Đề cương bài giảng học phần đại số cao cấp 2

Các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch là các ước không thực sự của x, còn các ước khác của x là các ước thực sự của x... Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịc

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 Vành chính và vành Euclide 1

1.1 Vành chính 1

1.1.1 Tính chất số học trong vành 1

1.1.2 Vành chính 2

1.2 Vành Euclide 6

1.2.1 Vành Euclide 6

1.2.2 Ứng dụng (ñể nghiên cứu vành ña thức [ ]K x , với K là một trường) 7

CHƯƠNG 2 ða thức trên trường số 12

2.1 Số phức 12

2.1.1 Xây dựng trường số phức 12

2.1.2 Dạng ñại số và các phép toán 13

2.1.3 Dạng lượng giác của số phức 14

2.2 ða thức với hệ số thực và phức 16

2.3 Phương trình bậc ba và bốn 19

2.3.1 Phương trình bậc ba 19

2.3.2 Phương trình bậc bốn 22

2.4 ða thức với hệ số hữu tỷ 23

2.4.1 Nghiệm hữu tỷ của một ña thức với hệ số hữu tỷ 23

2.4.2 ða thức bất khả quy của vành ℚ[ ]x 25

CHƯƠNG 1 Vành chính và vành Euclide

Số tiết: 12 (Lý thuyết: 9 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)

về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy trừu tượng khái quát

- Rèn luyện tính chính xác, tính cẩn thận, linh hoạt; tư duy trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa

(ii) c | b và b | a kéo theo c | a

(iii) u khả nghịch, u | a với mọi a

(iv) Nếu b | u với u khả nghịch thì b khả nghịch

(v) Quan hệ S xác ñịnh như sau: xSx’ khi x’ = ux với u khả nghịch, là một quan hệ tương ñương; x và x’ gọi là liên kết

Ví dụ:

1) Hai phần tử của nhóm nhân U là liên kết

2) Trong vành các số nguyên ℤ hai số nguyên a và - a là liên kết

3) Trong vành ña thức K[x] với K là một trường, hai ña thức f(x) và af(x),

a K, a 0∈ ≠ , là liên kết

Bổ ñề 2 x và x’ là liên kết khi và chỉ khi x | x’ và x’ | x

Giả sử a A∈ , tập hợp các bội của xa, x A ∈ của a là một iñêan của A, kí hiệu aA hoặc

Aa Iñêan này là iñêan chính sinh bởi a

Bổ ñề 3 |a b khi và chỉ khi Aa⊃Ab

Hệ quả x và x’ là liên kết khi và chỉ khi Ax=Ax' ðặc biệt u là khả nghịch khi và chỉ khi

Au= A

ðịnh nghĩa 1 Các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch là các ước không thực sự

của x, còn các ước khác của x là các ước thực sự của x

Ví dụ: 2± và 3± là các ước thực sự của 6, còn 1± và 6± là các ước không thực sự của 6 ðịnh nghĩa 2 Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch của A, x gọi là một phần

tử bất khả quy của A nếu x không có ước thực sự

Phần tử b ñược gọi là nguyên tố nếu b không khả nghịch và quan hệ | b ac kéo theo |b a hoặc

ðịnh nghĩa 3 Nếu c | a và c | b thì c gọi là ước chung của a và b Phần tử c gọi là ước chung

lớn nhất của a và b nếu c là ước chung của a và b và nếu mọi ước chung của a và b là ước của c

Hai ước chung lớn nhất của a và b là liên kết, do ñó có thể coi là bằng nhau nếu không

do ñó r = và b0 =aq

Như vậy I= ℤ a

Sau ñây, giả sử A là một vành chính, các phần tử mà ta xét thuộc A

Bổ ñề 4 Ước chung lớn nhất của hai phần tử a và b bất kỳ tồn tại

Chứng minh

- Gọi I là iñêan sinh ra bởi a và b Các phần tử của I có dạng ax by+ với ,x y∈A

- Vì A là vành chính nên I là iñêan chính, tức là I= ℤ Suy ra d

, ,

d =ax+by x y∈ (*) A

- Ta chứng minh d là ước chung lớn nhất của a và b

+ Vì ,a b∈ =I dA nên a=da b', =db' a b', '∈A Do ñó d là ước chung của a và b

+ Nếu c là ước chung của a và b, tức là có ", "a b ∈ sao cho A a=ca b", =cb" thế thì (*) trở thành d =c a x( " +b y" )

Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b

Hệ quả Nếu e là ước chung lớn nhất của a và b, thì có , r s ∈ sao cho e A =ar+bs

Bổ ñề 5 Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì có , r s ∈ sao cho 1 ar bs A = +

Hệ quả Nếu | c ab và c, a nguyên tố cùng nhau thì c b |

Chứng minh

+ Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên tồn tại ,r s ∈ sao cho 1 ar cs A = +

+ Nhân hai vế với b ta ñược b abr bcs= +

+ Vì |c ab nên có q∈A sao cho ab = cq Do ñó b=cqr+bcs=c qr( +bs)

Nếu ước chung lớn nhất của x và a là một phần tử liên kết với x thì x|a

Nếu ước chung lớn nhất của x và a là một phần tử khả nghịch thì rõ ràng x và a

(i) ⇒ (ii) Giả sử x là bất khả qui

Xét phần tử a bất kỳ, theo bổ ñề 6, x|a hoặc x và a nguyên tố cùng nhau

Nếu x và a nguyên tố cùng nhau thì theo hệ quả của bổ ñề 5, từ x|ab suy ra x|b

(ii) ⇒ (i) Giả sử có (ii)

Giả sử a là một ước của x, tồn tại b A∈ : x = ab

Vì x|x = ab, tức là x|ab, theo (ii) suy ra x|a hoặc x|b

- Nếu x|a thì kết hợp với a|x suy ra a và x liên kết

- Nếu x|b thì kết hợp b|x suy ra b và x liên kết Khi ñó x = ub, u khả nghịch Suy ra

x = ab = ub

Do x≠ nên 0 b≠ , từ ñó suy ra a = u 0

Như vậy, x chỉ có ước không thực sự Vậy x là bất khả qui

Bổ ñề 8 Trong một họ không rỗng bất kỳ F những iñêan của A sắp thứ tự theo quan hệ bao

hàm, có một iñêan M của họ F là tối ñại trong F

Chứng minh

Giả sử I là một iñêan của F 0

+ Nếu I0 tối ñại trong F, bổ ñề ñược chứng minh

+ Nếu I0 không tối ñại trong F thì có một iñêan I1 trong F sao cho I1≠I0 và I1⊃I0

Nếu I1 tối ñại trong F thì ta có ngay ñiều phải chứng minh

Nếu không, có iñêan I trong F sao cho 2 I2≠ I1 và I2 ⊃I1

Tiếp tục quá trình lập luận này, hoặc ta thu ñược một iñêan M của F tối ñại trong F hoặc ta ñược một dãy vô hạn những iñêan phân biệt trong F :

ðể tránh mâu thuẫn ta có ñiều phải chứng minh

ðịnh lý 1 Cho x ≠ , x không khả nghịch, thế thì x có thể viết dưới dạng 0 x= p p1 2 p n (2) Với các p i i( =1, )n là những phần tử bất khả qui

Chứng minh

- Gọi F là tập các phần tử không khả nghịch khác 0 sao cho x không viết ñược dưới dạng (2)

Ta chứng minh F = ∅

- Giả sử F ≠ ∅ , kí hiệu A họ các iñêan Ax với x F∈

- Theo bổ ñề 8, F có phần tử m sao cho Am là tối ñại trong A

m không bất khả qui vì nếu ngược lại m sẽ có dạng (2)

Do m không bất khả qui nên m có ước thực sự a, do ñó ∃ ∈b A m: =ab , b cũng là ước

thực sự của m vì a là ước thực sự của m

Do Am là tối ñại trong A nên Aa Ab, ∉A Do ñó ,a b∉F

Mà ,a b≠ , không khả nghịch nên a và b viết ñược dưới dạng (2), 0

Suy ra m=ab= p p1 2 p n , tức là m F∉ Mâu thuẫn với m F∈

ðể tránh mâu thuẫn này thì F = ∅ ðịnh lý ñược chứng minh

ðịnh lý 2 Giả sử x= p p1 2 p m =q q1 2 q n , với p p1, 2, ,p m; , , ,q q1 2 q n là những phần tử bất khả qui Thế thì m = n và với một sự ñánh số thích hợp ta có q i=u p i i i, =1,m u khả nghịch i

Theo bổ ñề 7, p là ước của một phần tử 2 q nào ñó ( i i≥ ), giả sử ñó là 2 q , lập luận 2

tương tự suy ra q2 =u p2 2, u2 khả nghịch Lúc ñó lại có

2 m 1 2 2 n 3 m 1 2 3 n

p p =u u p q ⇒ p p =u u q q

Sau khi lặp lại quá trình ñó m lần ta ñược m n≤ và 1=u u u1 2 3 u q m m+1 q n

Vì q n không khả nghịch nên ta phải có m = n

ðịnh lý 3 Giả sử K là trường các thương của vành chính A, α∈K là một nghiệm của ña thức ( ) n 1 n 1 1 0

ðịnh nghĩa 6 Giả sử K là trường các thương của miền nguyên A Nếu mọi α∈K là một

Ví dụ 2 Xét vành các số nguyên Gauss A=ℤ[ ]i ={a bi a b+ | , ∈ℤ} Chứng minh A là một vành chính

ðịnh nghĩa 1 Giả sử A là một miền nguyên, A là tập hợp các phần tử khác 0 của A Miền *

nguyên A cùng với một ánh xạ (gọi là ánh xạ Euclide)

ánh xạ cho tương ứng một ña thức với bậc của nó

+ Vành các số nguyên Gauss là vành Euclide với δ( )z = z2

ðịnh lý 1 Nếu A là một vành Euclide thì A là một vành chính

- Lấy I là một iñêan bất kỳ không tầm thường của A

- Gọi a là phần tử khác 0 của I có ( )δ a là bé nhất trong tập hợp ( *)δ I

- Dùng tính chất vành Ơclít chứng minh I là iñêan sinh bởi a, tức là x qa x I= ∀ ∈

Trên vành Euclide ước chung lớn nhất của hai phần tử không những tồn tại mà còn có thể thực hiện liên tiếp những phép chia với dư ñể xác ñịnh ước chung lớn nhất, ñó là các kết quả sau ñây:

Bổ ñề 1 Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thỏa mãn quan hệ

a=bq + r Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r

Vấn ñề tìm ước chung lớn nhất của hai phần tử ,a b∈A

+ a= , ước chung lơna nhất của a và b chính là b 0

+ Giả sử cả a và b ñều khác 0 Thực hiện phép chia a cho b ñược

0 0

a=bq + với r δ r( )0 <δ b( ) nếu r0≠ 0+ Nếu r0≠ ta lại chia b cho 0 r0 :

0 1 1

b=r q + với r δ r( )1 <δ r( )0 nếu r1≠ 0+ Nếu r1≠ ta lại chia 0 r0 cho r1 :

Áp dụng bổ ñề 1 ta thu ñược r là ước chung lớn nhất của a và b k

Ví dụ : Tìm ước chung lớn nhất của hai ña thức

Các ña thức bất khả qui bậc lớn hơn 1 không có nghiệm trong K

- Mọi ña thức ( )f x bậc lớn hơn hoặc bằng 1 ñều có thể viết thành

Trong ñó các a x b i i + i, =1, 2, ,k là những ña thức bậc nhất không liên kết ; các ( ), 1, 2, ,

j

p x j= l là những ña thức bất khả qui bậc > 1 không liên kết ; các ,m n là các số tự i j

nhiên

ðịnh lý 2 Giả sử ( )f x là một ña thức bậc n > 1 của vành K x , với K là một trường Thế [ ]

thì f x có không quá n nghiệm trong K, các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau ( )

Xét trường hợp phân tích của ( )f x chỉ chứa những nhân tử tuyến tính, lúc ñó số

nghiệm của f x bằng số bậc của ( ) f x , giả sử ( ) α α1, 2, ,αn là n nghiệm của f x ( )

c c

Xét một ña thức bất khả qui ( )p x có bậc lớn hơn 1 của vành K[x], p x không có ( )nghiệm trong K Ta hãy ñặt vấn ñề xây dựng một trường E chứa K như một trường con sao cho ( )p x có nghiệm trong E

i) K là một trường con của E

ii) p x có một nghiệm ( ) θ trong E

iii) Mọi phần tử α∈E viết duy nhất dưới dạng

Hệ quả Giả sử f(x) là ña thức có bậc n > 1 của vành ña thức K[x] Thế thì bao giờ cũng có

một trường chứa K như một trường con sao cho f(x) có ñúng n nghiệm trong ñó, các nghiệm

có thể phân biệt hay không

Chú ý: Giả sử ( )f x ∈K x[ ] là một ña thức có bậc lớn hơn 1 và E là một trường mở rộng của trường K (nghĩa là K là trường con của E) sao cho f(x) có n nghiệm trong E Các nghiệm

[1] Hoàng Xuân Sính, (2006), ðại số ñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục

[2] Bùi Huy Hiền, (1996), Bài tập ñại số ñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

Phần: Vành chính

1.1 Trong vành ña thức ℝ [ ] x với ℝ là trường số thực, chứng minh các ña thức ax2+bx+ c

với b2−4ac< là những ña thức bất khả quy ðiều ñó còn ñúng không nếu coi các ña thức 0

ñó thuộc vành ℂ[ ]x với ℂ là trường số phức?

1.2 Xét vành ña thức [ ]K x với K là một trường

a) Chứng minh rằng mọi ña thức bậc nhất của [ ]K x ñều là bất khả quy Nếu K là một

miền nguyên thì ñiều ñó còn ñúng không?

b) Chứng minh rằng các ña thức bậc hai và bậc ba của [ ]K x là bất khả quy khi và chỉ

khi chúng không có nghiệm trong K

1.3 Trong vành Z[ ]x với Z là vành các số nguyên, xét xem các ña thức sau có phải là bất khả quy hay không

h x =x + x− ?

1.4 Giả sử a, b là hai phần tử của môt vành chính A, nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng

iñêan sinh bởi a và b chính là A

1.5 Giả sử p là một phần tử khác không của một vành chính A Chứng minh p là bất khả quy

khi và chỉ khi Ap là iñêan tối ñại

1.6 Trong một vành chính các iñêan nguyên tố khác { }0 ñều là các iñêan tối ñại

1.7 Chứng minh một trường là một vành chính

1.8 Vành thương của một vành chính có là một vành chính không?

1.9 Vành con của một vành chính có là một vành chính không?

1.10 Vành Z[ ]x có là một vành chính không?

1.11 Giả sử A là tập hợp các số phức có dạng a+b − với ,3 a b∈ ℤ

a) Chứng minh rằng A cùng với phép cộng và phép nhân các số phức là một miền nguyên

b) Chứng minh rằng 2,1+ −3,1− − là những phần tử bất khả quy của A Từ ñó 3suy ra A không phải là vành chính

1.15 Chứng minh một trường là một vành Ơclít

1.16 Giả sử A là một vành Ơclít Chứng minh A là một trường khi và chỉ khi ( )δ x là hằng với mọi x∈A*

1.17 Giả sử A là một vành Ơclít với ánh xạ Ơclít

sao cho δ'( )A* ={0,1, ,n},n≥ hay 0 δ'( )A = ℕ

1.18 Giả sử A là một vành Ơclít với ánh xạ Ơclít δ Chứng minh rằng ( )δ u là phần tử bé nhất của δ( )A* khi và chỉ khi u khả nghịch trong A

1.19 Giả sử A là một miền nguyên Chứng minh ñiều kiện cần ñể A là vành Ơclít là tồn tại

một phần tử không khả nghịch x A∈ sao cho mọi lớp của A/(x) có một ñại diện hoặc khả nghịch hoặc bằng 0

a) Tìm ƯCLN của ( )f x và g x trong ( ) ℚ[ ]x

b) Tìm ƯCLN của ( )f x và g x trong ( ) Z/ 3Z[ ]x

trong ñó ℝ là trường các số thực, ℚ là trường các số hữu tỷ Chứng minh rằng:

a) (ℝ −3), (ℚ −3), ( 2)ℚ là những trường với phép cộng và phép nhân thông thường các số

b) (ℝ −3)≃ ℝ[ ]x / (x2+3) với (x2+3) là iñêan sinh bởi x2+ trong 3 ℝ[ ]x ( 2)

ℚ ≃ ℚ[ ]x / (x2−2) với (x2−2) là iñêan sinh bởi x2− trong 2 ℚ[ ]x

CHƯƠNG 2

ða thức trên trường số

Số tiết: 18 (Lý thuyết: 15 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)

về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy trừu tượng khái quát

- Rèn luyện tính chính xác, tính cẩn thận, linh hoạt; tư duy trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa

2.1 Số phức

2.1.1 Xây dựng trường số phức

Trước hết, ta hãy phác thảo con ñường tìm kiếm trường ℂ chứa ℝ như một trường con

mà phương trình x 2 +1= 0 có nghiệm trong nó

Nếu ℂ là một trường như vậy, thì ℂ phải có 1 phần tử i ñể i2 = -1

Vì ℝ ⊂ ℂ nên ℂ chứa tất cả các phần tử dạng a + ib; a, b ∈ ℝ

Vì vậy, một cách tự nhiên ta hãy xét tập ℂ các cặp số thực z = (a,b), ℂ ={(a,b): a,b∈ ℝ } Sau ñó ñưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng ℂ trở thành

một trường chứa ℝ như một trường con (qua phép ñồng nhất nào ñó) Các phép toán này ñược dẫn dắt từ các phép toán của trường ℝ với chú ý i2 = -1

i) Quan hệ bằng nhau

(a,b) = (c,d) ⇔a = và b c =d ii) Phép cộng :(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)

iii) Phép nhân: (a,b).(c,d) = (ac - bd, ad + bc)

ðịnh lý 1 Tập hợp ℂ với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác ñịnh như trên lập

thành một trường thỏa mãn các ñiều kiện sau:

1) ℝ chứa trong ℂ như một trường con (qua ñồng nhất a ∈ ℝ với (a,0) ∈ ℂ )

2) Tồn tại nghiệm của phương trình x 2

a) Phần tử i thỏa mãn i2 = -1 gọi là ñơn vị ảo

b) Biểu thức z =a+bi với a,b∈ ℝ gọi là 1 số phức

a gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu Rez

b gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu Imz

c) Tập hợp các số phức ñược kí hiệu là ℂ

d) Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo

Nếu b = 0 thì ñược số thực z = a

e) Hai số phức bằng nhau:

Cho z = a + bi; w = c + di Khi ñó a + bi = c + di⇔a = và b = d c

f) Cho số phức z = a + bi Khi ñó z = a - bi gọi là số phức liên hợp của z

2.1.2 Dạng ñại số của số phức và các phép toán

Bổ ñề: Cho số phức z = a+bi Khi ñó tồn tại số phức w sao cho zw = 1 Khi ñó w ñược gọi là

nghịch ñảo của số phức z, kí hiệu z-1 Vậy w = z-1 = 1

z Chứng minh: Cho w = c+di Tìm c, d sao cho w.z=1

(c di).(a bi) 1

⇔ (ac-bd)+(ad+bc)i = 1

10

b d

+) z z =a2+b2= z2

+) 1 2z 2

z= a b

++)

=

2.1.3 Dạng lượng giác của số phức

a) Mô ñun và argument của số phức

Ta gọi E là mặt phẳng Euclide với hệ tọa ñộ Descartes vuông góc xOy Mỗi số phức

z = a+bi (a, b∈ ℝ ) tương ứng với một và chỉ một ñiểm M(a, b) của E và ngược lại mỗi ñiểm M(a, b) của E cũng có thể ñặt tương ứng với một và chỉ một số phức z = a+bi

ñể biểu diễn số phức z = a+bi và ngược lại

Argument: