‚n đŒi H theo ch¿ sŁ. Đ‚n n«m 1998, Kakichev V.A. và N.X. Th£o đưa ra định nghĩa t‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ cıa hai hàm f và k đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n b§t kỳ T1; T2 và T3 thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa T1f ∗ γ k
(y) = γ(y)T2f
(y)T3k
(y) và cho đi•u ki»n cƒn đ” x¡c định t‰ch ch“p khi bi‚t mºt sŁ ràng buºc cụ th” v• nh¥n cıa c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng. Nhờ kỹ thu“t này mà nhœng n«m v• sau đ¢ có mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n kh¡c đưæc x¥y dựng. Tuy nhi¶n, đ‚n nay v¤n chưa có mºt k‚t qu£ nghi¶n cøu ch‰nh thøc nào v• t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace đưæc công bŁ. Như mºt quy lu“t tự nhi¶n, khi đ¢ x¥y dựng đưæc t‰ch ch“p f ∗k
(x), b‹ng c¡ch cho mºt trong hai hàm cŁ định như là nh¥n trong bi”u thøc t‰ch ch“p, chflng h⁄n cŁ định hàm k, cÆn hàm f cho bi‚n thi¶n trong mºt không gian hàm x¡c định nào đó ta s‡ nh“n đưæc ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p tương øng, gọi là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u 1t‰ch ch“p f 7 g = f ∗ k
. Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p đƒu ti¶n đưæc Watson x¥y dựng và nghi¶n cøu là ph†p bi‚n đŒi li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p Mellin. TŒng qu¡t hơn, người ta có th” nghi¶n cøu ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n d⁄ng f 7 g = Df ∗ k
mà D là mºt to¡n tß nào đó. Trong trường hæp D = (1 − dx d22) là mºt to¡n tß vi ph¥n c§p 2, ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine đ¢ đưæc V.K. Tu§n và Musallam thi‚t l“p và nghi¶n cøu. C¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p hoặc t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n bi‚n đŒi Fourier sine, Mellin, bi‚n đŒi KontorovichLebedev sau đó cũng đưæc nghi¶n cøu. Cho đ‚n nay c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Laplace có hàm trọng và không có hàm trọng v¤n chưa đưæc nghi¶n cøu. Khi gi£i quy‚t c¡c bài to¡n to¡nlý, nghi»m cıa c¡c bài to¡n này có th” đưæc bi”u di„n qua c¡c t‰ch ch“p tương øng. Đ” đ¡nh gi¡ c¡c nghi»m đó ta có th” dùng đ‚n b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p. Đƒu ti¶n ph£i k” đ‚n b§t đflng thøc Young và b§t đflng thøc Saitoh đŁi với t‰ch ch“p Fourier. C¡c b§t đflng thøc d⁄ng này đŁi với t‰ch ch“p Mellin, t‰ch ch“p Fourier cosine sau đó cũng đưæc thi‚t l“p nghi¶n cøu và cho nhi•u øng dụng thú vị. Tuy nhi¶n, c¡c b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace đ‚n nay v¤n chưa đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu. Tł nhœng lý do tr¶n, chúng tôi lựa chọn đ• tài đ” nghi¶n cøu là T‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace, Fourier và øng dụng. 2. Mục đ‰ch, đŁi tưæng và ph⁄m vi nghi¶n cøu Mục đ‰ch cıa lu“n ¡n là x¥y dựng và nghi¶n cøu mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace. Nghi¶n cøu t‰nh ch§t to¡n tß t‰ch ch“p, thi‚t l“p b§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p suy rºng này trong mºt sŁ không gian hàm cụ th”. X¥y dựng và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng tương øng. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa ph†p bi‚n đŒi như t‰nh unita, sự tồn t⁄i to¡n tß ngưæc trong không gian L2(R+). Tł đó, øng dụng vào vi»c gi£i mºt lớp c¡c phương tr…nh, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. 23. Phương ph¡p nghi¶n cøu Trong lu“n ¡n, chúng tôi sß dụng c¡c phương ph¡p gi£i t‰ch hàm, lý thuy‚t to¡n tß, ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n và lý thuy‚t t‰ch ch“p. Chúng tôi øng dụng b§t đflng thøc H¨older đ” đ¡nh gi¡ chun cıa c¡c to¡n tß t‰ch ch“p mới trong c¡c không gian hàm cụ th”. Đặc bi»t Định lý WienerLevy đưæc sß dụng nhi•u trong vi»c x¥y dựng công thøc nghi»m đóng cho lớp c¡c phương tr…nh, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. 4. C§u trúc và k‚t qu£ cıa lu“n ¡n Ngoài phƒn Mở đƒu, K‚t lu“n và Tài li»u tham kh£o, lu“n ¡n đưæc chia làm ba chương: Chương 1, x¥y xựng và nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Nh“n đưæc c¡c đflng thøc nh¥n tß hóa, đflng thøc ki”u Parseval, Định lý ki”u Titchmarch và mºt sŁ đ¡nh gi¡ chun trong c¡c không gian hàm L p(R+) và Lα;β p (R+). T…m đưæc mŁi li¶n h» giœa c¡c t‰ch ch“p suy rºng mới với mºt sŁ t‰ch ch“p quan trọng đ¢ bi‚t. Hơn nœa, trong c¡c không gian Lp(R+) và Lp(R+; ρ), c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace cũng đưæc thi‚t l“p và chøng minh. Chương 2, thi‚t l“p và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c ph†p bi‚n bi‚n đŒi này, ta nh“n đưæc c¡c Định lý ki”u Watson cho đi•u ki»n cƒn và đı đ” c¡c ph†p bi‚n đŒi tương øng là unita trong không gian L2(R+), hơn nœa ta cũng x¡c định đưæc đi•u ki»n đı cho sự tồn t⁄i c¡c ph†p bi‚n đŒi ngưæc. Ngoài ra Định lý ki”u Plancherel đŁi với ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng cũng đưæc chøng minh. Chương 3, mºt sŁ lớp phương tr…nh t‰ch ph¥n, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n đưæc gi£i nhờ vào t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace và ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Hơn nœa, b‹ng phương ph¡p gi£i này nghi»m nh“n đưæc tł c¡c c¡c phương tr…nh tr¶n đ•u đưæc cho dưới d⁄ng dóng. 35. Ý nghĩa cıa c¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n C¡c t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n bi‚n đŒi Laplace, c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Laplace, và mºt sŁ b§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p suy rºng tương øng lƒn đƒu ti¶n đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu trong lu“n ¡n. C¡c k‚t qu£ này có ý nghĩa khoa học và góp phƒn làm phong phú hơn v• lý thuy‚t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n, t‰ch ch“p cũng như b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p. Tł đó, đưa ra c¡ch ti‚p c“n mới và c¡c phương ph¡p gi£i phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. Mºt sŁ ý tưởng và phương ph¡p đưæc sß dụng trong lu“n ¡n có th” dùng nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng kh¡c. Nºi dung ch‰nh cıa lu“n ¡n dựa vào bŁn công tr…nh đ¢ công bŁ, đưæc li»t k¶ ở Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n, gồm ba công tr…nh tr¶n c¡c t⁄p ch‰ to¡n học QuŁc t‚ (trong đó 4 thuºc t⁄p ch‰ trong danh mục ISI) và mºt công tr…nh tr¶n t⁄p ch‰ to¡n học QuŁc gia. C¡c k‚t qu£ này đ¢ đưæc b¡o c¡o mºt phƒn hoặc toàn bº t⁄i: + Hºi nghị To¡n học Vi»tPh¡p, th¡ng 8 n«m 2012, t⁄i Hu‚. + Hºi nghị To¡n học Toàn quŁc lƒn thø 8, th¡ng 8 n«m 2013, t⁄i Nha Trang. + Hºi nghị QuŁc t‚ Gi£i t‰ch phøc hœu h⁄n và vô h⁄n chi•u và øng dụng (ICFIDCAA), th¡ng 8 n«m 2011 t⁄i Hà Nºi. + Hºi th£o To¡n học phŁi hæp Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi và Trường Đ⁄i học Heidelberg cıa Đøc, th¡ng 3 n«m 2015. + Seminar Gi£i t‰ch, Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi. + Seminar Gi£i t‰chĐ⁄i sŁ, Trường Đ⁄i học Khoa học Tự nhi¶n Hà Nºi. 4Chương 1 TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE Mục đ‰ch cıa Chương 1 là nghi¶n cøu mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c t‰ch ch“p suy rºng này trong mºt sŁ không gian hàm kh¡c nhau. Thi‚t l“p c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với c¡c t‰ch ch“p tương øng. 1.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace Định nghĩa 1.1.1 T‰ch ch“p suy rºng cıa hai hàm f và k đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ 1 k
(x) = 1 π Z0 1 Z0 1 θ1(x; u; v)f(u)k(v)dudv; (1.1) trong đó θ1(x; u; v) = v v2 + (x − u)2 + v v2 + (x + u)2; x > 0: (1.2) Ta gọi Ac là không gian £nh cıa L1(R+) thông qua ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine Fc. Với chun kfkAc := kFcfkL1(R+) th… Ac là đ⁄i sŁ Banach, nghĩa là n‚u f(x); k(x) 2 Ac, th… f(x)k(x) 2 Ac và thỏa m¢n kfkkAc ≤ kfkAckkkAc. Định lý 1.1.1 Gi£ sß c¡c hàm f(x) và k(x) thuºc không gian L2(R+). Khi đó ta có f ∗ 1 k
(x) 2 Ac, và thỏa m¢n đflng thøc ki”u Parseval f ∗ 1 k
(x) = FcFcf
(y)Lk
(y)(x); 8x > 0: (1.3) Hơn nœa, ta cũng nh“n đưæc đflng thøc nh¥n tß hóa sau Fcf ∗ 1 k
(y) = Fcf
(y)Lk
(y); 8y > 0: (1.4) BŒ đ• 1.1.1 N‚u k(x) 2 L1(R+), th… Lk
(y) 2 Ac. 5Định lý 1.1.2 Gi£ sß r‹ng f(x); k(x) 2 L1(R+). Khi đó đŁi với t‰ch ch“p f ∗ 1 k
(x), c¡c đflng thøc ki”u Parseval (1.3) và đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4) v¤n cÆn đúng, hơn nœa f ∗ 1 k
(x) 2 L1(R+). Nh“n x†t 1.1.1 Trong bi”u thøc t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace : ∗ 1 :
, n‚u thay th‚ nh¥n θ1(x; u; v) bởi nh¥n θ2(x; u; v) = v v2 + (x − u)2 − v v2 + (x + u)2; x > 0; (1.5) th… ta s‡ nh“n đưæc t‰ch ch“p suy rºng mới. Đó là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace đưæc định nghĩa bởi f ∗ 2 k
(x) = 1 π Z0 1 Z0 1 θ2(x; u; v)f(u)k(v)dudv; (1.6) thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa Fsf ∗ 2 k
(y) = Fsf
(y)Lk
(y); 8y > 0; f; k 2 L2(R+): (1.7) Định lý 1.1.3 Gi£ sß r‹ng f(x); f 0(x) 2 L2(R+) và k(x) 2 L2(R+). Khi đó, ta có c¡c đflng thøc sau d dxf ∗ 1 k
(x) = f 0 ∗ 2 k
(x); (1.8) d dxf ∗ 2 k
(x) = f 0 ∗ 1 k
(x) + rπ 2f(0) Z0 1 xyk 2 + (yy)2 dy: (1.9) Định nghĩa 1.1.2 T‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) cıa hai hàm f và k đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ γ 1 k
(x) = 1 π Z0 1 Z0 1 θ1(x; u; v + µ)f(u)k(v)dudv; (1.10) trong đó θ1(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.2). 6Định lý 1.1.4 Gi£ sß f(x); k(x) 2 L1(R+). Khi đó, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 1 k
(x) thuºc L1(R+), thỏa m¢n b§t đflng thøc chun kf ∗ γ 1 k
k L1(R+) ≤ kfkL1(R+)kkkL1(R+); (1.11) và có đflng thøc nh¥n tß hóa Fcf ∗ γ 1 k
(y) = e−µyFcf
(y)Lk
(y); 8y > 0: (1.12) Ngoài ra, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 1 k
(x) cũng thuºc C0(R+). Định lý 1.1.5 (Định lý ki”u Titchmarch) Cho hai hàm sŁ li¶n tục k(x) 2 L1(R+) và f(x) 2 L1(R+; eαx) (α > 0). N‚u f ∗ γ 1 k
(x) = 0; 8x > 0 th… hoặc f(x) = 0; 8x > 0 hoặc k(x) = 0; 8x > 0: Định lý 1.1.6 Gi£ sß p > 1; r ≥ 1; 0 < β ≤ 1; c¡c hàm f(x) 2 Lp(R+) và k(x) 2 L1(R+). Khi đó t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 1 k
(x) tồn t⁄i, li¶n tục và thuºc Lα;β r (R+). Hơn nœa, ta có đ¡nh gi¡ sau kf ∗ γ 1 k
k Lα;β r (R+) ≤ CkfkL p(R+)kkkL1(R+); (1.13) trong đó C = ( 2 πµ )1=pβ− α+1 r Γ1=r(α + 1) với Γ là hàm Gamma. Ngoài ra, n‚u f(x) 2 L1(R+) Lp(R+) th… t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 1 k
(x) thuºc C0(R+), và thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa (1.12). Định lý 1.1.7 Gi£ sß α > −1;0 < β ≤ 1; p > 1; q > 1; r ≥ 1 thỏa m¢n 1p + 1 q = 1. Khi đó, n‚u f(x) 2 Lp(R+) và k(x) 2 Lq(R+;(1 + x2)q−1), th… t‰ch ch“p f ∗ γ 1 k
(x) tồn t⁄i, li¶n tục, bị chặn trong Lα;β r (R+) và có kf ∗ γ 1 k
k Lα;β r (R+) ≤ CkfkL p(R+)kkkLq(R+;(1+x2)q−1); (1.14) trong đó C = µ− 1p π − 1q β− α+1 r Γ1=r(α + 1): Hơn nœa, n‚u gi£ thi‚t th¶m f(x) 2 L1(R+) Lp(R+) và k(x) 2 L1(R+) Lq(R+;(1 + x2)q−1) th… t‰ch ch“p f ∗ γ 1 k
(x) thuºc C0(R+) và thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa (1.12). 7Nh“n x†t 1.1.2 Trong t‰ch ch“p suy rºng : ∗ γ 1 :
, n‚u thay th‚ nh¥n θ1(x; u; v + µ) bởi θ2(x; u; v + µ) đưæc x¡c định như (1.5), th… ta nh“n đưæc t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace : ∗ γ 2 :
với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) đưæc định nghĩa bởi f ∗ γ 2 k
(x) = 1 π Z0 1 Z0 1 θ2(x; u; v + µ)f(u)k(v)dudv; (1.15) và thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa Fsf ∗ γ 2 k
(y) = e−µyFsf
(y)Lk
(y); 8y > 0; f; k 2 L1(R+): (1.16) 1.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng Định nghĩa 1.2.1 T‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ(y) = −sin y cıa hai hàm f(x) và k(x) đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine, Fourier sine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ γ 3 k
(x) = 1 2π Z0 1 Z0 1 θ2(x − 1; u; v) − θ2(x + 1; u; v)f(u)k(v)dudv; (1.17) với θ2(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.5). Ta đặt H(R+) = nf(x) : Lf
(y) 2 L2(R+)o: Định lý 1.2.1 Gi£ sß f(x) 2 L2(R+) và k(x) 2 H(R+). Khi đó, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 3 k
(x) thuºc L2(R+) thỏa m¢n đflng thøc ki”u Parseval f ∗ γ 3 k
(x) = Fc − sin yFsf
Lk
(x); 8x > 0; (1.18) và đflng thøc nh¥n tß hóa sau Fcf ∗ γ 3 k
(y) = −sin yFsf
(y)Lk
(y); 8y > 0: (1.19) 8Định nghĩa 1.2.2 T‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0) cıa hai hàm f và k đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine, Fourier sine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ γ 5 k
(x) = 1 2π Z01 Z01 θ2(x − 1; u; v + µ) − θ2(x + 1; u; v + µ)f(u)k(v)dudv; (1.20) với θ2(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.5). Định lý 1.2.2 Gi£ sß f(x) và k(x) là hai hàm thuºc không gian L1(R+). Khi đó, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 5 k
(x) thuºc không gian L1(R+), và ta có b§t đflng thøc chun kf ∗ γ 5 k
k L1(R+) ≤ kfkL1(R+)kkkL1(R+): Hơn nœa, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 5 k
(x) cũng thuºc C0(R+), thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa Fcf ∗ γ 5 k
(y) = −e−µy sin yFsf
(y)Lk
(y); 8y > 0; ; (1.21) và đflng thøc ki”u Parseval f ∗ γ 5 k
(x) = Fc − e−µy sin yFsf
(y)Lk
(y)(x); 8x > 0: (1.22) Định lý 1.2.3 Gi£ sß r‹ng p > 1; r ≥ 1;0 < β ≤ 1, c¡c hàm f(x) 2 L p(R+) và k(x) 2 L1(R+). Khi đó t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 5 k
(x) tồn t⁄i, li¶n tục và bị chặn trong Lα;β r (R+). Hơn nœa, t‰ch ch“p này thỏa m¢n b§t đflng thøc chun sau kf ∗ γ 5 k
k Lα;β r (R+) ≤ CkfkL p(R+)kkkL1(R+); (1.23) ở đó C = ( 2 πµ )1=p:β− α+1 r :Γ1=r(α + 1) với Γ là hàm Gamma Euler. Ngoài ra, n‚u f(x) 2 L1(R+) Lp(R+) th… t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 5 k
(x) thuºc C0(R+), thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa (1.21) và đflng thøc ki”u Parseval (1.22). 9Định lý 1.2.4 Cho α > −1; 0 < β ≤ 1; p > 1; q > 1; r ≥ 1 thỏa m¢n 1p + 1 q = 1. Khi đó, n‚u c¡c hàm f(x) 2 Lp(R+) và k(x) 2 Lq(R+; e(q−1)x) th… t‰ch ch“p f ∗ γ 5 k
(x) tồn t⁄i, li¶n tục và bị chặn trong Lα;β r (R+). Hơn nœa, ta có b§t đflng thøc chun kf ∗ γ 5 k
k Lα;β r (R+) ≤ CkfkL p(R+)kkkLq(R+;e(q−1)x); (1.24) trong đó C = ( 2 πµ )1=q:β− α+1 r :Γ61=r(α + 1): Ngoài ra, n‚u f(x) 2 L1(R+)Lp(R+) và k(x) 2 L1(R+)Lq(R+; e(q−1)x) th… t‰ch ch“p f ∗ γ 5 k
(x) cũng thuºc C0(R+) thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa (1.21) và đflng thøc ki”u Parseval (1.22). 1.3 MŁi li¶n h» giœa t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace và c¡c t‰ch ch“p kh¡c M»nh đ• 1.3.1 Cho f(x); k(x) và h(x) là c¡c hàm trong L1(R+). Khi đó, ta có c¡c đflng thøc sau a) f ∗ γ Fs k ∗ γ 2 h
= f ∗ γ Fs k
∗ γ 2 h: b) f ∗ Fc k ∗ γ 1 h
= f ∗ Fc k
∗ γ 1 h: c) f ∗ FsFc k ∗ γ 1 h
= f ∗ FsFc k
∗ γ 1 h: d) f ∗ FcFs k ∗ γ 2 h
= f ∗ FcFs k
∗ γ 1 h: M»nh đ• 1.3.2 Cho f(x) và k(x) là hai hàm trong không gian L1(R+). Khi đó, ta có c¡c đflng thøc sau a)f ∗ γ 1 k
(x) = rπ 2 Z01 k(v)f(u) F ∗ c (v +vµ + )2µ + u2
(x)dv: b)f ∗ γ 2 k
(x) = rπ 2 Z01 k(v)f(u) Fs∗ Fc (v +vµ + )2µ + u2
(x)dv: 101.4 B§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng 1.4.1 Định lý ki”u Young Định lý 1.4.1 (Định lý ki”u Young) Cho p; q; r > 1, 1 p + 1 q + 1 r = 2 và f(x) 2 Lp(R+); k(x) 2 Lq(R+; (x +µ)q−1) (µ > 0); h(x) 2 Lr(R+). Khi đó: Z0 1 f ∗ γ 1 k
(x):h(x)dx ≤ µ 1− q q kfkLp(R+)kkkLq(R+;(x+µ)q−1)khkLr(R+): 1.4.2 Định lý ki”u Saitoh Định lý 1.4.2 (Định lý ki”u Saitoh) Gi£ sß ρj 2 L1(R+) (j = 1; 2) là hai hàm sŁ dương, khi đó ta có b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng sau đ¥y đúng với mọi Fj 2 Lp(R+; ρj) jj(F1ρ1) ∗ γ 1 (F2ρ2)ρ1 ∗ γ 1 ρ2
1=p−1jjLp(R+) ≤ jjF1jjLp(R+;ρ1)jjF2jjLp(R+;ρ2): K‚t lu“n Chương 1 X¥y dựng và nghi¶n cøu bŁn t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace: (: ∗ 1 :), (: ∗ γ 1 :), (: ∗ γ 3 :) và (: ∗ γ 5 :). Nh“n đưæc c¡c k‚t qu£ ch‰nh sau: • C¡c đ¡nh gi¡ chun cıa to¡n tß t‰ch ch“p trong mºt sŁ không gian hàm. • C¡c đflng thøc nh¥n tß hóa, đflng thøc ki”u Parseval, Định lý ki”u Titchmarch. • C¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh cho t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng. Nºi dung cıa chương này dựa vào mºt phƒn cıa mØi bài b¡o 1, 2, 3 và 4 trong Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n. 11Chương 2 PHÉP BIẾN Đ˚I TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE Mục đ‰ch cıa chương này là thi‚t l“p và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n dựa tr¶n c¡c t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace và t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng đ¢ đưæc nghi¶n cøu trong Chương 1. 2.1 Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace X†t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace (1.1): f(x) 7 g(x) = Tkf
(x) = 1 − dx d22f ∗ 1 k
(x); x > 0; (2.1) trong đó k là nh¥n cıa ph†p bi‚n đŒi. 2.1.1 Định lý ki”u Watson Định lý 2.1.1 Gi£ sß r‹ng k(x) 2 L2(R+), hoặc k(x) 2 H(R+) sao cho t‰ch ph¥n (1.1) hºi tụ như t‰ch ph¥n lặp. Khi đó đi•u ki»n cƒn và đı đ” ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n (2.1) unita trong L2(R+) là (1 + y2)Lk
(y) = 1; y > 0: (2.2) Hơn nœa, ph†p bi‚n đŒi ngưæc tồn t⁄i và đưæc x¡c định bởi f(x) = 1 − dx d22g ∗ 1 k
(x); (2.3) trong đó k là hàm li¶n hæp phøc cıa k. 12M»nh đ• 2.1.1 Gi£ thi‚t k(x) là hàm thỏa m¢n c¡c đi•u ki»n cıa Định lý 2.1.1, trong đó đi•u ki»n (2.2) đưæc thay b‹ng đi•u ki»n sau 0 < C1 ≤ (1 + y2)Lk
(y) ≤ C2 < 1: (2.4) Khi đó, trong L2(R+) ta có đ¡nh gi¡ b§t đflng thøc chun sau C1kfkL2(R+) ≤ kgkL2(R+) ≤ C2kfkL2(R+): (2.5) Hơn nœa, ph†p bi‚n đŒi ngưæc tồn t⁄i và x¡c định bởi f(x) = 1 − dx d22g F ∗ c k1
(x); (2.6) ở đó k1 2 L2(R+) sao cho Fck1
(y) = 1 (1+y2)2Lk
(y): 2.1.2 Li¶n h» giœa ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n với c¡c đ⁄o hàm Định lý 2.1.2 Gi£ sß k(x) có đ⁄o hàm đ‚n c§p hai, và k(x); k00(x) 2 L2(R+) hoặc k(x); k00(x) 2 H(R+) sao cho t‰ch ph¥n (1.1) hºi tụ đŁi với k cũng như đŁi với k00, và k(0) = 0. Khi đó, ta có đ¡nh gi¡ sau Tkf
(x) = f ∗ 1 (k + k00)
(x) − k0(0)f(x): (2.7) 2.2 Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng X†t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n li¶n quan đ‚n c¡c t‰ch ch“p suy rºng (1.17): f(x) 7 g(x) = Tk1;k2f
(x) = 1 − dx d22nf ∗ γ 3 k1
(x) + f Fc∗ Fs k2
(x)o; x > 0; (2.8) trong đó k1; k2 là nh¥n cıa ph†p bi‚n đŒi. 132.2.1 Định lý ki”u Watson Định lý 2.2.1 Gi£ sß k1(x) 2 H(R+) và k2(x) 2 L2(R+), khi đó đi•u ki»n cƒn và đı đ” ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n (2.8) unita trong L2(R+) là − sin yLk1
(y) + Fsk2
(y) = 1 1 + y2: (2.9) Hơn nœa, ph†p bi‚n đŒi ngưæc có d⁄ng f(x) = 1 − dx d22n − g ∗ γ 4 k1
(x) + k2 Fs∗ Fc g
(x)o; (2.10) trong đó k1 và k2 lƒn lưæt là c¡c hàm li¶n hæp phøc cıa k1 và k2. 2.2.2 Định lý ki”u Plancherel X†t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineFourier cosineLaplace với hàm trọng f(x) 7 g(x) = 1 − dx d22nf ∗ γ 4 k1
(x) + f Fs∗ Fc k2
(x)o; x > 0; (2.11) Định lý 2.2.2 Gi£ sß k1 2 H(R+), k2 2 L2(R+) sao cho (2.11) unita và Θ1(x; u; v) = 1 − dx d22
θ2(x − 1; u; v) − θ2(x + 1; u; v); Θ2(x; u; v) = 1 − dx d22
θ1(x − 1; u; v) − θ1(x + 1; u; v); K(x) = 1 − dx d22
k2(x) là c¡c hàm bị chặn. Cho f 2 L2(R+) và với mØi sŁ tự nhi¶n N, đặt gN(x) = 1 2π 1 Z 0 NZ 0 Θ2(x; u; v)f(u)k1(v)dudv + 1 p2π NZ 0 f(u)K(jx − uj) − K(x + u)du: 14Khi đó: 1) Ta có gN 2 L2(R+), và n‚u N 1 th… gN hºi tụ theo chun trong L2(R+) đ‚n hàm g 2 L2(R+) với kgkL2(R+) = kfkL2(R+): 2) Đặt gN = g:χ(0; N), th… fN(x) = − 1 2π 1 Z 0 1 Z 0 Θ1(x; u; v)gN(u)k1(v)dudv + 1 p2π 1 Z 0 gN(u)K(x + u) + sign(u − x)K(jx − uj)du; cũng thuºc L2(R+), và n‚u N 1 th… fN hºi tụ theo chun đ‚n f. K‚t lu“n Chương 2 X¥y dựng hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace Tk và Fourier cosineFourier sineLaplace Tk1;k2 với hàm trọng. Nh“n đưæc c¡c k‚t qu£ ch‰nh: • Định lý ki”u Watson v• đi•u ki»n cƒn và đı đ” c¡c ph†p bi‚n đŒi Tk và Tk1;k2 là unita trong L2(R+). • X¡c định đưæc đi•u ki»n đı đ” to¡n tß Tk bị chặn và có bi‚n đŒi ngưæc. • Định lý ki”u Plancherel v• sự tồn t⁄i c¡c d¢y to¡n tß hºi tụ theo chun v• to¡n tß t‰ch ph¥n Tk1;k2 và to¡n tß ngưæc cıa nó. Nºi dung cıa chương này dựa vào mºt phƒn cıa mØi bài b¡o 3 và 4, trong Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n. 15Chương 3 M¸T S¨ ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng ta sß dụng c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu cıa Chương 1 và Chương 2 đ” gi£i mºt sŁ lớp phương tr…nh t‰ch ph¥n, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n, phương tr…nh vit‰ch ph¥n và cho công thøc nghi»m dưới d⁄ng đóng. 3.1 Gi£i phương tr…nh và h» phương tr…nh t‰ch ph¥n Định lý 3.1.1 (Định lý WienerLevy) Gi£ sß f là bi‚n đŒi Fourier cıa mºt hàm thuºc L1(R), và ’ là hàm gi£i t‰ch trong mºt l¥n c“n cıa gŁc, chøa mi•n ff(y); 8y 2 Rg thỏa m¢n ’(0) = 0, khi đó ’(f) cũng là £nh qua ph†p bi‚n đŒi Fourier cıa mºt hàm nào đó thuºc L1(R). Nh“n x†t 3.1.1 Định lý WienerLevy v¤n đúng cho c£ ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine. 3.1.1 Gi£i phương tr…nh t‰ch ph¥n a) X†t phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i mºt có d⁄ng Z0 1 K1(x; u)f(u)du = g(x); x > 0; (3.1) trong đó K1(x; u) = 1 π Z0 1 θ1(x; u; v)k(v)dv; (3.2) với θ1(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.2). Định lý 3.1.2 Cho g(x); k(x) 2 L1(R+). Khi đó, đi•u ki»n cƒn và đı đ” phương tr…nh (3.1) có nghi»m trong L1(R+) là Fcg
(y) Lk
(y) 2 Ac. Hơn nœa, 16nghi»m đưæc cho dưới d⁄ng f(x) = Z01 F L ck g

((y y)) cos xydy: (3.3) b) X†t phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z01 K1(x; u)f(u)du = g(x); x > 0; (3.4) trong đó nh¥n K1(x; u) cho bởi (3.2) và k(x); g(x) là hàm cho trước trong L1(R+), và f(x) là hàm cƒn t…m. Định lý 3.1.3 Gi£ sß đi•u ki»n sau đưæc thỏa m¢n 1 + Lk
(y) 6= 0; 8y > 0: (3.5) Khi đó phương tr…nh (3.4)có nghi»m duy nh§t trong L1(R+). Hơn nœa, nghi»m đưæc cho dưới d⁄ng f(x) = g(x) − q ∗ Fc g
(x); (3.6) ở đó q(x) 2 L1(R+) đưæc x¡c định bởi q(x) = Fc Lk
(y) 1 + Lk
(y)(x): (3.7) c) X†t phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z01 K2(x; t)f(t)dt = g(x); x > 0; (3.8) ở đó K2(x; t) = 1 πp2π ZR+ 2 θ1(x; u; v + µ) (ju − tj) + (u + t)’(v)dudv; µ > 0; với θ1(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.2). 17Định lý 3.1.4 Gi£ sß r‹ng ’(x); (x) 2 L1(R+). Khi đó, đi•u ki»n cƒn và đı đ” phương tr…nh (3.8) có nghi»m duy nh§t trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuºc L1(R+) là 1+ e−µy(Fc )(y)(L’)(y) 6= 0; 8y > 0. Hơn nœa, nghi»m có th” đưæc bi”u di„n dưới d⁄ng sau f(x) = g(x) − g ∗ Fc q
(x); (3.9) ở đó, hàm q 2 L1(R+) đưæc x¡c định bởi Fcq
(y) = e−µy(Fc )(y)(L’)(y) 1 + e−µy(Fc )(y)(L’)(y): (3.10) d) X†t phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z0 1 K4(x; t)f(t)dt = g(x); x > 0; (3.11) trong đó K4(x; t) = 1 2πp2π ZR+ 2 θ2(x − 1; u; v + µ) − θ2(x + 1; u; v + µ) × ’(u + t) + sign(u − t)’(ju − tj) (v)dudv; (3.12) với θ2(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.5). Định lý 3.1.5 Gi£ sß g(x); ’(x); (x) 2 L1(R+). Khi đó đi•u ki»n cƒn và đı đ” phương tr…nh t‰ch ph¥n (3.11) có duy nh§t nghi»m trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuºc L1(R+) là 1 + e−µy sin y(Fc’)(y)(L )(y) 6= 0; 8y > 0. Hơn nœa, nghi»m đưæc cho dưới d⁄nh sau f(x) = g(x) + g ∗ Fc q
(x); trong đó q là hàm thuºc L1(R+) sao cho Fcq
(y) = −e−µy sin y(Fc’)(y)(L )(y) 1 + e−µy sin y(Fc’)(y)(L )(y); 18V‰ dụ 3.1.1 Ta chọn c¡c hàm ’(x), (x) như sau ’(x) = e−ax; (x) = e−bx (a; b > 0): Khi đó d„ th§y ’(x); (x) 2 L1(R+) và ta có Fs’
(y) = rπ 2 a2 + y y2; L
(y) = b + 1 y: (3.13) Tł đflng thøc nh¥n tß hóa (1.19) và (3.13), ta có Fc’ γ∗ 6 5
(y) = −e−µy sin yFs’
(y)L
(y) = −rπ 2e−µy sin y:(a2 + y2y)(b + y): Khi đó, ta có 1 − Fc’ γ∗ 6 5
(y) 6= 0; 8y > 0. Theo Định lý WienerLevy, tồn t⁄i hàm q(x) 2 L1(R+) sao cho Fcq
(y) = −qπ 2e−µy sin y:(a2+y2 y)(b+y) 1 + qπ 2e−µy sin y:(a2+y2 y)(b+y) : (3.14) Suy ra q(x) = Fch − qπ 2e−µy sin y:(a2+y2 y)(b+y) 1 + qπ 2e−µy sin y:(a2+y2 y)(b+y) i(x) = − 2 π Z01 (a2 + y2)(y bsin + yy)ecos µy + xyqπ 2y sin ydy; và nghi»m đưæc cho bởi f(x) = g(x) + g ∗ Fc q
(x): 193.1.2 Gi£i h» phương tr…nh t‰ch ph¥n a) X†t h» hai phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z01 K6(x; t)g(t)dt = p(x); g(x) + Z01 K7(x; t)f(t)dt = q(x); x > 0: (3.15) Trong đó K6(x; t) = 1 πp2π ZR+ 2 θ1(x; u; v + µ)k(ju − tj) + k(u + t)’(v)dudv; K7(x; t) = 1 πp2π ZR+ 2 θ1(x; u; v + µ)l(ju − tj) + l(u + t) (v)dudv; (3.16) với θ1(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.2). Định lý 3.1.6 Gi£ thi‚t ’(x); (x); p(x); q(x); k(x); l(x) 2 L1(R+), thỏa m¢n 1 − e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(L’)(y)(L )(y) 6= 0; 8y > 0: Khi đó h» (3.15) có nghi»m duy nh§t (f; g) trong L1(R+); L1(R+)
đưæc cho bởi c¡c bi”u thøc f(x) = p(x) − q F∗ c k ∗ γ 1 ’
(x) + p F∗ c ξ
(x) − q F∗ c (k ∗ γ 1 ’)
F∗ c ξ(x); (3.17) g(x) = q(x) − p F∗ c l ∗ γ 1
(x) + q F∗ c ξ
(x) − p F∗ c (l ∗ γ 1 )
F∗ c ξ(x): (3.18) Trong đó, ξ(x) 2 L1(R+) thỏa m¢n Fcξ
(y) = e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(L’)(y)(L )(y) 1 − e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(L’)(y)(L )(y): (3.19) 20b) X†t h» hai phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z01 K10(x; u)g(u)du = p(x); g(x) + Z01 K11(x; u)f(u)du = q(x); x > 0: (3.20) Trong đó K10(x; u) = 1 2π Z01 ’(v)θ2(x − 1; u; v + µ) − θ2(x + 1; u; v + µ)dv; K11(x; u) =p12π (u + x) − sign(u − x) (ju − xj); với θ2(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.5). Định lý 3.1.7 Gi£ sß r‹ng ’(x); (x); p(x); q(x) 2 L1(R+) thỏa m¢n 1 − e−µy sin y(Fc )(y)(L’)(y) 6= 0; 8y > 0: Khi đó h» (3.20) có nghi»m duy nh§t (f; g) trong L1(R+); L1(R+)
đưæc cho bởi f(x) = p(x) − q ∗ γ 5 ’
(x) − p ∗ Fc ξ
(x) + q ∗ γ 5 ’
F∗ c ξ(x); g(x) = q(x) − ∗ FsFc p
(x) − q ∗ FsFc ξ
(x) +  Fs∗ Fc p
Fs∗ Fc ξ(x): Trong đó ξ(x) 2 L1(R+) là hàm thỏa m¢n Fcξ
(y) = −e−µy sin y(Fc )(y)(L’)(y) 1 − e−µy sin y(Fc )(y)(L’)(y); 3.2 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n 3.2.1 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n c§p hai X†t phương tr…nh vit‰ch ph¥n có d⁄ng f(x) − f00(x) + Tkf
(x) = g(x); x > 0; (3.21) f0(0) = f(0) = 0: 21Trong đó k(x); g(x) là c¡c hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f(x) là hàm cƒn t…m. Định lý 3.2.1 N‚u 1 + Lk
(y) 6= 0; 8y > 0, th… phương tr…nh (3.21) có nghi»m duy nh§t trong L1(R+). Hơn nœa, nghi»m có th” vi‚t dưới d⁄ng f(x) = rπ 2hg(t) F ∗ c e−t
(x) − g(t) F ∗ c e−t
F ∗ c q(x)i; (3.22) trong đó q(x) 2 L1(R+) là hàm đưæc x¡c định bởi q(x) = Fc 1+ LL k
k
(y() y)(x): 3.2.2 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n a)X†t phương tr…nh vit‰ch ph¥n có d⁄ng f(x) + Tkf
(x) = g(x); x > 0; (3.23) f 0(0) = f(0) = 0: Trong đó k(x); g(x) là c¡c hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f(x) là hàm cƒn t…m. Định lý 3.2.2 N‚u k(x); k00(x) 2 L1(R+); k0(0) = k(0) = 0, với đi•u ki»n 1 + Lk + k00
(y) 6= 0; 8y > 0 đưæc thỏa m¢n, th… phương tr…nh (3.23) có nghi»m duy nh§t trong L1(R+). Hơn nœa, nghi»m đưæc cho dưới d⁄ng f(x) = g(x) − g ∗ Fc q
(x); (3.24) ở đó q(x) 2 L1(R+) là hàm đưæc x¡c định bởi q(x) = Fc 1+ LL k+ k+ k00 k
00
(y() y)(x): b) X†t phương tr…nh vit‰ch ph¥n có d⁄ng f(x) + d dxT’; f
(x) = g(x); x > 0: (3.25) Trong đó, ’(x) = ’1 ∗ L ’2
(x), ’1(x) 2 H(R+), ’2(x) = sin t ∗ L sin t
(x) và (x) = sech t ∗ FsFc 1
(x); 1(x) 2 L2(R+). Hàm g(x) cho trước trong L2(R+) và f(x) là hàm cƒn t…m. 22Định lý 3.2.3 Gi£ sß đi•u ki»n sau thỏa m¢n h1 + (y + y3) sin yL’
(y) − Fs
(y)i−1 < 1; 8y > 0: (3.26) Khi đó phương tr…nh (3.25) có nghi»m duy nh§t trong L2(R+). Hơn nœa, nghi»m đưæc cho dưới d⁄ng f(x) = g(x) − q ∗ FsFc g
(x); ở đó q(x) 2 L2(R+) là hàm đưæc x¡c định bởi Fcq
(y) = (y + y3) sin yL’
(y) − Fs
(y) 1 + (y + y3) sin yL’
(y) − Fs
(y): K‚t lu“n chương 3 Ứng dụng tł c¡c k‚t qu£ Chương 1 và Chương 2, ta nh“n đưæc: • Đi•u ki»n cƒn và đı gi£i đưæc mºt lớp c¡c phương tr…nh t‰ch ph¥n. • Đi•u ki»n đı gi£i đưæc mºt lớp h» phương tr…nh t‰ch ph¥n. • Đi•u ki»n đı gi£i đưæc mºt lớp phương tr…nh vit‰ch ph¥n. C¡c lớp phương tr…nh và h» phương tr…nh tr¶n đ•u cho nghi»m dưới d⁄ng đóng. Nºi dung ch‰nh cıa chương này dựa vào mºt phƒn cıa mØi bài b¡o 1, 2, 3 và 4, trong Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n. 23KẾT LUẬN C¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n là: 1. X¥y dựng bŁn t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine, Fourier sine và Laplace. Nh“n đưæc t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c t‰ch ch“p, đflng thøc nh¥n tß hóa, đflng thøc ki”u Parseval, Định lý ki”u Titchmarch. Thi‚t l“p c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng trong c¡c không gian Lp(R+) và Lp(R+; ρ) tương øng. 2. X¥y dựng hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace Tk và t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace Tk1;k2 với hàm trọng trong L2(R+). Nh“n đưæc Định lý ki”u Watson v• đi•u ki»n cƒn và đı đ” c¡c ph†p bi‚n đŒi là unita, đi•u ki»n đı đ” tồn t⁄i bi‚n đŒi ngưæc. Định lý ki”u Plancherel v• sự tồn t⁄i mºt d¢y hàm hºi tụ theo chun đ‚n to¡n tß Tk1;k2 cũng đưæc chøng minh. 3. Nh“n đưæc øng dụng gi£i mºt sŁ lớp phương tr…nh t‰ch ph¥n, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n, phương tr…nh vit‰ch ph¥n trong c¡c không gian hàm L1(R+); L2(R+) và cho công thøc nghi»m dưới d⁄ng đóng. 24B¸ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ˝NG ĐẠI H¯C BÁCH KHOA HÀ N¸I —————————— LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY R¸NG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN Đ˚I TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN H¯C Hà Nºi 2016B¸ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ˝NG ĐẠI H¯C BÁCH KHOA HÀ N¸I —————————— LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY R¸NG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN Đ˚I TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN H¯C Chuy¶n ngành: To¡n gi£i t‰ch M¢ ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯ˛NG DẪN KHOA H¯C: PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO PGS. TS. TRỊNH TUÂN Hà Nºi 2016MỤC LỤC MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 L˝I CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 L˝I CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 M¸T S¨ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . 5 M— ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 1. TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE 16 1.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace . . . . . . . . . . . 16 1.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 MŁi li¶n h» giœa t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace và c¡c t‰ch ch“p kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4 B§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.1 Định lý ki”u Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4.2 Định lý ki”u Saitoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Chương 2. PHÉP BIẾN Đ˚I TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE 46 2.1 Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.1 Định lý ki”u Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.2 Li¶n h» giœa ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n với c¡c đ⁄o hàm . 50 2.2 Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Định lý ki”u Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 12.2.2 Định lý ki”u Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chương 3. M¸T S¨ ỨNG DỤNG 59 3.1 Gi£i phương tr…nh và h» phương tr…nh t‰ch ph¥n . . . . . . . . 59 3.1.1 Gi£i phương tr…nh t‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2 Gi£i h» phương tr…nh t‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.1 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n c§p hai . . . . . . . . . 75 3.2.2 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . 77 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 DANH MỤC C˘NG TRÌNH Đà C˘NG B¨ CỦA LUẬN ÁN . . . . 91 2L˝I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đ¥y là công tr…nh nghi¶n cøu cıa tôi, dưới sự hướng d¤n cıa c¡c thƒy PGS.TS. Nguy„n Xu¥n Th£o và PGS.TS. Trịnh Tu¥n. T§t c£ c¡c k‚t qu£ đưæc tr…nh bày trong lu“n ¡n là hoàn toàn trung thực và chưa tłng đưæc ai công bŁ trong b§t kỳ công tr…nh nào. Thay mặt t“p th” hướng d¤n T¡c gi£ PGS.TS. Nguy„n Xu¥n Th£o L¶ Xu¥n Huy 3L˝I CẢM ƠN Lu“n ¡n đưæc thực hi»n và hoàn thành dưới sự hướng d¤n nghi¶m túc cıa c¡c thƒy PGS. TS. Nguy„n Xu¥n Th£o và PGS. TS. Trịnh Tu¥n. T¡c gi£ xin đưæc bày tỏ sự k‰nh trọng và lÆng bi‚t ơn s¥u s›c đ‚n c¡c thƒy. Nhœng người đ¢ d¤n d›t t¡c gi£ tł nhœng bước đi đƒu ti¶n tr¶n con đường nghi¶n cøu, đºng vi¶n t¡c gi£ vưæt qua khó kh«n trong qu¡ tr…nh làm NCS. T¡c gi£ xin đưæc gßi lời c£m ơn ch¥n thành đ‚n c¡c thƒy cô và c¡c thành vi¶n trong Seminar Gi£i t‰ch Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi, nh§t là TS. Nguy„n Thanh Hồng và TS. Nguy„n Minh Khoa. Nhœng người luôn gƒn gũi, giúp đỡ và t⁄o đi•u ki»n thu“n læi đ” t¡c gi£ học t“p và trao đŒi chuy¶n môn. T¡c gi£ xin đưæc bày tỏ lÆng bi‚t ơn s¥u s›c đ‚n thƒy GS. TSKH. Vũ Kim Tu§n (Đ⁄i học West Georgia, Mỹ), người đ¢ luôn đºng vi¶n, và cho t¡c gi£ nhi•u ý ki‚n quý b¡u trong qu¡ tr…nh học t“p. Trong thời gian làm NCS t⁄i Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi, t¡c gi£ đ¢ nh“n đưæc nhi•u t…nh c£m cũng như sự giúp đỡ tł c¡c thƒy cô trong Bº môn To¡n cơ b£n, c¡c thƒy cô trong Vi»n To¡n øng dụng và Tin học. T¡c gi£ xin đưæc ch¥n thành bày tỏ lÆng bi‚t ơn s¥u s›c đ‚n c¡c thƒy cô. Nh¥n dịp này, t¡c gi£ cũng xin đưæc gßi lời c£m ơn ch¥n thành đ‚n Ban Gi¡m hi»u Trường Đ⁄i học Kinh t‚Kỹ thu“t Công nghi»p, cùng c¡c thƒy cô và c¡c b⁄n đồng nghi»p trong Khoa Khoa học cơ b£n đ¢ quan t¥m đºng vi¶n và t⁄o đi•u ki»n thu“n læi đ” t¡c gi£ hoàn thành vi»c gi£ng d⁄y và làm NCS. CuŁi cùng, t¡c gi£ xin đưæc bày tỏ lÆng bi‚t ơn s¥u nặng đ‚n gia đ…nh bŁ mẹ, væ con, c¡c anh chị em cùng b⁄n b–. Ni•m tin y¶u và hi vọng cıa mọi người là nguồn đºng vi¶n và là đºng lực to lớn đ” t¡c gi£ vưæt qua mọi khó kh«n trong suŁt qu¡ tr…nh học t“p, nghi¶n cøu và hoàn thành lu“n ¡n. T¡c gi£ 4M¸T S¨ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a. Mºt sŁ ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n và t‰ch ch“p • L là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace Lf
(y) = Z0 1 f(x)e−yxdx; Re y > 0: • Fc là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine Fcf
(y) = rπ 2 Z0 1 f(x) cos xydx; y > 0: • Fs là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier sine Fsf
(y) = rπ 2 Z0 1 f(x) sin xydx; y > 0: • (: ∗ 1 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace. • (: ∗ 2 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace. • (:∗ γ 1 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0). • (: ∗ γ 2 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0). • (: ∗ γ 3 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng γ(y) = − sin y. 5• (: ∗ γ 4 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineFourier cosineLaplace với hàm trọng γ(y) = sin y. • (: ∗ γ 5 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0). • (: ∗ γ 6 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineFourier cosineLaplace với hàm trọng γ(y) = e−µy sin y (µ > 0). b. Mºt sŁ không gian hàm • R+ = fx 2 R; x > 0g. • L p(R+); 1 ≤ p < 1 là không gian c¡c hàm sŁ f(x) x¡c định tr¶n R+ sao cho Z0 1 jf(x)jpdx < 1; trong đó chun cıa hàm f đưæc k‰ hi»u và x¡c định bởi kfkLp(R+) =  Z0 1 jf(x)jpdx p 1: • L p(R+; ρ); ρ > 0; 1 ≤ p < 1 là không gian c¡c hàm sŁ f(x) x¡c định tr¶n R+ sao cho Z0 1 jf(x)jpρ(x)dx < 1; trong đó chun cıa hàm f đưæc k‰ hi»u và x¡c định bởi kfkLp(R+ρ) =  Z0 1 jf(x)jpρ(x)dx p 1: Đặc bi»t, khi ρ(x) = xαe−βx th… ta nh“n đưæc không gian hàm hai tham sŁ α; β và k‰ hi»u Lα;β p (R+). 6• L1(R+) là không gian c¡c hàm sŁ f(x) x¡c định tr¶n R+ sao cho sup x2R+ jf(x)j < 1; trong đó chun cıa hàm f đưæc k‰ hi»u và x¡c định bởi kfkL1(R+) = sup x2R+ jf(x)j: • Ac là không gian £nh cıa L1(R+) qua ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine Fc, với chun kfkAc = kFcfkL1(R+): • C0(R+) là không gian c¡c hàm sŁ li¶n tục tr¶n R+ và tri»t ti¶u ở 1. • H(R+) = nf(x) : Lf
(y) 2 L2(R+)o. 7M— ĐẦU 1. TŒng quan v• hướng nghi¶n cøu và lý do chọn đ• tài Lý thuy‚t v• ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n đ¢ đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu tł r§t sớm. Cho đ‚n nay, nó đ¢ trở thành mºt bº ph“n quan trọng cıa Gi£i t‰ch to¡n học. Nhœng ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n đƒu ti¶n ph£i k” đ‚n là ph†p bi‚n đŒi Fourier (xem 6, 24, 33), ph†p bi‚n đŒi Laplace (xem 6, 33, 56), ph†p bi‚n đŒi Mellin (xem 22, 33), ph†p bi‚n đŒi Hankel (xem 6, 47), ph†p bi‚n đŒi Stieltjes (xem 6, 32), ph†p bi‚n đŒi Hilbert (xem 6, 10), ... Mºt trong nhœng v§n đ• đưæc quan t¥m cıa ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n là nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p. Đó là mºt ph†p nh¥n đặc bi»t đưæc định nghĩa thông qua ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng, thường đưæc đưa vào nghi¶n cøu trong c¡c không gian hàm mà ở đó ph†p nh¥n thông thường không tồn t⁄i. Gi£ sß U(X) là không gian tuy‚n t‰nh, V (Y ) là đ⁄i sŁ, ta x†t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n T : U(X) V (Y ) x¡c định như sau ’ e(t) = T’
(t) = Z X K(t; τ)’(τ)dτ 2 V (Y ): (0.1) Khi đó t‰ch ch“p cıa hai hàm f và k đŁi với ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n T là to¡n tß ∗ : U(X) × U(X) V (Y ) (f; k) 7 f ∗ k sao cho thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa T (f ∗ k)(t) = (Tf)(t)(Tk)(t); 8t 2 X: (0.2) Nhœng t‰ch ch“p đƒu ti¶n ph£i k” đ‚n là t‰ch ch“p Laplace và t‰ch ch“p Fourier (xem 6, 33). N«m 1951, Sneddon I.N. x¥y dựng t‰ch ch“p đŁi với 8ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine (xem 33). Đ‚n n«m 1958, t‰ch ch“p với hàm trọng đŁi với ph†p bi‚n đŒi MehlerFox lƒn đƒu ti¶n đưæc Vilenkin Y. Ya. đ• c“p và nghi¶n cøu (xem 50). Sự ra đời cıa t‰ch ch“p có hàm trọng đ¢ mở ra tri”n vọng ph¡t tri”n th¶m hướng nghi¶n cøu v• lý thuy‚t t‰ch ch“p. D¤u v“y, n«m 1967 Kakichev V.A. mới đưa ra định nghĩa t‰ch ch“p với hàm trọng γ(y) cıa hai hàm f và k đŁi với mºt ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n T b§t kỳ dựa tr¶n đflng thøc nh¥n tß hóa (xem 15) Tf ∗ γ k
(y) = γ(y)Tf
(y)Tk
(y): (0.3) Nhờ vào ý tưởng và kỹ thu“t cıa phương ph¡p này mà nhi•u t‰ch ch“p có hàm trọng đưæc t…m ra, ti¶u bi”u là t‰ch ch“p với hàm trọng γ(y) = sin y đŁi với ph†p bi‚n đŒi Fourier sine (xem 15) f ∗ γ Fs k
(x) = 1 2p2π 1 Z 0 f(y)sign(x + y − 1)k(jx + y − 1j) −k(x + y + 1) + sign(x − y + 1)k(jx − y + 1j) − sign(x − y − 1)k(jx − y − 1j)dy; x > 0; (0.4) n‚u f; k 2 L1(R+) th… t‰ch ch“p này thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa Fsf ∗ γ Fs k
(y) = sin yFsf
(y)Fsk
(y); 8y > 0: (0.5) N«m 1951, lƒn đƒu ti¶n Sneddon I.N. đ¢ x¥y dựng đưæc mºt t‰ch ch“p mà trong đflng thøc nh¥n tß hóa có chøa hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n kh¡c nhau tham gia. Đó là t‰ch ch“p suy rºng đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi Fourier sine và Fourier cosine (xem 33, 49) f ∗ FsFc k
(x) = p1 2π 1 Z 0 f(y)k(jx − yj) − k(x + y)dy; x > 0; (0.6) n‚u f; k 2 Lp(R+) (p = 1; 2) th… t‰ch ch“p này thỏa m¢n Fsf ∗ FsFc k
(y) = Fsf
(y)Fck
(y); 8y > 0: (0.7) 9Cho đ‚n nhœng n«m 90 cıa th‚ kỷ trước, Yakubovich S.B. cũng đ¢ x¥y dựng đưæc mºt vài t‰ch ch“p suy rºng theo ch¿ sŁ đŁi với c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Mellin, KontorovichLebedev, ph†p bi‚n đŒi G và ph†p bi‚n đŒi H (xem 51, 55). N«m 1998, Kakichev V.A. và N.X. Th£o đ¢ đưa ra định nghĩa t‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ cıa hai hàm f và k đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n b§t kỳ T1; T2 và T3 thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa T1f ∗ γ k
(y) = γ(y)T2f
(y)T3k
(y); (0.8) và cho đi•u ki»n cƒn đ” x¡c định t‰ch ch“p khi bi‚t mºt sŁ ràng buºc cụ th” v• nh¥n cıa c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng (xem 17). K‚t qu£ này đóng vai trÆ quan trọng trong lý thuy‚t t‰ch ch“p cũng như ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n. Nhờ đó mà nhœng n«m v• sau đ¢ có nhi•u t‰ch ch“p suy rºng đŁi với ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin, Hartley, KontorovichLebedev đưæc x¥y dựng, nghi¶n cøu và cho nhi•u øng dụng thú vị (xem 15, 18, 37, 38, 39, 43, 45, 54). Mặc dù, có mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng đŁi với ph†p bi‚n đŒi Laplace đ¢ đưæc đ• xu§t tł nhœng n«m 1998. Chflng h⁄n t‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Hankel và Laplace, t‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace, Fourier cosine và Hankel (xem 17). Tuy nhi¶n, đ‚n nay v¤n chưa có mºt k‚t qu£ nghi¶n cøu ch‰nh thøc nào v• t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace đưæc công bŁ. Như mºt quy lu“t tự nhi¶n, khi đ¢ x¥y dựng đưæc t‰ch ch“p f ∗ k
(x), b‹ng c¡ch cho mºt trong hai hàm cŁ định như là nh¥n trong bi”u thøc t‰ch ch“p, chflng h⁄n cŁ định hàm k, cÆn hàm f cho bi‚n thi¶n trong mºt không gian hàm x¡c định nào đó ta s‡ nh“n đưæc ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p tương øng, gọi là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p f 7 g = f ∗ k
. Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p đƒu ti¶n đưæc Watson x¥y dựng và nghi¶n cøu là ph†p bi‚n đŒi li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p 10Mellin (xem 44) f(x) 7 g(x) = 1 Z 0 k(xy)f(y)dy: (0.9) TŒng qu¡t hơn, người ta có th” nghi¶n cøu ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n d⁄ng f 7 g = Df∗k
mà D là mºt to¡n tß nào đó. Trong trường hæp D = (1−dx d22) là mºt to¡n tß vi ph¥n c§p 2, ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine đ¢ đưæc V.K. Tu§n và Musallam thi‚t l“p và nghi¶n cøu (xem 49) f(x) 7 g(x) = (1 − d2 dx2)f F∗ c k
(x) (0.10) = (1 − d2 dx2)p1 2π 1 Z 0 f(y)k(x + y) + k(jx − yj)dy; x > 0: Với kỹ thu“t đó, c¡c t¡c gi£ này ti‚p tục x¥y dựng và nghi¶n cøu ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sine (xem 2). C¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p hoặc t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n bi‚n đŒi Mellin, bi‚n đŒi KontorovichLebedev sau đó cũng đưæc nghi¶n cøu (xem 14, 19, 20, 53, 55). Nhưng t§t c£ c¡c công tr…nh này đ•u ch¿ dłng l⁄i nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p và t‰ch ch“p suy rºng không có hàm trọng. Với c¡c t‰ch ch“p và t‰ch ch“p suy rºng có hàm trọng, vi»c x¥y dựng c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p tương øng thường là v§n đ• phøc t⁄p hơn (xem 40, 41, 42). Cho đ‚n nay c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Laplace có hàm trọng và không có hàm trọng v¤n chưa đưæc nghi¶n cøu. Vi»c nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p và c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n có ý nghĩa quan trọng trong nhi•u lĩnh vực khoa học và kỹ thu“t. Nhờ đó, c¡c ph†p to¡n gi£i t‰ch phøc t⁄p như đ⁄o hàm, t‰ch ph¥n đưæc đơn gi£n hóa thành c¡c ph†p t‰nh đ⁄i sŁ. V… v“y, nó đặc bi»t hœu ‰ch trong vi»c gi£i c¡c phương tr…nh vi ph¥n, phương tr…nh đ⁄o hàm ri¶ng, phương tr…nh t‰ch ph¥n, nhœng phương tr…nh thường xu§t hi»n trong c¡c bài to¡n v“t lý, trong lý thuy‚t 11m⁄ch, h» cơ học, bài to¡n ngưæc, bài to¡n xß lý £nh và xß lý t‰n hi»u (xem 3, 6, 9, 10, 8, 22, 30, 31, 33, 36, 46, 48, 52). Trong nhi•u trường hæp, nghi»m nh“n đưæc tł c¡c bài to¡n tr¶n có th” đưæc bi”u di„n qua c¡c t‰ch ch“p tương øng. Đ” đ¡nh gi¡ c¡c nghi»m đó ta có th” dùng đ‚n mºt công cụ, đó ch‰nh là b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p. B§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p, ngoài øng dụng đ” đ¡nh gi¡ nghi»m cıa phương tr…nh, b£n th¥n nó cũng đ¢ là mºt v§n đ• thú vị trong vi»c nghi¶n cøu t‰ch ch“p. Đƒu ti¶n ph£i k” đ‚n b§t đflng thøc Young đŁi với t‰ch ch“p Fourier (xem 1, 35). N‚u p; q; r > 1 thỏa m¢n 1 p + 1 q = 1+ 1 r và f(x) 2 Lp(R); k(x) 2 Lq(R) th… ta có kf ∗ F kkLr(R) ≤ kfkLp(R)kkkLq(R): (0.11) B§t đflng thøc này cho ta đ¡nh gi¡ chun cıa t‰ch ch“p Fourier trong không gian hàm Lr(R), tuy nhi¶n nó không cÆn đúng trong trường hæp f; k 2 L2(R). N«m 2000, trong mºt bài b¡o cıa Saitoh S. (xem 26), b‹ng c¡ch x†t c¡c không gian hàm Lp(R; jρjj) có trọng ρj 2 L1(R) (j = 1; 2) là c¡c hàm không tri»t ti¶u và Fj 2 Lp(R; jρjj) (p > 1), t¡c gi£ đ¢ nh“n đưæc đ¡nh gi¡ sau, gọi là b§t đflng thøc Saitoh cho t‰ch ch“p Fourier k(F1ρ1) F ∗ (F2ρ2)ρ1 F ∗ ρ2
p 1−1kLp(R) ≤ kF1kLp(R;jρ1j)kF2kLp(R;jρ2j): (0.12) Cũng trong n«m đó, Saitoh S., V.K. Tu§n và Yamamoto M. đ¢ thi‚t l“p đưæc b§t đflng thøc ngưæc ki”u Saitoh cho t‰ch ch“p Fourier (xem 27). Kh¡c với b§t đflng thøc Young, b§t đflng thøc Saitoh (0.12) cÆn đúng trong c£ trường hæp p = 2. Do có nhi•u øng dụng thú vị, đặc bi»t là trong vi»c đ¡nh gi¡ nghi»m cıa c¡c phương tr…nh to¡nlý, b§t đflng thøc Saitoh sau khi xu§t hi»n đ¢ thu hút đưæc nhi•u sự quan t¥m cıa c¡c nhà to¡n học. V• sau, b§t đflng thøc này đ¢ đưæc c¡c t¡c gi£ Đ.T. Đøc và N.D.V. Nh¥n mở rºng cho không gian hàm trọng nhi•u chi•u Lp(Rn; jρjj) (xem 7). N«m 2002, Saitoh S., V.K. Tu§n và Yamamoto M. ti‚p tục x¥y dựng b§t đflng thøc ngưæc đŁi với t‰ch ch“p Laplace và sß dụng vào vi»c gi£i bài to¡n 12truy•n nhi»t ngưæc (xem 31). Đ‚n n«m 2008, N.D.V. Nh¥n và Đ.T. Đøc cũng đ¢ thi‚t l“p và nghi¶n cøu thành công b§t đflng thøc ki”u Saitoh cho t‰ch ch“p Laplace trong không gian nhi•u chi•u Lp(Rn +; jρjj) (xem 23). C¡c b§t đflng thøc d⁄ng tr¶n đŁi với t‰ch ch“p Mellin, t‰ch ch“p Fourier cosine sau đó cũng đưæc thi‚t l“p nghi¶n cøu và cho nhi•u øng dụng thú vị (xem 7, 13, 23, 27, 28, 29, 31). Tuy nhi¶n, c¡c b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace đ‚n nay v¤n chưa đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu. Tł nhœng lý do tr¶n, chúng tôi lựa chọn đ• tài đ” nghi¶n cøu là T‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace, Fourier và øng dụng. 2. Mục đ‰ch, đŁi tưæng và ph⁄m vi nghi¶n cøu Mục đ‰ch cıa lu“n ¡n là x¥y dựng và nghi¶n cøu mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace. Tøc c¡c t‰ch ch“p suy rºng mà trong đflng thøc nh¥n tß hóa chøa ph†p bi‚n đŒi Laplace cùng với mºt hoặc hai ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine, Fourier sine. Nghi¶n cøu t‰nh ch§t to¡n tß t‰ch ch“p, thi‚t l“p b§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p suy rºng này trong mºt sŁ không gian hàm cụ th”. X¥y dựng và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng tương øng. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa ph†p bi‚n đŒi như t‰nh unita, sự tồn t⁄i to¡n tß ngưæc cıa ph†p bi‚n đŒi trong không gian L2(R+). Tł đó, øng dụng vào vi»c gi£i mºt lớp c¡c phương tr…nh, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. 3. Phương ph¡p nghi¶n cøu Trong lu“n ¡n, chúng tôi sß dụng c¡c phương ph¡p gi£i t‰ch hàm, lý thuy‚t to¡n tß, ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n và lý thuy‚t t‰ch ch“p. Chúng tôi øng dụng b§t đflng thøc H¨older đ” đ¡nh gi¡ chun cıa c¡c to¡n tß t‰ch ch“p mới trong c¡c không gian hàm cụ th”. Đặc bi»t Định lý WienerLevy đưæc sß dụng nhi•u trong vi»c x¥y dựng công thøc nghi»m đóng cho lớp c¡c phương tr…nh, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. 134. C§u trúc và k‚t qu£ cıa lu“n ¡n Ngoài phƒn Mở đƒu, K‚t lu“n và Tài li»u tham kh£o, lu“n ¡n đưæc chia làm ba chương: Chương 1, x¥y xựng và nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Nh“n đưæc c¡c đflng thøc nh¥n tß hóa, đflng thøc ki”u Parseval, Định lý ki”u Titchmarch và mºt sŁ đ¡nh gi¡ chun trong c¡c không gian hàm Lp(R+) và Lα;β p (R+). T…m đưæc mŁi li¶n h» giœa c¡c t‰ch ch“p suy rºng mới với mºt sŁ t‰ch ch“p quan trọng đ¢ bi‚t. Hơn nœa, trong c¡c không gian Lp(R+) và L p(R+; ρ), c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace cũng đưæc thi‚t l“p và chøng minh. Chương 2, thi‚t l“p và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c ph†p bi‚n bi‚n đŒi này, ta nh“n đưæc c¡c Định lý ki”u Watson cho đi•u ki»n cƒn và đı đ” c¡c ph†p bi‚n đŒi tương øng là unita trong không gian L2(R+), hơn nœa ta cũng x¡c định đưæc đi•u ki»n đı cho sự tồn t⁄i c¡c ph†p bi‚n đŒi ngưæc. Ngoài ra Định lý ki”u Plancherel đŁi với ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng cũng đưæc chøng minh. Chương 3, mºt sŁ lớp phương tr…nh t‰ch ph¥n, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n đưæc gi£i nhờ vào t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace và ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Hơn nœa, b‹ng phương ph¡p gi£i này nghi»m nh“n đưæc tł c¡c c¡c phương tr…nh tr¶n đ•u đưæc cho dưới d⁄ng dóng. 5. Ý nghĩa cıa c¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n C¡c t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n bi‚n đŒi Laplace, c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Laplace, và mºt sŁ b§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p suy rºng tương øng lƒn đƒu ti¶n đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu trong lu“n ¡n. C¡c k‚t qu£ này có ý nghĩa khoa học và góp phƒn làm phong phú hơn v• lý thuy‚t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n, t‰ch ch“p cũng như b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p. Tł đó, đưa ra c¡ch ti‚p c“n mới và c¡c phương ph¡p 14gi£i phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. Hơn nœa, mºt sŁ ý tưởng và phương ph¡p đưæc sß dụng trong lu“n ¡n có th” dùng đ” nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n kh¡c. Nºi dung ch‰nh cıa lu“n ¡n dựa vào bŁn công tr…nh đ¢ công bŁ, đưæc li»t k¶ ở Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n, gồm ba công tr…nh tr¶n c¡c t⁄p ch‰ to¡n học QuŁc t‚ (trong đó 4 thuºc t⁄p ch‰ trong danh mục ISI) và mºt công tr…nh tr¶n t⁄p ch‰ to¡n học QuŁc gia. C¡c k‚t qu£ này đ¢ đưæc b¡o c¡o mºt phƒn hoặc toàn bº t⁄i: + Hºi nghị To¡n học Vi»tPh¡p, th¡ng 8 n«m 2012, t⁄i Hu‚. + Hºi nghị To¡n học Toàn quŁc lƒn thø 8, th¡ng 8 n«m 2013, t⁄i Nha Trang. + Hºi nghị QuŁc t‚ Gi£i t‰ch phøc hœu h⁄n và vô h⁄n chi•u và øng dụng (ICFIDCAA), th¡ng 8 n«m 2011 t⁄i Hà Nºi. + Hºi th£o To¡n học phŁi hæp Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi và Trường Đ⁄i học Heidelberg cıa Đøc, th¡ng 3 n«m 2015. + Seminar Gi£i t‰ch, Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi. + Seminar Gi£i t‰chĐ⁄i sŁ, Trường Đ⁄i học Khoa học Tự nhi¶n Hà Nºi. 15Chương 1 TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE Mục đ‰ch cıa Chương 1 là x¥y dựng và nghi¶n cøu mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c t‰ch ch“p suy rºng này trong mºt sŁ không gian hàm kh¡c nhau. Thi‚t l“p và chøng minh c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với c¡c t‰ch ch“p tương øng. 1.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace Trước h‚t ta nghi¶n cøu t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine và Laplace không có trọng. Định nghĩa 1.1.1. T‰ch ch“p suy rºng cıa hai hàm f và k đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ 1 k
(x) = 1 π 1 Z 0 1 Z 0 θ1(x; u; v)f(u)k(v)dudv; (1.1) trong đó θ1(x; u; v) = v v2 + (x − u)2 + v v2 + (x + u)2; x > 0: (1.2) Ta gọi Ac là không gian £nh cıa L1(R+) thông qua ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine Fc. Với chun kfkAc := kFcfkL1(R+) th… không gian đó là mºt đ⁄i sŁ Banach, nghĩa là n‚u f(x); k(x) 2 Ac, th… f(x)k(x) 2 Ac và thỏa m¢n kfkkAc ≤ kfkAckkkAc. 16C¡c định lý sau đ¥y cho ta sự tồn t⁄i cıa c¡c t‰ch ch“p (1.1) và đflng thøc nh¥n tß hóa cıa t‰ch ch“p này trong c¡c không gian hàm tương øng. Định lý 1.1.1. Gi£ sß c¡c hàm f(x) và k(x) thuºc không gian L2(R+). Khi đó ta có f ∗ 1 k
(x) 2 Ac, và thỏa m¢n đflng thøc ki”u Parseval f ∗ 1 k
(x) = FcFcf
(y)Lk
(y)(x); 8x > 0: (1.3) Hơn nœa, ta cũng nh“n đưæc đflng thøc nh¥n tß hóa sau Fcf ∗ 1 k
(y) = Fcf
(y)Lk
(y); 8y > 0: (1.4) Chøng minh. Tł gi£ thi‚t f(x); k(x) 2 L2(R+), ta có Fcf
(y); Lk
(y) 2 L2(R+), suy ra Fcf
(y)Lk
(y) 2 L1(R+) và FcFcf
(y)Lk
(y)(x) 2 Ac. Mặt kh¡c, ta b›t đƒu với vi»c đặt f(x) 2 L1(R+) L2(R+) và k(x) = k(x)χ;1)(x) 2 L2(R+), ở đó χE(x) là hàm đặc trưng cıa E, và  > 0. Ta có đ¡nh gi¡ sau 1 Z 0 1 Z 0 1 Z 0 e−vy cos(x − u)y + cos(x + u)y jf(u)k(v)j dydudv ≤2 1 Z 0 1 Z 0 1 Z 0 e−vy jf(u)k(v)j dydudv = 2 1 Z 1 Z 0 jf(u)j jk(v)j v dudv < 1: (1.5) Tł (1.5), ¡p dụng Định lý Fubini ta có FcFcf
(y)Lk
(y)(x) = rπ 2Z 1 0 Fcf
(y)Lk
(y)cos xydy = 2 π 1 Z 0 h 1 Z 0 f(u) cos yuduih 1 Z 0 k(v)e−vydvi cos xydy = 2 π 1 Z 0 1 Z 0 h 1 Z 0 e−vy cos yx: cos yudyif(u)k(v)dudv 17= 1 π 1 Z 0 1 Z 0 h 1 Z 0 e−vy cos(x − u)y + cos(x + u)y dyif(u)k(v)dudv: (1.6) Tł (1.6), sß dụng công thøc (2.13.5) trong 6 1 Z 0 e−vt cos ytdt = v v2 + y2; v > 0; (1.7) ta có FcFcf
(y)Lk
(y)(x) = 1 π 1 Z 0 1 Z 0 v2 + (x v − u)2 + v2 + (x v + u)2 f(u)k(v)dudv = f ∗ 1 k
(x): (1.8) Ta chú ý r‹ng, n‚u f(x) 2 L2(R+) th… kLfkL2(R+) ≤ pπkfkL2(R+); (1.9) Khi đó, ¡p dụng b§t đflng thøc H¨older và sß dụng đ¡nh gi¡ (1.9) ta có FcFcf
(y)Lk
(y)(x) L1(R+) ≤ rπ 2 Fcf
(y)Lk
(y) L1(R+) ≤ rπ 2 kFcfkL2(R+) kLkkL2(R+) ≤ p2 kfkL2(R+) kkkL2(R+) : V“y, n‚u cho  0+ và L1(R+) L2(R+) trù m“t trong L2(R+), b‹ng c¡ch th¡c tri”n li¶n tục ta nh“n đưæc đflng thøc ki”u Parseval (1.3) đŁi với f(x); k(x) 2 L2(R+). B‹ng c¡ch t¡c đºng ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine Fc l¶n hai v‚ cıa đflng thøc (1.3) ta nh“n đưæc đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4). Định lý đ¢ đưæc chøng minh. 2 Ta đặt H(R+) = nf(x) : Lf
(y) 2 L2(R+)o: (1.10) 18Khi đó d„ th§y r‹ng H(R+) là không gian hàm rºng hơn L2(R+), nghĩa là L2(R+) ⊂ H(R+): Trong mºt sŁ trường hæp, vi»c nghi¶n cøu t‰ch ch“p : ∗ 1 :
có th” đưæc nhúng li¶n tục vào H(R+). Nh“n x†t 1.1.1. Gi£ thi‚t r‹ng f(x) 2 L2(R+), và k(x) 2 H(R+) sao cho t‰ch ph¥n (1.1) hºi tụ như t‰ch ph¥n lặp. V‰ dụ, t‰ch ch“p (1.1) tồn t⁄i như t‰ch ph¥n lặp với k(x) = cos x 62 L2(R+), nhưng k(x) 2 H(R+) khi đó Lk
(y) = y2y +1 2 L2(R+). Trong trường hæp này, ta có đ¡nh gi¡ sau FcFcf
(y)Lk
(y)(x) L1(R+) ≤ rπ 2 Fcf
(y)Lk
(y) L1(R+) ≤ rπ 2 kFcfkL2(R+) kLkkL2(R+) = rπ 2 kfkL2(R+) kLkkL2(R+) ≤ p2 kfkL2(R+) kkkL2(R+) : Chøng tỏ r‹ng c¡c k‚t qu£ trong Định lý 1.1.1 v¤n cÆn đúng dưới gi£ thi‚t này. Đ” nghi¶n cøu t‰ch ch“p suy rºng : ∗ 1 :
trong không gian hàm L1(R+) ta cƒn đ‚n sự hŒ træ cıa bŒ đ• sau. BŒ đ• 1.1.1. N‚u k(x) 2 L1(R+), th… Lk
(y) 2 Ac. Chøng minh. Đặt k(x) = k(x)χ;1)(x). Ta có đ¡nh gi¡ 1 Z0 1 Z0 e−vyj cos(xv)k(y)jdydv ≤ 1 Z0 1 Z0 e−vyjk(y)jdvdy = 1 Z jk(y)j y dy < 1: Khi đó, sß dụng Định lý Fubini ta có 1 Z0 FcLk
(x) dx = rπ 2 Z1 0 1 Z0 cos xv 1 Z0 e−vyk(y) dy dv dx = rπ 2 Z1 0 1 Z0 k(y) 1 Z0 e−vy cos xv dv dy dx = rπ 2 Z1 0 1 Z0 k(y) y x2 + y2 dy dx 19≤ rπ 2 Z1 0 y jk(y)j 1 Z 0 1 x2 + y2 dx dy = rπ 2 1 Z 0 jk(y)j dy: Suy ra kFcLk
kL1(R+) ≤ pπ 2kkkL1(R+). Cho  0+ ta nh“n đưæc kFcLk
kL1(R+) ≤ rπ 2kkkL1(R+): Suy ra FcLk
(x) 2 L1(R+). V“y Lk
(y) li¶n tục và thuºc Ac. 2 BŒ đ• tr¶n là công cụ quan trọng giúp ta chøng minh t‰ch ch“p f ∗ 1 k
(x) thuºc không gian L1(R+) và trong không gian tương øng c¡c đflng thøc ki”u Parseval (1.3) và đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4) v¤n cÆn đúng. Ta có định lý sau. Định lý 1.1.2. Gi£ sß r‹ng f(x); k(x) 2 L1(R+). Khi đó đŁi với t‰ch ch“p f ∗ 1 k
(x), c¡c đflng thøc ki”u Parseval (1.3) và đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4) v¤n cÆn đúng, hơn nœa f ∗ 1 k
(x) 2 L1(R+). Chøng minh. Vi»c chøng minh đflng thøc ki”u Parseval (1.3) và đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4) là tương tự như trong phƒn chøng minh Định lý 1.1.1, v… v“y ở đ¥y ta không chøng minh nœa. N‚u k(x) 2 L1(R+), th… tł BŒ đ• 1.1.1 ta có Lk
(y) 2 Ac. Tł đi•u ki»n f(x) 2 L1(R+) ta cũng nh“n đưæc Fcf
(y) 2 Ac. V… Ac là mºt đ⁄i sŁ Banach, suy ra Fcf
(y)Lk
(y) cũng thuºc Ac. Tł đflng thøc (1.3) ta cũng suy ra f ∗ 1 k
(x) 2 L1(R+). Định lý đ¢ đưæc chøng minh. 2 Nh“n x†t 1.1.2. Trong bi”u thøc t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace : ∗ 1 :
, n‚u thay th‚ nh¥n θ1(x; u; v) bởi nh¥n θ2(x; u; v) = v v2 + (x − u)2 − v v2 + (x + u)2; x > 0; (1.11) 20th… ta s‡ nh“n đưæc t‰ch ch“p suy rºng mới. Đó là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace đ

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từrất sớm Đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tíchtoán học Một trong những nội dung được quan tâm của phép biến đổitích phân là nghiên cứu các tích chập Đó là một phép nhân đặc biệt đượcđịnh nghĩa qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vàonghiên cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thườngkhông tồn tại Các tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập Laplace,tích chập Fourier Năm 1951, tích chập suy rộng đầu tiên được SneddonI.N đề cập và nghiên là tích chập suy rộng Fourier sine và Fourier cosine.Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, một vài tích chập suy rộng đốivới các phép biến đổi tích phân khác mới tiếp tục được nghiên cứu bởiYakubovich S.B Đó là các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổitích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi

H theo chỉ số Đến năm 1998, Kakichev V.A và N.X Thảo đưa ra địnhnghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với baphép biến đổi tích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tửhóa T1 f ∗ k
(y) = γ(y) Tγ 2f
(y) T3k
(y) và cho điều kiện cần để xác địnhtích chập khi biết một số ràng buộc cụ thể về nhân của các phép biến đổitích phân tương ứng Nhờ kỹ thuật này mà những năm về sau đã có một

số tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác đượcxây dựng Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chínhthức nào về tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đượccông bố

Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập f ∗ k
(x),bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thứctích chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong mộtkhông gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phânliên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu

tích chập f 7→ g = f ∗ k
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầutiên được Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đếntích chập Mellin Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổitích phân dạng f 7→ g = D f ∗ k
mà D là một toán tử nào đó Trongtrường hợp D = (1 − dxd22) là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổitích phân kiểu tích chập Fourier cosine đã được V.K Tuấn và Musallamthiết lập và nghiên cứu Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặctích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Fourier sine, Mellin, biến đổiKontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên cứu Cho đến nay các phépbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và không

có hàm trọng vẫn chưa được nghiên cứu

Khi giải quyết các bài toán toán-lý, nghiệm của các bài toán này có thểđược biểu diễn qua các tích chập tương ứng Để đánh giá các nghiệm đó ta

có thể dùng đến bất đẳng thức đối với tích chập Đầu tiên phải kể đến bấtđẳng thức Young và bất đẳng thức Saitoh đối với tích chập Fourier Cácbất đẳng thức dạng này đối với tích chập Mellin, tích chập Fourier cosinesau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị Tuynhiên, các bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng liên quan đến phépbiến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được đề cập và nghiên cứu

Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tíchchập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier

và ứng dụng"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suyrộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Nghiên cứu tính chấttoán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộngnày trong một số không gian hàm cụ thể Xây dựng và nghiên cứu cácphép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng Nghiên cứucác tính chất toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tửngược trong không gian L2(R+) Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớpcác phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lýthuyết toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập Chúng tôiứng dụng bất đẳng thức H¨older để đánh giá chuẩn của các toán tử tíchchập mới trong các không gian hàm cụ thể Đặc biệt Định lý Wiener-Levyđược sử dụng nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớpcác phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

4 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm ba chương:

Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Laplace Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval,Định lý kiểu Titchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gianhàm Lp(R+) và Lα,βp (R+) Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộngmới với một số tích chập quan trọng đã biết Hơn nữa, trong các khônggian Lp(R+) và Lp(R+, ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đốivới tích chập suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh.Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tíchchập suy rộng Fourier-Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của cácphép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điềukiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian

Fourier-L2(R+), hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại cácphép biến đổi ngược Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biếnđổi tích phân tương ứng cũng được chứng minh

Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tíchphân và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộngFourier-Laplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ cáccác phương trình trên đều được cho dưới dạng dóng

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đốivới các tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiêncứu trong luận án Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làmphong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng nhưbất đẳng thức đối với tích chập Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và cácphương pháp giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.Một số ý tưởng và phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùngnghiên cứu các tích chập suy rộng khác

Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, đượcliệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm bacông trình trên các tạp chí toán học Quốc tế (trong đó [4] thuộc tạp chítrong danh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia.Các kết quả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại:

+ Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế

+ Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại NhaTrang

+ Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứngdụng (ICFIDCAA), tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội

+ Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội vàTrường Đại học Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015

+ Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên HàNội

Chương 1 TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

Mục đích của Chương 1 là nghiên cứu một số tích chập suy rộng liênquan đến phép biến đổi Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của cáctích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khác nhau Thiết lậpcác bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với các tích chập tương ứng

Định nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với haiphép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau

f ∗

1 k
(x) = 1

π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

θ1(x, u, v)f (u)k(v)dudv, (1.1)trong đó

1 k
(x) ∈Ac, và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval

f ∗

1 k
(x) = Fc

Fcf
(y) Lk
(y)(x), ∀x > 0 (1.3)Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau

Fc f ∗

1 k
(y) = Fcf
(y) Lk
(y), ∀y > 0 (1.4)

Bổ đề 1.1.1 Nếu k(x) ∈ L1(R+), thì Lk
(y) ∈ Ac

Định lý 1.1.2 Giả sử rằng f (x), k(x) ∈ L1(R+) Khi đó đối với tích chập

f ∗

2 k
(x) = 1

π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

πf (0)

Z ∞ 0

yk(y)

x2 + y2 dy (1.9)Định nghĩa 1.1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0)của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine vàLaplace được định nghĩa như sau

f ∗γ

1 k
(x) = 1

π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

θ1(x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, (1.10)trong đó θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2)

Định lý 1.1.4 Giả sử f (x), k(x) ∈ L1(R+) Khi đó, tích chập suy rộng

Fcf
(y) Lk
(y), ∀y > 0 (1.12)

Ngoài ra, tích chập suy rộng f ∗γ

1 k
(x) cũng thuộc C0(R+)

Định lý 1.1.5 (Định lý kiểu Titchmarch) Cho hai hàm số liên tụck(x) ∈ L1(R+) và f (x) ∈ L1(R+, eαx) (α > 0) Nếu f ∗γ

1 k
(x) = 0, ∀x > 0thì hoặc f (x) = 0, ∀x > 0 hoặc k(x) = 0, ∀x > 0

1 k
(x) tồn tại, liên tục, bị chặn trong Lα,β

Nhận xét 1.1.2 Trong tích chập suy rộng ∗γ

1
, nếu thay thế nhân

θ1(x, u, v + µ) bởi θ2(x, u, v + µ) được xác định như (1.5), thì ta nhậnđược tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace ∗γ

Z ∞ 0

θ2(x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, (1.15)

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fs f ∗γ

2 k
(y) = e−µy Fsf
(y) Lk
(y), ∀y > 0, f, k ∈ L1(R+) (1.16)

sine-Laplace với hàm trọng

Định nghĩa 1.2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = − sin y củahai hàm f (x) và k(x) đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine,Fourier sine và Laplace được định nghĩa như sau

f ∗γ

3 k
(x) = 1

2π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

θ2(x − 1, u, v) − θ2(x + 1, u, v)f (u)k(v)dudv,

(1.17)với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.5)

Ta đặt H(R+) =

n

f (x) : Lf
(y) ∈ L2(R+)

o

Định lý 1.2.1 Giả sử f (x) ∈ L2(R+) và k(x) ∈ H(R+) Khi đó, tích chậpsuy rộng f ∗γ

3 k
(x) thuộc L2(R+) thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval

Định nghĩa 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = −e−µysin y(µ > 0) của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân Fouriercosine, Fourier sine và Laplace được định nghĩa như sau

f ∗γ

5 k
(x) = 1

2π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

θ2(x − 1, u, v + µ)

− θ2(x + 1, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, (1.20)với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.5)

Định lý 1.2.2 Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian L1(R+).Khi đó, tích chập suy rộng f ∗γ

5 k
(x) thuộc không gian L1(R+), và ta cóbất đẳng thức chuẩn

ở đó C = (πµ2 )1/p.β−α+1r Γ1/r(α + 1) với Γ là hàm Gamma Euler

Ngoài ra, nếu f (x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) thì tích chập suy rộng f ∗γ

5 k
(x)thuộc C0(R+), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) và đẳng thức kiểu

Định lý 1.2.4 Cho α > −1, 0 < β ≤ 1, p > 1, q > 1, r ≥ 1 thỏa mãn

1

p + 1q = 1 Khi đó, nếu các hàm f (x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ Lq(R+, e(q−1)x)thì tích chập f ∗γ

5 k
(x) tồn tại, liên tục và bị chặn trong Lα,β

r (R+) Hơnnữa, ta có bất đẳng thức chuẩn

Z ∞ 0

k(v) f (u) ∗

F c

v + µ(v + µ)2 + u2
(x)dv

b) f ∗γ

2 k
(x) =

r2π

Z ∞ 0

k(v) f (u) ∗

FsFc

v + µ(v + µ)2 + u2
(x)dv

1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng

Fourier cosine-Laplace với hàm trọng

1.4.1 Định lý kiểu Young

Định lý 1.4.1 (Định lý kiểu Young) Cho p, q, r > 1, 1p+ 1q+ 1r = 2 và

f (x) ∈ Lp(R+), k(x) ∈ Lq(R+, (x + µ)q−1) (µ > 0), h(x) ∈ Lr(R+) Khi đó:

1 ), (.∗γ

3 ) và (.∗γ

5 ) Nhận được các kết quả chính sau:

• Các đánh giá chuẩn của toán tử tích chập trong một số không gianhàm

• Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểuTitchmarch

• Các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh cho tích chập suy rộngFourier cosine-Laplace với hàm trọng

Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và[4] trong Danh mục công trình đã công bố của luận án

Chương 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP

SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

Mục đích của chương này là thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổitích phân dựa trên các tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace và tíchchập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng đã đượcnghiên cứu trong Chương 1

suy rộng Fourier cosine-Laplace

Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng Fouriercosine-Laplace (1.1):

2.1.1 Định lý kiểu Watson

Định lý 2.1.1 Giả sử rằng k(x) ∈ L2(R+), hoặc k(x) ∈ H(R+) sao chotích phân (1.1) hội tụ như tích phân lặp Khi đó điều kiện cần và đủ đểphép biến đổi tích phân (2.1) unita trong L2(R+) là

(1 + y2) Lk
(y) = 1, y > 0 (2.2)Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và được xác định bởi

Mệnh đề 2.1.1 Giả thiết k(x) là hàm thỏa mãn các điều kiện của Định

lý 2.1.1, trong đó điều kiện (2.2) được thay bằng điều kiện sau

0 < C1 ≤ (1 + y2) Lk
(y) ≤ C2 < ∞ (2.4)Khi đó, trong L2(R+) ta có đánh giá bất đẳng thức chuẩn sau

C1kf kL2(R+) ≤ kgkL2(R+) ≤ C2kf kL2(R+) (2.5)Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và xác định bởi

Định lý 2.1.2 Giả sử k(x) có đạo hàm đến cấp hai, và k(x), k00(x) ∈

L2(R+) hoặc k(x), k00(x) ∈ H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ đối với k

cũng như đối với k00, và k(0) = 0 Khi đó, ta có đánh giá sau

Tkf
(x) = f ∗

1 (k + k00)
(x) − k0(0)f (x) (2.7)

suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng

Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến các tích chập suy rộng (1.17):

2.2.1 Định lý kiểu Watson

Định lý 2.2.1 Giả sử k1(x) ∈ H(R+) và k2(x) ∈ L2(R+), khi đó điều kiệncần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.8) unita trong L2(R+) là