Bất phương trình chứa căn thức

VẤN ĐỀ 5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN... Vấn đề 5 Bất phương trình có chứa căn.. Nguyên tắc giải : Cách 1 : - Đưa bất phương trình về một trong các dạng nêu trên - Phân tích Px, Qx thà

VẤN ĐỀ 5

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ

CHỨA CĂN

Vấn đề 5

Bất phương trình có chứa căn

A Tóm tắt lý thuyết

Thường ta gặp một trong các dạng sau :

A 0

BB

A3-\ A2 ≥ B2 ⇔ (A + B ) ( A – B ) ≥ 0

A 0

AB

A

5-\ Trong trường hợp gặp nhiều dấu căn ta đặt điều kiện các biểu thức có x ở phiá dưới dấu căn , tìm điều kiện chung , từ đó biến đồi tương đương để đưa về các dạng cơ bản trên

6-\ Bất phương trình hữu tỉ :

Bất phương trình hưũ tỉ là bất phương trình đưa được về dạng : ( )

( )

P x

Q x ≥ 0 ( ≤ 0 , > 0 , < 0) trong đó P(x), Q(x) là các biểu thức đưa

được về dạng tích các tam thức hoặc nhị thức

Nguyên tắc giải :

Cách 1 :

- Đưa bất phương trình về một trong các dạng nêu trên

- Phân tích P(x), Q(x) thành tích các tam thức hay nhị thức

- Lập bảng xét dấu của biểu thức ở VT

- Dựa vào bảng xét dấu rút ra tập nghiệm

Cách 2 :

Đặt ẩn phụ

Ngoài ra chắn rằng ta sẽ còn gặp nhiều dạng khác ……

Sau đây là một ví dụ và một số bài có hướng dẫn giải……

B VÀI VÍ DỤ CƠ BẢN VÀ CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI

Đầu tiên ta xem vài ví dụ đơn giản sau :

Sau đó giao với điều kiện 3− ≤ x ≤ 1 ta được 3− < x < 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = ( 3− ; 1 )

1− − 2 − < 0 Trường hợp 1 :

2

)x1(x

2

1x2

131x

1x31

2

1x31

So với điều kiện ⇔ 0 < x ≤

2

)x1(x

1

0x

2

1x2

13

1x

6 < ≤ (2) Hợp (1) (2) ta được nghiệm của bpt là :

2

1x2

1

≤

≤

−c) x2 + x2 + x+2 > 4 – 2x

0xx1

01x

2 2 4

2 4

x

0x

x

0x

Cách 2: Dựa vào tính chất của giá trị tuyệt đối

Ta có : A ≥ luôn đúng với mọi A và A A < luôn sai với mọi A ABất phương trình ⇔ x+2 <x+2 (1) vận dụng tính chất trên Vậy (1) luôn sai ∀x∈Rdo đó (1) có S = φ

b) Giải bất phương trình : x − 7 + 8 − 2x ≥ 3 + x

Giải x

3 2x

8

7

(1) Điều kiện của nghiệm: 4 x 7≤ ≤ (2)

Giải bất phương trình : 1 x− − x2+ >1 0

Từ đó suy ra bảng xét dấu của : f x( )= 1 x− − x2+1

Vậy : 1 x− − 1 x+ 2 > ⇔ − ≤ ≤0 1 x 0

Từ đó suy ra Bảng xét dấu của f x( )= 1 x− − 1 x+ 2

Theo trên : f x( )= 1 x− − 1 x+ 2 > ⇔ − ≤ ≤0 1 x 0 nên

Vì B 1 ≥ nên (*) vô nghiệm nếu

Kết luận : Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2

Ví dụ 5

Giải bất phương trình : (x 3) x − 2 − ≤ 4 x 2 − 9

Giải Tập xác định của phương trình là : (−∞ − ∪ ; 2] [2; ∞)

Vậy :Tập nghiệm BPT là x 13hay x 3

' 9 2 7

∆ = − = Rõ ràng f xác định và liên tục trên

Sau đây là môt số bài tập có hướng dẫn giải :

Bài 0 (khởi động )

Giải bất phương trình:

2

)3x(x

x 3x0

3

x 0x

x

xx166412

x 17

76x

8x v

3

x≥

⇔ x ≤ 4− v 3 ≤ x ≤

1776 ⇔ x ≤ 4− v 3 ≤ x ≤

1776 d) x2 − x−8+ 6 ≤ x

08xx06x

2 2

03x

≥

− ≥+

04x03x)dk(3x

2 2

13x

3x

⇔ x ≤

613

− (1)

≥

04x

9xx4x03

x 3x2

2 2

⇔ x2 −12x+7 ≥ x2 – 2x ⇔ 6(x2 − x)+7 ≥ x2 – 2x (1) Đặt y = x2 – 2x ⇔ y + 1 = (x + 1)2 ≥ 0 ⇔ y ≥ 1−

−

≥

(*)y7y

≥

⎩⎨

⎧

≥+≤ <

−

2y7y

0

y

07

7y

0y1

0xx

0xx

01xx

2 2 2 2

2vx0x

2x

0x R

⇔ ⎢⎣⎡10−<x8<≤2x≤0

v

81x

2≤ ≤ +

⇔ 1− 8≤x≤1+ 8

Bài 1

Giải bất phương trình :

4

x 2 x 1 x 1

2

−

≤

− +

04

x2

0x1

0x1

2

⇔ -1 ≤ x ≤ 1

Khi đó (1) ⇔ 1 + x + 1 – x + 2 1 − x2 ≤

2 2

Nghiệm của bất phươnt trình là mọi x ∈ [-1 ; 1]

Bài 2

Giải bất phương trình : 3

x

x41

0x

2

1 x 2

1

)x411

(

x

)x41

−

2

x411

x4

−+ < 3

⇔ 4x < 3(1+ 1 − x2 ) ⇔ 3 1 − 4 x2 > 4x – 3 (2)

1 \ { }0Vậy nghiệm của (1) là ⎢⎣ ⎡− ⎥⎦ ⎤

2

1

; 2

1 \ { }0

Bài 3

x

) 1 x ( ) 1 x x ( x 1 x

(Đề thi chuyên Toán –Tin ĐHQG Hà nội1988)

Giải Điều kiện bài toán có nghĩa : x > 0

Chia hai vế cho x ( x2 + 1 ) và sau khi biến đổi bất phương trình trở thành :

x

1xx

1x

11x

1x

1x

1

+

−++

−+

t

1

1− ≤ − − , do hai vế dương với mọi t ≥ 2 nên bình

phương hai vế ta được 1 -

−

0 m 2 x

0 m x

m x

(2)

Ta xét ba trường hợp :

a) m = 0 : (1) ⇔ x≤ x đúng với mọi x ≥ 0

x

0 m

4

3m0

x12

−− + (x – 2)

x12

2x

−

− <

3

82 Giải

Điều kiện :

2x

x12

−− > 0 ⇔ 2 < x < 12 Bất phương trình :

⇔

82x

12

12

x12

x12(2)2x)(

x12

0t

50t

0t

x

x

2

0 3

x x

Bài 7

Giải bất phương trình : (x+5)( x+4) > 4(x – 1)

(Đại học kinh tế Quốc Dân) Giải

) 2 ( ) 1 x ( 16 ) 4 x )(

5

x

(

0 1

x

) 1 ( 0

1

x

0 ) 4 x )(

5

x

(

2

4 x

5 x

5 x

04x51x

4 x 13

Giải bất phương trình : 1+x − 1−x ≥x (1)

(Đại học Ngoại thương 2001) Giải

Điều kiện : -1 ≤ x ≤ 1

x 1 x 1

) x 1 ( ) x 1

− + +

−

− +

x 1 x 1

2

− + + - 1 > 0

Do đó (2) ⇔ x > 0

Vậy nghiệm của bất phương trình là : 0 ≤ x ≤ 1

Bài 9

Giải bất phương trình : 7 x − 13 − x − 9 ≤ x − 27

(Đại học Dân lập phương Đông 2001) Giải

27 x 5 9 x 13

− +

9 x ( 2 27 x 9 x 13

9 x

−

≤

≤

0 443 x 458

x

59

23 x

x

59

26304229

x

23x527

59

26304

Giải bất phương trình : 2x2 + x2 − x−6 > 10x + 15

(Đại học Y- Hà Nội- 2001 ) Giải

2x2 + x2 −5x−6 > 10x + 15

⇔ 2(x2 – 5x – 6) + x2 −5x−6 +3 > 0

Đặt y = x2 − x−6 ; với x ≤ -1 hoặc x ≥ 6 thì y ≥ 0

Ta có bất phương trình : 2y2 + y – 3 > 0 ⇔

3 y 1 y

Bài 12

Giải bất phương trình :

4xx23xx2x

x2 − + + 2 − + ≥ 2 − +

(Đại học Y Dược TP HCM - 2001) Giải

4xx23xx2

4 x

•Trường hợp 3 : x = 1 : (**) đúng

Đáp số : x = 1 hay x ≥ 4

Bài 13

Giải bất phương trình :

x2

x

x 1 1

9x1

1x

8 x 1

Vậy : (*) có nghiệm là : -1 ≤ x < 8

Bài 14

1) Giải và biện luận theo a bất phương trình: 2x a− ≥x

2) Cho bất phương trình : mx− x 3 m 1− ≤ +

a) Giải bất phương trình với m 1

2

=b) Với giá trị nào của m thì bất phương trình có nghiệm ?

) 0 a 1 1 1 a a / 2

α < < ⇒ − − ≥ nên (2) ⇔ − 1 1 a − ≤ ≤ + x 1 1 a −

) a 0 : (2) a/2 x 1 + 1-a

2) Điều kiện của nghiệm : x 3≥

Đặt t= x 3 0− ≥ ⇒ =x t2+ ≥3 3và bất phương trình đã cho trở thành

2

f (t) mt= − +t 2m 1 0, t 0− ≤ ≥ (1)

b) α) m 0 :≤ Vì t 0≥ nên (1) được thỏa mãn

β) m 0 : f (t)> có biệt số ∆ = −1 4m(2m 1)− = −8m2+4m 1.+

Để (1) có nghiệm t 0,≥ trước hết cần có :

Với mỗi giá trị a > 0 , giải bất phương trình a + x + a − x > a (1)

(Đề thi các trường Đại học miền Bắc năm 1970)

Giải Điều kiện :

0

x a

x a

a x

⇔ -a ≤ x ≤ a (*)

a x a x

2 2 2

2 0

0 2

a a x a

a a x

a a x a

a

44

22

0

3

Xét hệ (2) ta có :

• Nếu a ≥ 4 ⇒ 4x2 < a3(4 – a) < 0 : hệ vô nghiệm

2Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là :

• ⏐x⏐ ≤ a với 0 < a < 2

• ⏐x⏐ < a a ( 4 − a )

2 với 2 ≤ a < 4

Vô nghiệm khi a ≥ 4

Chú ý : Dễ dàng kiểm chứng rằng a a ( 4 − a )

2

1 y − + y −x > (1)

Giải Đặt y2 =m

2

1

log , điều kiện y ≠ 0

Bất phương trình đã cho thành

2m – 3 + 2mx – x2 > 0 ⇔ x2 – 2mx + 3 – 2m < 0 (2)

Bài toán trở thành đi tìm m để bất phương trình (2) có nghiệm

Trước hết ta định m để bất phương trình (2) vô nghiệm , tức là định m để x2 – 2mx + 3 – 2m ≥ ∀x

Điều này xảy ra khi và chỉ khi :

• Với m > 1 ta có : log 2 1

Bài 16

Định y để :

0 1 log 1 2 1 log 1 2 1 log

y x

y

y x

nghiệm đúng với mọi x

Giải

y

y = +

+

1 log

Điều kiện

1 +

y

y

> 0 ⇔ y < -1 ∨ y > 0 Bất phương trình đã cho thành (3 – m)x2 + 2mx – 2m > 0 (2)

Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x nếu và chỉ nếu :

03

60

3

060

m m

m

m m m

Từ đó m < 0 ⇔

1 log

y

y <

2

1 ⇔ -1 < y < 1 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có 0 < y < 1

Vậy với 0 < y < 1 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x

Bài 17

Giải phương trình : 2 ( 5x + 24 ) − 5x − 1 ≥ 5x + 7 (*)

(Đề thi Đại học Tổng hợp Quốc gia Matxcơva – 1977)

Giải Điều kiện 5x – 7 ≥ 0 ⇔ 5x ≥ 7 ⇔ x ≥ log57

(*) ⇔ 2 ( 5x + 24 ) − 5x − 1 ≥ 5x + 7

⇔ 2 ( 5x+ 24 ) ≥ 5x − 7 + 5x + 7

34log

2 2 1

2

+++

x

Giải Điều kiện để bài toán có nghĩa là :

2log

2 2

+++

− x x x

=

2

1log114

2log

2

1 2

2

+++

− x x x

=

114

1log

2 2 1

+++

− x x x

Bài 19

Giải phương trình :

5 log 1 3

−

0 6 2 8 0

0 3 4

2 2

x x x

x x

−

>

≥ +

−

0 3 4

0

0 3 4

−

>

034

0

2

x x

1 5 log 1 3

x

Vậy x = 1 là nghiệmcủa bất phương trình đã cho

• Với x = 3 , ta có vế trái của bất phương trình là

3log3

3 > )

Vậy x = 3 không phải là nghiệm của bất phương trình

Kết luận : bất phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Bạn đọc hãy thử tìm 1 số bất phương trình mà chỉ có 1 nghiệm chúc các bạn thành công nhé !

Bài 20

Giải bất phương trình : cosx – y2 - y − x2 − 1 ≥ 0

Giải Đây là một trong những dạng dẫn đến sự đối lập :

Phương trình đã cho tương đương với : cosx – y2 ≥ y − x2 − 1 (1) Điều kiện y – x2 – 1 ≥ 0 ⇔ y ≥ x2 + 1 (2)

Nếu y < 0 ⇔ (2) không nghiệm đúng

Vậy x ≥ 0 , lúc đó (2) ⇔ y2 ≥ (x2 + 1)2 (3)

Bất phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi :

1 cos

0 4 5

0 3 4

0 2 3

0 1 2

Bất phương trình (1) tương đương với :

2 3 4 5 3 4

0 3 4 1 2

x x

x x

⇒ (2) được nghiệm đúng với x < 1

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có nghiệm số là :

0 3 4 1 2

x x

x x

⇒ (2) không nghiệm đúng với x > 1

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là :

5

4 ≤ x < 1 Chú ý :

Nếu giải bằng cách thông thường sẽ mất thời gian hơn nhiều

Bài 22

Giải bất phương trình : 2 x−1− x+2>x−2

(Đề Đại Học Mỏ Địa Chất ) Giải

Điều kiện :

⎩⎨

⎧

≥+ ≥

−02

2

)2x()1x

Điều kiện đủ : Với m < 6− ta chứng minh (*) đúng

t > m + 6 – t2 ⇔ t2 + t > m + 6 Điều này hiển nhiên đúng vì :

t2 + t ≥ 0 ∀ ∈⎢⎣⎡2;3⎥⎦⎤

1

x ; m + 6 < 0 Vậy m cần tìm là : m < 6−

Bài 23

Giải bất phương trình : −x2 + x−5>8− x

(Đề Đại Học Quốc Gia HàNội ) Giải

x85

Bài 24

Giải bất phương trình : 4

x

1xx2

5x

2

223x0

Bài 25

Cho Bất phương trình : (x2 +1)2 +m≤x x2 +2+4

1-\Giải Bất phương trình trên khi m = 3

2-\ Xác định tham số m để Bất phương trình đã cho được thoả với mọi

m ≤ −x4 − x2 +x x2 +2+3

m ≤ −x2(x2 +2)+x x2 +2 +3

Đặt t = x x2 + khi 0 ≤ x ≤ 1 , ta có : 0 ≤ t ≤ 3 2

Bất phương trình theo t : m ≤ − + t + 3 ; t∈ [0; 3 ] t2

Đặt f(t) = − + t + 3 ; t∈ [0; 3 ] t2

f’(t) = −2t+ 1 f’(t) = 0 ⇔ t =

2

1 Bảng biến thiên cho ta :

Điều kiện của m : m ≤ 3

Bài 27

Giải bất phuơng trình :

4xx23xx2x

x2 − + + 2 − + ≥ 2 − +

( Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải

4xx23xx2

x

x2 − + + 2 − + ≥ 2 − + (1)

⇔ (x−1)(x−2) + (x−1)(x−3)≥ (x−1)(x−4) (2)

bất phuơng trình có nghĩa khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 4

Xét 2 trường hợp :

* x ≥ 4 : (2) ⇔ x−1 x−2+ x−1 x−3≥2 x−1 x−4 ⇔ x−2+ x−3≥2 x−4

bất phương trình hiển nhiên đúng vì x –2 > x –3 > x – 4 ≥ 0

* x ≤ 1 : (2) ⇔ x−1 x−2+ x−1 x−3≥2 x−1 x−4 Rõ ràng x = 1 là nghiệm

Xét x < 1 Lúc đó :

2 2

)1m(2x2

2x

2 2

2 4 m (x 2)x

2

x 2x

x 2x

2 2

)1m(2x

2x

2 2

* Neáu m ≤ 1− thì (1) ⇔ x ≥ 2

x+ − < − trong [ 0 , 1 ]

(Đề Đại Học Kiến Trúc Hà Nội ) Giải

2 2

x− − − > − ( m : tham số )

Giải Xét x−m− x−2m> x−3m

⇔ x−m> x−2m+ x−3m (*)

* Nếu m ≤ 0 ⇒ bất phương trình vô nghiệm

* Nếu m > 0 Điều kiện x ≥ 3m khi đó :

(*) ⇔ x−m>x−2m+x−3m+2 (x−2m)(x−3m)

⇔ 4m−x>2 (x−2m)(x−3m)

Khi 3m ≤ x < 4m , bình phương 2 vế bất phương trình này , ta được :

)m6mx5x(4mx8

m)326(0m8mx

Kết luận :

+ Nếu m ≤ 0 : bất phương trình vô nghiệm

+ Nếu m > 0 : bất phương trình có nghiệm

3m ≤ x <

2

m)326

Bài 31

Giải bất phương trình ( x − 3 ) x2 − 4 ≤ x2 − 9

(Đại học dân lập Ngoại ngữ – Tin học , năm 1997)

Giải

( x − 3 ) x2 − 4 ≤ x2 − 9 ⇔ ( x − 3 ) x2 − 4 ≤ ( x − 3 )( x + 3 )

Với x = 3 ta có đẳng thức

Với x ≠ 3 ta phân làm 2 trường hợp

3

x x

Bài 32

Cho bất phương trình x - 2 x − 1 ≤ m + 1

a) Giải bất phương trình với m = 0

b) Với giá trị nào của m thì bất phương trình vô nghiệm

Giải a) Ta phải có điều kiện x ≥ 1

Bpt ⇔ x – 1 ≤ 2 x − 1 ⇔ x2 – 2x + 1 ≤ 4x – 4

Giải bất phương trình : x + 3 − x − 1 > 2 x − 1

(Đại học dân lập Hồng Bàng , năm 1998 – 1999)

− +

2 1 2

1 2

x x

−

≥

≥

5 2 1 3

1 3

2

4

0 5

2

1

2 2

x x

x x

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 ≤ x ≤

2 3

Bài 34

Giải bất phương trình 3x2 +6x+4 <2−2x−x2

(Đại học Giao thông vận tải , năm 1998) Giải

(2) 2

t

x x

4 92

4 9

15

2323

−

−+

x x

x x

232

3

−

−+

x x

x

•

3

2 5

1 < x ≤ : (3x + 2)(3x – 2) ≤ 0

Do đó ( )( )

231

5

232

3

−

−+

x x

5

232

3

−

−+

x x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : ⎥

1 5

1

; 3 2

C.BÀI TẬP TỰ GIẢI

Giải các bất phương trình sau :

Bài 1

a x+1<5 b x−2>1 c

x4

3x

−+ ≥ 2 d

e) x+1− x−2 ≤ 1 f) x+3− x−4 ≥ 2

g) x−1+ x+2 ≤ 1 h) x+1+ x−4− x+5 < 0 k) 2 x+1− x−1≥2 x−3

x2

2 − d) x ≤

1x2

1

9x

x < + −+

x+

x

1xx2

5x

e) Đặt t =

x2

2t

e)

4

3x

4x+

− < x – 8

x12

1x

53x3

2

1 (Đại học giao thông vận tải năm 98)

Bài 12

Giải và biện luận phương trình :

1x

x − − > a (1) với a : tham số dương

2

)]1a(x[x)1x(42

1ax

1x

Đáp số :

a = 1 : bất phương trình vô nghiệm

0 < a < 1 : bất phương trình có nghiệm : 1 ≤ x ≤

2 2

a2

1a