Gọi M là trung điểm của cạnh CC1.. Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng A1BM... Theo chương trình chuẩn Câu VI.a.. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b.. Xác định vị trí của điểm M
Trang 1Đề số 28
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số yx4 5x2 4, có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2) Tìm m để phương trình 4 2
2
|x 5x 4 | log m có 6 nghiệm
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: sin 2 sin 1 1 2cot 2
2sin sin 2
2) Tìm m để phương trình: m x2 2x 2 1x(2 x) 0 có nghiệm x 0; 1 3
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
4
0
x
Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1
2 5
a và BAC 120o Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Tính khoảng cách
d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương Chứng minh:
3x 2y 4z xy 3 yz 5 zx
II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)
Trang 2A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 3; –2), B(–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0 Tìm tọa độ điểm M (P) sao cho
MA + MB nhỏ nhất
2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2)
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: 2 2
log x x 1 log x 2xx
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và
đường thẳng có phương trình tham số
1 2 1 2
Một điểm M thay đổi
trên đường thẳng Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất
2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB nhỏ nhất
Câu VII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: 2
(log 8 logx x ) log 2x 0
Trang 3Hướng dẫn Đề số 28
Câu I: 2)
9 4 4 12
9
4
Câu II: 1) PT cos22x cosxcos2x = 2cos2x và sin2x 0
cos 2x 0 2cos x cosx 1 0(VN) cos2x = 0
2
2) Đặt t x2 2x 2 t2 2 = x2 2x BPT
2 2
1
t
t
Khảo sát hàm số:
2
2 ( )
1
t
g t
t với 1 t 2 g'(t)
2 2
2 2
0 ( 1)
tăng trên [1,2]
Do đó, YCBT BPT
2 2 1
t m
t có nghiệm t [1,2]
1;2
2 max ( ) (2)
3
t
Vậy: m 2
3
Câu III: Đặt t 2x 1
1 1
3 2
ln 1 2 ln 2 2
t
Trang 4Câu IV: Chọn hệ trục Oxyz sao cho: A O, C 2 , 0, 0a , A1(0,0, 2a 5)
(0;0; 0), ; 3;0
2 2
a a
A B ,M( 2 , 0, a a 5) 5; 3; 5 , 1 (2; 0; 5)
Ta có thể tích khối tứ diện AA1BM là :
3
2
a
Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA1) bằng 3 5.
3
V a
d S
2 xy xy 2 yz xy 2 zx xy đpcm
Câu VI.a: 1) Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía
với (P)
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P) ; PT (AA'): 1 3 2
AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của hệ PT:
(1, 2, 1)
H
Vì H là trung điểm của AA' nên ta có :
' ' '
2
2
Ta có ' ( 6,6, 18)
A B (cùng phương với (1;–1;3) ) PT (A'B) :
Trang 5Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
(2, 2, 3)
M
2) x 3y 6 0;xy 2 0
3
x x x x x x x
Đặt: (2 )
( ) 3x x
f x , g x( ) x 1 1
x (x0)
Từ BBT max f(x) = 3; min g(x) = 3
PT f(x)= g(x) có nghiệm maxf(x) = min g(x) = 3 tại x=1 PT có nghiệm x = 1
Câu VI.b: 1) Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất
Đường thẳng có PTTS:
1 2 1 2
Điểm M nên M 1 2 ;1t t t; 2
( 2 2 ) ( 4 ) (2 ) (3 ) (2 5) ( 4 2 ) ( 2 ) ( 6 2 ) (3 6) (2 5)
(3 ) (2 5) (3 6) (2 5)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ 3 ; 2 5
u t và 3 6; 2 5
Trang 6Ta có
2 2
2 2
Suy ra | | | |
AM BM u v và 6; 4 5 | | 2 29
Mặt khác, với hai vectơ ,
u v ta luôn có | | | | | |
u v u v Như vậy
2 29
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,
3 6 2 5
t
t t
1;0; 2
M và minAMBM 2 29
Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 11 29
2) x 2y 6 0
Câu VII.b: Điều kiện x > 0 , x 1
8
2log log 2 0
2
1
1 log 3
x
2
2
1
1
x
x
x