mat cau KG coban

Lập phương trình mặt cầu S qua 3 điểm M,N,P và có tâm nằm trên mpOyz.

MẶT CẦU Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu :

 Mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có pt là:

(xa)2 + (yb)2 + (zc)2 =R2

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R=3

Giải :

Phương trình mặt cầu (S) : (x1)2 +(y+2)2 +(z1)2 =9

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(2;1;3) và đi qua

A(3;7;0)

Giải :

(3 2)   ( 7 1) (0 3) = 46 Phương trình mặt cầu : (x2)2 +(y+1)2 +(z+3)2 =46

Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với

A(2;5;6) , B(1;9;11)

Giải :

Gọi I là trung điểm AB => I( 3/2; 2; 5/2)

2 Phương trình mặt cầu : (x3/2)2 +(y2)2 +(z+5/2)2 =243/2

Ví dụ 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua A(2;1;3) ; B(3;5;1) và có tâm nằm trên trục Ox

Giải :

Gọi I là tâm của mặt cầu , vì I  Ox => I(a;0;0)

Ta có IA =IB <=> (a+2)2 +12 +(3)2 = (a3)2 +(5)2 +12

<=> a= 21

10.Suy ra tâm I(21

10;0;0) ,

100

Phương trình mặt cầu : (x21/10)2 +y2 +z2 = 2681

100

Ví dụ 6: Lập phương trình mặt cầu tâm B(1;5;2) và tiếp xúc với

mp(Oxy)

Giải :

+ Gọi H là hình chiếu của B lêm mp(Oxy) => H(1;5;0) Bán kính R1 = BH = 2 2 2

0  0  2 =2

=> phương trình mặt cầu là : (x+1)2 +(y5)2 +(z2)2 =4

Ví dụ 7: Lập phương trình mặt cầu tâm I(3;2;5) và tiếp xúc với

trục z’Oz

Giải :

Gọi H là hình chiếu của I lên trục z’Oz => H(0;0;5)

+ Khoảng cách từ I đến trục z’Oz là IH = 2 2 2

3  2  0 = 13

+ Phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R1= 13 là :

(x3)2 +(y2)2 +(z+5)2 =13

Ví dụ 8: Trong không gian, cho M(1;2;3) , N(3;1;1) , P(2;1;2)

Lập phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm M,N,P và có tâm nằm trên mp(Oyz)

Giải : C 1:Phương trình mặt cầu có dạng :

x2 + y2 +z2 +2Ax +2By +2Cz +D= 0 ,đk A2 +B2 +C2 D > 0 M(1;2;3) (S) => 14 +2A +4B +6C +D =0 (1) N(3;1;1) (S) => 11 +6A 2B +2C + D =0 (2) P(2;1;2) (S) => 9 4A +2B 4C + D =0 (3) + Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0

Tâm I(A;B;C) mp(Oyz) => A= 0

Giải hệ ta có : B= 5/26 ; C =6/13 ; D=136/13

Phương trình mặt cầu (S) : x2 + y2 +z2  5

13y12

13z136

13 =0

C 2 : Gọi I là tâm mặt cầu , vì I  mp(Oyz) => I(0;b;c)

+ Mặt cầu (S) qua M,N,P Suy ra IM=IN , IM=IP

<=>









<=>







<=> 6b 4c 3







<=>

5 b 26 6 c 13









 



52

Phương trình mặt cầu (S) tâm I, bán kính R = 557

52 là : ( x0)2 +(y5/26)2 +(z6/13)2 = 557/52

Ví dụ 9:Trong không gian,cho A(1;1;2), B(2;0;3), C(0;3;5),

D(2;3;3) Lập phương trình mặt cầu (S1) qua 4 điểm A,B,C,D

Giải Phương trình mặt cầu có dạng :

x2 + y2 +z2 +2Ax +2By +2Cz +D= 0 , đk A2 +B2 +C2 D >0 A(1;1;2) (S1) => 6 +2A 2B +4C +D =0 (1)

B(2;0;3) (S1) => 13 +4A +0.B+6C +D =0 (2)

C(0;3;5) (S1) => 34 +0.A+6B +10C+D =0 (3)

D(2;3;3) (S1) => 22 +4A 6B +6C +D =0 (4)

Lấy (1) (2) ta có : 2A 2B 2C 7 =0

Lấy (1) (3) ta có : 2A 8B 6C 28 =0

Lấy (1) (4) ta có : 2A +4B 2C 16 =0

Giải hệ : A = 5/4 ; B= 3/2 ; C= 25/4 ; D=39/2

Phương trình mặt cầu (S1) :x2 + y2 +z2+5

2x+3y25

2 z+ 39

2 =0 Dạng 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu :

+ Mặt cầu có pt : (xa)2 +(yb)2 +(zc)2 = R2

tâm I(a;b;c) bán kính R + Phương trình của mặt cầu ( S):

x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0

với A2 + B2 + C2D > 0 tâm I(A ;B;C); bán kính R = 2 2 2

A B C D

Ví dụ 10: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :

a) x2 + y2 + z2 8x +y + 1 = 0

b) 2x2 + 2y2 + 2z26x +12y4z6 = 0

c) (x1)2 + (y+3)2 + (z+5)2 =25

d) (3x4)2 +(3y6)2 +(3y+7)2 = 81

Giải : a) ta có 2A =8 <=> A =4

2B = 1 <=> B =1

2 2C =0 <=> C =0

Tâm I(4;1

2;0) , bán kính R=

2

2

 

  

2 b) Chia hai vế phương trình cho 2 ta có :

x2 +y2 +z2 3x+6y 2z 3=0 , tâm I(3

2;3;1) , bk R= 61

2 c) Tâm I(1;3;5) bán kính R=5

d) Chia hai vế cho 9 ta được :

2

=9 , tâm I(4

3;2;7

3) , bk R =3

