Chương III Tích phân bội

Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3... Rút kinh nghiệm... Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3... Rút kinh nghiệm... Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3... Rút kinh nghiệm... Cách tính tích phân I/.. Kiểm tra sự

Ch-ơng III:

tích phân bội

tích phân trên hình hộp

Tiết: 31 - 33 Ngày soạn: Ngày dạy:

I/ Mục tiêu:

- Kiến thức:

- Kỹ năng:

- Thái độ: Nghiêm túc

II/ Tiến trình

1 Kiểm tra sỹ số:

2 Kiểm tra sự chuẩn bị bài:

3 Bài mới

1 Bài toán tính thể tích hình trụ

Hình trụ  V có phía trên là mặt  S :z f x y ,  với f x y , liên tục và

 ,  0

f x y  , phía d-ới hình  D là hình chiếu của  S lên mặt phẳng toạ

độ Oxy Hình  D có diện tích là S , khi đó ng-ời ta tính thể tích hình trụ

 V theo ph-ơng pháp sau:

+/ Gọi phân hoạch P là một phép chia  D thành n hình nhỏ

  S1 ; S2 ; S3 ; ; S n sao cho S       S1 S2 S n

+/ Đ-ờng kính của tập AR n là số d A  A Sup x y x y: , A

Khi đó đ-ờng kính của phân hoạch P là P maxS i :i1,n

- Cho hàm z f x y ,  xác định trên miền  D bị chặn

- Phân hoạch P chia  D thành n miền   S1 ; S2 ; S3 ; ; S ncó diện tích t-ơng ứng  S1; S2;S3; ;S n Thực hiện phép chọn C các điểm

x y i, i   S i Khi đó    

1

n

I f P C f x y S là tổng tích phân của hàm f x y , ứng với phân hoạch P và phép chọn C của P

- Nếu tồn tại lim0  , , 

phép chọn C , tức là     0,  0 sao cho với mọi phân hoạch P và mọi

phép chọn C nếu P    I I f P C , ,   thì I gọi là tích phân của

hàm f x y , trên miền  D Ký hiệu:  

0 1

n

P D

f x y dS f x y S





- Khi chia  D thành các miền nhỏ bởi các đ-ờng thẳng song song Ox Oy , thì S i  x y i i Khi đó S dxdy và  

 

 

,

D

f x y dxdy

* Định lý: Nếu hàm f x y , liên tục trên miền đóng, bị chặn  D thì

 ,

f x y khả tích trên  D

3 Tính chất

a Nếu f x y ,  1;    x y,  D và miền  D có bằng diện tích S thì

 

,

b Nếu f x y , khả tích trên miền  D và R thì  f x y ,  cũng khả tích

 

c Nếu f x y , và g x y , khả tích trên miền  D thì f x y , g x y ,  khả

 

d Nếu  D đ-ợc chia thành hai miền nhỏ    D1 , D2 thì

 

 

e Nếu f x y , và g x y ,  khả tích trên  D và f x y , g x y , thì

 

 

 

D

f Nếu f x y , khả tích trên miền  D và m f x y , M thì

 

 

,

D

h Nếu f x y , khả tích trên miền đóng, bị chặn, liên thông  D thì

x y0, 0  D

D



4 Bài tập về nhà

5 Rút kinh nghiệm

bài tập

Tiết: 34 - 35 Ngày soạn: Ngày dạy:

I/ Mục tiêu:

- Kiến thức:

- Kỹ năng:

- Thái độ: Nghiêm túc

II/ Tiến trình

1 Kiểm tra sỹ số:

2 Kiểm tra sự chuẩn bị bài:

3 Bài mới

1 Bài 1: Đánh giá các tích phân trong từng tr-ờng hợp

 

2 2

D

9x y  9 x y 3 y  3 25

 

D

x D

y

 



  



Giải:

1x y 2 x y  2 8 1  1 2 5 2 2 Vậy 4 I 8 5 2 2  

2 Bài 2: CMR nếu f x  là hàm số khả tích trên  a b, thì

2

2

f x dx b a f x dx

Giả sử f x   ,g x là các hàm khả tích trên  ,  Khi đó   R ta có:

b

a

     

          

Tức là:        

2

f x g x dx f x dx g x dx

2

2 2

f x dx b a f x dx

     

3 Bài 3: Xác định miền lấy tích phân

H-ớng dẫn

Sinh viên

a/ x y 1;x y 1;x0

c/ x2  y2;y2  1 x2

4 Bài 4: CMR nếu f x   ,g y lần l-ợt là các hàm khả tích trên

 a b, và  c d, thì    

, ,

f x g y dxdy f x dx g y dy





Giải:

Xét hàm F x y ,  f x g y    Bằng phép phân hoạch P chia hình chữ nhật

0, , ,1 m1; 1, 2, , n 1

             

Do dPmaxx i ,y j 0

lim P

dP

a b c d









      

     

4 Bài tập về nhà

5 Rút kinh nghiệm

tích phân trên tập giới nội

Tiết: 36 - 38 Ngày soạn: Ngày dạy:

I/ Mục tiêu:

- Kiến thức:

- Kỹ năng:

- Thái độ: Nghiêm túc

II/ Tiến trình

1 Kiểm tra sỹ số:

2 Kiểm tra sự chuẩn bị bài:

3 Bài mới

1 Định nghĩa

- Cho hàm ba biến u f x y z , ,  xác định trên miền bị chặn  V trong

không gian Oxyz ; Gọi V là thể tích của  V

Chia  V thành n miền nhỏ là V1 , V2 , , V n có thể tích lần l-ợt

nh- sau: V1,V2, ,V n sao cho

1

n i i

V V



 



Trên mỗi miền nhỏ  V i lấy điểm tuỳ ý x y z i, i, i

1 , ,

n

i





- Tổng (*) gọi là một tổng tích phân của hàm f x y z , ,  trên miền  V , ký hiệu d i dV i là đ-ờng kính của miền  V i Đặt d max d i i 1,n

1

n

n i

 V và cách chọn điểm x y z i, i, i  V i thì giới hạn đó gọi là tích phân

ba lớp của hàm f x y z , ,  trên miền  V

 

, ,

V

f x y z dV

 

, ,

V

f x y z dxdydz



- Nếu tích phân ba lớp tồn tại thì ta nói f x y z , ,  khả tích trên  V

- Định lý: Nếu hàm số f x y z , ,  liên tục trên miền đóng, bị chặn  V thì

 , , 

f x y z khả tích trên  V

2 Tính chất

a

 V  V

 

 

d Nếu      V  V1  V2 (  V đ-ợc chia thành hai miền  V1 &  V2 ) thì

 

e Nếu f x y z , , g x y z , ,  x y z, ,    V Thì

 

 

V

 

V

g Nếu f x y z , ,  liên tục trên một miền đóng, bị chặn và liên thông  V thì

0, 0, 0 : , , 0, 0, 0

V

   

4 Bài tập về nhà

5 Rút kinh nghiệm

Cách tính tích phân

I/ Mục tiêu:

- Kiến thức:

- Kỹ năng:

- Thái độ: Nghiêm túc

II/ Tiến trình

1 Kiểm tra sỹ số:

2 Kiểm tra sự chuẩn bị bài:

3 Bài mới

I Cách tính tích phân hai lớp

1 Định lý Fubini

- H-ớng dẫn

tính theo

   D1  D2

- H-ớng dẫn

Sinh viên vẽ

hình

- Cho hàm số f x y , liên tục trên  D Nếu miền  D xác định với

;

a x b x  y  x trong đó 1   x ,2 x là các hàm số liên tục

trên  a b, thì  

 

 

 

 

 

f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy

- Ví dụ 1: Tính

 

2

D

I x ydxdy trong đó  D là một tam giác có toạ độ các

đỉnh là O     0, 0 ;A 1, 0 ;B 1,1

Giải:

OB có ph-ơng trình yx  D : 0 x 1; 0 y x

1 x 0 &2 x x

1

x x

      

 

- Ví dụ 2: Tính

 D

I xydxdy trong đó  D đ-ợc xác định bởi x y; trục hoành và x y 2

Giải:

2

y D

 





  

2 1

0

7

24

y

y



    

- Ví dụ 2: Tính

2

2 4 2

0 0 4

xe

y







 

Giải:

 

2

4

y

D

xe

y

 



4

0 0

y



   



 

2 Đổi biến trong tích phân hai lớp

a Công thức biến đổi tổng quát

- Định lý: Nếu hàm số f x y , liên tục trên miền  D thì ta có

 

 

D





J u v

 

 



 

 

- Ví dụ:

Tính

 D

I xydxdy trong đó  D đ-ợc giới hạn bởi   2 2

yx y x

Đặt

2

3 2 3

1 1 4

105

32 ,

u

y

J u v x

v









b Công thức biến đổi trong toạ độ cực





 



 

 

D



 

 

- Nếu f x y z , ,  xác định trên  V có dạng trên, thì

 

 

 

 

 

 

- Ví dụ: ( giáo trình )

b Đổi biến trong tích phân ba lớp

- Giả sử  V đóng, bị chặn trong không gian Oxyz và   là miền đóng, bị

chặn trong Ouvw

Trong   các đạo hàm riêng xx u v w , , ;yy u v w z , , ; z u v w , , là liên tục sao cho u v w, ,   x y z, ,  là một song ánh      V

  

  

  

  

  

  

 

V





- Toạ độ trụ

Đặt xrcos;yrsin ; zz J r , , zr

 

V



 

- Toạ độ cầu

Đặt

 

2

V





r0; 0  ; 0  2

- Ví dụ: ( giáo trình )

III Bài tập

1 Dùng phép biến đổi trong toạ độ cực Tính a/

 

2 2 1

D

 

:

 

D

 

sin

x cos

y

 





 



 

2

0 2

cos

D









 

         

 

0 0



    

 

2 2





:r x y R x; 0

    

§Æt

sin

2

z cos



 





 



4 sin

15

R

r



4 Bµi tËp vÒ nhµ

5 Rót kinh nghiÖm

ứng dụng của tích phân bội

I/ Mục tiêu:

- Kiến thức:

- Kỹ năng:

- Thái độ: Nghiêm túc

II/ Tiến trình

1 Kiểm tra sỹ số:

2 Kiểm tra sự chuẩn bị bài:

3 Bài mới

1 ứng dụng của tích phân hai lớp

a Tính thể tích

- Nếu  V là miền hình trụ, đáy  D Oxy, mặt trên  S có ph-ơng trình

 

,

D

2; 4

và z0

 V

 là hình trụ có đáy  D là hình tròn x2y2 2mặt trên

2 2 4

 

2 2 4

D

    

0 0

2

4

2 sin

y







      

  

b Tính diện tích hình phẳng

- Hình  D có diện tích

 D

S dxdy

- Ví dụ: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đ-ờng  2 2

x y  vàyx y; 0

 D

 xác định nh- sau( trong hệ toạ độ cực ) 2cos r 4cos ;

0

4





 

 

4 4

0 2

4

cos

S dxdy d rdr









c Tính diện tích mặt cong

- Định lý:

Nếu mặt  S có ph-ơng trình z f x y ,    x y,  D và các đạo

f x y f x y tồn tại, liên tục trong  D thì diện tích của

 

D

S  f x y  f x y  dxdy

,

1

2 2

,

ra z'x  ;z'y 

 

2 1

0 0

D





2 2 0

1





   

d ứng dụng trong cơ học

- Có  D là một bản phẳng không đồng chất, khối l-ợng riêng tại

x y,    D là  x y, thì  

 

,

D

m x y dxdy, m là khối l-ợng của  D ;

 

 

;

x x y dxdy y x y dxdy

, trong đó I là trọng tâm  D

- Ví dụ: ( giáo trình )

e Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

+/ yx y; 3x và x1

1 3 1

x

x

    

+/ Phần mặt cầu x2y2z2 4 cắt bởi mặt trụ x2y2 1

vật thể tại điểm x y z, , 

+/

 

 

 

1

, ,

1

, ,

1

, ,

I V

I V

I V

m

m

m

















 







 









, trong đó I là trọng tâm của vật thể

+/ Ví dụ: ( giáo trình )

c Bài tập áp dụng

2 2 2

2

  

4 Bài tập về nhà

5 Rút kinh nghiệm