KIEN THUC CAN NHO... Với giá trị nào của a thì hệ cĩ nghiệm... Hướng Dẫn Và Giai Tom Tit.
Trang 1Bai 23
HE PHUONG TRINH DOI XUNG LOAI I
I KIEN THUC CAN NHO
f(x,y) =0
1 Dang of với Í(x,y) =Í(y,x) và g(x,y) =g(y,x)
g(x,y) =0
2 Cach gidi: Dua hé (1) vé hé :
F(S,P)=0 (II) v6iS=x+y,P=xy
G(S,P) =0 Giải hệ (ID => S,P va x,y 1a nghiém ctia phuong trình :
t? -St+P=0
Diéu kién dé (1) có nghiệm là hệ (II có nghiệm thỏa: S”—4P>0
H CÁC VÍ DỤ:
Vi du 1:
" Xx +y °+xy=7
Giải hệ phương trình :
x+y+xy=Š5
Giải
Dats=x+y, p= xy, taco:
He oS p 7 js +s 12 "2Ì
(loại vì không thỏa s” —4p> 0)
Vv c© Vv vay nghiém (1, 2), (2, 1)
y=2 ly=l
Vi du 2:
x+y+L++=5
Giải hệ phương trình :
1 1
x +y° ++ =9
xy (ĐH Ngoại Thương TPHCM, Khối A, D năm 1997)
Giải u=x++ x2+-L=u2~2
He = uo +v =13 2.2 > (u+ v)“ —2uv =13 2 > uv =6
— u, v là nghiệm của phuong trinh: a” —5a+6=0
*u=2,v=3: © 9
>< +
*u=3,v=2: ©
3—
—> nghiệm hệ:
NEY iN
¬— iN
Trang 2Ví dụ 3:
Tìm các giá trị của a để hệ sau đây cĩ đúng 2 nghiệm
LẺ ty? =2(1 +a)
(x+y)” =4
(ĐH Y Dược TPHCM năm 1998)
Giải
-_ |x +y =2+a) |(x+y)-2xy=2(+a)
(x+y) =4 (x+y)” =4
xy=l-a xy=l-a
x+y=2 x+y=-2
Điều kiện hệ cĩ nghiệm là:
(x+y)h2-4xy>0<4-4(I-a)>0<>a>0
—>x,y là nghiệm của phương trình : œ2 —2œ+l—a=0 hoặc
a +2a+1-a=0
C6 cing biét s6: A'=1-(1-a)=a
Và cĩ 4 nghiệm khác nhau: a=ltva,a'=-ltva khi a >0
Nên chỉ đúng 2 nghiệm khi a = 0
>a=x=y=l, a’=x=y=-l
Tĩm lai hé cé dting hai nghiém: (1, 1); (-1, -1) khia =0
Vi du 4:
wey[iet les
xy
aye J =9]
Xếy
(ĐH Ngoại Thương Khối A năm 1999)
Giải
Giải hệ phương trình :
ui+v° =53 (u+v)° —2uv =53 uv=-l4
=>u,v là nghiệm phương trình: x“ — 5x — 14=0<> 2Y 7
Với x —>J*= 2 JX= 2
1 x+—=-2_ [x=-l x=-l
Với 1 =>) 74/45; 7-45
II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
x+y=2a-1
2
2.1 Cho hệ phương trình: 32
X° +y° =a° +2a-3 Định a để hệ cĩ nghiệm (x, y) và xy nhỏ nhất
` ` (x+])(y+l)=m+4 2.2 Cho hệ phương trình:
xy(x+y)=3m
1 Định m để hệ cĩ nghiệm
2 Định m để hệ cĩ 4 nghiệm phân biệt
X+y+yx=a+l x°y +y°x =a 2.3 Cho hệ phương trình:
Định a để hệ cĩ ít nhất một nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > 0 và y >
0
x+y+xy=a
2
2.4 Cho hệ phương trình: 2
Xếy+Xxy“ =3a_-8 Leen as 7
a Giai hé với a=—
b Với giá trị nào của a thì hệ cĩ nghiệm
Trang 3Hướng Dẫn Và Giai Tom Tit
2.1 Dat Hệ <> 4s“ -2p=a“ +2a—3‹<42p=3a“ˆ -6a+4
s“>4p s“>4p s=2a-l
- 2p=3a7 —6a+4
2-*“<a<2+*“
2
Đặt fA)= T—=3a+2, f{a)=3a—3, f(a)=0€>a=l
Bảng biến thiên:
v2
Từ Bảng biến thiên > f(a)y,,, <> a= 2 -——
2.2
1.Hé &
PS =3m
Dat S=xt+y,P=xy ©
xy(x+y)=3m
— s và p là nghiệm của phương trình: œ7 =(m+3)x+ 3m =0
A=(m—3)“ >0> Vv
S=m
* by 3 thì x và y là nghiệm phương trình: t—mt+3=0
Phương trình có nghiệm <> A¡ = m? -12>0om<-2v3 vm >2V3
S=3
* R thì x và y là nghiệm phương trình: t—3t+m =0
=m
Phung trinh cé6 nghiém © A, =9-4m20Gms 7 Tóm lại hệ có nghiệm <oms-2¥3 vm 223 vm<—
ean ` ¬ A, >0
2 Để hệ có 4 nghiệm phân biệt <> om< -2x3
2>
ˆ S+P=a+l S=a S=l 2.3 HỆ <> & Vv
* Voi [3 Bigw kigax>0,y>0 P>0 ca>2
S“-4>0
sả TC Điều kiện x >0, y>0 là: 4P>0 =0<a<+
=a
S* —4P >0
Pap s6: a22v0<a<—
xˆy+xy“ =3a-8 SP =3a-8 P=xy
S=1
5 (loai) sipa_ P= —
a a=— 5 <>
P=]
x, y 14 nghiém phuong trinh: «7 ~2a41=0ea=2vx=5
Trang 4b S+P=a thì s, h p là 2 nghiệm của phương trình: 1a 2 nghi h nh
SP =3a-8
œˆ =aœ+3a—8=0 ()
Phương trình có nghiệm
©A=a -43a-8)>0<Ầ>a<4va>8
Với điều kiện đó, phương trình (1) có nghiệm:
_a-Ala?-12a+32 — a+va?-l2a+32
a—la?—12a+32 a+Ala?—12a +32
thì hệ sẽ có nghiệm
<©>s?—4p>0<©>(a-2)a—8)>(a+4)4(a—4)(a-8) (2)
thì hệ có nghiệm
©sỐ> 4p<>(a-2)(a-8)>-(a+4)V/(a-4)(a—8) (3)
Từ (2) và (3)— (a— 2)(a — 8) > —Ía + 4|-/(a—4)(a—8) (4)
a<2 ;
Vi (a~2/a~8)>0©| thì (4) thỏa
a>8§
Khi ae(2,4] thì (a—2)(a—8) <0
(4)©>(a—2) (a—8)“ <(a+4)“(a—4)(a— 8)
13-3433 _13+3433
Kết hợp với các điều kiện trên, ta thấy hệ có nghiệm khi
<13+ nS h
© 4a? -13a—-8<0<> <a<
ay a>8
