MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHVÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Phương trình, bất phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn Đại số ở bậc phổ thông.. Chúng tôi xin g
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Phương trình, bất phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn Đại số ở bậc phổ thông Đây cũng là dạng toán khiến các bạn học sinh gặp khó khăn vì dạng bài tập phong phú, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi Chúng tôi xin
giới thiệu Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức
để giúp các bạn học sinh cơ bản nắm được cách giải quyết các bài toán dạng này
I Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức.
1 Phương trình
0
f x
f x g x
f x g x
2
0
g x
f x g x
f x g x
Vd1: Giải phương trình sau: x2 3x2 x 1 1
Hướng dẫn:
Nhận xét: Phương trình có dạng f x g x nên ta giải như sau
Ta có
2
2
1 0 1
1
1 1
x
x
x x
Vậy S 1
Vd2: Giải phương trình: x2 5x4 2x2 3x12 2
Hướng dẫn: Ta có
2
5 4 0
5 4 2 3 12
2 1 4 0
3 2 8 0
Trang 2
1 4
8
8 6
x x
x x
x
6
S
2 Bất phương trình
2
0 0
g x
f x g x
f x g x
b)
2
0 0 0
g x
f x
f x g x
g x
f x g x
Vd3: Giải các bất phương trình sau:
a) x 1 2x2 1
b) 2x 5 x24x 3, 1;14
5
S
Hướng dẫn
a) Ta có :
2
1 0
x
2 2
1
1 0
x
x
1
1
1 1
x
x x
x x
x
Vậy tập nghiệm S 1;3 1
Trang 3b)Ta có 2
2x 5 x 4x 3
2
1
2
x
x
Giải (1)
5
5
2
1 3
x
x x
Giải (2)
2
5 5
5 14 2
14 2 4 2
5 24 28 0
5
x x
x x
Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 1;14
5
S
II CÁC PHƯƠNG PHÁP
1 Phương pháp bình phương liên tiếp
Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình
về dạng không còn chứa căn thức Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu)
Vd1: Giải phương trình 3x 1 2x1 6 x
Hướng dẫn:
Điều kiện
3 1 0
1
2
6 0
x
x
Với điều kiện trên ta có
3 1 2 1 6
3 1 6 2 1
3 1 6 2 1 2 6 2 1
2 4 2 6 2 1
2 6 2 1
x 2
Trang 4
2
4 4 2 13 6
3 17 10 0 5
2 3
x
Vậy S 5
Vd2: Giải bất phương trình 2 3 1 9 2 3 2
Hướng dẫn
x
x x
Với điều kiện trên ta có
16 48 18 2 6 9 2
18 64 0
9 33 3 9 2
9 33 9 9 2
x
2
32
4 28
9
81 576 1008 0 9
4
x x
x x
x
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 4;9
2
S
2 Phương pháp đặt ẩn phụ
Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ bản hoặc là dạng đã biết cách giải Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu.
Chú ý:
Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại.
Dạng 1 Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau Đặt t f x , đưa phương
trình, bất phương trình theo biến x về phương trình bất phương trình theo biến t (Chú ý đặt điều kiện cho biến t (nếu có)).
Trang 5Vd1: Giải phương trình 2 2
3x 2x 9 3x 2x2 7 Nhận xét:
Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng 3x2 2x, và đây là biểu thức chung, chú ý rằng chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số cũng không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn t 3x2 2x, để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt t 3x2 2x2
Ta giải bài toán này như sau:
Đặt t 3x2 2x điều kiện 2 t Khi đó 0 3x2 2x9 t27 Phương trình trở thành
2 2
2 2
7 7
3
t
Với t ta có3
2 2 2
3
3
x x
Vậy 1 22 1; 22
S
Vd2: Giải bất phương trình x1 x4 5 x25x28
Hướng dẫn:
Ta có:
Đặt t x25x28 điều kiện t Khi đó bất phương trình trở thành: 0
2
24 5
t t
t t t
Kết hợp với điều kiện ta có 0 t 8 (1)
Với t ta có:8
Trang 6
2 2
2 2
x
x
Với t 0 x25x28 0 x (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là S 9;4
Vd3: Giải bất phương trình: 2x x 1 1 x2 x1
Hướng dẫn:
Đặt t x2 x , điều kiện 1 t , suy ra 0 2x x 1 2t2 1
Bất phương trình trở thành:
2
2
1
2
1
t t
t
1
x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;0 1;
Dạng 2 Các phương trình, bất phương trình có biểu thức A B m AB trong đó A B là
hằng số Khi đó đặt t A B, suy ra 2
2
AB Đưa phương trình bất phương
trình về ẩn t
Vd4: Giải phương trình: x2 5 x (x2)(5 x) 4
Hướng dẫn:
Điều kiện 2 x 5
Đặt t x2 5 x (điều kiện t ) 0
2
2
t
t x x x x x x
Khi đó phương trình trở thành:
2 2
7 4 2
2 15 0 5
3
t t
Trang 7Với t ta có: 3
3 3 5 2
3 3 5 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 3 5 3 3 5;
S
Vd5: Giải bất phương trình: 2x 1 9 2 x3 2 x1 9 2 x 13
Hướng dẫn
Điều kiện 1 9
Đặt t 2x 1 9 2 x (điều kiện t ) Suy ra 0
2
t
x x Bất phương trình trở thành
2
t
2
14 3 4
t t
Với t ta có 4
2
x x x
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S 0;4
Dạng 3 Các phương trình có dạng m A n B p AB4 Khi đó đặt 4 A
t B
(xét B0,B0) Hoặc đặt u 4 A v, 4 B Tính u theo v
Trang 8Vd6: Giải phương trình 4 2 2
4
x x
x x
Hướng dẫn
Điều kiện
2
1
2 0
2
x
x x
x
Đặt a4 x1,b4 x 2 điều kiện ,a b 0
Khi đó phương trình trở thành 2 2 2 2
2
2
2
ab
Với a2 2b ta có 4 x 1 4 x 2 2 x 1 4x 2 x3
2
2
x x x x vn
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 3
Vd7: Giải bất phương trình 4 2 2 3 1
36
x x
Hướng dẫn
Điều kiện
2
x
Ta thấy x là nghiệm của bất phương trình 1
Xét x , chia hai vế của bất phương trình cho 1 42x2 3x ta có 1
t
(Điều kiện t ) Khi đó bất phương trình trở thành0
2
16
6 6
2
t
2
t ta có
x
Trang 9Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1;5
Dạng 4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Vd8: Giải phương trình:
3
3
1
2
x
x
Hướng dẫn
Đặt
3
2
t
t x x
3 3
Lấy (1) trừ (2) ta có:
0
x t x xt t
x t
(Vì
2
t
x xt t x t
Với t x ta có
1
2
2
x
x
x
Vậy phương trình có 3 nghiệm 1;1 5 1; 5
S
Vd9: Giải phương trình: 3 x34 3 x 3 1 *
Hướng dẫn
Đặt:
3
3
34
37 3
u v
* u v 1
u v
u v
2 u v 1 3 , sau đó thay vào 1 ta có:
Trang 10 13 3 37
3
4
v
v
3
3
Vd10: Giải phương trình: 7 4x25x 1 14 x2 3x 3 17x13 *
Hướng dẫn
* 7 4 x 3x3 17x 13 14 x 3x 3 17x 13
Đặt:
2
2
13
u x
* trở thành 7 4v2u 14v u
Ta có hệ:
2
2 2
25 373
2 289
v
2 2
2
0
49 28
u
13 0
17
49 28
Thay vào 2 :
Trang 11 2
2
2
2 2
289
495 2044 1549 0
1 2
746
2231 495
v
x x
x
x
Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm: 2, 746
495
x x
Vậy 746 13; ;2
495 17
S
Chú ý:
Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại
Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì rất khó sử dụng
3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Vd11: Giải phương trình x 2 10 xx2 12x40
Hướng dẫn
Đặt: t x 2 10 x t, 0
4
BCS
t
t
Dấu " " xảy ra x 2 10 x x6
Mặt khác: x2 12x40x 62 4 4, dấu " " xảy ra x6
2
Vậy S 6
4 Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số
Vd12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x 6 x 3x 6 x m
Hướng dẫn
Điều kiện: x 3;6
Trang 12Đặt t 3x 6 x x, 3;6
t
3
2
t x t
Ta có:
và t2 3x 6 x2 9 2 3 x 6 x
Bảng biến thiên:
x
t’ + 0 -
t
3 3 3;3 2
Xét
2
9
2
t
Bảng biến thiên:
t 3 3 2
f t
Vậy 3;3 2 9
2
m
thì phương trình có nghiệm
BÀI TẬP ÁP DỤNG
3 2
3
9
3 2
2
3
Trang 13I Giải các phương trình sau:
1)
2 1
2) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 S 1;10
5
x x
4) x 2 2x 3 4x 7 S 2
2
x
2 3
S
;
S
7) 32 x 1 x 1 S 1;2
8) 3 x226 3 x x 3 8 S 1
1
2x 2 x
1 1
;
2 2
S
2
S
11) 1x 1 1 x1 2x 24
;0 25
S
II Giải bất phương trình
2
x
x
x
2) 2 2 7 4 1
x
2 7
S
3) x 2 x 3 2x4 0 S 2;
x x x x x x S 1 4;
1
x
S
2 1
x
x
x
2
S
S
8) 5x 3 x 1 4 x5 3 x 8 3
5;
2
S
Trang 149)
2
4
x
10) 5x 1 x 1 2x 4 S 2;10
3
x
S
III Tìm m để:
1) x 9 x x29x m có nghiệm
2) 12 2 2
3
x
m x
có hai nghiệm
3) x2 x m 3 x2 2x5 có nghiệm chứa 0;1
4) 3 x 1m x 1 24 x2 1 có nghiệm
5) x2mx2 2 x có 2 nghiệm phân biệt.1
IV Phương trình và bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học gần đây
1) (D – 2002) Giải bất phương trình x2 3x 2x2 3x 2 0
1
2
S
2) (A – 2004) Giải bất phương trình 11) 2 2 16 7
3
x
S
3) (B – 2004) Xác định mđể phương trình sau có nghiệm:
4) (A – 2005) Giải bất phương trình 5x1 x1 2x 4 Đs: 2 x 10
5) (D – 2005) Giải phương trình: 2 x 2 2 x 1 x 1 4 Đs: S 3
6) (B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x2mx2 2 x1 Đs:
9
2
m
7) (D – 2006) Giải phương trình 2
2x1x 3x 1 0 Đs: S 1;2 2
8) (A – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 3 x1m x 1 24 x21 Đs: 1 1
3
m
9) (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x22x 8 m x 2 Đs: m 0
10) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt
Trang 1542x 2x2 64 x2 6 x m Đs: 2 6 2 6 4 m3 2 6
V Các bài trong các đề thi dự bị đại học
3x 2 x1 4 x 9 2 3 x 5x2 (Dự bị B – 2006) Đs: S 2
2) Giải phương trình x2 7 x 2 x1 x28x 7 1 Đs: S 4;5 3) Tìm m để bất phương trình m x2 2x 2 1x2 x 0 có nghiệm x 0;1 3
(Dự bị A –
3
m
4) Tìm m để phương trình 4 x2 1 x m có nghiệm (Dự bị B – 2007) 0 m 1
5) Tìm m để phương trình x 3 2 x 4 x 6 x 4 5 m có đúng hai nghiệm (Dự bị D – 2007) Đs: 2 m 4
6) Tìm m để phương trình sau 4 x413x m x 1 0 có đúng một nghiệm thực (Dự bị A – 2007)
2
