Chuyên đề phương trình, bất phương trình chứa căn thức luyện thi đại học môn toán (FULL)

Ph ng pháp gi i toán tr ng tâm... Các di n đàn toán h c: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro;...

TÀI LI U THAM KH O TOÁN H C PH THÔNG

CHUYÊN PH NG TRÌNH VÀ B T PH NG TRÌNH

LÝ THUY T S D NG N PH C N TH C (PH N 4) -

Trong ch ng trình Toán h c ph thông n c ta, c th là ch ng trình i s , ph ng trình và b t ph ng trình là m t n i dung quan tr ng, ph bi n trên nhi u d ng toán xuyên su t các c p h c, c ng là b ph n th ng

th y trong các k thi ki m tra ch t l ng h c k , thi tuy n sinh l p 10 THPT, thi h c sinh gi i môn Toán các c p và

k thi tuy n sinh i h c – Cao đ ng v i hình th c h t s c phong phú, đa d ng M c dù đây là m t đ tài quen thu c, chính th ng nh ng không vì th mà gi m đi ph n thú v , nhi u bài toán c b n t ng d n đ n m c khó th m chí r t khó, v i các bi n đ i đ p k t h p nhi u ki n th c, k n ng v n làm khó nhi u b n h c sinh THCS, THPT Ngoài ph ng trình đ i s b c cao, ph ng trình phân th c h u t thì ph ng trình ch a c n (còn g i là ph ng trình vô t ) đang đ c đông đ o các b n h c sinh, các th y cô giáo và các chuyên gia Toán ph thông quan tâm sâu

s c Ch ng trình Toán i s l p 9 THCS b c đ u gi i thi u các phép toán v i c n th c, k t đó c n th c xu t

hi n h u h t trong các v n đ đ i s , hình h c, l ng giác và xuyên su t ch ng trình Toán THPT S đa d ng v hình th c c a l p bài toán c n th c đ t ra yêu c u c p thi t là làm th nào đ đ n gi n hóa, th c t các ph ng pháp

gi i, k n ng, m o m c đã hình thành, đi vào h th ng V c b n đ làm vi c v i l p ph ng trình, b t ph ng trình vô t chúng ta u tiên kh ho c gi m các c n th c ph c t p c a bài toán

Phép s d ng n ph là m t trong nh ng ph ng pháp c b n nh m m c đích đó, ngoài ra bài toán còn tr nên

g n gàng, sáng s a và giúp chúng ta đ nh hình h ng đi m t cách n đ nh nh t ôi khi đây c ng là ph ng pháp

t i u cho nhi u bài toán c ng k nh Ti p theo lý thuy t s d ng n ph c n th c (các ph n 1 đ n 3), k t thúc ý

t ng s d ng m t c n th c duy nh t, tác gi xin trình bày t i quý đ c gi lý thuy t s d ng n ph c n th c (ph n 4), ch y u xoay quanh m t l p các bài toán ch a c n th c đ c gi i thông ý t ng s d ng hai n ph đ a v

ph ng trình đ ng b c – đ ng c p b c hai c b n k t h p phân tích nhân t – ph ng trình tích K n ng này đ ng hành cùng vi c gi i h ph ng trình h u t đ ng b c – đ ng c p, h ph ng trình ch a c n quy v đ ng c p, ngày

m t nâng cao k n ng gi i ph ng trình – h ph ng trình cho các b n h c sinh

M c đ các bài toán đã nâng cao m t chút, do đó đ khó đã t ng d n so v i các ph n 1 đ n 3, đ ng ngh a đòi

h i s t duy logic, nh y bén k t h p v i v n ki n th c nh t đ nh c a đ c gi Tài li u nh phù h p v i các b n h c sinh l p 9 THCS ôn thi vào l p 10 THPT đ i trà, l p 10 h THPT Chuyên, các b n chu n b b c vào các k thi

h c sinh gi i Toán các c p và d thi k thi tuy n sinh i h c – Cao đ ng môn Toán trên toàn qu c, cao h n là tài

li u tham kh o dành cho các th y cô giáo và các b n tr yêu Toán khác

I KI N TH C – K N NG CHU N B

1 N m v ng các phép bi n đ i đ i s c b n (nhân, chia đa th c, phân tích đa th c thành nhân t , bi n đ i phân th c đ i s và c n th c)

2 K n ng bi n đ i t ng đ ng, nâng l y th a, phân tích h ng đ ng th c, thêm b t

3 N m v ng lý thuy t b t ph ng trình, d u nh th c b c nh t, d u tam th c b c hai

4 N m v ng ki n th c v đa th c đ ng b c, các thao tác c b n v i ph ng trình m t n ph

5 B c đ u th c hành gi i và bi n lu n các bài toán ph ng trình b c hai, b c cao v i tham s

6 S d ng thành th o các ký hi u logic trong ph m vi toán ph thông

I M T S BÀI TOÁN I N HÌNH VÀ KINH NGHI M THAO TÁC

2 2

x x

 V i

2

00

x x

 L i gi i 1 và 4 s d ng phép bi n đ i t ng đ ng thu n túy, trong đó l i gi i 1 nâng l y th a tr c ti p có

kèm theo đi u ki n hai v không âm thông qua nh n xét d a trên đi u ki n L i gi i 4 thêm b t h ng t đ a

 L i gi i 2 d a trên phép nh m nghi m, s d ng đ ng th c liên h p đ a ph ng trình đã cho v d ng tích,

2 2

02

700

2

2 2

02

700

 

2 2 2

2 2

x x

x x

 Các bài toán t 2 đ n 10 đ u đ c gi i b ng khá nhi u ph ng pháp, bao g m bi n đ i t ng đ ng (nâng

n ph không hoàn toàn

 Xét tr ng h p y  (ho0 c x0) có là nghi m c a ph ng trình ban đ u hay không

Suy ra hai tr ng h p Gi i ph ng trình b c hai n k s thu đ c t l gi a x và y

L u ý do vai trò c a x và y bình đ ng nên các b n có th chia cho x ho c y mà không nh h ng t i k t qu

x x

 Bài toán 12 thu c l p b t ph ng trình gi i đ c thông qua phép đ t n ph , đ a v ph ng trình đ ng b c

đi u ki n xác đ nh (ho c đi u ki n có nghi m), đi u ki n c a n ph đ gi m thi u các tr ng h p x y ra,

 L i gi i 2 s d ng phép nâng l y th a tr c ti p (sau khi nh n xét hai v không âm)

Ta có x27x23  0 x ฀;9x214x53  0 x ฀ nên (1) nghi m đúng v i m i giá tr x thu c t p xác đ nh

2 2

hai ph ng trình b c hai, h t s c may m n khi hai tam th c b c hai luôn luôn d ng v i m i giá tr c a

đ n gi n, m i các b n theo dõi các thí d ti p theo

35

41



2

2 2 4

4

2 4 4

4

2 4 4

tr ng h p chính xác ho c linh ho t s d ng t p xác đ nh (đi u ki n có nghi m) đ l p lu n, đánh giá nhân t ,

t t x

t t x

Nh n xét

 Các bài toán 3133đ u đ c gi i đ c b ng phép s d ng n ph đ a v ph ng trình đ ng b c và tìm

 Quan sát và th c hành các thí d phía tr c m t cách có h th ng, d ng toán này có th đã tr nên quen

 Dùng v l c, tách bi t hoàn toàn hai nhân t b ng cách chia tr ng h p

Ph ng án 1 r t kh thi, song ch a ph i t i u vì ph i chia hai tr ng h p, hai l n đ t n ph , m t

coi nh không tr n v n v "t t ng"

 Th a hi p, tâm lý chi n, gián ti p: Không tách bi t riêng bi t hai nhân t , v n đ chúng "dính kép" vào

chúng ta đã có quy n sinh quy n sát, th c hi n đ a v nhân t , lúc này có "dính kép" c ng không quan

 Chi n tranh du kích, m m d o, linh ho t: Không tách riêng hai nhân t , nh ng m c tiêu trung gian là

h ng nhi u đ n vi c đ c l p hay ly khai ph c t p Chúng ta hãy tác thành cho h !

n ph r t g n gàng Có th nói v i d ng toán này, ph ng án 3 là t i u

t t x



2 2 2

t t x

t t x

t 2 3  

01

 

2

11

x x

Nh n xét x0không là nghi m c a b t ph ng trình đã cho

Xét x0, b t ph ng trình ban đ u tr thành 1 x 1 2 1 3 x

x x

đ ng, nâng l y th a tr c ti p hay đ a v ph ng trình tích, v n r t kh thi đ i v i l p bài toán d ng này

 Hai bài toán 43 và 44 tác gi trình bày ph ng pháp s d ng đánh giá – hàm s – b t đ ng th c đ các b n

 Bài toán 45 sau khi bi n đ i có d ng t ng t bài toán 44 L i gi i 1 s d ng n ph đ a v ph ng trình

đ ng b c quen thu c, l i gi i 2 v b n ch t nâng l y th a tr c ti p có kéo theo đi u ki n, vi c đ t đ t n

tuy nhiên đã có m t s may m n xu t hi n, b i đây là ph ng trình đ i x ng h i quy, ph ng pháp gi i có

 Ngoài ra hình th c bài toán 45 c ng có s đ c bi t do đây là tr ng h p x y ra đ ng th c c a bài toán áp

đ t n ph trong l i gi i 3 các bài toán 44 và 45 th ng xu t hi n trong các k thi tuy n sinh đ i h c môn

t t

x x

00

33

6

5

x x

o

2 2

11

11

00

3 2

0

22

12

Nh n xét

đ n đ o hàm – tính đ n đi u c a hàm s c a ch ng trình Gi i tích l p 12, chú ý r ng các hàm s liên quan

t t x

Nh n xét

Tháng 9 n m 1999 Tác gi bài toán là nhà giáo Hu nh T n Châu, tr ng THPT Chuyên L ng V n Chánh, t nh

 V đi u ki n các b n c n tìm chính xác

2 2

ây chính là tr ng h p các h s "đ p" nh t Nh v y l i gi i bài toán 93 là t ng h p c a c m t quá trình

M i quý b n theo dõi các ví d ti p theo, bài toán 96, m t l n n a d ng toán này l i xu t hi n trên t p chí Toán

105

2937 135

       

2 2 2

x x

   

2 2 2

33

1111

33

473

x x

x x

theo đi u ki n xác đ nh (ban đ u) Theo tác l p lu n ch ng minh m u th c l n h n 10 "nh t c l ng ti n", không

đ i t ng d thi đ ng th i ph i có tính phân lo i thí sinh r t cao H c, tìm hi u, th c hành, v n d ng và đánh giá

t t x

3 2 3 2 3

t 2 3 2  

01

t t x

00

x x

x x

So sánh v i đi u ki n đi đ n nghi m 5 1

x x

2 2

2 2

x x

x x

x x

2

1

01

2 2

2 2

   

2

3 2 2 2 3

2 2

x x

1

01

V y ph ng trình ban đ u có hai nghi m x1;x 

L u ý: Quá trình tìm nghi m  trong bài toán 170 c n s d ng công th c nghi m r t ph c t p, nó v t qua khuôn

x x







I I M T S TÀI LI U THAM KH O

1 Bài t p nâng cao và m t s chuyên đ toán 8

Bùi V n Tuyên; NXB Giáo d c Vi t Nam; 2004

2 Bài t p nâng cao và m t s chuyên đ toán 9

Bùi V n Tuyên; NXB Giáo d c Vi t Nam; 2005

3 Nâng cao và phát tri n toán 8, t p 1 – t p 2

V H u Bình; NXB Giáo d c Vi t Nam; 2004

4 Nâng cao và phát tri n toán 9, t p 1 – t p 2

V H u Bình; NXB Giáo d c Vi t Nam; 2005

5 Toán nâng cao i s 10

Nguy n Huy oan; NXB Giáo d c Vi t Nam; 1999

6 Bài t p nâng cao và m t s chuyên đ i s 10

Nguy n Huy oan; ng Hùng Th ng; NXB Giáo d c Vi t Nam; 2006

7 Tài li u chuyên toán: i s 10 – Bài t p i s 10

oàn Qu nh – Doãn Minh C ng – Tr n Nam D ng – ng Hùng Th ng; NXB Giáo d c Vi t Nam; 2010

8 M t s chuyên đ i s b i d ng h c sinh gi i THPT

Nguy n V n M u – Nguy n V n Ti n và

m t s tác gi ; NXB Giáo d c Vi t Nam; 2009

9 Tuy n t p các bài toán hay và khó i s 9

Nguy n c T n – ng c Tr ng – Nguy n Cao Huynh – V Minh Ngh a – Bùi Ruy Tân – L ng Anh V n; NXB Giáo d c Vi t Nam; 2002

10 M t s ph ng pháp ch n l c gi i các bài toán s c p, t p 1 – t p 3

Phan c Chính – Ph m V n i u – V n Hà – Ph m V n H p

– Ph m V n Hùng – Ph m ng Long – Nguy n V n M u – Thanh S n – Lê ình Th nh; NXB i h c Qu c gia Hà N i; 1997

11 Bài gi ng chuyên sâu Toán THPT: Gi i toán i s 10

Lê H ng c – Nhóm C Môn; NXB Hà N i; 2011

12 Ph ng pháp gi i ph ng trình và b t ph ng trình

Nguy n V n M u; NXB Giáo d c Vi t Nam; 1994

13 Toán b i d ng h c sinh ph thông trung h c – quy n 1; i s

Hàn Liên H i – Phan Huy Kh i – ào Ng c Nam – Nguy n o Ph ng

– Lê T t Tôn – ng Quan Vi n; NXB Hà N i; 1991

14 Ph ng trình và h ph ng trình không m u m c

Nguy n c T n – Phan Ng c Th o; NXB Giáo d c Vi t Nam; 1996

15 Chuyên đ b i d ng Toán c p ba; i s

Nguy n Sinh Nguyên; NXB à N ng; 1997

16 Gi i toán i s s c p (Dùng cho h c sinh 12 chuyên, luy n thi đ i h c)

Tr n Thành Minh – V Thi n C n – Võ Anh D ng; NXB Giáo d c Vi t Nam; 1995

17 Nh ng d ng toán đi n hình trong các k thi tuy n sinh i h c và Cao đ ng; T p 3

Bùi Quang Tr ng; NXB Hà N i; 2002

18 Ôn luy n thi môn Toán THPT theo ch đ ; T p m t: i s và l ng giác

Cung Th Anh; NXB Giáo d c Vi t Nam; 2011

19 Ph ng pháp gi i toán tr ng tâm

Phan Huy Kh i; NXB i h c S ph m; 2011

20 Các bài gi ng luy n thi môn Toán; T p 2

Phan c Chính – V D ng Th y – ào Tam – Lê Th ng Nh t; NXB Giáo d c Vi t Nam; 1993

21 H ph ng trình và ph ng trình ch a c n th c

Nguy n V L ng – Ph m V n Hùng – Nguy n Ng c Th ng; NXB HQG Hà N i; 2006

22 thi tuy n sinh vào l p 10 h THPT Chuyên tr c thu c đ i h c và THPT Chuyên các t nh thành

24 thi h c sinh gi i môn toán kh i 8 đ n kh i 12 các c p

27 Các t p chí toán h c: T p chí Toán h c và tu i tr ; T p chí Toán tu i th 2 THCS; T p chí Kvant

28 Các di n đàn toán h c: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net;

Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro;

29 M t s trang m ng h c t p thông qua facebook; twiter;

THÂN TH T I NG C TRUNG TINH TH N T I NG C NGO I

D C THÀNH I S NGHI P TINH TH N CÁNH Y U I

- - -