phương trinh chứa tham số

Hệ phương trình có chứa tham số

I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một

phương trình bậc hai

Khi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai ,ta có thể rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệ có một phương trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có bao nhiêu nghiệm thì hệ có bấy nhiêu nghiệm

Đê tìm điều kiện của tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãn tính chất nào

đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét hoặc đồ thị hàm số để tìm

Bài 1 Cho hệ phương trình

3

2 xy m x

y x

−

−

=

0 1 6

3

x

x y

=

+

)2 ( 5 3

a-Tìm a,b để hệ có nghiệm

b-Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b∈[− 1 , 2]

c- Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a∈[− 1 , 2]

c-Hệcó nghiệm với mọi a∈[− 1 , 2]⇔ b≥max )

8 (

1- Giải và biện luận hệ phương trình :







= +

−

=

+

2 2

2

x

m y x

=

−

b y ax

y

a-Gi ải hệ v ới a=0,25 ,b=0,5

b- Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b

a ay x

a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt b-hệ có hai nghiệm(x1,y1)(x2 ,y2)Chứng minh rằng (x1-x2 )2 +(y1-y2 )2 ≤1

= +

−

−

2

0 1 2

2

y x

m xy x

a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệt

b-hệcó hai nghiệm(x1,y1)(x2,y2 )Tìm mđể:(x1-x2)2+(y1-y2)2 =4

3

2 xy m x

y x

−

=

+

0 3 4

25

22

m y

mx

y x

+

b x y

b y x y x

có nghiệm với mọi b CMR:a=0

II-Hệ đối xứng loại một

m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìm được giá trị của tham số Đôi khi

sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệ đối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện của ẩn phụ cũng khác nhau

Để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể giải hệ phương trình rồi sử dụng điềukiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất hoặc có thể lợi dụng vào tính đối xứng của hai ẩn trong hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất Sau đây là một số ví

1

xy y x

m xy

= +

+

m y x

m xy y

m p s

1 3 1

m m

p

m s

=

+ +

−

=

1 3 1

1 3 1

m m

≥ + +

−

+ +

+

≥ +

−

−

) 1 3 1 ( 4 ) 1 3 1 (

) 1 3 1 ( 4 ) 1 3 1

2 2

m m

m

m m

=

+

2 3

44

22

m y x

m y x

Giải

m p

m s

42

p s

p s

1 0

m m

−

=

+

4 1

4 y

x

m y x

4

m uv

v u

≥

≥ +

uv v

u uv

v u

4 ) ( 0 02

= + +

+

m y

x xy

y x y

x

)1 )(

1 (

822

Giải

Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u

4

1 , 4

≥ Nên dựa vào

y x

) )(

(

1

2 2

+

= +

+

m m y x xy

m xy y x

2) (

1 2

a-CMR : hệ có nghiệm với mọi giá trị của m

m p

s

2

1 2





 +=

m s

m p

m s

a-Hệ (2) có mghiệm với mọi m (s2 ≥ 4pvới mọi m)

b-Hệ(2)luôn có nghiệm với mọi m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm duy nhất

p

s2 = 4

⇔ ⇔ (m+ 1 ) 2 = 4m ⇔m=1

Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm duy nhất.Vậy m=1

Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất

là một trong các hệ đó có nghiệm duy nhất ,từ đó tìm được ĐK của tham số ,thay giá trị của tham số tìm được vào hệ rồi giải hệ kiểm tra điều kiện đủ

−

− +

+

= +

1 )1 (

+

= +

1 1

1

2

2 y x

xy y

xy y x

1

2 xy y x

xy y x

)(

1 0

y

x xy yx

VN xy yx

Vậy :m=0

Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặc lợi dụng tính đối xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất

+

=

+

3 2

1

22

2y xy m m x

m y x

+

= +

+

m xy y x

m y xy

x

22

1a-Giải hệ pt khi m=2

b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x>0,y>0

+

= +

+

m y xy x

m xy y

x

2 2

6

22

= +

−

=

+

3 2

1 2

22

x

m y

+

=

+

4 ) (

2 2

2

22

y x

m y

=

+

22

2 y 6 m

x

m y

x

a- Giải hệ khi m=2

b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất

7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :







= + + +

−

= +

+

m y x y x

m y

x xy

2 2 2

6 5 )2 )(

2 (22

= +

+

m y

x

m xy y x

2 3

2

2 có 4 nghiệm phân biệt

9- Giải biện luận hệ pt:

= +

+

m y

x

m xy y x

2 3

22

=

− +

m y x

m xy y x

III-Hệ đối xứng loại hai

+Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai nếu đổi chỗ ẩn x và y cho nhau thì pt này của hệ chuyển thành pt kia và ngược lại

+Cách giải :Trừ từng vế của hai pt ,khi đó ta được pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựa vào pt này có thể giải được hệ

+Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm duy nhất cách làm như hệ đối xứng loại một

my x x

y x

m y

x

y x

3

0

Hệ

có hai nghiệm phân biệt ⇔m+3≠0⇔m≠−3

Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

y mx y x

22

22

− +

−

y mx y x

m y x y x

2

2 2

0 )1 3

3 )(

Giải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm duy nhất thì :-m-1=0⇔m=−1

khi đó hệ (2) vô nghiệm Vậy m=-1

Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :

−

=

+

)1 (

y m x xy

=

+

0 ) (

0

y x x

x y

(hệcóvôsốnghiệm)

=

+

)1 (8

y x

=

− + +

m x y

m y x

6 1

6 1

=

− + +

14 6

1

14 6

1

x y

y x

− + +

=

− + +

14 2 6 1

6 1

14 6

1

y y

x x

y x

Mà 1 +x+ 6 −x+ 1 +y+ 6 −y ≤ 2 14dấu bằng xảy ra ⇔x=y=

=

− + +

m x

y

m y

x

2 1

2 1

−

− +

=

−

− +

m y

x

y y

x x

2 1

2 1

− + +

=

− + +

m y

x

y y

x x

2 1

)1

( 2 1

3 2

1 3

Hàm số f(t)=

2 1

3

− +

t nghịch biến trong khoảng (2,+∞) Nênpt(1)⇔x=ythay vào

pt kia ta có pt: x+ 1 + x− 2 = m Hệcónghiệmkhiptnàycónghiệm⇔

3)21

Bài 6- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :

=

− +

=

my y x y

mx x y x

223

223

=

= + +

− + +

−

mx x y x

m y x xy y x y x

223

22

7

0 ) ) (6 )(

(6

2 2 3

2 2

II my

y x y

m y x xy y

=

= + +

− + +

ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm duy nhất x=y=0,nên hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất thì hệ (I)vô nghiệm ⇔pt( 1 ) vô nghiệm ⇔ ∆,<0⇔ m>16

ĐK Đủ :Với m>16 khi đó pt (2)⇔y2 + (x− 6 )y+x2 − 6x+m= 0 Là pt bậc hai ẩn y có

0 ) 12 ( 4 ) 2 (

+

=

+

m x y

m y

x

2

2

)1 (

x

y

my y

+

=

− +

1 1

1 1

m x y

m y

= + +

m x y

m y x

2

2

2 2

y

y

m y

− +

m x

y

m y

x

1 2

1 2

= +

+

)2 (

)1(

2

222

22

1

211

21

d y c xy b x a

d y c xy b x a

Cách giải

Cách 1: + xét xem x=0 có là nghiệm của hệ pt hay không

+Với x≠ 0 đặt y=tx thay vào hệ pt :

= + +

2

22222

1

21112

) (

) (

d tc t b a x

d tc tb a

x

chia hai vế của hai pt cho x

2 cân bằng hệ số vế phải của hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x khi đó ta có pt bậchai ẩn t,giải pt đó tìm được t

Cách 2:Cân bằng hệ số ẩn X2ở hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x2 ,rút x theo y

ở pt mới thay vào pt còn lại ,quy đồng khử mẫu pt đó đưa về pt trùng phương giải được

ẩn x

Cách 3:Cân bằng hệ số tự do ở hai pt ,trừ hai vế của hai pt khử số hạng tự dota được pt

có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x,y

Với hệ có chứa tham số dựa vào các cách giải trên để biến đổi,song tuỳtheo mỗi hệ mà

−

)2 (4 3

)1 (

4

2

22

xy y

m y xy x

= +

+

m y

xy x

y xy x

17 3 2

11 2

3

22

22

Giải

+x=0 thay vào hệ giải ra tìm được y=± 11,m=16

+x≠ 0(haym≠ 16)Đặty=tx thay vào hệ : ⇔

= +

+

m t

t x

t t x

17 )1 2 3(

11 )3 2

(22

22

+

= + +

+ +

11 )3 2 (

11

17 3 2

1 2 3

2 2 2 2

t t x

m t

t

t t

+

= + + + +

−

)4 ( 11 )3 2

(

)3 (0 40 3 )6 (2 )

− +

−

= + + +

+

)2 (1 )5

2(

)1 (

)1 (1 )2

( )1

(

22

22

m y m xy m x

m y m xy m

2

2 ) 3

thay vàopt(1)tacó:(3m4

18

3

1

0 23

18

3

0 ) 23 18 3(

−

+

m m

− +

= +

+

m my xy m x

m y my x

22

22

)1 (

= +

+

2

2 3

22

22

y xy x

m y xy x

V-Một số hệ khác

1-Hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn

Ta xét hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn mà các hạng tử chứa ẩn đều là bậc hai ,cách tìm điều kiện để hệ có nghiệm có liên quan đến việc giải hệ đẳng cấp bậc hai

+

−

≥

− +

)2 (2 5

10 3

)1

( 1

1 7 2

2 3

2 2

y xy x

m

m y

xy x

Giải

*ĐK Cần: Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (x,y) thoả mãn hệ bất pt trên Khi đó nhân cả hai

vế của (1) với -2 rồi cộng hai bất đẳng thức với nhau ta có: x

1

4 9

m y xy

1

4 )

⇔

m y

x ⇒m+ 1 < 0 ⇒m< − 1

*ĐK Đủ: Với m<-1.Ta có : 1

1

2 1 1

1

−

<

+ +

−

= +

−

m m

2 5

10 3

1

1 1 7

2

2 2

2 2

y xy x

m

m y

≥ +

−

5 2

1 2 2 4 7

3 2 4 5

2 2

2 2

m

m y xy x

y xy x

+

+

≥ + +

1 3

2

1 3 2 7 5

2 2

2 2

y xy x

m

m y xy x

1 2

4

2 8 8

3

2 2

2 2

m

m y xy

x

y xy

x

2- Sử dụng hình học để tìm

điều kiện hệ có nghiệm

Sử dụng phương pháp này ở những hệ mà trong đó mỗi phương trình hay bất phương trình

có tập nghiệm là một hình (đường thẳng, đường tròn ,elíp ,parabôl…)hoặc một đồ thị hàm

số ,khi giá trị của tham số thay đổi thì các hình đó cũng thay đổi ,dựa vào điều kiện sảy ra các vị trí tương đối của nó để biện luận tập nghiệm của hệ Tuỳ theo mỗi hệ ,có khi phải biến đổi mới có thể sử dụng được phương pháp này

Bài 1- Tìm a để hệ có hai nghiệm :

+

=

+

4 ) (

) 1(

2

2

22

y x

a y

+

=

+

)2 (2

)1 )(

1(

2

22

y x

a y

x

Tập nghiệm của (1) là đường tròn tâm O(0,0)

bán kính R= 2 ( 1 +a) còn nghiệm của (2) là hai đường thẳng x+y-2=0 V x+y+2=0 đối xứng nhau qua O Nên hệ có nghiệm ⇔hai đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung

⇔ Hai đường thẳng cùng tiếp xúc với đường tròn ⇔ Khoảng cách từ O đến hai đường thẳng bằng bán kính của đường tròn ⇔ 2 = 2 ( 1 +a) ⇔a=0

Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất :

≤ +

+

)2 ( )1

(

)1(

)1 (

22

22

a y x

a y

x

Giải

Nếu a<0 hệ vô nghiệm

Nếu a≥ 0 Khi đó nghiệm của (1) là hình tròn tâm I(0,-1)bán kính R= a và nghiệm của (2) là hình tròn tâm J(-1,0) bán kính R= a Nên hệ có nghiệm duy nhất ⇔ Hai hình tròn

có điểm chung duy nhất ⇔Hai hình tròn tiếp xúc ngoài nhau ⇔IJ = 2 a

2

1 2

=

+

a y x

a y x

2 1

a v u

Trong hệ toạ độ nghiệm của (1)là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng :u+v=a(d) và nghiệm của (2) là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn tâm O(o,o)bán kính R= 3a+ 3.Nên hệ có nghiệm  hai đường có điểm chung trong góc phần tư thứ nhất d(o,m)≤

d(o,d) R≤ (trongđóđtm:u+v= 3a+ 3) 3a+ 3 ≤a≤ 6a+ 6

Bài tập

− +

+

≤

+

2 )1

( 2

2

a y

x y x

y x

Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :

≥ + +

+

1

1 2

y x

m xy y x

≥

+

+

m y x

y

x

y x

2

1 ) (

2 2

m y x

x y

2 2

m y x

x y

= + +

−

2 2 2

1 1 1

m y x

y x

≥ +

+

m y

x

y x

2

2 ( )2

4 2

Vyy m y

y

2 2

6

2 )2(

42

Đểhệ(II)có nghiệm duy nhất điều kiện là: 0

2 6

2 2

m

Điều kiện đủ :hệ có nghiệm duy nhất x=0,y=2

Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất

+ +

= +

−

2 2

2

1 1

1 1 3

a y

y

y x

y a x

= +

−

2 2

2

1

1 1 3

a y

x

y a

x

Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (x,-y) cũng là nghiệm Nên hệ có

nghiệm duy nhất thì y=-y y=0

Thay y=0 vào hệ ta có

3

4 1 1

ax

Nếu a=-1 thay vào hệ ,giải hệ ta có hệ có nghiệm duy nhất x=y=0

Nếu a=4/3 thay vào hệ ,giải hệ => nghiệm :x=7/9,y=0

Vậy :a=-1 hoặc a=4/3

Bài-3 Tìmađể hệ có nghiệm duy nhất

= + +

= + +

a x

x y

a y x

3 5 5

3

2 2

= + +

)2 (5 5

)1 (3 3

2 2

2

x x y

y

x

Nhận thấy x,y ≠ 0 thì VT(1)≥ 3 Nên (1)

có nghiệm :x=y=0 thay vào (2)thoả mãn

Vây :a= 3

Bài tập

Bài 1-Tìm a,b để hệ có nghiệm duy nhất :

= +

= +

42 2 2

2

z y x

b z xyz

a z xyz

Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất







= + +

=

+

a z y x

z y

=

+

a ax y

y x

2

2

1 1

+ +

= +

1

2

2 2

2

x y

m x y x

+

=

+

1 sin

cos )1 (

2

y x

y x x

a