Nguyên hàm và tích phân (GV Trần Thanh Tú)

Công thức của từng phần : udv uv∫ = −∫vdu Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần... BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI TẬP VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT nguyên hàm để vận dụng vào giả

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

A NGUYÊN HÀM

ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên K , hàm số y F x= ( ) được gọi

là nguyên hàm của hàm số y= f x( ) trên K khi và chỉ khi:

K x

∀ ∈ , ta có: F x'( ) = f x( )

Kí hiệu: ∫ f x dx F x( ) = ( ) .

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y x= 4+x

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y=2sinx

ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số y F x= ( ) là nguyên hàm của hàm số y= f x( ) thì hàm số ( )

y F x= +c cũng là nguyên hàm của hàm số y= f x( )

Khi đó ta có: ∫ f x dx F x( ) = ( ) +c với c là hằng số.

ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số u u x v v x= ( ), = ( ) xác định trên K Khi đó ta có:

1 ∫ (u v dx± ) =∫udx±∫vdx

2 kvdx k vdx∫ = ∫ , với k là hằng số.

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

xα α1+1xα+1+c (ax b+ )α ( 1) ( ) 1

1

ax b c a

α

α

+

+

1

ax b+

1

ln ax b c

1

2 ax b+

1

ax b c

1

2

sin

1

ax b+ 1ta an( )

a x b+ +c 2

1

2

cos

1

x

e e x +c e ax b+ 1a e ax b+ +c

x

ln

x

a c

ln

x

a

α β

Trong đó: c là hằng số.

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

◙ PHƯƠNG PHÁP 1 : Đổi biến số.

Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số

1 ∫ f x g x dx( ) ( ) , trong đó : g x'( ) = f x( ) Đặt t =g x( )

2 ∫ f u x v x dx( ( ) ) ( ) , trong đó : u x'( ) ( )=v x Đặt t u x= ( )

3 ∫ f x( ,m f x dx( ) ) , đặt t =m f x( )

4 f ln x,1 dx

x

α

5 ∫ f x a( , 2−x dx2) , đặt x=asint hoặc x=acost

6 ∫ f x x( , 2 −a dx2) , đặt

sin

a x

t

=

7 ∫ f x x( , 2 +a dx2) , đặt x=atant

◙ PHƯƠNG PHÁP 2 : Từng phần

Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần

Công thức của từng phần : udv uv∫ = −∫vdu

Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần

1 ∫ f x( )sinαxd x, đặt ( )

sin x

u f x

dx

dv α

 =



 2 ∫ f x( )cosαxd x, đặt ( )

cos x

u f x

dx

 =





3 ∫ f x e dx( ) αx , đặt ( )

x

u f x

dv eα d x

 =





=

 4 sin

eα βx x

sin

x xdx

u e dv

α

β

 =





=



5 ∫eαxcosβx x d , đặt

cos

x xdx

u e dv

α

β

 =





=

x dx

eα β x

dv e dx

β α

 =





=



7 ∫ f x( )lnα xd x, đặt

( )

ln

dv f x dx

α

 =





=



B TÍCH PHÂN

Công thức Newton – leibnizt: b ( ) ( ) b ( ) ( )

a a

f x dx F x= =F b −F a

∫

Tích phân từng phần: b ( ) b b

a

udv= uv − vdu

Định lí quan trọng: b ( ) c ( ) b ( )

f x dx= f x dx+ f x dx

b ( ) a ( )

f x dx= − f x dx

C BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI TẬP VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

nguyên hàm để vận dụng vào giải bài tập.

Ngoài ra những kiến thức bổ trợ để giải bài tập dạng này là: công thức lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit, bảng đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit.

Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ( ) 42

2x 3

f x

x

+

= 2 ( ) ( 2 )2

2 1

x

f x

x

−

= 3 f x( ) 1 32

4 ( ) 2

si 2 2

n x

f x = 5 ( ) ( )2

tanx cotx

f x = − 6 ( ) 2 2

cos 2 sin cos

f

x

x =

7 f x( ) =2sin 3 cx os 2x 8 ( ) 2 2

cos

x

f x e

x

−

  9 ( ) 2 x 3x

f x = a +

10 ( ) 2

2 1

f x

x

=

− 11 ( ) 2

5

f x

x x

=

− + 12 f ( )x =sin 7 cos5 cosx x x

16 ( ) ( )2

2

1

x

f x

x

−

= 17 f x( ) x3 1

x

−

= 18 f x( ) =tan2x

19 ( ) 2

cos

f x = x 20 ( ) 2 2

1 sin cos

f x

= 21 f x( ) =sin 3x

21 f x( ) =2sin 3 cos 2x x 22 ( ) x( x 1)

f x =e e − 23 f x( ) =e3x+ 1

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F x của hàm số ( ) f x thỏa mãn điều kiện: ( )

1 ( ) 2 ( ) 7

3

f x = −x F = 2 f x( ) =4 x x F− , ( )4 =0

3 f x( ) =4x3−3x2+2,F( )− =1 3 4 ( ) 3 2 2 ( )

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

 PHƯƠNG PHÁP 1: ĐỔI BIẾN SỐ

Tính I =∫ f u x u x dx( ( ) ) '( ) Đặt t u x= ( ) ⇒dt u x dx= '( ) , khi đó:

( )

I =∫ f u x u x dx=∫ f t dt

 PHƯƠNG PHÁP 2: TỪNG PHẦN

Công thức: I =∫u x v x dx u x v x( ) ( )' = ( ) ( ) −∫u x v x dx'( ) ( )

Hay I =∫udv uv= −∫vdu

Lưu ý: Dấu hiệu nhận biết cách đặt đã được nêu ở phần trên HS cần nắm vững

các dạng thường gặp để vận dụng vào việc giải bài tập.

Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ( 2 )7

2x +1 xdx

∫ 2 ( 3 )4 2

5

x + x dx

∫ 3 ∫x x2+1dx

4 2

5

x

dx

x +

∫ 5

2 3

3

5 2

x dx x

+

∫ 6 1

1

e +

∫

7 ( )2

1

x + x

∫ 8

3

ln x

dx x

∫ 9 ∫xe x2+1dx

10 sin5

cos

x

x dx

∫ 11 cot xdx∫ 12 tan2

cos

x dx x

∫

13

sin

dx

x

∫ 14

cos

dx x

∫ 15

x

e dx x

∫

16

3

x x

e

dx

e −

∫ 17

tan 2 cos

x

e dx x

∫ 18 ∫cos sin3x 2xdx

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ( 2 )

si

x + xd x

∫ 2 ( 2 )

co

x + x+ x dx

∫ 3 ∫xsin 2xdx

4 ∫xcos 2xdx 5 ∫xe dx x 6 ln xdx∫

7 ∫x xdxln 8 ∫ln xdx2 9 ln x dx

x

∫

10 2

cos

x

dx x

∫ 11 sin xdx∫ 12 ( 2 )

ln x +1 dx

∫

13 ∫e xcosxdx 14 ∫x e dx 3 x2 15 ∫xln(x2+1)dx

16 2∫ x xdx 17 ∫x xdxlg 18 ∫2 lnx (x+1)dx

19 ( )

2

ln x 1

dx x

+

∫ 20 ∫x2cos 2xdx

DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH TÍCH PHÂN

Bước 1: Tìm nguyên hàm các hàm số dưới dấu tích phân.

Bước 2: Dùng công thức newton – leibnizt tính các tích phân.

Bài tập 1: Tính các tích phân sau:

1 1 ( 2 )

0

1

x x + dx

∫ 2 16 ( 2 )

1

1

x x x − dx

∫ 3

8 2 3 1

x x

dx x

∫

4 4( )3

1

1 x

dx

x x

−

∫ 5

2

1

3

5x−3dx

∫ 6

4

2

1

x dx x

−

−

∫

7

5 2

4

3

x x

dx x

− +

−

∫ 8

5 2 4

x

dx

x x

−

∫ 9

5 2 4

1

3 2dx

x − x+

∫

10

4

2

3

3

x

dx

x x

−

∫ 11

5 2 4

3

6 9dx

x − x+

∫ 12

5 2 4

x

dx

x x

−

∫

13

2 2

1

1 3

x

dx x

+

∫ 14

2

x dx

x +

∫

Bài tập 2: Tính các tích phân sau:

1 2

0

cos3 cosx xdx

π

∫ 2 2

0 sin 2 sinx xdx

π

∫ 3 2

0 cos sin 3x xdx

π

∫

4 2

0

sin 2 cos5x xdx

π

∫ 5 2 4

0

cos xdx

π

∫ 6

3

6

1 sin xcos x dx

π

π

∫

7

3

6

cos 2

sin cos

x dx

π

π

∫ 8 4

2 0

3 cos

x

x

π

−

∫

Bài tập 3: Tính các tích phân sau:

1

8

3 1

x

dx x

+

∫ 2

1

0 1

x +x dx

∫ 3

1

01

x dx x

+

∫

4

ln 2

0

1

x

e − dx

∫ 5

2

2

dx

x +x

∫ 6

3/2

2 1/2 1

dx

x −x

∫

Bài tập 4: Tính các tích phân sau:

1 2

1

2 0

x

e− + xdx

∫ 2 2 1 2 sin

0

cos

x

π +

∫ 3

1

0

x

e e dx

∫

4

ln

1

e dx

x

∫ 5 2

2

0cos

tgx

e dx x

π

∫

Bài tập 5: Tính các tích phân sau:

1 2

0

sin

1 2cos

x dx x

π

+

∫ 2

2

1 ln

e e

dx

x x

∫ 3

1

0 sin

e e dx

∫

4

1

0

x

e dx

e +e−

∫ 5 ( )

27

3

dx

x + x

∫ 6 4

0

cos xdx

π

∫

7

ln 2

0

dx

e +e−

∫ 8

/2 3 /6

cos sin

x dx x

π

π∫ 9

2 ln 2

ln 2 x 1

dx

e −

∫

10

0

sin

x dx

π

+

∫ 11 2 3

0

cos

x dx

π

+

∫

Bài tập 6: Tính các tích phân sau:

1

/2

0

cos

x

e xdx

π

∫ 2

/2 2 /4sin

x dx x

π

π∫ 3 2

0

sin cos

x x

dx x

π

∫

4 1 ( 2)

0

ln 1

x +x dx

∫ 5 ( )2

0 ln

e

x dx

∫ 6

/2

/6

sin

1 cos

dx x

π

π

+ +

∫

7

/2

2

0

sin

x xdx

π

∫ 8 ( )2

1

1 ln

e

x dx

−

∫ 9

1/

ln

e e

x dx

∫

10

/2

0

sin

x

e xdx

π

∫ 11 1 ( )

0

ln 1

x +x dx

∫ 12

2

2

e e

dx

∫

Bài tập 7: Tính các tích phân sau:

1 2 2 2 ( )

0

0

a

x a −x dx a>

∫ 2.

2

2 /2

1 x

dx x

−

∫ 3 2

1 4 ln

e

dx

x − x

∫

4

1

2 0

x x dx

∫ 5

3 2 0

1

9+x dx

∫ 6

1 2 1

1

2 5dx

7

3

1

1

x −x

∫ 8.

1

0 1

x −x dx

∫ 9

2

1

1

x +x

∫

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH

1 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y= f x( ) và hai đường thẳng

;

( )

b

a

S =∫ f x dx

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y= f x y g x( ); = ( ) và hai đường thẳng x a x b= ; = được tính bởi công thức:

( ) ( )

b

a

S =∫ f x −g x dx

2 THỂ TÍCH VẬT THỂ

Thể tích vật thể giới hạn bởi đường cong y= f x( ) và hai đường thẳng x a x b= ; =

khi quay quanh trục Ox được tính theo công thức:

( )

2

b

Ox a

V =π∫ f x dx

Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong y= f x y g x( ); = ( ) và các đường thẳng

;

( ) ( )

b

Ox a

V =π ∫f x −g x dx Thể tích vật thể giới hạn bởi đường cong x= f y( ) và hai đường thẳng y c y d= ; =

khi quay quanh trục Oy được tính theo công thức:

( )

2

d

Oy c

V =π∫ f y dy

Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong x= f y x g y( ); = ( ) và các đường thẳng

;

( ) ( )

d

Oy c

V =π ∫f y −g y dy

Bài tập 8: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau:

1 2

y x= − x x= − x= Ox 2 x, 0, 1, 2

y xe y= = x= − x=

3 y= − −x2 4 ,x x = −1,x= −3 4 , 0, , 0

3

y tgx x= = x=π y=

5 y ln2x,y 0,x 1,x 2

x

= = = = 6 1, , 0, ln

2

x

x x e y y

x

7

2

1

x x

x

+ 8

2

y= x x y = x= x=π

Bài tập 9: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau:

1 ( )5

y= +x y e x= = x=

2 12 , 12 , ,

3 y= +2 sin ,x y = +1 cos ,2x x∈[ ]0;π

4 Tìm b>0 sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ): 2 2

1

x

C y

x

= + và các

đường thẳng y=1,x=0,x b= bằng

4

π

Bài tập 10: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau:

1 y x= 2−2 ,x y = − +x2 4x 2 y= − +x2 2x và y= −3x

3 2

y − y x+ = và x y+ =0 4 2

5 0

y + − =x và x y+ − =3 0

5 y= x2−4x+3 và y x= +3 6 4 2

4

x

y= − và

2

4 2

x

y=

Bài tập 11:

1 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: , 0, 0,

3

D=y tgx y= = x= x=π

a) Tính diện tích hình phẳng D

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox

2 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: ( )P y: 2 =8x và x=2 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( )D quanh trục Ox

3 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các

đường: x 1;x 2;y 2;y 1

4 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: 2

4

y= −x và 2

2

y x= + Quay D xung quanh Ox

ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này

Bài tập 12:

1 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: 2 , 0, 0,

4

D=y tg x y= = x= x=π

a) Tính diện tích hình phẳng D

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox

2 Tính V , biết Ox D={y x x y= ln , =0,x=1,x e= }

3 Tính V , biết Ox

3

2 , 3

x

D=y= y x= 

4 Tính V , biết Ox 0; 1 sin4 cos4 ; 0;

2

D=y= y= + x+ x x= x=π

5 Tính V , biết Ox D={x2+ = =y 5 0;x y+ − =3 0}

6 Tính V , biết Ox D={y=2 ;x y2 =2x+4}

7 Tính V , biết Ox D={y x= 2−4x+6;y= − −x2 2x+6}

8 Tính V , biết Ox D={y x y= 2; = x}

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG SAU

1 y= x e Ox x x; ; =1;x=2

2 y=ln ;x x=1;x=2;Ox

3 y x= +3 1;Ox Oy x; ; =1

4 y= −1 x y2; =0

5 y=cos ;x y =0;x=0;x=π

6 ; 0; 0;

4

y tgx y= = x= x=π

7 y2 = x y3; =0;x=1;y=sin2x

8 y=0;x=0;x=π

9 2; 0; 0; 1

x

y xe y= = x= x=

10 y= − +x2 2 ;x Ox

TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU

1

3

3

1

ln

e

x

dx x

∫ 2

1 ln

e

x xdx

∫ 3 1 ( 2 )

0

x x + dx

∫

4 2

1

ln

e

x xdx

∫ 5 /2( )

0 cos sin

π

+

∫ 6

1

1 ln

e

x

∫

7 2 ( 2 )

1

ln x +x dx

∫ 8

/3 2 /4 tan

x xdx

π

π∫ 9

2 5 1

ln x

dx x

∫

10

/2

0

cos

x xdx

π

∫ 11

1

0

x

xe dx

∫ 12

/2

0 cos

x

e xdx

π

∫

TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU

1

1

3

0

x

xe dx

0

1 cos

π

−

0

2 x sin 3xdx

π

−

∫

4

/2

0

sin 2

x xdx

π

∫ 5

0 ln

e

x xdx

∫ 6 ( 2)

1

e

x xdx

−

∫

7

3

1

4 lnx xdx

0

ln 3

x +x dx

∫ 9 2( 2 )

1

1 x

x + e dx

∫

10

0

cos

x xdx

π

/2 2 0 cos

x xdx

π

∫ 12 /2( 2 )

0

2 sin

x x xdx

π

+

∫

13

2

5

1

ln x

dx x

∫ 14

/2

2 0

cos

x xdx

π

∫ 15

1

0 sin

x

e xdx

∫

16

2

0

sin xdx

π

∫ 17 2

1 ln

e

x xdx

∫ 18

/3 2 0

sin cos

dx x

∫

19 2

0

sin cos

x x xdx

π

0

π

−

2 1

ln 1 x

dx x

+

∫

22 1( )2 2

0

x+ e dx

1 ln

e

x x dx

∫ 24 /2 ( )

0 cos ln 1 cosx x dx

π

+

∫

25 ( )2

1/

ln

1

e

e

x dx

x+

1 2 0 tan

x xdx

∫ 27 1( ) 2

0

x− e dx

∫

28 1 ( 2)

0

ln 1

x +x dx

1

ln

e

x dx x

∫ 30 /2( 3 )

0

π

+

∫

31 2( ) ( )

0

2x+7 ln x+1 dx

∫ 32 3 ( 2 )

2

ln x −x dx

∫