Bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội

Bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội cung cấp cho người học các kiến thức: Một số mặt bậc hai thường gặp, tích phân kép, đổi biến trong tích phân kép, ứng dụng của tích phân kép, tích phân bội ba. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI

§0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

§1: TÍCH PHÂN KÉP

I Định nghĩa và Cách tính

II Đổi biến trong tích phân kép

III Ứng dụng của tích phân kép

§2: TÍCH PHÂN BỘI BA

I Định nghĩa và Cách tính

II Đổi biến trong tích phân bội ba

III Ứng dụng của tích phân bội ba

Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ

Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa

độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều

là ellipse thì ta sẽ gọi mặt S là mặt Ellipsoid

Ellipse

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là

Paraboloid Elliptic

cho z=c ta được đường còn lại là 1 đường Hyperbol

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc

các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Hyperbol thì ta gọi mặt S là

§0 Một số mặt bậc hai thường gặp

Vẽ parabol

trên mp y=0

2 2

y

z b

Khi cho z=0: có 2 trường hợp

TH1: Nếu vế phải bằng +1 thì giao tuyến là ellipse

TH 2: Nếu vế phải bằng -1 thì khi

mới có giao tuyến là ellipse

| |z c

§0 Một số mặt bậc hai thường gặp

VP là 1: 2 giao tuyến

với x=0, y=0

VP là - 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2

Hyperbol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Hyperboloid Elliptic

§0 Một số mặt bậc hai thường gặp

Căn cứ vào hình dạng của 2 mặt Hyperboloid

Elliptic trên mà ta gọi tên 2 mặt là:

Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt trụ, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt trụ

Ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường sinh song song

với 1 trong 3 trục tọa độ

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt

sẽ thiếu biến đó,

còn phương trình bậc 2 chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ trong mặt tọa độ tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn

Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ

đường sinh song song với trục Oz,

đường chuẩn là đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0

Ta gọi đây là mặt trụ tròn

xoay theo tên của đường

chuẩn

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Trong MatLab, để vẽ trụ tròn xoay có thể dùng lệnh

cylinder

sinh song song với trục

Oy, tựa lên đường

chuẩn là parabol z=x 2

ở trên

đường chuẩn là parabol z=x2

trên mặt phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

IV Mặt nón bậc 2 :

Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua

1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong cố định

mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

0 1 2

-2 -1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5 2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

>> [r p]=meshgrid(linspace(0,1,20),linspace(0,2*pi,20));

>> mesh(r.*cos(p),r.*sin(p),r.^2)

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

-1 -0.5 0 0.5

1 -1

0 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

>> theta=linspace(0,pi,20);

>> phi=linspace(0,2*pi,20);

>> [t p]=meshgrid(theta,phi);

>> mesh(sin(t).*cos(p),sin(t).*sin(p),1+cos(t))

-1 0

1 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

1 2 trong 3 giao tuyến là 2 cặp đt, giao tuyến thứ 3

là ellipse nên ta có mặt nón ellipse

2 2 trong 3 giao tuyến là 2 parabol, giao tuyến thứ

3 là ellipse nên ta có mặt Paraboloid elliptic

3 Đặt x=u+v, y=u-v thì ta được pt

u2-v2=z2 <==> u2=v2+z2 là pt của mặt nón

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Chia miền D thành n phần tùy ý Dij bởi các đường thẳng song song với 2 trục Ox, Oy Tại mỗi miền Dijlấy 1 điểm M(xi,yj) tùy ý

Dij

yj

xi M(xi,yj)

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Cho số các phần chia tăng lên, tổng thể tích các hình hộp nhỏ tính được so với thể tích hình trụ cong cần tính càng chính xác

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Ta cho , nếu tổng có giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là thể tích hình trụ cong cần tính

n

Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1,

D2, D3, …(các phần không có phần chung) tương ứng

có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3, …

Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm Mk(xk,yk) tùy ý.

Lập tổng (gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y))

Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia

miền D và cách lấy điểm Mk

Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định

trong miền đóng, bị chặn D

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hiệu đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D)

Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S mà không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như cách lấy điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và kí hiệu là

 

Tức là

Chú ý : Nếu f(x,y) khả tích trên D thì ta có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ Lúc đó

Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là Δxi, Δyj nên

ΔSij = Δxi Δyj và ds được thay bởi dxdy Vì vậy, ta thường dùng kí hiệu

Điều kiện khả tích :

Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0 Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu hạn các cung trơn

Định lý: Hàm liên tục trên 1 miền đóng, bị chặn và có biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó

Định lý: (Về giá trị trung bình )

Ý nghĩa hình học của tích phân kép :

Với cách tính thể tích hình trụ cong ở trên ta có

( , )

D

V   f x y dxdy

Đại lượng được gọi là

giá trị trung bình của hàm f(x,y) trên miền D

1

( , )( ) D f x y dxdy

S D

Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên thông D Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0,y0) sao cho : ( , ) ( 0, 0) ( )

D

f x y dxdy  f x y S D



§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Ví dụ : Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc

hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn dưới bởi hình

vuông D = [0,2]x[0,2] và giới hạn xung quanh bởi

4 mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2 Ước lượng thể

tích của vật thể trong các trường hợp sau :

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

b Chia thành 16 phần, V≈ 41,5

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

c Chia thành 64 phần, V≈44,875

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

d Chia thành 256 phần, V≈46,46875

Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y)

liên tục trên miền đóng và bị chặn D

Ta đi tích phân này bằng 2 cách

Cách 1 : Chiếu miền D xuống trục

Ox ta được đoạn [1,4]

Đi theo trục Oy từ dưới lên

4 2

1 ( 4) 3

y= 1 / 3 (x-4)

y=4-x

4

2 1

4

3

Đi theo trục Ox từ trái

sang thì không giống

(2 ) ((2 ) )

1 2

22

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Ta còn có thể xác định cận của tích phân trên mà

không cần vẽ hình như sau:

Tìm giao điểm của 2 đường biên của miền D:

y = x = 2-x 2 x 2 +x-2 = 0 x = -2, x = 1

Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức là ta lấy trong khoảng 2 nghiệm của tam thức f(x) = x 2 +x-2 nên ta có bất đẳng thức:

x2+x-2 ≤ 0 x ≤ 2-x 2

Tức là, với x nằm trong khoảng (-2,1) thì đường

thẳng y=x nằm dưới đường parabol y = 2-x 2 Vậy ta

cũng viết được cận tích phân:

 

2

2

1 2

Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình

Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích

phân này thì ta chiếu D xuống

trục nào cũng như nhau

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích

phân sẽ buộc ta phải chiếu D

Chiếu miền D vừa vẽ xuống

cos sin

Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực

Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt :

r

↔

↔ r = 2acosφ

Công thức đổi biến sang tọa độ cực

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Để xác định cận của tích

phân theo φ, ta quét từ dưới

lên theo ngược chiều kim

đồng hồ bởi các tia màu đỏ

phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia

màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào gặp sau thì pt đường đó là cận trên

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

2cos 2

Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận

dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi

đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ

2

3

0 3

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ

a

r

a

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Trong đó D giới hạn bởi

Trong đó D giới hạn bởi :

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

2cos 3

mới đổi sang tọa độ cực

Thực hiện 2 việc trên bằng 1

phép đổi biến sang tọa độ

Khi đó, miền D giới hạn bởi 0

0 2

2 Thể tích vật thể Ω giới hạn trên bởi mặt

giới hạn dưới bởi mặt S z f x y2 :  2( , )

và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục

Oz có đường chuẩn là biên miền D được tính bởi:

Ví dụ 1: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi

Tức là chiếu miền D xuống trục Oy được đoạn [-2,3]

Khi -2 ≤ y ≤ 3, suy ngược lại phương trình (1)

ta sẽ được y 2 + 2y + 1 ≤ 3y + 7

2

1 (3 7)

1 2

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt phẳng nằm ngoài đường tròn r = 1 và trong đường tròn 2 cos

Vậy :

2 cos3 6

1 6

( )

3 3( )

18

S D

Hình chiếu của giao tuyến là

đường tròn thì hình chiếu của

Với bất đẳng thức hình tròn, ta thay ngược lên

Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x 2 + y 2 = 4,

y 2 = 2z, z=0

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Trong 3 mặt tạo nên vật thể, có 1 hình trụ kín (đường

chuẩn là đường cong kín) x 2 +y 2 =4 song song với trục

Oz (pt không chứa z) nên hình chiếu của nó xuống mặt

z = 0 là hình tròn, tức là ta có miền lấy tích phân D:

Ta sẽ tìm hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy dựa trên các pt không chứa z tức là các hình trụ có đường sinh song song với trục Oz

Trong 4 mặt đã cho có 2

mặt trụ (phương trình

không chứa z) cùng song

song với Oz là y=1, y = x 2

File: VD5_tpkep3.m

Oxy ta được ΔABC nên

hình chiếu của V xuống

mp Oxy là Dxy: ΔABC

B

4 0

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

y=0

3/2x+y=4

3x+y=4 z=1/2x2+1/4y2

Ví dụ 7 : Tính thể tích vật thể giới hạn bởi : y = 0, z = 0,

z = a – x - y, 3x + y = a, 3/2x + y = a

Trong 5 pt đã cho có 3 pt

không chứa z tương ứng

với 3 mp cùng song song

Rõ ràng, trên hình vẽ ta có

ΔABC nằm phía dưới đường

thẳng a-x-y=0 tức là trong

miền D ta có bất đẳng thức

0 ≤ a-x-y Suy ra hàm dưới

dấu tích phân là f(x,y) = a-x-y

0

3

a y a

a y

dy a x y dx

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Ta xoay trục Oy thẳng đứng, ta

sẽ thấy vật thể chính là hình chóp tứ giác, thể tích bằng 1/3 chiều cao nhân diện tích đáy

y=0

3/2x+y=4

3x+y=4

z=4-x-y

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Cho z = 0 và thay vào phương trình Paraboloid ta

được x2+y2 =1, tức là giao tuyến của mặt Paraboloid

với mặt tọa độ z = 0 là đường tròn 1 phần đường

tròn đó sẽ “ĐẬY KÍN” phần còn mở giữa 2 đường

0 4

(1 )

Hai mặt trụ cùng song song với trục Ox là

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

C Diện tích mặt cong : Diện tích phần mặt cong S có phương trình z = f(x,y) và có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D được tính bởi

Như vậy, để tính thể tích vật thể hoặc tính diện tích 1 phần mặt cong thì trước tiên ta phải xác định được

hình chiếu D của vật thể hoặc phần mặt cong cần tính xuống 1 trong 3 mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx

Với mặt cong cần tính diện tích, ta phải viết lại pt mặt bằng cách viết 1 biến theo 2 biến còn lại tuỳ vào việc ta tìm hình chiếu xuống mp toạ độ nào

Với ví dụ này, ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình đã cho

Vì mặt S nằm phía trên mặt nón tức là z ≥ 0 nên ta lấy

x y y

2

2 4

2 mặt phẳng đã cho đều song song với trục Ox (Pt

không chứa x) nên ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống

mặt phẳng x = 0

Chiếu 2 mặt phẳng xuống mặt x = 0

ta được 2 đường thẳng cùng đi qua

gốc tọa độ tức là chưa có miền

Do đó, ta sẽ phải lấy thêm hình

chiếu của mặt cầu xuống mặt

phẳng x = 0 là hình tròn

z

y

O

rồi nhân đôi

Ta viết lại phương trình mặt S theo y, z: x=f(y,z) và x ≥ 0

Miền D trên mp x=0 x 2 +y 2 +z 2 =2

y z z

2 0

4

1 2

Ví dụ 12: Tính diện tích phần mặt trụ S: x2+y2=4 nằm phía trong mặt trụ R: x2+z2 = 4

z

x y

x y

4 0

4

D

x

4 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùng

song song với trục Oz, tạo trong không gian 1 hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vuông ABCD Mặt nón nhận mặt phẳng

Oxy là mặt đối xứng nên

x y y z

1 z x z y 2

Vậy S = 2.2 √2

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

-y+x=1 y+x=1

y-x=1 y+x=-1

z2=x2+y2, z≥0

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

z2=x2+y2

y=x2

x=y2

Ví dụ 2 : Tính diện tích miền nằm ngoài đường

r = 2cosφ và phía trong đường r = 2(1+cosφ)

D1 D2

3 2(1 cos ) 2(1 cos )

b Moment quán tính của mảnh phẳng

Mảnh phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng tại điểm (x,y) là f(x,y)

y D

D

xf x y dxdy M

x D

D

yf x y dxdy M

y

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Ví dụ: Cho mảnh phẳng D giới hạn bởi y=x2, y=2-x

và khối luợng riêng f(x,y)=2x-y Tính khối lượng, các moment quán tính, moment tĩnh và trọng tâm

x x

x y

x

 63

10

x x

x y

x

§1: Tích phân kép – Bài tập

IV Tính thể tích vật thể:

2 2 1

2 2 2 2 2

3

2 4

§1: Tích phân kép – Bài tập

V Tính diện tích mặt cong

1 S