ĐỀ SỐ 33 MÔN TOÁN ÔN THI ĐH

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABC.. Tính tan và thể tích của khối chóp A.BBCC.. Theo chương trình chuẩn... Viết phương trình đường thẳng AB.. Chứng minh rằng mặt phẳng P cắ

Đề số 33

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số yx4 mx3  2x2  3mx 1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0

2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu

Câu II: (2 điểm)

1) Giải phương trình: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2

8



2) Giải phương trình: 2x  1 x x2  2  (x 1) x2  2x 3  0

Câu III: (1 điểm) Tính tích phân:  

2

0

1 sin 2



 

Câu IV: (1 điểm) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC là hình chóp tam giác đều

cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA = b Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC)

và (ABC) Tính tan và thể tích của khối chóp A.BBCC

Câu V: (1 điểm) Cho ba số a, b, c khác 0 Chứng minh:

2  2  2   

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4

= 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó

Câu VII.a: (1 điểm) Giải bất phương trình: 2 1 2 2

9x  x   1 10.3x  x

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng : x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực Gọi I

là tâm của đường tròn (C) Tìm m để  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích IAB lớn nhất

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm D(–1; 1; 1) và cắt ba trục tọa độ tại các điểm M, N, P khác gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP

Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình: 4x  2x 1  2(2x 1)sin(2xy 1)  2  0

Hướng dẫn Đề số 33

2

1 0





   



x y

Hàm số có 2 cực tiểu  y có 3 cực trị  y = 0 có 3 nghiệm phân biệt

 (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

2

3





m

m

Thử lại: Với 4

3

 

m , thì y = 0 có 3 nghiệm phân biệt x x1, 2,x3

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực tiểu Vậy, hàm số có 2 cực tiểu

khi 4.

3

 

m

 

2) Đặt:

2 2

2 2

2

2 1

1

2 3

2 3, 0

2



PT 

1

 



           



Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm

Do đó: PT  2 2 1

2

Câu III: Đặt 1

sin 2

 









dv xdx  I =  

/ 2 2







 x x   xdx 

Câu IV: Gọi E là trung điểm của BC, H là trọng tâm của  ABC Vì A.ABC là

hình chóp đều nên góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) là  = A EH

3



2 2

' 2 3 tan A H  b a

' ' '

'



'.

'



Do đó: V A BB CC' ' 'V ABC A B C ' ' 'V A ABC'. =

3 6



Câu V: Áp dụng BĐT Cô–si, ta có:



3

2  2  2  3 2 2 2  3



2   1 2 ; 2   1 2 ; 2   1 2

2  2  2  2    3

Từ (1) và (2) 

2    2   

Câu VI.a: 1) I (6; 2); M (1; 5)

 : x + y – 5 = 0, E    E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của AB

I trung ñieåm NE  2 12







 N (12 – m; m – 1)



MN = (11 – m; m – 6);  IE = (m – 6; 5 – m – 2) = (m – 6; 3 – m)

 0

 

 m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0  m = 6 hay m = 7

+ m = 6   MN = (5; 0)  PT (AB) là y = 5

+ m = 7   MN = (4; 1)  PT (AB) là x – 1 – 4(y – 5) = 0  x – 4y + 19 =

0

2) I (1; 2; 3); R = 1 4 9 11     5

d (I; (P)) = 2(1) 2(2) 3 4 3

4 4 1



  < R = 5 Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C)

Phương trình d qua I, vuông góc với (P) :

1 2

2 2 3

 





 



  



Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C) J  d  J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)

J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0  t = 1

Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = 2 2

4

Câu VII.a: Đặt t 3x x, t > 0 BPT  t2 – 10t + 9  0  ( t  1 hoặc t  9)

 x x       

1



Kết hợp (a) và (b) ta có tập nghiệm của bpt là: S = (–; –2]  [–1;0]  [1; +

)

Câu VI.b: 1) (C) có tâm là I (–2; –2); R = 2

Giả sử  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH của ABC, ta

có

Do đó SABC lớn nhất khi và chỉ khi sinAIB = 1  AIB vuông tại I

 IH = IA 1

2  (thỏa IH < R) 

2

1 4m

1







 1 – 8m + 16m2 = m2 + 1  15m2 – 8m = 0  m = 0 hay m = 8

15

2) Theo giả thiết ta có M(m; 0; 0) Ox , N(0; n; 0) Oy , P(0; 0; p)  Oz





   

   

Phương trình mặt phẳng (P): x  y  z  1

m n p Vì D (P) nên: 11 1  1

D là trực tâm của MNP 

   

   



0

3 0

3

1 1 1

1

 



 



 





m

Kết luận, phương trình của mặt phẳng (P): 1

33 3



2 1 sin(2 1) cos (2 1) 0

cos(2 1) 0 (2)



  



x

y

y

Từ (2)  sin(2x y 1)   1

 Khi sin(2x  1) 1 

y , thay vào (1), ta được: 2x = 0 (VN)

 Khi sin(2xy 1)   1, thay vào (1), ta được: 2x = 2  x = 1

Thay x = 1 vào (1)  sin(y +1) = –1  1 ,

2





Kết luận: Phương trình có nghiệm: 1; 1 ,

2





 k k Z