Bài soạn Chủ đề 1, Biến đổi biểu thức chứa căn thức

a/ Rút gọn biểu thức C;b/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức C nhận giá trị nguyên... 9 c/ Tìm các giá trị hữu tỉ của a để M nhận giá trị nguyên... a/ Tìm giá trị nguyên của a để các

Chủ đề 1:

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC

3) A B  A B A0,B0

4) A A A 0,B 0

A B A B B

2

2

A B

A B

A B









7) A 1 AB AB 0,B 0

B

0

A

B







10) A B A 0 hay B 0

A B







M

A B







12) Công thức căn phức tạp:

2

13) Biến đổi căn bậc lẻ: k N

2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

k k

 





2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

k k

k

B









14) Biến đổi căn bậc chẵn: k N

2 2

k k



2 2

2

k k

k

A A

15) Giả sử a b , 0 Với mọi n N n ; 2, ta có:

n n

n n

n n

n n

16) Một số hằng đẳng thức cần nhớ thêm:

a b c  a b c  ab bc ac

 2  2  2

2

a b c ab bc ca    a b  b c  c a 

17) Một số dạng bình phương đặc biệt thường gặp:

 2

Chú ý: Khi rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:

thức

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức P

Phương pháp giải: Một số phương pháp sau có thể tham khảo để giải toán:

Ví dụ 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức M  4 7  4 7

Cách 1: Dùng phép biến đổi thông thường:

2

Cách 3: Trong bài có 4 7; 4 7; 42  7 2  9 32 nên ta có thể tính M2

Dễ thấy M > 0

Cách 4: Trong bài có 42 7 9 0  nên ta có thể dùng công thức căn phức tạp

Ta có:

1

2

Ví dụ 2: Tính 23022 21220



Ta dùng phép biến đổi thông thường

20 10

30 20

8 4

22 12 12 10

Ví dụ 3: Cho      

10 chæ s¯ 9 10 chæ s¯ 0

99 9400 09

Ta dùng phép biến đổi thông thường kết hợp với hằng đẳng thức để giải bài toán này Ta có:



10 chæ s¯ 9 10 chæ s¯ 0 10 chæ s¯ 9 11 chæ s¯ 0

2 2

2

99 97

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức A x 2x1 x 2x1

Đối với bài toán này trước tiên ta nên tìm điều kiện xác định của biểu thức

2

x

x

 







Cách 1: Ta tính A 2

Ta có:

2

x

Cách 2: Tính A2

Ta có:

2

2

Nếu x 1 thì A 2A0

Cách 3: Đặt ẩn phụ:

1 1

A

y y





2

A y  y 

2

Cách 4: Dùng công thức căn phức tạp (vì x2 2x 1 0)

Ta có:

1 2

2

A

x x



2

x

A   x

Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức 3 3

Cách 1: Ta có:

37 5 2 31 3 2 6 2 2   3 1 2  1 2

37 5 2 31 3 2 6 2 2   3 1 2  1 2

Vậy A = 2

Cách 2: Tính A3

Ta có phương trình:

2

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau rồi tính:





8/ C  3 5 10  2 3   5

7 2



24/

2



5  5 1  7 1 

7 2 10



36/  8 3 2  10  2 3 0, 4 

37/ 15 50 5 200 3 450 : 10  

38/

3 3

3 3



Bài 2: Tính A biết:

a/ A  13 2 42 b/ A 46 6 5 c/ A  12 3 15

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau và tính giá trị các biểu thức đó (nếu được)

,

a b  b a a b

2

1 1

a a

a





x



2

2

x

9/ 4x 7 16x256x49, x3

a  a  a  

a  a a  

3

x





13/

2

x

4

x

7

A x x  x x 

16/

2

1

2

B

xy

x







17/

1

a M

a

a

 

a



20/

2

2

C



21/

D



x P



23/

2

x y



Bài 4: Cho biểu thức A 5x x 6x 9

a/ Rút gọn biểu thức A;

Bài 5: Cho biểu thức

2

2

B

a/ Rút gọn biểu thức B;

b/ Tìm giá trị củax để A 2

x 

Bài 6: Cho biểu thức      

2

2

C



a/ Rút gọn biểu thức C;

Bài 7: Cho biểu thức

:

D

a/ Rút gọn biểu thức D;

x

E



a/ Rút gọn biểu thức E;

Bài 9: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức 22 4

20

x M

x x





x A



a/ Rút gọn biểu thức A;

x 

Bài 11: Cho

2

2 1

x

Hãy tính giá trị của biểu thức

1

a b P

ab





Bài 12: Cho biểu thức 2 4 4 1,  2

2

x



a/ Rút gọn biểu thức Q;

C

a/ Rút gọn biểu thức C;

b/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức C nhận giá trị nguyên

4

D

x

a/ Rút gọn biểu thức D;

b/ Tìm giá trị của x để biểu thức D>;

B

a/ Rút gọn biểu thức B;

b/ Tìm giá trị của x để biểu thức B đạt giá trị nguyên;

c/ Tìm x để B < 1

A

a/ Rút gọn biểu thức A;

b/ Tìm x để A > 1;

P

a/ Rút gọn biểu thức P;

Bài 18: Cho biểu thức: 2 1 2 1 ,

1

 

Xác định giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị là một số tự nhiên

Bài 19: Rút gọn biểu thức:

2

1 2009

Bài 20: Cho biểu thức:

A

a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;

b/ Rút gọn biểu thức A;

b/ Tìm x để A < 2.

Bài 21: Cho biểu thức:

 2 2

1



a/ Rút gọn biểu thức A;

b/ Áp dụng tính tổng sau:

Bài 22:

Bài 23: Cho biểu thức 6

1

a M

a







a/ Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên

9

c/ Tìm các giá trị hữu tỉ của a để M nhận giá trị nguyên

Bài 24: Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau:

a/

x

C

x y

b/

2 2

2

a b

ab



c/

2

2

1

x x

2

,

1 1

ab bc ca c

Bài 25: Cho 1 2, 1 2

Hướng dẫn: Áp dụng công thức:

n n n n k n k n k k k n k n k k

k k n k n k k n k n k k

Bài 26: Cho biểu thức 2, 6

a/ Tìm giá trị nguyên của a để các biểu thức M, N đạt giá trị nguyên;

b/ Tìm giá trị hữu tỉ của a để các biểu thức M, N đạt giá trị nguyên

Bài 27: Tính giá trị các biểu thức sau:

10 6 3





3/ 35 2 3 35 2 3

4/ 345 29 2 345 29 2

5/ 31620 12 17457 31620 12 17457

6/ 4 7 48  428 16 3  47 48

7/

4

x

x

Công thức bổ trợ:

 









, nªu chÇn , nªu lë

n n

n n

n

n m m

A

Bài 28: Tính giá trị các biểu thức sau:



2/



Dạng 2: So sánh và chứng minh các biểu thức chứa căn thức:

Phương pháp giải:

Dùng phép biển đổi thông thường như trong SGK

So sánh các lũy thừa (bình phương, mũ ba, …)

Bình phương 2 vế

Dùng bất đẳng thức

So sánh thông qua trung gian

Thông qua hiệu hoặc thương của hai số A, B ta có thể so sánh A và B

Ví dụ 1: Cho số thực x 0 Hãy so sánh x với x

TH1: 2 0

1

x

x







x x x x  x x   x  x   x vì x 0

Ví dụ 2: So sánh hai số sau: a 1 a3; 2 a2 a0

Cách 1: Ta so sánh 2 bình phương:

Ta có: 2 a22 4a24a8

2

2

Cách 2: Dùng bất đẳng thức Bouniakovski Nội dung của bất đẳng thức này như sau:

Bài giải:

a a



Ví dụ 3: So sánh 8 15 và 65 1 (không dùng máy tính bỏ túi)

Ta so sánh qua trung gian Ta có:

Ví dụ 4: Không dùng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh: 4 5 3 2 5 

Ví dụ 5: Cho các biểu thức

A

B

Chứng minh rằng: A < B

Trục căn ở mẫu và khử liên tiếp ta được A = 10

Để tính B, ta biển đổi về dạng như biểu thức A bằng phương pháp “làm giảm”

Ta có:

B B

Vậy A < B

Ví dụ 6: So sánh hai biểu thức sau: 11 96 ; 2 2

Ta có:

2 2

Vậy A > B

Bài tập tự luyện

Bài 1: Không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng căn bậc hai, hãy so sánh các số sau:

6



f/ 6 2 2 và 9

h/ 9 4 5 và 16

m/ 2009 2011 và 2 2010

o/ 2 33 và 323

p/ 3 13333 và 33

Bài 2: Cho 20102 1 20092 1; 2 2.2009 2

Hãy so sánh B và C

Bài 3:  n N, chứng minh rằng:

n  n  n  n

b/  n 1 n2  2n12  2n121

Bài 4: Chứng minh rằng:

2

a b

ab a b



a b

c/ a 1 2, a 0

a

Bài 5: Chứng minh:

xy

3 1

1

x

x





c/ a b c   ab bc ca, , ,a b c0

Bài 6: Chứng minh rằng:

3

2

x y z  xyz x y z   x y  y z  z x 

Từ đó chứng tỏ rằng

3

xyz



3

a b c

abc

 

Bài 7: Cho a b x y , , , 0, chứng minh rằng:

ax by a b x y  (Bất đẳng thức Bouniakovski)

Bài 8: Chứng minh bất đẳng thức sau:

n a  n a  n  a n

n

Áp dụng: Cho 1 1 1 1

S      , chứng minh rằng 18 < S < 19

Bài 10: Chứng minh rằng: 1 1 ,  

Bài 11: Cho A x 3 5 x, chứng minh rằng A 4

m n m n    

,

Bài 14: Cho A 3 60  3 60   3 60 Chứng minh rằng 3 < A < 4 và tìm  A (phần nguyên của A)

Bài 15: Cho A 20  20   20 , B 3 24  3 24   3 24

Một số bài toán dạng khác:

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

x

x 

3/ 4x24x1

1

x  x

x x

Hướng dẫn: Sử dụng hằng đẳng thức

Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết:

2

x a  y b  z c  x y z  , trong đó a b c   3

b/ x y z  35 4 x 1 6 y 2 8 z3

n

S      Chứng minh rằng 86 < S < 89

S      

Bài 10: Trục căn ở mẫu thức các biểu thức sau:

2

A



a b c a b c 

 2  2  2

x y y z z x

x y  y z  z x      