Đề cương chi tiết học phần Toán cao cấp 1 (Học viện tài chính)

Môn học trang bị một phần căn bản các nội dung kiến thức cơ bản của giải tích hiện đại, nhằm trang bị về tư duy, kiến thức cơ sở và công cụ để tiếp tục học tập, nghiên cứu các chuyên ngà

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

KHOA CƠ BẢN ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚC

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ CƯƠNG MÔN TOÁN CAO CẤP HỌC PHẦN 1

Bộ môn Toán – Khoa Cơ bản – Học viện Tài chính

I Thông tin về giảng viên

TT Họ và tên Năm sinh Học hàm, học vị Địa điểm làm việc Điện thoại

1 Nguyễn Khắc Hưng 1952 Th.S Đã nghỉ hưu 0983868276

2 Trần Trung Kiên 1958 Th.S Bộ môn Toán 0912525408

3 Nguyễn Văn Quý 1959 PGS TS Bộ môn Toán 0913359608

4 Nguyễn Thị Thúy Quỳnh 1974 TS Bộ môn Toán 0975569999

5 Trương Thị Diệu Linh 1973 Th.S Bộ môn Kinh

Tế lượng 0989655909

6 Đào Kim Cúc 1978 Th.S Bộ môn Toán 0912990916

7 La Văn Thịnh 1987 Th.S Bộ môn Toán 0976787429

8 Mai Thị Thu Trang 1987 Th.S Bộ môn Toán 0985118302

9 Trần Thị Minh Nguyệt 1987 Th.S Bộ môn Toán 0902212800

10 Nguyễn Thị Bích Ngọc 1973 Th.S Bộ môn Toán 0983605318

11 Lê Thị Liễu 1986 Th.S Bộ môn Toán 0979608698

12 Khuất Quang Thành 1986 Th.S Bộ môn Toán 01667134469

13 Phạm Trung Kiên 1959 Th.S Ban Khảo thí 0913381278

II Thông tin chung về môn học

+ Mã môn học:AMA0237

+ Số tíu chỉ: 2;

+ Môn học bắt buộc

+ Toán cao cấp học phần 1 là môn học thuộc chuyên ngành toán giải tích cơ bản Nó được đưa vào giảng dạy cho sinh viên ở tất cả các ngành học thuộc các lĩnh vực: khoa học cơ bản, khoa học kỹ thuật, khoa học về kinh tế, tài chính và kế toán Môn học trang bị một phần căn bản các nội dung kiến thức cơ bản của giải tích hiện đại, nhằm trang bị về tư duy, kiến thức cơ sở và công cụ để tiếp tục học tập, nghiên cứu các chuyên ngành toán khác, cũng như các ngành khoa học khác trong đó có kinh tế, tài chính và kế toán.Có thể nói đây

là một trong những môn học tiên quyết cho phần lớn các môn học thuộc các lĩnh vực: toán ứng dụng, kinh tế, tài chính và kế toán

III Mục tiêu của môn học

- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:

+ Nắm được các khái niệm cơ bản của giải tích cơ sở về hàm số một biến số: khái niệm và phân loại hàm số, giới hạn của hàm số, sự liên tục của hàm số, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân xác định Hiểu rõ ý nghĩa, tác dụng của các khái niệm trên vận dụng vào một số bài toán có liên quan, vào các bài tập rèn luyện tư duy và kỹ năng theo yêu cầu của môn học

+ Từ các khái niệm toán học và các kỹ năng có được, sinh viên mới có điều kiện và biết vận dụng nó vào việc mô tả, khảo sát, phân tích các mô hình kinh tế cơ bản có liên quan ở các môn học sau

- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:

+ Có kỹ năng trong việc tính giới hạn của hàm số, xét sự liên tục của hàm số, tính đạo hàm, vi phân và tích phân của một số lớp hàm thông dụng

+ Có kỹ năng khảo sát hàm số: tìm miền xác định, xét tính biến thiên, tính cực trị của một

số lớp hàm sơ cấp thông dụng

+ Có kỹ năng trong việc mô tả hàm số để vận dụng trong việc cần mô tả các mô hình toán kinh tế và kỹ năng giải các mô hình đó

+ Rèn luyên kỹ năng về tư duy, phục vụ cho việc khảo sát các qui luật kinh tế và mô tả nó dưới dạng quan hệ hàm số, phương trình, hệ phương trình hay các bài toán định lượng, bài toán lựa chọn phương án tối ưu

- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được:

+ Làm cho sinh viên yêu thích môn toán, hứng thú làm bài tập toán để rèn luyện tư duy, kỹ năng xem xét các vấn đề có tính lô gic và độ chính xác cao

+ Làm cho sinh viên có kỹ năng và ham thích dùng việc dùng toán để khảo sát các nội dung hay qui luật kinh tế

IV Tóm tắt nội dung môn học

Môn học nghiên cứu về một đối tượng cơ bản và quan trọng bậc nhất của giải tích toán học

là quan hệ hàm số một biến số và hàm số nhiều biến số theo lược đồ: mô tả hàm số, giới hạn của hàm số, sự liên tục của hàm số, đạo hàm và vi phân của hàm số, nguyên hàm và tích phân xác định đối với hàm một biến số Các khái niệm trên đều được trình bày theo trình tự: định nghĩa, tính chất, phân loại, các phương pháp tính và ứng dụng Một số ứng dụng quan trong được giới thiệu trong môn học là khảo sát tính biên thiên và tính lồi, lõm của hàm số một biến số; tìm các điểm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một miền; tính giá trị gần đúng của hàm số; các định lý về giá trị trung bình của hàm số một biến số và ứng dụng của chúng

V Nội dung chi tiết môn học

Chương 1 Hàm số

Bài 1 Sơ lược về tập hợp

I Tập hợp

II Các quan hệ trên tập hợp

III Các phép toán trên tập hợp

IV Các tập hợp số

V Giá trị tuyệt đối của số thực

VI Khoảng số và lân cận

Bài 2 Hàm số

I Định nghĩa hàm số và các phương pháp cho hàm số

II Các phép tính về hàm số và một số đặc tính của hàm số

III Các hàm sơ cấp cơ bản và định nghĩa hàm sơ cấp

IV Hàm số phi sơ cấp và phương pháp lập hàm số cho các mô hình kinh tế

Chương 2 Giới hạn và sự liên tục của hàm số

Phần I - Giới hạn của hàm số

Bài 1 Giới hạn hữu hạn của hàm số

I Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x  a

II Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x  +/-

Bài 2 Giới hạn vô hạn của hàm số

I Khi x  a

II Khi x +/-

Bài 3 Giới hạn một phía

I Khi x  a+/a

-II Quan hệ giới hạn và giới hạn một phía

Bài 4 Đại lượng vô cùng bé, đại lượng vô cùng lớn và đại lượng bị chặn

I Đại lượng vô cùng bé (VCB)

II Đại lượng vô cùng lớn (VCL)

III Mối liên hệ giữa VCB và VCL

IV Đại lượng bị chặn

V Ứng dụng các đại lượng tương đương để khử các giới hạn 0

0 hoặc

¥

¥ .

Bài 5 Các phép tính và tính chất về giới hạn

I Các phép tính với giới hạn hữu hạn

II Các phép toán liên quan đến giới hạn vô hạn

III Các tính chất của hàm số có giới hạn hữu hạn

Bài 6 Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn và hai giới hạn vô định cơ bản

I Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

II Hai giới hạn vô định cơ bản

Phần 2 Sự liên tục của hàm số

Bài 1 Các định nghĩa sự liên tục và sự gián đoạn của hàm số

I Các định nghĩa về sự liên tục của hàm số

II Các định nghĩa sự gián đoạn của hàm số

III Một số ví dụ về sự liên tục và gián đoạn của hàm số tại một điểm

Bài 2 Các phép tính về hàm liên tục và các tính chất của hàm liên tục trên một đoạn

I Các phép tính với hàm số liên tục

II Các tính chất về hàm liên tục

II Các tính chất của hàm liên tục trên một đoạn

Bài 3 Sự liên tục của hàm sơ cấp và hàm phi sơ cấp

I Sự liên tục của hàm sơ cấp

II Sự liên tục của hàm phi sơ cấp

Bài 4 Phương pháp tính các giới hạn dạng vô định cơ bản

I Các giới hạn vô định cơ bản

II Một số cặp vô cùng bé tương đương

III Quy tắc thay thế VCB tương đương

Chương 3 Đạo hàm và vi phân

Bài 1 Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

I Bài toán tính vận tốc tức thời của chuyển động

II Bài toán tính hệ số góc của đường tiếp tuyến

III Bài toán tính chi phí cận biên

IV Nhận xét

Bài 2 Định nghĩa đạo hàm của hàm số

I Các định nghĩa về đạo hàm

II Định nghĩa về đạo hàm một phía

III Quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm một phía

IV Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 3 Các phép tính về đạo hàm

I Định lý 1

II Định lý 2

III Định lý 3

IV Đạo hàm của hàm ngược

V Đạo hàm của hàm ẩn

Bài 4 Đạo hàm của các hàm sơ cấp và đạo hàm của hàm số phi sơ cấp

I Công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

II Tính đạo hàm của hàm số sơ cấp

III Tính đạo hàm của hàm số phi sơ cấp

Bài 5 Vi phân của hàm số

I Định nghĩa

II Bảng vi phân cơ bản

III Tính bất biến của vi phân cấp 1

IV Ý nghĩa hình học của vi phân

V Ứng dụng của vi phân

Bài 6 Đạo hàm bậc cao

I Định nghĩa 1

II Định nghĩa 2

Chương 4 Ứng dụng của đạo hàm

Bài 1 Tính chất của hàm có đạo hàm hữu hạn trên (a , b)

I Định lý Rolle

II Định lý Lagrange

III Định lý Côsi

Bài 2 Dùng đạo hàm để tính giới hạn

I Định lý Lôpitan 1

II Định lý Lôpitan 2

Bài 3 Một số định lý về hàm số có đạo hàm

I Định lý Rolle

II Định lý Lagrange

III Định lý Côsi

IV Ứng dụng

Bài 4 Dùng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số

I Điều kiện cần cực trị

II Điều kiện đủ cực trị

III Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Bài 4 Công thức xấp xỉ hàm số bởi một đa thức

I Đặt vấn đề

II Định lý Taylor

III Công thức xấp xỉ tuyến tính

IV Một vài ví dụ và ứng dụng

Chương 5 Hàm hai biến số

Bài 1 Định nghĩa, miền xác định, đồ thị của hàm hai biến số

I Miền biến thiên của hai biến số

II Định nghĩa hàm hai biến số

III Miền xác định, đồ thị của hàm số hai biến số

Bài 2 Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến

I Giới hạn của hàm hai biến

II Sự liên tục của hàm hai biến

Bài 3 Đạo hàm riêng, tính khả vi và vi phân của hàm hai biến

I Đạo hàm riêng và vi phân riêng

II Công thức vi phân toàn phần

III Đạo hàm riêng cấp hai và ma trận Hessian

Bài 4 Cực trị của hàm hai biến số

I Định nghĩa điểm cực trị và điểm dừng

II Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại ( , x y0 0)

III Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại ( , x y0 0)

Chương 6 Tích phân bất định

Bài 1 Khái niệm nguyên hàm

I Đặt vấn đề

II Khái niệm về nguyên hàm

Bài 2 Tích phân bất định

I Định nghĩa

II Tính chất

III Bảng công thức tích phân cơ bản

Bài 3 Những qui tắc cơ bản để tính tích phân bất định

I Các qui tắc

II Một số ví dụ tính tích phân đơn giản

Bài 4 Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định

I Phương pháp đổi biến số

II Phương pháp tích phân từng phần

Chương 7 Tích phân xác định và tích phân suy rộng

Bài 1 Bài toán dẫn đến tích phân xác định

I Đặt vấn đề

II Bài toán tính diện tích hình thang cong

Bài 2 Định nghĩa tích phân xác định

I Định nghĩa

II Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

III Hàm số khả tích

IV Ví dụ tính tích phân xác định bằng định nghĩa

Bài 3 Tính chất của tích phân xác định

Bài 4 Mối liên hệ giữa tích phân bất định và tích phân xác định

I Tích phân với cận trên biến đổi

II Mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm

Bài 5 Phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần

I Phương pháp đổi biến số

II Phương pháp tích phân từng phần

Bài 6 Tích phân suy rộng

I Tích phân suy rộng với cận vô hạn

II Tích phân suy rộng với hàm không bị chặn tại một điểm thuộc [a , b]

Bài 7 Ứng dụng của tích phân xác định

I Tính diện tích của hình phẳng

II Tính thể tích của các vật thể

III Úng dụng trong kinh tế

VI Tài liệu học tập

- Tài liệu bắt buộc:

1) Chủ biên: Đỗ Văn Chí, Giáo trình Toán Cao Cấp, Nhà xuất bản Tài Chính, tái bản lần thứ 3, năm 2009

2) Chủ biên: Đỗ Văn Chí, Bài tập Toán Cao Cấp, Nhà xuất bản Tài Chính

- Tài liệu tham khảo:

+ Chủ biên: Nguyễn Đình Trí, Toán học Cao Cấp (Tập 1, 2), nhà xuất bản Giáo dục, năm 2006

+ Nguyễn Đình Thúy, Toán Cao Cấp cho các nhà Kinh tế (Phần 1, 2), nhà xuất bản Kinh tế Quốc dân, năm 2007

VII Hình thức tổ chức dạy học

Môn học có 7 chương với thời lượng 33 tiết (không tính giờ tự học và tự nghiên cứu) Số tiết ứng với mỗi chương và hình thức dạy học được thể hiện ở bảng sau:

Nội dung

Hình thức tổ chức dạy học

Tổng

nghiên cứu

Chương 2 Giới hạn và sự liên tục của

Chương 7 Tích phân xác định và tích

VIII Chính sách đối với môn học và các yêu cầu khác của giảng viên

Sinh viên cần phải:

+ Có đầy đủ 2 tài liệu bắt buộc của môn học

+ Có ý thức tự giác trong học tập, trong lớp không gây mất trật tự ảnh hưởng tới các sinh viên khác, chuẩn bị bài tập theo yêu cầu của giảng viên

+ Tham gia ít nhất 80% số buổi lên lớp của giảng viên và phải có ít nhất 1 bài kiểm tra giữa kỳ của môn học

IX Phương pháp, hình thức kiểm tra – đánh giá kết quả học tập môn học

- Kiểm tra – đánh giá giữa kỳ:

Việc đánh giá kết quả học tập giữa kỳ của môn học thông qua 1 bài kiểm tra dưới hình thức viết Mỗi bài kiểm tra với thời lượng 45 phút

- Kiểm tra – đánh giá cuối kỳ:

Sinh viên làm bài thi viết trong thời gian 90 phút

Điểm đánh giá môn học = Điểm kiểm tra giữa kỳ x 30% + Điểm thi cuối kỳ x 70%

Hà nội, ngày 26 tháng 11 năm 2016

Trưởng bộ môn

Nguyễn Văn Quý