BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

- Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán đơn giản dạng AB  0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó.. - Kho đề th

Trang 1

1 Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai

2 Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai

3 Bài 3 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau

4 Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn

Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, bài giảng này sẽ được chia thành 4 phần (4 dạng bất phương trình)

 Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phương

pháp để giải

 Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập

1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI

VÝ dô 1: (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

x 3x 2x 3x 2 0, x

Trang 2

- Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

đơn giản dạng AB  0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

f (x) g(x)0, với f(x) và g(x) có nghĩa

g(x) 0

.g(x) 0

VÝ dô 2: Giải bất phương trình:

2

x 1  2(x 1), x

Trang 3

BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai  Giải được

HOẠT ĐỘNG 2: Giải các bất phương trình:

2

a x 3x 10  x 2, x 2

BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình trùng phương Giải được

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:

 Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của bất phương trình

 Biến đổi bất phương trình về dạng:

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện 3x2 1  0 tức x 1 ,

Trang 4

 2  

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +)

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

HOẠT ĐỘNG 3: Giải bất phương trình:

BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc ba  Giải được

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách:

 Nhận xét rằng x0 = 2 thoả mãn VT = VP

 Biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 5

 3   

 

3 3

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1]

 Giải

Cách 1: Bất bất phương trình tương đương với:

Cách 2: Với điều kiện 1  x3 0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

 3   

 

3 3

 x + 2  0  x 2

Cách 3: Với điều kiện x  1 nhận xét:

 VP là hàm đồng biến

 VT là hàm nghịch biến

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2

Trang 6

 Nhận xét: Như vậy, để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa

chọn một trong các cách:

Cách 1: Biến đổi tương đương Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0 rồi

chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp, bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhận được cách giải hay

Cách 2: Đặt ẩn phụ Một hoặc nhiều ẩn phụ

Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số Sử dụng đạo hàm Cách 4: Đánhgiá

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách lượng giác hoá với:

x = a.cost, t  [0; ]

 Giải

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

2 2

2

2 2

) x a ( x a

0 x a

a x

a x a

a x

Vậy, nghiệm của bất phương trình là a  x  0 hoặc x = a

Trang 7

0 t cos 1

0 t cos a a

0 x a

Vậy, nghiệm của bất phương trình là a  x  0 hoặc x = a

f(x) g (x) (*)Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*)

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +)

 Giải

Cách 1: Bất phương trình tương đương với:

Trang 8

2x 1 0(I) :

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (0; +)

Cách 2: Với điều kiện 2x + 1  0 tức x 1

x 2 4 x, x

Trang 9

x x , x

BẢN 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối  Giải được bằng phương pháp chia khoảng

 Giải

Bất phương trình tương đương với:

1(I) : x 0

Và hệ (II) có dạng:

1x

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (; 0]

1

x 1 x , x

4

Trang 10

     

CƠ BẢN 2” thì (*) là một bất phương trình bậc bốn  Để giải được bất phương trình này cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với  2  

t x 3x 6, t 0

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:

 Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình

 Biến đổi phương trình về dạng:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

Trang 11

nên (*) được biến đổi về dạng:

 2   

x 3x 2 0  1  x  2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2]

 

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình, rồi sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phương trình về dạng cơ bản

01

2 2

4x

 

Trang 12

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình, rồi sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phương trình về dạng cơ bản

2x 92x 1 1 2x 1 1

2 2

Dựa vào tập xác định để thực hiện phương pháp chia khoảng

Ẩn phụ xuất hiện khi bình phương hai vế của bất phương trình

Trang 13

Trường hợp 2: Với x > 2 thì bình phương 2 vế phương trình (1) ta được:

x2 +

2 2

4x

x  4 +

2 2

4x

x  4 > 45  2x4

x  4 + 4.

2 2

dạng cơ bản f(x)g(x) thành h(x) f(x)g(x) nên chưa thể sử dụng phép khai phương

Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình

Trang 14

Vậy, bất phương trình có nghiệm x  0

x2 + 4x  (x + 4) 2

x  2x  4

2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN BẬC HAI

khai phương cho bất phương trình này, suy ra cần biến đổi:

x 9 2x 4 5

Tới đây, ta sẽ nhận được bất phương trình dạng cơ bản

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp hàm số

Trang 15

hai với lõi là các hàm số bậc hai Nên không thể sử dụng phương pháp bình phương

Bất phương trình được giải theo cách "Nhẩm nghiệm x 0 " rồi chuyển về dạng

0

Trang 16

 VT là hàm đồng biến

 VP là hàm hằng

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (3; +)

Trang 17

2

x 1  x 4x 1 3 x, (x )

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Dễ thấy không thể sử dụng ngay phép khai phương cho bất phương trình này, suy ra cần sử dụng ẩn phụ

Câu hỏi được đặt ra là ẩn phụ kiểu gì ?

 Ẩn phụ dễ nhận thấy nhất là t x (t0) và khi đó ta nhận được bất phương trình dạng:

t 4t     1 t 3t 1

Trong trường hợp này cần phải giải một bất phương trình cao hơn 2

 Từ việc đánh giá hệ số và x hoàn toàn được đưa vào căn bậc hai nên nếu chia cả hai vế của phương trình cho x 0 sẽ thấy xuất hiện 1

Trang 18

0; 4; 4

Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của bất phương trình

Với x > 0, biến đổi bất phương trình về dạng:

xx

2x

u 2

 

Trang 19

 2u2 5u + 2  0

u 21u2

0; 4; 4

22(x 2) 2x  x2 + x

v

0 x

v

0 x

u

Khi đó, bất phương trình có dạng:

2 2

v 2

2 2 v ( u v ) u

0 v u

0 2 x

2 x

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x = 4

2

a 2x 12x 6 2x 1  x 2, x

Trang 20

mực chứa căn bậc hai và được cho dưới dạng phân thức P(x) k (k lµ h»ng sè)

do vậy để giải nó chúng ta cần có những đánh giá dần như sau:

 Nhận xét về dấu của Q(x) đề chuyển bất phương trình về dạng:

Hướng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương:

Và với hướng này cần có kinh nghiệm tốt trong việc biến đổi đại số

Hướng 2: Sử dụng ẩn phụ t x (t0) và phép biến đổi tương đương giống

như hướng 1 để nhận được một bất phương trình bậc 4 theo t

Trang 21

Hướng 3: Sử dụng ẩn phụ t là tổ hợp của x và phép biến đổi tương đương

giống như hướng 1 để nhận được một bất phương trình bậc 2 theo

t Cụ thể trong bài toán này chúng ta sẽ đặt t 1 x

x

Hướng 4: Sử dụng phương pháp đánh giá (nếu có thể) Cụ thể trong bài toán

này chúng ta sử dụng bất đẳng thức 2(a2 + b2)  (a + b)2 bởi ta có biến đổi:

Tới đây, chúng ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi tiếp (1) về dạng:

Trang 22

Trang 23

bất phương trình đã phức tạp Do đó, bài toán cần có cách giải khác bằng việc đánh giá dạng đặc thù của căn thức:

2

x 2ax a = 2

2 2

a ax 2 a

2

a a ax 2

Tới đây, cần sử dụng đúng tính chất giá trị tuyệt đối

a ax 2 a

2

a a ax

2

| a a ax

2

|  2 

+

a 2

| a a ax 2

|  2   2a

Trang 24

a ax

2  + a +  2

a ax

2  + a +  2

a ax

2  a 2a

a ax

2  a a 2

a ax

2  a  0

a ax

a a ax 2

0 a ax

3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN CÓ BẬC KHÁC NHAU

Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 9 hoặc 0 < x < 1

Trang 25

3

2 3x 2 3 6 5x    8 0, x

4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI

VÝ dô 20: (Đề thi đại học  Khối A năm 2005): Giải bất phương trình:

5x 1  x 1  2x 4, x 

thể nhận thấy ngay rằng sau phép chuyển vế được bất phương trình dạng

f (x) > g(x) + h(x) , do đó các bước thực hiện bao gồm:

B-íc 1: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình (*)

B-íc 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:

Kết hợp với (*), ta được nghiệm của bất phương trình là 2  x < 10

7 x

7  + 7 x  6 + 2 49 x2 x  42 < 18114x

x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x4, x (1)

Trang 26

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Dể thấy không thể sử dụng phép khai phương để giải bất phương trình này

Nhận thấy nhân tử chung x 1 , nên ta sẽ thực hiện theo các bước:

B-íc 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình

B-íc 2 Sử dụng phương pháp chia khoảng

luôn đúng vì với x  4 ta được VT > 0 và VP < 0

Vậy x  4 là nghiệm bất phương trình

Trang 27

 Chú ý: Ta không thể bình phương hai vế của bất phương trình ban đầu vì

chưa khẳng định được dấu của hai vế

Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiện thí dụ trên, cụ thể:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 5]

b Hướng dẫn: Điều kiện x 1

Biến đổi tương đương bất phương trình:

Trang 28

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [5; 14)

b Bất phương trình tương đương với hệ:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện 4x2 1  0 tức x 1

Trang 29

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3)

Cách 2: Với điều kiện x + 1  0 tức x 1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3)

HOẠT ĐỘNG 4:

a Bất bất phương trình tương đương với:

Trang 30

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

7x9

 x > 2

Cách 2: Với điều kiện x + 2  0 tức x 2, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 31

HOẠT ĐỘNG 5: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

a

x  =

t cos

| a

|

Khi đó, bất phương trình có dạng:

|

t cos a

2 2  1  sint + 2cos2t  2sin2tsint1  0

|

x2 + a2  x x2 a2 + 2a2 x2a2  x x2 a2 (2) Xét hai trường hợp:

 Nếu x  0, thì (2) được viết lại dưới dạng:

0 a x

2 2 2 2 2 2

2 2

|

| x

|

| a

|

| x

|

| a

|

| x

|

0 x

0 a x

2 2 2 2 2 2

2 2

| x 3

| a

|

| a

| x

| a

|  x < 0

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 

3

| a

|

HOẠT ĐỘNG 6: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	1,28 MB