MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ GỢI Ý NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN NGUYÊN docx

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1/ Tìm nguyên hàm các hàm số sau a.. II/ DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÍNH NGUYÊN HÀM 1/ Tính các nguyên hàm sau... III

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN

1/ Tìm nguyên hàm các hàm số sau

a

4

5

2

x

y= x −

b f x( ) 2= x4 3x+3 1 −

c

2

( ) (3 2 )(5 1)

3

x

3

x

f

1

3

2

5 ( )

2

f x x

x

−

g ( ) 20f x = x

h f x( )= e2x+1

2/ Tìm các nguyên hàm sau

a

2

4

3

( x− x dx)

b 3 3 .

dx x

+

c ̣ c x dxos

d

1 osx

3

c

dx

+

e

2 5

3

dx x

−

f ( )2

1− x (3x 5).dx+

g 1

2 3

5

x x

x+

h 23 .

x

x

e

dx

i ̣ (lnx+ lg x dx)

log x + log x log−x dx

II/ DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÍNH NGUYÊN HÀM 1/ Tính các nguyên hàm sau

a.̣ sin 2 x dx

b.̣ cos5x.dx

c ̣ sin(3x− 7).dx

d

2

os( x+17).dx

3

c

e

5x 1

e + dx

f

2 5

3 x+ 27 x dx

g

2

sin xcos x dx

h

m

os sin

c x x dx

i

sinx osx.dx

e c

k

os2x

5c sin 2 x dx

l

9

os (5x-7)sin(5 7)

m ( )7

3x− 8 dx

2/ Tìm các nguyên hàm sau

a ( )5

7x−10 dx

b ̣ (2x2 3x3− 2008).dx

c 2

2

1

x

dx

x +

d

9

10

5

1

x

x +

e

2 (x x + 4) dx

f

ln

x

dx

x

g

7

8

3

1

x

dx

x +

h

2 1

1

x

x

e

dx

e

−

+

i

ln ln

ln

x

dx

x x

k ln ln ln

dx

III/ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC :

(Chúng ta hãy lưu ý rằng để làm tốt nguyên hàm của các hàm lượng giác thì cần phải

sử dụng thành thạo các công thức lượng giác đã được học ở lớp 11 Phải coi chúng như bảng cửu chương hoặc như là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ Trước hết chúng ta xét những dạng bài tập cơ bản)

1/ Tính nguyên hàm

a

2

sin x dx

b

2

os

c x dx

c ̣ t anx.dx

d.̣ cot x dx

e

2

tan x dx

f

2

cot x dx

g ̣ sinα x.sin x dx. β

h ̣ sinα x c os x.dxβ

i ̣ cos x.cos x.dxα β

2/ Tính các nguyên hàm

a

4

sin x dx

b

4

os

c x dx

c

4

tan x dx

d

4

cot x dx

e

6

tan x dx

f ̣ sin 7 os15x.dxx c

g ̣ cos7x.cos9x.dx

i ̣ sin 2 sin 6 x x dx

3/ Tìm các nguyên hàm sau

a

3

sin osx.dxx c

b

5

sin x dx

c

7

os

c x dx

d

5 10

sin os x c x dx

e os (7x-10)2

dx

c

f osx

dx

c

g sinx

dx

h 1 osx

dx

c

+

i 1 sinx

dx

+

k ̣ sinx 3+cosx.dx

l

sin( 1)sin( 3)

dx

dx

m

sin(2 7) os(2x+3)

dx

dx

x− c

p

3

2

osx.sin

1 sin

dx x

+

IV/ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ (HÀM PHÂN THỨC)

(Lớp nguyên hàm của bài toán này khá dễ, để tìm được nguyên hàm của những lớp hàm này chúng ta lưu ý những điểm sau:

ii Quan sát bậc đa thức trên tử và bậc dưới mẫu, nếu bậc đa thức trên tử lớn

hơn hoặc bằng bậc đa thức dưới mẫu thì thực hiện phép chía đa thức

iii Quan tâm tới nghiệm của đa thức dưới mẫu số )

1/ Tìm các nguyên hàm sau

a ( 9)( 10)

dx

b ( 2)(7 )

dx

c (2 5)( 3)

dx

d 2 2 3 1

xdx

x + x +

e 2

2

xdx

x − x −

f 6 3 7 2 3

dx

x − x x−

g

3

3

1

4

x

dx

x x

−

−

h

5 4

3

8

4

x x

dx

−

i 2 1

x

x

e dx

e −

2/ Tìm nguyên hàm các hàm hữu tỉ sau

a 4 3 2 2

xdx

b

3

4 4 2 3

x dx

c

5

x dx

x − x −

d

3

2

3 2

e

2

2

( 2)

x

dx

+

f ( 2 2)

dx

x x +

g ( 2 4)( 2 1)

dx

h

2

( 1)( 9)

x dx

i

2

4

( 1)

1

x

−

+

k x(3 x)

dx

e + e−

V/ NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN (Mục đích của việc nguyên hàm từng phần là chuyển một nguyên hàm rất khó tính bằng các phương pháp đã biết về một nguyên hàm dễ tính hơn, Vậy những bài toán như thế nào thì phải dùng nguyên hàm từng phần?

Đó là những bài toán có dạng như sau;

i ̣ P x( ).sinmx dx. ; ̣ P x c( ) osmx.dx; (P(x là một đa thức nào đó vd:

2

(x +1)sin 3 x dx

ii ( ). .

mx

P x e dx

̣ ; ̣ P x a dx( ) nx ; vd:

(3x− 5)5 x dx

iii .sin

mx

e nx dx

̣ ….) ̣ a cαx os x.dxβ vd:

e

iv ̣ P x( ) ln x dx ̣ P x( ) log a x dx vd:

3ln

x x dx

1/ Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp toàn phần

a

(2x +1)e x

b

2ln

x x dx

c

2xsin 2

d

2

os x

c x e dx

e ̣ ln x dx

f ̣ lg x dx

VI NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ

(Tổng thể nguyên hàm của một hàm vô tỉ là một nguyên hàm có chứa căn thức Đây là lớp bài toán tương đối khó Phương pháp chung để giải quyết chúng là dùng phương pháp đổi biến số)

1/ tìm các nguyên hàm

a 3

1

3 1

x

dx

x

+

+

b

x dx

x

dx

x+ x

d ̣ x 3− x.dx

e

3

3 4

x dx

x

f

3

2

2

x dx

x +

dx

x x +

h 2 2 2 1

dx

x x + x +

i ( 1) 2 2 2

dx

k 1 1

dx

l

1

x

dx

x x

−

+

̣

dx

ÔN TÂP

1/ Tính các nguyên hàm sau

a ∫ (3x2 + 5 x)dx

b ∫  − dx

x

x

4 3 5

2

c ∫ (sinx+ cosx+ 5x 2x3)dx

d

dx x x

x x









2

2

7 7

cos

5

e ∫ (7x + e x)dx

f

dx

e x

x

x

∫  + 3 

5

4

g ∫  +x + x x dx

x

5 2

2

4 7

4

2/ Tìm a để cho F(x) là nguyên hàm của f(x)

F(x) = 6x3 + 7x2 − 3x; f(x)= 18x2 + 14x− 5a

3/ Tìm c để F(x) là nguyên hàm của f(x)

F(x) = 2xlnx+ 3x2 + sinx f(x) = 2lnx+ 6x+ cosx+ c

4/ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a

dx x x

x x

∫  + + 

4 1 1

1

x

x

∫ 3 22

c cot x. dx

2

∫

d tan x. dx

2

∫

5/ Tìm các nguyên hàm sau

a

dx x x

x









2

2

x x

x

2 3

c

( ) dx

x

x

x

∫ 2 + 12

d ∫ ( x + 3 x + 5 x4)dx

6/ Tìm các nguyên hàm sau

a ∫ cos2 x dx.sin2 x

b ∫ cosco2 x.xsindx2 x

2

x

∫ 11++ coscos22

x

2

sin

3 2

∫

7/ Cho hàm y= x 3− 2x Tìm a, b, c để cho F(x)= (ax2 + bx+ c) 3− 2x là nguyên

hàm của hàm số y