Đề cương bài giảng học phần đại số cao cấp 1

- Ví dụ: Tập hợp ℕ cùng với phép toán + các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử trung lập là 0; Tập hợp ℕ cùng với phép toán x các số tự

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 Nửa nhóm và nhóm 1

1.1 Nửa nhóm 1

1.1.1 Phép toán hai ngôi 1

1.1.2 Nửa nhóm 2

1.2 Nhóm 3

1.2.1 Nhóm 3

1.2.2 Nhóm con 4

1.2.3 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương 6

1.2.4 Nhóm con Sylow 8

1.2.5 ðồng cấu nhóm 8

1.2.6 ðối xứng hoá 11

CHƯƠNG 2 Vành và trường 20

2.1 Vành và miền nguyên 20

2.1.1 Vành 20

2.1.2 Ước của không, miền nguyên 21

2.1.3 Vành con 21

2.1.4 Iñêan và vành thương 22

2.1.5 ðồng cấu 23

2.2 Trường 24

2.2.1 Trường 24

2.2.2 Trường con 24

2.2.3 Trường các thương 25

2.2.4 Trường hữu hạn 26

CHƯƠNG 3 Vành ña thức 31

3.1 Vành ña thức một ẩn 31

3.1.1 Vành ña thức một ẩn 31

3.1.2 Bậc của một ña thức 32

3.1.2 Phép chia với dư 33

3.1.3 Nghiệm của một ña thức 34

3.1.4 Phần tử ñại số và phần tử siêu việt 35

3.2 Vành ña thức nhiều ẩn 36

3.2.1 Vành ña thức nhiều ẩn 36

3.2.2 Bậc 38

3.2.3 ða thức ñối xứng 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

CHƯƠNG 1 Nửa nhóm và nhóm

Số tiết:15 (Lý thuyết: 12 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)

về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy trừu tượng khái quát

- Rèn luyện tính chính xác, tính cẩn thận, linh hoạt; tư duy trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa

1.1 Nửa nhóm

1.1.1 Phép toán hai ngôi

- ðịnh nghĩa 1: Ta gọi phép toán hai ngôi (hay gọi tắt là phép toán) trong một tập hợp X một

ánh xạ f từ X × X ñến X Giá trị f(x,y) gọi là cái hợp thành của x và y

- Chú ý: Người ta hay ký hiệu phép toán hai ngôi bằng hai dấu: “+” và “.” (ñược gọi là phép

cộng và phép nhân) Thông thường ñối với dấu “.” ta thường quy ước bỏ ñi

Sau ñây trong lý luận tổng quát, ta viết cái hợp thành của x và y là xy, nếu không có lý

do nào khiến ta phải viết khác

- Ví dụ:

1) Trong tập ℕ các số tự nhiên, phép cộng và nhân thông thường hai số tự nhiên là những phép toán hai ngôi

Trong tập hợp ℕ*= ℕ - {0}, phép hợp thành x y của x và y là một phép toán hai ngôi

2) Trong tập ℤ các số nguyên, phép trừ hai số nguyên thông thường là một phép toán hai ngôi, nhưng trong tập ℕ các số tự nhiên phép trừ hai số tự nhiên thông thường không là một phép toán hai ngôi

- ðịnh nghĩa 2: Một bộ phận A của X gọi là ổn ñịnh ñối với phép toán hai ngôi trong X nếu

và chỉ nếu xy thuộc A với mọi x, y ∈ A

Phép toán hai ngôi * xác ñịnh trong bộ phận ổn ñịnh A bởi quan hệ x*y = xy với mọi x,y ∈A gọi là cái thu hẹp vào A của phép toán hai ngôi trong X Hay * là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán hai ngôi “.” của X Ta thường ký hiệu phép toán cảm sinh như phép toán của X

- ðịnh nghĩa 3: Một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X gọi là kết hợp nếu và chỉ nếu ta

có: (xy)z= x(yz) với mọi x,y,z ∈ X; gọi là giao hoán nếu: xy = yx với mọi x,y ∈ X

- Ví dụ: Phép nhân, phép cộng trong ℕ là kết hợp, giao hoán; nhưng phép mũ hóa trong ℕ

không kết hợp, không giao hoán

- ðịnh nghĩa 4: Giả sử cho một phép toán hai ngôi trong tập X Một phần tử e của X ñược

gọi là ñơn vị trái của phép toán hai ngôi trong X nếu và chỉ nếu:

ex=x , với mọi x∈X Tương tự, một phần tử e của X ñược gọi là ñơn vị phải của phép toán hai ngôi nếu và chỉ nếu:

xe = , với mọi x x ∈X Trong trường hợp một phần tử e của X vừa là phần tử ñơn vị trái, vừa là phần tử ñơn vị phải thì e gọi là phần tử ñơn vị (hay phần tử trung lập) của phép toán hai ngôi

- Ví dụ: Trong ví dụ 1) ở trên, phần tử 0 là phần tử trung lập của phép cộng trong ℕ , phần tử

1 là phần tử ñơn vị của phép nhân trong ℕ

- ðịnh lý 1: Nếu một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X có một ñơn vị trái e’ và một ñơn

vị phải e’’, thì e’= e’’

Hệ quả: Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung lập

1.1.2 Nửa nhóm

- ðịnh nghĩa 5:

- Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp ñã cho trong X

- Một nửa nhóm X có phần tử trung lập ñược gọi là một vị nhóm

- Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán

- Một bộ phận ổn ñịnh A của nửa nhóm X, cùng với phép toán cảm sinh trên A ñược gọi

là nửa nhóm con A của nửa nhóm X

- Ví dụ: Tập hợp ℕ cùng với phép toán + các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa

nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử trung lập là 0; Tập hợp ℕ cùng với phép toán x các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử ñơn vị là 1

- Chú ý: Cho nửa nhóm X :

- Ta ký hiệu giá trị chung của hai vế của ñẳng thức:

(xy)z = x(yz) bằng ký hiệu duy nhất xyz, gọi là tích của ba phần tử x, y, z lấy theo thứ tự ñó

- ðịnh nghĩa 6: Trong một nửa nhóm X, lũy thừa n (n là một số tự nhiên khác 0) của một

phần tử a ∈X là tích của n phần tử ñều bằng a, kí hiệu a n

- Từ ñịnh lý 2, ta có quy tắc:

a m a n = a m+n , (a m ) n = a mn

- Trong trường hợp phép toán hai ngôi trong X ñược ký hiệu là + thì tổng của n phần tử ñều bằng a gọi là bội của a, ký hiệu na Quy tắc trên ñược viết thành:

ma + na = (m+n)a, n(ma)= (nm)a

- ðịnh lý 3: Trong một nửa nhóm giao hoán X, tích:

2) Tập hợp ( )P X các bộ phận của một tập X là một vị nhóm giao hoán với mỗi phép toán hai

ngôi là phép giao hai tập hợp và phép hợp hai tập hợp

(ii) Với mọi x∈X, có một phần tử x’ sao cho: x’x = xx’ = e

(phần tử x’ gọi là phần tử ñối xứnghay nghịch ñảo của x) Như vậy, nhóm là một vị nhóm mà mỗi phần tử ñều có nghịch ñảo

* Nếu X là tập hợp hữu hạn thì ta gọi X là một nhóm hữu hạn, số phần tử của nhóm X ñược gọi là cấp của nhóm X

* Nếu phép toán hai ngôi trong X giao hoán thì X ñược gọi là nhóm giao hoán hay nhóm abel

- Ví dụ:

1) Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép toán cộng thông thường các số nguyên là một nhóm, phần tử trung lập là 0, ta gọi là nhóm cộng các số nguyên

2) Tập hợp các số hữu tỉ khác 0 cùng với phép nhân thông thường các số hữu tỷ là một nhóm,

phần tử ñơn vị là 1, gọi là nhóm nhân các số hữu tỷ khác 0

3) Nửa nhóm cộng các số tự nhiên ℕ không là một nhóm, nửa nhóm nhân các số nguyên Z không là một nhóm

4) Tập hợp S n các phép thế của {1, 2, …, n} cùng với tích các phép thế lập thành một nhóm

hữu hạn, không giao hoán với mọi n≥ 0

Ngoài các tính chất của nửa nhóm, nhóm còn có các tính chất sau mà chứng minh của chúng ñược xem như các bài tập:

- ðịnh lý 1: Mỗi phần tử của nhóm chỉ có một phần tử ñối xứng

- Chú ý:

+ Nếu phép toán hai ngôi của nhóm ký hiệu là dấu (dấu +) thì phần tử ñối xứng của x ký hiệu là x -1 (-x) gọi là phần tử nghịch ñảo (phần tử ñối) của x

* Như vậy, ta ñã ñịnh nghĩa ñược aλ với mọi số nguyên λ Ta vẫn có hai tính chất:

a aλ µ =aλ µ+

( )aλ µ =aλµ, với mọi ,λ µ∈ Z

- ðịnh lý 5: Một nửa nhóm X là một nhóm nếu và chỉ nếu hai ñiều kiện sau ñược thỏa mãn:

(i) X có một ñơn vị trái e

(ii) Với mọi x∈X , có một x'∈X sao cho x x' = e

- Chú ý: Ta cũng ñược ñịnh lý tương tự nếu thay (i) và (ii) bởi phần tử ñơn vị phải và nghịch

ñảo phải

- ðịnh lý 6: Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm nếu và chỉ nếu các phương trình: ax = b

và ya = b có nghiệm trong X với mọi a b, ∈X

+ Tập con {1,-1} là 1 bộ phận ổn ñịnh của nhóm nhân Z , nhưng lại không là 1 nhóm con của nhóm nhân Z

- ðịnh lý 7: Một bộ phận của một nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các ñiều

kiện sau là thỏa mãn:

(i) Với mọi x y, ∈A thì xy ∈ A

(ii) e ∈ , với e là phần tử trung lập của X A

(iii) Với mọi x∈A x, −1∈A

- Hệ quả: Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X Khi ñó, các ñiều sau là tương

2) Cho nhóm con X, bộ phận A={ ,aλ λ∈ Z gồm các lũy thừa nguyên của phần tử a X} ∈ là

một nhóm con của nhóm X (ví dụ 1 là trường hợp ñặc biệt của ví dụ 2)

3) Bộ phận {e} chỉ gồm một phần tử trung lập của nhóm X, và bộ phận X là hai nhóm con của nhóm X Người ta gọi chúng là những nhóm con tầm thường của nhóm X

- ðịnh lý 8: Giao một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X

- Nhận xét: Giả sử U là một bộ phận của nhóm X, khi ñó U chứa trong ít nhất một nhóm con

của X, giao tất cả các nhóm con chứa U của nhóm X là một nhóm con của X, và là nhóm con nhỏ nhất của X chứa U

- ðịnh nghĩa 3: Giả sử U là một bộ phận của nhóm X Nhóm con A nhỏ nhất của X chứa U

gọi là nhóm con sinh ra bởi U Trong trường hợp A=U thì ta nói U là hệ sinh của X, hay X ñược sinh ra bởi U

Nhận xét: Nếu U ={ },a a∈X thì dễ dàng thấy nhóm con A sinh ra bởi U có các phần tử là lũy thừa nguyên của a Ta gọi A là nhóm con sinh ra bởi a

- ðịnh nghĩa 4: Một nhóm X gọi là xyclic nếu và chỉ nếu X ñược sinh ra bởi một phần tử

a∈X Phần tử a ñược gọi là phần tử sinh của X

Như vậy, theo nhận xét trên nhóm X là xyclic nếu và chỉ nếu các phần tử của nó là các lũy thừa aλ,λ∈ Z , của một phần tử a X∈

Ta xét A là nhóm con của S3 sinh ra bởi f 1

Lập luận tương tự, ta ñược:

+ { , }e f3 là nhóm con sinh ra bởi f3

+ { , }e f4 là nhóm con sinh ra bởi f4

+ { , }e f5 là nhóm con sinh ra bởi f5

+ Nhóm con sinh ra bởi f2 trùng với nhóm con sinh ra bởi f1

Vậy, S 3 không ñược sinh ra bởi bất kỳ phần tử nào của nhóm nên S 3 không là nhóm xyclic,

còn các nhóm con của nhóm S 3 kể trên là những nhóm con xyclic

2) Nhóm cộng các số nguyên Z là nhóm xyclic với phần tử sinh là 1 và -1 Ngoài hai phần tử sinh này, nhóm không có phần tử sinh nào khác Ta thấy: Z là nhóm vô hạn, còn các nhóm ở

ví dụ 1 là hữu hạn

- Nhận xét: Giả sử X là một nhóm, và e là phần tử trung lập của X Khi ñó:

+ Nếu không có một số nguyên dương nào sao cho a n = e thì nhóm con sinh ra bởi a là vô

hạn

+ Ngược lại, gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho: a m = e, lập luận tương tự ví dụ trên ta có nhóm con sinh ra bởi a có m phần tử là: a 0 = e; a 1

= a, a 2 ,…, a m-1

- ðịnh nghĩa 5: Cho a là phần tử bất kỳ của nhóm con X và A là nhóm con sinh ra bởi a

Phần tử a ñược gọi là có cấp vô hạn khi A vô hạn; trong trường hợp này không có một số nguyên dương nào sao cho a n = e Phần tử a ñược gọi là có cấp m nếu A có cấp m; trong trường hợp này m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho a m =e

1.2.3 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương

- Giả sử A là một nhóm con của nhóm X, ta ñịnh nghĩa quan hệ tương ñương ∼ trong tập X như sau: với mọi ,x y∈X , x∼ y nếu và chỉ nếu x y−1 ∈ A

- Bổ ñề 1: Quan hệ ∼trong X là một quan hệ tương ñương

- Nhận xét:

+ Do ∼là một quan hệ tương ñương trên X, nên ta xác ñịnh ñược tập thương /X ∼ Với mỗi

phần tử x X∈ , ta kí hiệu lớp tương ñương chứa x là x

+ Ta kí hiệu bộ phận của X gồm các phần tử có dạng xa với a chạy khắp A là xA, tức

xA= xa a∈A

- Bổ ñề 2: x=xA

- ðịnh nghĩa 6: Các bộ phận xA gọi là các lớp trái của nhóm con A trong X Tương tự, các

lớp phải Ax của nhóm con A trong X bộ phận mà các phần tử của nó có dạng là ax với a∈A

- Nhận xét: Cũng như với các lớp trái, ta có thể chứng minh các lớp phải của A là các lớp tương ñương theo quan hệ tương ñương: x∼ y⇔xy−1∈A

* Từ các bổ ñề 1, 2 và các tính chất của tập thương ta suy ra:

- Hệ quả : Giả sử x và y là hai phần tử tùy ý của nhóm X, thế thì:

(i) xA = yA nếu và chỉ nếu x y−1 ∈ A

(ii) xA∩yA = ∅ nếu và chỉ nếu x y−1 ∉ A

Tập thương của X trên quan hệ tương ñương ∼gọi là tập thương của nhóm X trên nhóm A, kí hiệu là X/A Các phần tử của X/A là các lớp trái xA

- ðịnh lý 9 (ðịnh lý Lagrănggiơ): Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp của mọi

nhóm con của nó

- Vì mọi phần tử x của nhóm X sinh ra một nhóm con có cấp bằng cấp của x, nên:

- Hệ quả 1: Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn X là ước cấp của X

- Vì mọi phần tử x e ≠ của một nhóm X ñều sinh ra một nhóm có cấp không nhỏ hơn 2, nên:

- Hệ quả 2: Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố ñều là xyclic ñược sinh ra bởi một phần tử

bất kỳ khác phần tử trung lập của nhóm

- ðịnh nghĩa 7: Một nhóm con A của X gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu x ax−1 ∈A với mọi

,

a∈A x∈X

- ðịnh lý 10: Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc thì:

(i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X /A X× /A ñến

/

X A

(ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi:( ,xA yA)֏xyA

là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A

- ðịnh lý sau ñây cho ta biết ñịnh nghĩa tương ñương của nhóm con chuẩn tắc

- ðịnh lý 11: Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X Các ñiều sau là tương ñương:

(a) A là nhóm con chuẩn tắc

(b) xA= Ax với mọi x ∈ A

- Nhận xét: Do ñịnh lý trên, nên nếu A là chuẩn tắc thì không phân biệt lớp trái, lớp phải của

A và gọi chung là một lớp của A

- Ví dụ:

1) Trong một nhóm con X, các nhóm con tầm thường {e} và X là các nhóm con chuẩn tắc

2) Trong một nhóm abel, mọi nhóm con là chuẩn tắc

3) Xét nhóm cộng các số nguyên Z và nhóm con nZ của Z gồm các số nguyên là bội nguyên của n ñã cho Vì nhóm cộng các số nguyên là abel, nên nZ là chuẩn tắc, do ñó các

lớp trái và các lớp phải của nZ là trùng nhau Các lớp của nZ ñược ký hiệu là x+nZ,x∈Z

Quan hệ tương ñương xác ñịnh bởi nZ là:

x∼ y⇔ − ∈x y nZ⇔ −x y là bội của n

Quan hệ này là quan hệ ñồng dư môñun n

Vậy, nhóm thương / nZ Z gồm n lớp tương ñương:

/n ={0+n ,1+n , , (n−1)+n }

gọi là nhóm cộng các số nguyên môñun n Ký hiệu x n+ Z bằng x

- Lấy n=4, hãy lập bảng cộng của 4ℤ

Vì các lớp trái của A 3 là các lớp tương ñương, nên chúng thành lập một sự chia lớp của S 3, vậy

ngoài lớp trái eA 3 ra ta chỉ còn một sự chia lớp trái gồm các phần tử còn lại f 3 , f 4 , f 5 Ta suy ra

ðịnh nghĩa 8 Giả sử p là một số nguyên tố

(i) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p

(ii) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G vừa là một p- nhóm

(iii) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm con Sylow của G nếu H là một p- nhóm con

ðể chứng minh ñịnh lý này ta cần bổ ñề sau:

Bổ ñề 3 Giả sử G là một nhóm abel hữu hạn cấp m và p là một số nguyên tố chia hết m Khi

ñó G chứa một nhóm con cấp p

1.2.5 ðồng cấu nhóm

- ðịnh nghĩa 9: Một ñồng cấu nhóm là một ánh xạ f từ một nhóm X ñến một nhóm Y sao cho:

f(ab)=f(a)f(b) với mọi a b, ∈X Nếu X = Y thì ñồng cấu f gọi là một tự ñồng cấu của X

Một ñồng cấu mà là một ñơn ánh thì gọi là ñơn cấu, một ñồng cấu toàn ánh gọi là một toàn cấu, một ñồng cấu song ánh gọi là một ñẳng cấu, một tự ñồng cấu song ánh gọi là một tự ñồng cấu

Nếu f X: →Y là một ñẳng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y thì ta viết f :X → Y

Trong trường hợp X, Y là những nửa nhóm ta cũng ñịnh nghĩa ñồng cấu nửa nhóm tương

là một ñồng cấu gọi là ñơn cấu chính tắc

2) Ánh xạ ñồng nhất của một nhóm X là một ñồng cấu gọi là tự ñẳng cấu ñồng nhất của X 3) Xét ánh xạ từ nhóm nhân các số thực dương ℝ+ ñến nhóm cộng các số thực ℝ :

log :ℝ+ →ℝ

x֏logx

là một ñồng cấu nhóm ðồng cấu này còn là một song ánh, nên là một ñẳng cấu

4) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X Ánh xạ:

6) Nếu f X: →Y là một ñẳng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, thì ánh xạ ngược

:

gf X →Z cũng là một ñồng cấu ðặc biệt, tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu

- ðịnh lý 14: Giả sử f X: →Y là một ñồng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y

Khi ñó

(i) f(e X )=e Y

(ii) f(x -1 )=(f(x)) -1 với mọi x∈X

- ðịnh lý 15: Giả sử f :X →Y là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, A là một nhóm con của X, B là một nhóm con chuẩn tắc của Y Khi ñó

(i) f(A) là một nhóm con của Y

(ii) f -1 (B) là một nhóm con chuẩn tắc của X

- Hệ quả: Giả sử f :X →Y là một ñồng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y Thế thì Imf là nhóm con của Y và Kerf là nhóm con chuẩn tắc của X

- ðịnh lý 16: Giả sử f :X →Y là một ñồng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y Thế thì: (i) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf= Y

(ii) f là một ñơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf= {e X }

(ii) ðồng cấu f là một ñơn cấu và Imf = f X( )

- Hệ quả: Với mọi ñồng cấu f :X →Y từ một nhóm X ñến nhóm Y, ta có:

+ = + = nên các phần tử của ( )f ℤ là căn

bậc n của ñơn vị cùng với phép nhân các số phức là một nhóm Xét Kerf, là bộ phận của ℤ gồm các số nguyên k sao cho

Ta ñã biết trong một nhóm, ñẳng thức ab = ac ( hay ba=ca ) kéo theo ñẳng thức b=c

ðiều này do sự tồn tại phần tử ñối xứng a-1 của a Nhưng nếu xét một nửa nhóm, thì ab = ac chưa chắc ñã kéo theo b=c; ví dụ trong nửa nhóm nhân các số tự nhiên ℕ , ta có ñẳng thức

0.2=0.3, nhưng 2≠3 Từ ñây ta có khái niệm:

- ðịnh nghĩa 11: Cho một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi trong X Một phần tử

a∈X ñược gọi là phần tử chính quy bên trái (bên phải) nếu với mọi b,c ∈X sao cho ab=ac (ba=ca) thì b=c, a gọi là chính quy nếu nó chính quy bên trái và chính quy bên phải

- ðịnh lý 18: Giả sử X là một nửa nhóm giao hoán có phần tử trung lập e và X * là bộ phận của X gồm những phần tử chính quy của X Có một vị nhóm giao hoán X và một ñơn cấu f từ

X ñến X có các tính chất sau:

1) Các phần tử của f(X * ) có ñối xứng trong X

2) Các phần tử của X có dạng f(a)f(b) -1 với a∈X, b∈X *

- Hệ quả: Nếu tất cả các phần tử của X ñều chính quy thì tất cả các phần tử của X ñều có

ñối xứng, do ñó X là một nhóm

- Ứng dụng:

1) Số nguyên: Ta lấy X là vị nhóm các số tự nhiên ℕ , phép toán là phép toán cộng thông

thường: mọi phần tử của X là chính quy nên X là một nhóm Ta ký hiệu X là ℤ ; các phần

tử của ℤ gọi là số nguyên; phép toán trong ℤ ñược xây dựng như trong ñịnh lý 17, gọi là phép cộng các số nguyên và cũng ký hiệu là + như phép cộng các số tự nhiên Mỗi phần tử

của ℤ ñược viết dưới dạng m – n với , m n ∈ ℕ Nếu m≥ ta có n m− =n p p, là số tự nhiên

sao cho m=n +p Nếu m<n, ta có m - n= -p, p là số tự nhiên sao cho m+p=n Vậy các phần tử

của ℤ là … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 ……

2) Số hữu tỉ dương: Lấy *

ℕ tập hợp các số tự nhiên khác 0 làm X , phép toán là phép nhân thông thường các số tự nhiên; mọi phần tử của X là chính quy nên X là một nhóm Trong trường hợp này X ký hiệu là +

ℚ và các phần tử của nó ñược gọi là tập hợp các số hữu tỷ dương Mỗi phần tử của ℚ+ viết dạng 1

pq− với p q, ∈ ℕ , ta còn quy ước viết * pq 1 p

= ∈ ℕ Phép toán trên ℚ+ ñược xác ñịnh như sau:

Tập hợp X trong hai ñịnh lý sau chỉ một vị nhóm nhân giao hoán, và X * là bộ phận các

phần tử chính quy của X, ta giả thiết X * =X Theo hệ quả của ðịnh lý 17, ta có X là một nhóm, mà các phần tử có dạng ab -1 với a,b X∈ (ðịnh lý 17)

- ðịnh lý 19: Nếu với mọi a,b∈X , hoặc phương trình ax=b có nghiệm trong X, hoặc phương trình bx=a có nghiệm trong X; thế thì

Từ hai ñịnh lý trên ta thấy rằng:

Với mọi a,b∈ ℕ thì phương trình a+x=b có nghiệm trong ℕ , hoặc phương trình b+x=a có nghiệm trong ℕ Cho nên:

{ 1, 2, 3, , n, }

Trong khi ñó, với mọi a,b *

∈ ℕ , không phải bao giờ ta cũng có ax=b có nghiệm trong

*) Tài liệu học tập

1 Hoàng Xuân Sính (1998), ðại số ñại cương, NXB GD

2 Bùi Huy Hiền (1996), Bài tập ñại số ñại cương, NXBGD

3 Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), ðại số ñại cương, NXB GD

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

Phần: Nửa nhóm

Bài 1.1: Giả sử a và b là hai phần tử của một nửa nhóm X sao cho ab=ba Chứng minh rằng

(ab) n =a n b n với mọi số tự nhiên n > Nếu a và b là hai phần tử sao cho (ab)1 2 =a 2 b 2 thì ta có

suy ra ñược ab=ba hay không?

Bài 1.2: Gọi X là tập hợp thương của ℤ trên quan hệ ñồng dư mod n (chI, ð2, 2, ví dụ) a) Với mỗi cặp (C(a),C(b)) ta cho tương ứng lớp tương ñương C(a+b) Chứng minh như vậy

ta có một ánh xạ từ X X× ñến X

b) Chứng minh X là một vị nhóm giao hoán ñối với phép toán hai ngôi xác ñịnh ở a)

c) Nếu với mỗi cặp (C(a),C(b)) ta cho tương ứng lớp C(ab), chứng minh lúc ñó X cũng là một

vị nhóm giao hoán

Bài 1.3: Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý Xét ánh xạ:

X×X →X

( , )x y ֏x Chứng minh X là một nửa nhóm ñối với phép toán hai ngôi trên? Nửa nhóm ñó có giao hoán

hay không? có phần tử ñơn vị hay không?

Bài 1.4: Gọi X là tập hợp thương *

×

ℤ ℕ trên quan hệ tương ñương S xác ñịnh bởi:

aSb khi và chỉ khi ad=bc (chI, §2, bài tập 2) Ta ký hiệu các phần tử C(a,b) của X bằng a/b,

b) Chứng minh X là một vị nhóm giao hoán ñối với phép toán hai ngôi ở a)

c) Nếu với mỗi cặp (a/b,c/d) ta cho tương ứng lớp tương ñương ac/bd Chứng minh lúc ñó X

3) Tập hợp các số thực với phép cộng

4) Tập hợp các số phức với phép cộng

5) Tập hợp các số nguyên là bội của một số nguyên m với phép cộng

6) Tập hợp các số thực dương với phép nhân

7) Tập hợp các số thực khác không với phép nhân

8) Tập hợp các số phức có môñun bằng 1 với phép nhân

9) Tập hợp các số phức với phép nhân

10) Tập hợp các số hữu tỷ có dạng 2n , n ∈ ℤ với phép nhân

11) Tập hợp các căn bậc n của 1 với phép nhân

19) Tập hợp các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép nhân ma trận

20) Tập hợp các ma trận vuông cấp n có ñịnh thức bằng 1 với phép nhân ma trận 21) Tập hợp các ma trận vuông cấp n có ñịnh thức bằng 1± với phép nhân ma trận 22) Tập hợp các ña thức (có hệ số thực) với phép cộng các ña thức

23) Tập hợp gồm ña thức 0 và các ña thức có bậc không quá n ( n là số nguyên n≥ ) 0với phép cộng ña thức

Bài 1.8: Chứng minh rằng mọi nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhóm nếu và chỉ nếu

luật giản ước thực hiện ñược với mọi phần tử của X

Bài 1.9: Cho X là một tập hợp tuỳ ý Ký hiệu Hom(X , X) là tập hợp các ánh xạ từ X ñến X

Với phép nhân ánh xạ Hom(X, X) có trở thành một nhóm hay không? Chứng minh rằng bộ phận S(X) của Hom(X, X) gồm các song ánh từ X ñến X là một nhóm với phép nhân ánh xạ Tìm cấp của S(X) trong trương hợp X có n phần tử

Bài 1.10: Cho X là một nhóm với phần tử ñơn vị là e Chứng minh rằng nếu với mọi a X∈ ta

Chứng minh rằng X là một nhóm khi và chỉ khi với mọi a X∈ ta có aX=Xa=X

Bài 1.13: Chứng minh mọi bộ phận khác rỗng ổn ñịnh của một nhóm hữu hạn X là một nhóm

con của X

Bài 1.14: Trong các nhóm ở bài 1.7, nhóm nào là nhóm con của nhóm nào?

Bài 1.15: Chứng minh rằng trong nhóm cộng các số nguyên ℤ , một bộ phận A của ℤ là một

nhóm con của ℤ nếu và chỉ nếu A có dạng mℤ,m∈ℤ

Bài 1.16: Trong nhóm phép thế S 4 , chứng minh rằng các phép thế sau: e, a=(1 2) (3 4), b=(1 3) (2 4) và c=(1 4) (2 3 ) thành lập một nhóm con của S 4 Nhóm con ñó có aben không?

Bài 1.17: Cho Y là một bộ phận của tập hợp X Chứng minh rằng bộ phận S(X,Y) của S(X)

gồm các song sánh :f X →X sao cho f(Y)= Y là một nhóm con của S(X) (bài tập 1.9) Tìm

số phần tử của S(X) trong trường hợp X có n phần tử và Y có một phần tử

Bài 1.18: Cho A và B là hai bộ phận của một nhóm X Ta ñịnh nghĩa

d) Nếu A là một nhóm con của X thì A -1 =A

Bài 1.19: Cho X là một nhóm và A là một bộ phận khác rỗng của X Chứng minh A là một

nhóm con của nhóm X khi và chỉ khi AA -1 =A

Bài 1.20: Cho A là một nhóm con của nhóm X và a X∈ Chứng minh aA là một nhóm con của X khi và chỉ khi a A∈

Bài 1.21: Trong một nhóm X chứng minh rằng nhóm con sinh ra bởi bộ phận ∅ là nhóm con

tầm thường {e} với e là phần tử trung lập của nhóm

Bài 1.22: Giả sử S là bộ phận khác rỗng của một nhóm X Chứng minh rằng các phần tử của

nhóm con sinh ra bởi S là các phần tử có dạng x x1 2 x với n x x1, , ,2 x n∈ hoặc S ∈S−1 Tìm nhóm con của nhóm nhân các số hữu tỷ dương sinh ra bởi bộ phận các số nguyên tố

Bài 1.23: Chứng minh rằng mọi nhóm con của nhóm xyclic là một nhóm xyclic

Bài 1.24: Cho X là một nhóm với phần tử ñơn vị là e, a X∈ có cấp là n Chứng minh rằng

a k = e khi và chỉ khi k chia hết cho n

Bài 1.25: Cho a,b là hai phần tử tuỳ ý của một nhóm Chứng minh ab và ba có cùng cấp Bài 1.26: Giả sử X là một nhóm xyclic cấp n và a X∈ là một phần tử sinh của nó Xét phần

tử b = a k Chứng minh rằng:

a) Cấp của b bằng n/d, ở ñây d là UCLN của k và n

b) b là phần tử sinh của X khi và chỉ khi k nguyên tố với n (từ ñó suy ra số phần tử sinh của X)

Bài 1.27: Giả sử a,b là hai phần tử của một nhóm, và giả sử ta có cấp của a là r, cấp của b là

s, với r,s nguyên tố cùng nhau, và thêm nữa ab = ba Chứng minh rằng ab có cấp bằng rs

Bài 1.28: Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp vô hạn ñều có vô hạn nhóm con

Bài 1.29: Cho X và Y là những nhóm xyclic có cấp m và n Chứng minh rằng X Y× là một

nhóm xyclic khi và chỉ khi m, n nguyên tố cùng nhau

Bài 1.30: Cho A là một nhóm con của một nhóm X Giả sử tập hợp thương X/A có hai phần tử

Chứng minh rằng C(X) là một nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X) là một

nhóm con chuẩn tắc của X

Bài 1.34: Tìm tất cả các nhóm con và nhóm con chuẩn tắc của nhóm các phép thế S 3

Bài 1.35: Giả sử X là một nhóm, x và y là hai phần tử của X Ta gọi là hoán tử của x và y phần

tử xyx -1

y -1 Chứng minh rằng nhóm con A sinh ra bởi tập hợp các hoán tử của tất cả các phần

tử x, y của X là một nhóm con chuẩn tắc của X gọi là nhóm các hoán tử, và nhóm thương X/A

là aben

Bài 1.36: Chứng minh rằng muốn cho một nhóm thương X/H của một nhóm X la aben, ắt có

và ñủ là nhóm con chuẩn tắc H chứa nhóm các hoán tử của X

Bài 1.37: Tìm nhóm các hoán tử của S 3

Bài 1.38: Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp bé hơn hoặc bằng 5 là aben

Bài 1.39: Hãy tìm các nhóm thương của:

a) Nhóm công các số nguyên là bội của 3 trên nhóm con các số nguyên là bội của 15

b) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 4 trên nhóm con các số nguyên là bội của 24

c) Nhóm nhân các số thực khác 0 trên nhóm con các số thực dương

Bài 1.40: Cho D là tập hợp các ñường thẳng ∆ trong mặt phẳng có phương trình là y=ax+b

Trong ñó ∆ ∆ ∆ lần lượt có phương trình là: y=a1, 2, 1 x+b 1 , y=a 2 x+b 2 , y=a 1 a 2 x+( b 1 + b 2 ) xác

ñịnh một phép toán hai ngôi trong D

a) Chứng minh D là một nhóm với phép toán trên

b) Ánh xạ:

*

: D a

∆

ℝ

֏trong ñó ℝ*là nhóm nhân các số thực khác 0, và ∆ là ñường thẳng có phương trình y=ax+b là

một ñẳng cấu

a) Chứng minh p 1 , p 2 là những toàn cấu Xác ñịnh Ker p 1 và Ker p 2

b) Chứng minh q 1 , q 2 là những ñơn cấu Xác ñịnh Im q 1 và Im q 2 Từ ñó suy ra G 1 ñẳng cấu

với A, G 2 ñẳng cấu với B

c) Chứng minh A và B là những nhóm con chuẩn tắc và AB = BA = G

Bài 1.42: Chứng minh mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp n ñều ñẳng cấu với nhau (ñẳng cấu với

nhóm cộng các số nguyên ñồng dư mod n)

Bài 1.43: Chứng minh mọi nhóm xyclic vô hạn ñều ñẳng cấu với nhau (ñẳng cấu với nhóm

Bài 1.45: Cho X và Y là hai nhóm xyclic có các phần tử sinh tương ứng là x và y và có cấp là s

và t

a) Chứng minh rằng quy tắc ϕ cho tương ứng với phần tử xα∈X phần tử ( )y k α∈ , trong Y

ñó k là số tự nhiên khác 0 cho trước, là một ñồng cấu khi và chỉ khi sk là bội của t

là một tự ñẳng cấu của nhóm X khi và chỉ khi X là aben

Bài 1.48: Cho X là một nhóm Chứng minh rằng tập hợp các tự ñẳng cấu của X cùng với phép

nhân ánh xạ là một nhóm

Bài 1.49: Giả sử X, G 1 , G 2 là những nhóm, G=G1×G2 và f X: →G g X1, : →G2 là những ánh xạ Xét ánh xạ:

:( ) ( ( ), ( ))

a) Chứng minh rằng X cùng với phép toán ñó lập thành một nhóm

b) Chứng minh rằng nhóm con A sinh ra bởi phần tử (1,0,0) là chuẩn tắc

c) Chứng minh rằng nhóm thương X/A ñẳng cấu với nhóm cộng các số phức có dạng a+ib với

,

a b∈ ℤ

Bài 1.51: Chứng minh rằng:

a) Nhóm cộng các số thực ñẳng cấu với nhóm nhân các số thực dương

b) Nhóm cộng các số phức có dạng a+ib với a,b nguyên ñẳng cấu với nhóm tích ×ℤ ℤ trong

a) Chứng minh f a là một tự ñẳng cấu của X, gọi là tự ñẳng cấu trong xác ñịnh bởi phần tử a

b) Chứng minh các tự ñẳng cấu trong lập thành một nhóm con của nhóm các tự ñẳng cấu của

a) Cấp của a X∈ chia hết cho cấp của f(a)

b) Cấp của X chia hết cho cấp của f(X)

Bài 1.54: Chứng minh rằng nhóm Y là ảnh ñồng cấu của một nhóm xyclic hữu hạn X khi và

chỉ khi Y là nhóm xyclic và cấp của nó chia hết cấp của X

Bài 1.55: Hãy tìm tất cả các ñồng cấu từ

trên trục thực và trục ảo Chứng minh rằng H là một nhóm con của ℂ*và nhóm thương ℂ*/H

ñẳng cấu với nhóm nhân U các số phức có môñun bằng 1

Bài 1.58: Chứng minh rằng nhóm thương ℝℤ( ℝ là nhóm cộng các số thực, ℤ là nhóm

cộng các số nguyên) ñẳng cấu với nhóm U (bài tập 1.57)

Bài 1.59: Gọi X là nhóm nhân các ma trận vuông cấp n không suy biến mà các phần tử là

CHƯƠNG 2 Vành và trường

Số tiết: 15 (Lý thuyết:12 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)

*) Mục tiêu:

- Cung cấp và giúp sinh viên hiểu các kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số: vành, trường, các phương pháp vận dụng các kiến thức này ñể giải toán Trên cơ sở ñó hiểu sâu hơn

về toán ở bậc phổ thông về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy

trừu tượng khái quát

- Vận dụng các kiến thức cơ bản vào giải bài tập, từ ñó giúp sinh viên nắm vững các kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số Trên cơ sở ñó hiểu sâu hơn về toán ở bậc phổ thông

về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy trừu tượng khái quát

- Rèn luyện tính chính xác, tính cẩn thận, linh hoạt; tư duy trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa

2.1 Vành và miền nguyên

2.1.1 Vành

- ðịnh nghĩa 1: Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi ñã cho trong X ký

hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các ñiều kiện sau ñược thoả mãn:

1) X cùng với phép cộng là một nhóm abel,

2) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm,

3) Phép nhân phân phối ñối với phép cộng: với các phần tử tuỳ ý x,y,z X∈ ta có

x(y + z)= xy +xz (y + z)x= yx +zx

- Phần tử trung lập của phép cộng ký hiệu là 0, gọi là phần tử không Phần tử ñối xứng

(với phép cộng) của phần tử x thì ký hiệu là -x và gọi là phần tử ñối của x

- Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói vành X là vành giao hoán

- Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử ñó gọi là phần tử ñơn vị của X, và thường ñược ký hiệu là e hay 1

- Ví dụ:

1) Tập hợp ℤ các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân thông thường lập thành một vành giao hoán có ñơn vị gọi là vành các số nguyên Tương tự ta cũng có vành các số hữu tỷ, vành các số thực, vành các số phức với phép cộng và nhân thông thường

2) Tập hợp

n

ℤ

ℤcác số nguyên mod n cùng với phép cộng và phép nhân các số nguyên mod

n là một vành giao hoán có ñơn vị, gọi là vành các số nguyên mod n

3) Cho X là một nhóm giao hoán mà phép toán ñược ký hiệu là phép cộng Tập hợp

( , )

E=Hom X X các tự ñồng cấu từ X vào X ñược trang bị hai phép toán như sau:

- Phép cộng: ( , )f g ֏ f +g((f +g x)( )= f x( )+g x( ))làm cho E là một nhóm cộng giao hoán với phần tử không là ánh xạ 0, xác ñịnh bởi 0(x)=0 với mọi x X∈ , phần tử ñối của f là –f xác ñịnh bởi (– f)(x)= – f(x) với mọi x X∈

(iii) x(– y)= (– x)y = – xy; (–x)( –y)= xy

2.1.2 Ước của không, miền nguyên

- ðịnh nghĩa 2: Giả sử X là một vành giao hoán Ta nói một phần tử a∈X là bội của một phần tử b∈X hay a chia hết cho b, ký hiệu a b ⋮ , nếu có c∈X sao cho a=bc; ta còn nói b là ước của a hay b chia hết a, ký hiệu b a|

Như vậy, theo ðịnh lý 1 ii), mọi phần tử x X∈ là ước của 0; nhưng do lạm dụng ngôn ngữ, người ta ñịnh nghĩa:

- ðịnh nghĩa 3: Phần tử a ≠ ñược gọi là ước của không, nếu có 0 b ≠ sao cho ab=0 0

- Ví dụ: Trong vành 6ℤ

ℤthì phần tử 2;3 là các ước của không, do 2.3 6 0= =

- Chú ý: Trong vành không có ước của không, mọi phần tử khác không ñều là chính quy Thật

vậy, quan hệ ab=ac tương ñương với quan hệ a(b - c)=0

- ðịnh nghĩa 4: Ta gọi là miền nguyên, một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có

ñơn vị và không có ước của 0

- Ví dụ: Vành các số nguyên ℤ là một miền nguyên

2.1.3 Vành con

- ðịnh nghĩa 5: Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X ổn ñịnh ñối với hai phép toán

trong X nghĩa là x + y ∈A , x.y∈A A là một vành con của vành X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành

- ðịnh lý 2: Giả sử A là một bộ phận ổn ñịnh của vành X Các ñiều sau là tương ñương:

(a) A là một vành con của X

(b) Với mọi x,y∈A , x + y ∈A , xy∈A ,– x ∈A

(c) Với mọi x,y∈A , x – y ∈A

- Ví dụ:

1) Bộ phận {0} chỉ gồm một phần tử 0 và bộ phận X là hai vành con của vành X

2) Bộ phận mℤ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một vành con

của vành các số nguyên ℤ

- ðịnh lý 3: Giao của một họ bất kỳ những vành con của một vành X là một vành con của

vành X

2.1.4 Iñêan và vành thương

- ðịnh nghĩa 6: Ta gọi là iñêan trái (iñêan phải) của một vành X, một vành con A của X thoả

mãn ñiều kiện xa∈A (ax∈A ) với mọi x∈X Một vành con A của X ñược gọi là một iñêan nếu nó vừa là iñêan trái vừa là iñêan phải của X

Từ ñịnh nghĩa ta suy ra:

- ðịnh lý 4: Một bộ phận A khác rỗng của một vành X là một iñêan của X nếu và chỉ nếu các

ñiều kiện sau là thoả mãn:

(1) a b − ∈ với mọi a,b A A ∈

(2) xa∈A và ax∈A với mọi a∈A và mọi x∈X

- Ví dụ:

1) Bộ phận {0} và bộ phận X là hai iñean của vành X

2) Bộ phận mℤ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một iñêan của vành các số nguyên ℤ

- ðịnh lý 5: Giao của một họ bất kỳ những iñêan của vành X là một iñêan của vành X là một

iñêan của X

Giả sử U là một bộ phận của một vành X Thế thì U chứa trong nó ít nhất một iñêan,

cụ thể là X Theo ðịnh lý 5, giao A của tất cả các iñêan của X chứa U là một iñêan của X, iñêan này ñược gọi là iñêan sinh bởi U; Nếu U ={ ; ; ; }a a1 2 a n thì A ñược gọi là iñêan sinh

bởi các phần tử a a1; ; ;2 a n Iñêan sinh bởi một phần tử gọi là iñêan chính

- ðịnh lý 6: Giả sử X là một vành giao hoán có ñơn vị và a a1; ; ;2 a n∈X Bộ phận A của X gồm các phần tử có dạng x a1 1+x a2 2+ +x a n nvới x x1; ; ;2 x n∈X là iñêan của X sinh bởi

1; ; ;2 n

a a a

Từ ñịnh nghĩa ta suy ra:

- ðịnh lý 7: Nếu X là một vành có ñơn vị và nếu A là một iñêan của X chứa ñơn vị của X thì

- ðịnh lý 8: Nếu A là một iñêan của vành X, thì:

(i) Lớp xy+A chỉ phụ thuộc vào các lớp x+A và y+A mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử ñại diện x, y của các lớp ñó

(ii) X/A cùng với hai phép toán

là một vành gọi là vành thương của X trên A

- Ví dụ: Vành thương của ℤ trên iñêan nℤ gọi là vành các số nguyên mod n Phép cộng và

là một ñồng cấu gọi là ñơn cấu chính tắc

2) Ánh xạ ñồng nhất của một vành X là một ñồng cấu gọi là tự ñẳng cấu ñồng nhất của X 3) Giả sử A là một iñêan của một vành X Ánh xạ

֏

là một ñồng cấu vành từ vành X ñến vành thương X/A ðồng cấu này ñược gọi còn là một toàn

cấu, và ñược gọi là toàn cấu chính tắc

Với 0 là phần tử không của vành Y là một ñồng cấu gọi là ñồng cấu không

Dưới ñây chúng ta ñưa ra các ñịnh lý tương tự như trong nhóm mà việc chứng minh tương tự

áp dụng kết quả trong nhóm

- ðịnh lý 9: Giả sử X, Y, Z là những vành, f X: →Y g Y, : →Z là những ñồng cấu vành Thế thì ánh xạ tích

:

gf X →Z cũng là một ñồng cấu ðặc biệt tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu