PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC... PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ● ðặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ cĩ nghĩa.. ● Sử dụng các phép b
Trang 1trang 3
Bất phương trình dạng : log ( ) ( )
x
f g x > a , ta xét hai trường hợp của cơ số :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1
a
a
x f
g x
g x f x
g x
g x f x
f x
f x
<
<
<
>
>
< <
x log 5x −8x+ >3 2
- Bpt
2
2
x 1
− + < − + < < <
− + >
2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S 1 3; 3;
= ∪ +∞
BÀI TẬP
4
x 3 log log 9 −72 ≤1
x 3
2 2
2
log x 9x 8
2 log 3 x
<
−
log x 3x 2
2 log x log 2
>
3 a
a
log 35 x
3
log 5 x
−
>
−
DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Ví dụ 1 Giải bất phương trình :
x x 2
x x
2.3 2
1
+
- ðiều kiện : x x
3 −2 ≠ ⇔ ≠0 x 0
Trang 2Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 4
- Chia cả tử và mẫu cho x
2 , ta ñược :
x
x x 2
x
x x
3
1 2
+
−
−
(*)
2
= < ≠
- Khi ñó (*) trở thành 2t 4 1 0 t 3 0 1 t 3
- Với
x
3 2
3
2
< ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 3
2
S 0; log 3
5 − − − −4.5 − <5+ −
u=5 − 0, v> =5 − >0
4u 5v u 4uv 5v vi v 0
u 4uv 5v 0 u v u 5v 0 u 5v 0 u 5v
x 5 1 3 x 2
5 − 5+ − x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
- Bpt (*)
2 x 6
6 x 18
3 x 18
x 21x 54 0
− ≥
⇔ ≤ <
− <
⇔ − ≥
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=[2;18)
Ví dụ 3 Giải bất phương trình : 22 x2− −4 x 2−16.22 x x− −2 1− ≤2 0
- Ta có : 22 x2− −4 x 2−16.22 x x− −2 1− ≤ ⇔2 0 22 x2− −4 x 2−16.22 x x− + −2 1 2− ≤2 0
( 2 ) ( 2 )
2 x 2 x 1 x 2 x 1
2 − − 4.2− − − 2 0
- ðặt : t =2x2− −2 x 1, t >0
t
t 2 t 1 1 0 t 2 0 t 2
- Với t≤2 ⇔ 2x2− −2x 1 ≤2 ⇔ x2 −2x 1 1 − ≤ ⇔ x2 −2x− ≤2 0 ⇔ − 1 3≤ ≤ +x 1 3
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S= −1 3;1+ 3
Trang 3trang 5
Ví dụ 4 Giải bất phương trình : 32x 1+ −22x 1+ −5.6x ≤0
- Ta có :
- ðặt :
x 3
2
- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn : 0< ≤t 2
- Với
x
3 2
2 x log 2 2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 3
2
S ; log 2
BÀI TẬP
1
+
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
log 8 log x+ log 2x ≥0
- ðiều kiện : 0< ≠x 1
- ðặt : t=log x2
t 0
≤ −
2
1 log x 1
2
x 1
≤ −
- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
1
0 x
2
x 1
< ≤
>
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 1 ( )
2
Trang 4Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 6
- ðiều kiện : x>0
3
2
2
log x log x log 8 9 log 32 log x 4 log x
log x 3log x 3 9 5 2 log x 4 log x
- ðặt : t=log x2
2
3 log x 2
t 13t 36 0 4 t 9
− < < −
− < < −
− + < ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < <
x
4 x 8
< <
< <
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 1 1 ( )
8 4
BÀI TẬP
x
log 3 + +2 2.log + 2 3− >0
DẠNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
Dạng : loga u<logb v, ta thường giải như sau : ðặt t=loga u ( hoặc t=logb v) để đưa
về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số
- ðiều kiện : x>0
4
t=log x ⇔ = x 4
5
+ > ⇔ + > ⇔ + >
- Hàm số ( ) 1 t 2 t
x 3
f
= +
nghịch biến trên ℝ và f ( )1 =1
- Bpt (*)⇔ f( )t > f ( )1 ⇔ < t 1
- Với t< ⇔1 log x4 < ⇔ < <1 0 x 4
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=( )0; 4
Trang 5trang 7
loga u > logb v , ta thường giải như sau :
● Lập bảng xét dấu của loga u và log b v trong tập xác ñịnh của phương trình
● Trong TXð, nếu loga u và log b v cùng dấu thì : 1 1 og og
loga u > logb v ⇔ l a u<l b v
Ví dụ : Giải bất phương trình :
log x 1 >log 3 2x
- ðiều kiện :
2 3
x 0;1 2
− < ≠
● log2(x + 1)> ⇔ + > ⇔ >0 x 1 1 x 0
● log2(3 2x− )> ⇔ −0 3 2x> ⇔ <1 x 1
- Ta có bảng xét dấu :
- Từ ñó ta có các trường hợp sau :
1) Với 1− < <x 0 thì VT<0, VP>0, suy ra bpt vô nghiệm
2) Với 0< <x 1 thì VT>0, VP>0 Khi ñó bpt ⇔ log2(x 1+ <) log2(3 2x− )
2
3 2x x 1 x
3
⇔ − > + ⇔ <
2
< < thì VT>0, VP<0, suy ra bpt vô nghiệm
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S 0 x 2
3
= < <
BÀI TẬP
1)
2
1 1
3 3
log x 1 log 2x 3x 1>
+
− + 2) log(− −3x 5)4 log− (− −6x 2)16≥0
Dạng : loga u v u loga u u loga v v
( ) loga
f t = t t+ ñồng biến khi t >0, suy ra f u( )< f v( ) ⇔ <u v
Ví dụ : Giải bất phương trình :
2
2
3 2
u=x + +x 1; v=2x −2x+3 u>0, v>0 Suy ra : v− =u x2−3x+2
Trang 6Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 8
- Bpt trở thành : log3 u v u log u3 log v3 v u log u3 u log v3 v
- Xét hàm số : f ( )t =log t3 +t, ta có : ( ) 1
t ln 3
f = + > ∀ > nên hàm số ñồng biến khi
t>0 Do ñó (*)⇔ f ( )u > f ( )v ⇔ > u v
- Với u> ⇔v x2+ + >x 1 2x2−2x+ ⇔3 x2−3x+ < ⇔ < <2 0 1 x 2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=( )1; 2
Dùng phương pháp ñánh giá : Dùng bất ñẳng thức, trị tuyệt ñối, biểu thức chứa căn,…
1
x 1
−
- ðiều kiện : x≥2
- Ta có : ● x− + ≥ ⇔2 4 4 log2( x− + ≥ ⇔2 4) 2 VT≥2
x 1
−
1 8 9 log 3 1 8 2 VP 2
- Vậy bpt có nghiệm khi và chỉ khi VT 2 x 2 0 x 2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S={ }2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1)
2 2
2x x
x 2x 1
3
−
3)
2
x x 2 3
2 x 1 x 1
3
+ − −
− + − >
4) log x2 +log x3 < +1 log x.log x2 3
2 2
2
x 3
1
x
3
>
2 log x+log x − >3 5 log x −3
2
log x 1 log x 1
0
x 5x 6
>
2
log x 1 log x 1
0
>
- HẾT -
Trang 7trang 1
DẠNG 1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
● ðặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ cĩ nghĩa
● Sử dụng các phép biến đổi để đưa vê hệ phương trình đại số theo ẩn x, hoặc y, hoặc x
và y
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình :
x y
x y
2 3 12
3 2 18
=
- Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế của hai phương trình ta được : 2 2
x y.log 3 2 log 3 x.log 3 y 1 2.log 3
+ = +
Nhận xét : ðây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cĩ dạng 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
2
1 log 3
log 3 1
2
2 log 3 log 3
1 2 log 3 1
+
+
log 3 1 2 log 3
+
+
- Suy ra hệ cĩ nghiệm :
x
y
D
D D
D
( )
4
2 2
1 log y x log 1 1
y
x y 25 2
- ðiều kiện :
y x 1
y
− >
>
⇔
- Ta cĩ : ( )1 ⇔ −log4(y− +x) log y4 = ⇔1 log y4 = +1 log4(y−x)
4 log y log y x 4 y y x 4 y x
3
- Khi đĩ hpt
( )
2 2
x 3 4x
4x
y y
y 4 3
3
x 3
=
=
⇔ + = ⇔ = ⇔ = −
CHUYÊN ĐỀ 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
Trang 8Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 2
- Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm : x 3
y 4
=
=
2 log y log x 1 1 log y log x 1 log 3 2
- ðiều kiện : x 0
y 0
>
>
- Khi đĩ hpt
2
2
2 log y log x 1
log y
- Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm : x 9
y 8
=
=
BÀI TẬP
1)
3log 9x log y 3
( )
x 2 y
x y
1 3
3
−
−
=
3)
3x 2
x x 1
x
y
+
+
2
2 log x log y 4
5)
x y
5
3 2 1152
−
DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
log x log y
log 7 log 5
=
- ðiều kiện : x 0
y 0
>
>
- Lấy logarit theo cơ số 10 cả hai vế ta được :
log x.log 5 log y.log 7
l og 7 log x log 7 log 5 log y log 5
=
- ðặt u=logx, v=logy Khi đĩ hệ cĩ dạng : u.log 5 v.log 7 0 2 2
u.log 7 v.log 5 log 5 log 7
Nhận xét : ðây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cĩ dạng 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
- Ta cĩ : D log 5 log 7 log 7 log 5 2 2 0
log 7 log 5
−
−
( 2 2 )
log 5 log 7 log 5
−
( 2 2 )
log 7 log 5 log 7
−
Trang 9trang 3
- Suy ra hệ có nghiệm :
u
v
D
D D
D
, suy ra
1 x 7 1 y 5
=
- Vậy hệ có nghiệm :
1 x 7 1 y 5
=
2 2
4 2 xy (1)
x y 3x 3y 12 (2)
- ðiều kiện : x.y>0
- Nhận xét : log c b log a b
a =c Do ñó (1) ( ) 3
3 log xy log xy 2
- ðặt : log xy 3 ( )
t=2 t>0 Ta có : 2 2 t 1 loai( )
t 2 t t t 2 0
t 2
= −
=
- Với t=2 thì log xy3 =1 hay xy=3
- Biến ñổi (2) ( )2 ( ) ( (x y) ) 6
x y 3 x y 18 0
+ = −
- Khi ñó hệ phương trình ñã cho
x.y 3
vo nghiem x.y 3
+ = −
=
- Vậy hệ có hai nghiệm : (3− 6; 3+ 6) và (3+ 6; 3− 6)
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình :
2 2
9x 4y 5 log 3x 2y log 3x 2y 1
- ðiều kiện : 3x 2y 0
3x 2y 0
+ >
− >
3x 2y 3x 2y 5 1 log 3x 2y log 3 3x 2y 2
- Từ (2) ta ñặt : t=log5(3x+2y)=log33 3x( −2y) Suy ra : 3x 2y 5tt 1 *( )
3x 2y 3−
(1) ta ñược : t t 1 ( )t
5 3− = ⇔5 15 =15 ⇔ = t 1
- Với t=1 thì ( )* 3x 2y 5 x 1
- Vậy hệ phương trình có nghiệm : x 1
y 1
=
=
Trang 10Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 4
Lưu ý : Với phương trình dạng : ( ) ( ) ( )
1
f x g x k
f x g x f x g x
, thơng thường
ta giải theo hướng đặt : t=logaf x( ) ( )+g x =logbf x( ) ( )−g x Suy ra : ( ) ( ) t
f x +g x =a
và f x( ) ( )−g x =b t. Thay vào (1) ta tìm được t
BÀI TẬP
x log 3 log y y log x
x log 12 log x y log y
x y
+ =
3)
y 1 x
x y
+
log y log x
log x log y 1
y
log y log x 2
x 3x y 20 log x
2
2 x 2 2 x y y
2 y 2 2 x y
7*) logy xy log yx
2x 2y 3
DẠNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
Hệ phương trình dạng : ( ) ( ) ( )
1 , 0 2
g x y
=
= Ta giải như sau :
Xét hàm số : y = f t ( )
● Nếu hàm số : y= f t( ) đơn điệu, thì (1) suy ra x = y Thay x = y vào (2) ta được hệ
đơn giản
● Nếu hàm số : y = f t ( ) cĩ một cực trị tại t=a thì nĩ thay đổi chiều biến thiên một lần
khi qua a Từ (1) suy ra x = y hoặc nằm về hai phía của a
x y
3
x y (1) x
log log 4y 10 (2) 2
e e
- ðiều kiện : x 0
y 0
>
>
- Phương trình (1) ⇔ ex− = −x ey y (3)
- Xét hàm số : ( ) t
f = − liên tục với mọi t>0 Mặt khác : ( ) t
' t 1 0 , t 0
f = − >e ∀ > Do
đĩ hàm số f( )t đồng biến khi t>0 Khi đĩ (3) được viết dưới dạng : f ( )x = f( )y ⇔ = x y
x log log 4x 10 log x 1 2 2 3log x 10
2
log x 1 x 2
- Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất : (x; y) (= 2; 2 )