HÀM SỐ MŨHÀM SỐ LÔGARIT
I HÀM SỐ MŨ :
1 Định nghĩa : với a > 0 ; a 1
Hàm số y = a gọi là hàm số mũ x
Chú ý : Khi a= 1 thì y =1x =1 x R)
Ví dụ : Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số mũ ?
A y= x3 B y= ( 3)x C y=3x D y= 1
x
2 Đạo hàm của hàm số mũ :
Thừa nhận :
t 0
lim
t
e 1 t
t 0
lim
at
e 1 t
= a
Ví dụ : 1)
0
lim
x
5x
e 1 x
0
lim
x
2.Sin3x
x
3)
0
lim
x
sin 4x
Định lý : (ex) / = ex > ( eu)/ = u/.eu
( ax) / = ax.lna > ( au)/ = u/.au.lna Aùp dụng : Tính đạo hàm :
1) y = eSin x 2) y = e3x.(x2 2x + 5 )
3) y =
x
x
2.e 4
5 e
4) y = (35.ex)7 5) y = 7 x 1 6) y = Cos x2
5 7) y = 3Cos x 8) y = x.ex
3.Khảo sát hàm số mũ :
+ Sự biến thiên :
vì y/ = ax.lna nên đạo hàm của hàm số mũ cùng dấu với lna
a > 1 thì y/ >0 , h/s đồng biến : x1 > x2 a > x1 a x2
0 <a< 1 thì y/< 0 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 a < x1 a x2
+ Tiệm cận :
Khi a>1
xlim
ax =+ ;
xlim
ax =0
=> y= 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang
Khi 0< a<1
xlim
ax =0 ;
xlim
ax =+
=> y= 0 (trục Ox)là tiệm cận ngang + Bảng biến thiên :
x 0 1 + x 0 1 +
y = ax 0 y = ax 0
a > 1 0< a< 1
Trang 2+Đồ thị h/s :
Vì a0 =1 => đồ thị y = ax luôn đi qua A(0;1) và (1;a)
y = a và y = x
x
a
1 (hay
x
a
1 ) đ/ x qua Oy
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị h/s y = 2x và y =
x 1 3
Ví dụ 2: Nhận xét hàm số nào sau đây đồng biến , nghịch biến ?
a) y =
x
4
b) y =
x
x
1
2 1
II.HÀM SỐ LÔGARIT:
1 Định nghĩa : Cho a > 0 ; a 1
Hàm số : y = log xa được gọi là hàm số lôgarít cơ số a
Ví dụ: Các hàm số y=log3x ; y= 1
4
log x ; y= log 5x; y =lnx có cơ số bằng ?
2 Đạo hàm của hàm số logarit :
Ta có :
x 0
lim
ln(1 x)
x
= 1
x 0
lim
ln(1 x) x
= ( chứng minh)
Ví dụ : 1/
x 0
lim
ln(1 3x)
2)
x 0
lim
Sin4x 3x ln(1 2x)
3)
x 0
lim
sin 2x ln(1 5x) Định lý : (lnx) / = 1
x x(0;+) > (lnu)/ = u
u
(logax) / = 1
x ln a > (logau )/ = u
u.ln a
Ví dụ : Tính đạo hàm :
1) y = log (4x 1)3 2) y =
5 x x
3) y = 4 2
2
log (x 4)
4) y = 2ln x 3
4 5ln x
5) y = ln( 7x+ ex ) 6) y=log5(5x26x +11) 7) Chứng minh các biểu thức : Cho y = ln(Cos x)
x
y
a >1
1
0 <a< 1
y
Trang 3CMR : a) y + Sin 2x y + 3.tgx = 0 b) y.tgx y 1 = 0
3 Khảo sát hàm số logarit : y = logax ( 0< a 1 )
+ TXD : D = R
( hay (0; + ) Tập giá trị là R + Sự biến thiên của hàm số : Vì y/ = 1
x ln a
a > 1 thì y/ >0 với mọi x >0 , h/s đồng biến trên (0;+) 0 <a< 1 thì y/< 0 , h/s nghịch biến trên (0;+) + Tiệm cận :
Khi a>1
xlim0
logax = ;
xlim
logax =+
=> x= 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng
Khi 0< a<1
xlim0
logax =+ ;
xlim
logax =
=> x= 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng + Bảng biến thiên :
x 0 1 a + x 0 a 1 +
+ Đồ thị :
Vì loga1 = 0; logaa = 1 đồ thị luôn đi qua điểm (1;0) ; (a;1)
Chú ý : y = log xa <=> x = ay
aM = N ( với N > 0 ) <=> M = log Na
Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số :
a) y = log x 2 b) y = log x 2 c) y = 2 log x 2
Bài tập :
1 Vẽ đồ thị hàm số :
a) y = 3x b) y = 1x
x
d) y = 3x
e) y = 4x 3 f) y = 2x + 1 g) y = 2x+2 h) y = log x2 2
a > 1 0< a< 1
y
a >1
1
0 < a < 1
y
O
O
Trang 4i) y = log3x k)y = log1/3 x l) y= 3log x3 m) y = log x 2 3
2 a) Vẽ đồ thị hàm số y = 1x
2
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 1x
2 = 3m + 1
3 Tìm x biết :
a) 5x = 625 b) 3x = 243 c) 3x =81 d) 23x+1 =32
e)
x
4
5
3
2 f)
x
2
x
9
27
2 3 =36
h) (0,25)2 x = 256x 3
x 1
= 729.3 x 1 k) ( 3 3)x =1
4 Giải các phương trình sau :
a) 52x 6.5x + 5 = 0 b) 22x+1 +5.2x 3 = 0
c) 32x + 3x+1 18 = 0 d) 4x 5.2x 24 = 0
g) 3x+2 + 3x1 = 28 h) 52x1 +22x 52x +22x+2 = 0
i) x 3 3x 10x 32 =1 k)
2
3x 10x 3
x 3 =1
5 Suy ra mối quan hệ giữa x và y tùy các bất đẳng thức sau :
a) (1/3)x < (1/3)y b) (1,5)x < (1,5)y
c) (0,3)x > (0,3)y d) (5/4)x < (5/4)y e) (2,3)x < (2,3)y
6 Tìøm tập xác định của hàm số :
a) a) y = 3 x 2 b) y = 3 x+ 3 1 x c) y = 2 |x 3| |8 x|
d) y = log (x2 2 3x) e) y = x 1 lgx 3 f) y = log5
x 2
x 3
g) y= log2
4x 11 2x 4x 6 h)y = log3 1
2
log x i) y = lg 1 2x
x 3
