Hàm số lượng giác ( hay)

a/kiến thức cần nhớ và phân loại bài toán

dạng 1 Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số l ợng giác

Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện t 1

Giải phơng trình ……….theo t

Nhận t thoả mãn điều kiện giải Pt lợng giác cơ bản

Giải phơng trình:

1/ 2cos2x- 4cosx=1

sinx 0









2/ 4sin3x+3 2 sin2x=8sinx

3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/ 1-5sinx+2cosx=0

cosx 0









5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2)

Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx=1

3) 6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+ 3

cot x -2 = 0 b / 2

4

cos x+tanx=7

c* /sin6x+cos4x=cos2x

8/sin( 5

2

2

x  )-3cos( 7

2

x  )=1+2sinx 9/ sin2x 2sinx2 2sin x 1

10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/

0 2sin cos

x x



13/ sinx 1 cosx0 14/ cos2x+3cosx+2=0

15/

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 cos

x

 16/ 2cosx- sin x =1

dạng 2: Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c

Cách 1: asinx+bcosx=c

Đặt cosx=

2 2

a

a b ; sinx= 2 2

b

a b

2 2 sin( )

Cách : 2 a sinx bcosx c

a

Đặt b tan asinx cos tanx  c

sin(x ) ccos

a

Cách 3: Đặt tan

2

x

t  ta có

2



2

Đăc biệt :

1 sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )

x x x  x 

2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

x x x  x

3 sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )

x x x   x Điều kiện Pt có nghiệm : a2 b2 c2

giải ph ơng trình :

1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0

cos

x

4sin 3cos 1

3 sin cos 3

3 sin cos 1

  3/ cos 7x 3 sin 7x 2  0 *tìm nghiệm 2 6

x  

4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0 5/ 2

(3 3 sin )

x

6/ cos 22sin cos

3





 

Dạng 3 Phơng trình đẳng cấp đối với sin x và cosx

Giải ph ơng trình

1/a/ 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx-2cos2x=4

c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos2x-5- 3 =0 2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

4

xk + sin3x- sinx+ cosx- sinx=0  (cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0 3/ tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0

6/ 2 cos3x= sin3x 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx

8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 9/sin3(x- /4)= 2 sinx

Dang 4 Ph ơng trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx

* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t  2

 at + b

2 1 2

t 

=c  bt2+2at-2c-b=0

* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t  2

 at + b

2 1 2

t

 =c

 bt2 -2at+2c-b=0

Giải ph ơng trình

1/ a/1+tanx=2sinx + 1

cos x b/ sin x+cosx=

1

tan x

-1

cot x

2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x

4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2

6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx

8/1+sin3 2x+cos32x=3

2sin 4x 9/

* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0

10/ sinx cosx 4sin 2x 11/ cosx+1 1

cos x+sinx+

1

sin x=

10

3

12/ sinxcosx+sinxcosx =1

dang 5 Giải phơng trình bằng phơng pháp hạ bậc

Công thức hạ bậc 2

cos2x= 1 cos 2

2

x



; sin2x= 1 cos 2

2

x



Công thức hạ bậc 3 cos3x= 3cos cos 3

4

; sin3x= 3sin sin 3

4

Giải ph ơng trình

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0

4/ cos3x+ sin7x=2sin2( 5

x



 )-2cos29

2

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x vớix(0; )

6/sin24x-cos26x=sin(10,5 10x) với (0; )

2

x  7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3 cos3x 9/ sin22x+ sin24x= sin26x

Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0

Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx0 Chia 2 vế cho cos2x ta đợc:

atan2x+btanx +c=d(tan2x+1)

Cách2: áp dụng công thức hạ bậc

Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc

asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0

Xét cos3x=0 và cosx0 Chia 2 vế cho cos2x ta đợc Pt bậc 3 đối với tanx

10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ (sin22x+cos42x-1): sin cosx x=0

12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 ;

24 2 8 2

x    

  13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2(

4 2

x



 )-7/2 với x  <3 1 15/ 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0

16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 17/ * 8cos3(x+

3

 )=cos3x 18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x

19/ sin 5

5sin

x

x =1

20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 21/ sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2

22/ 3cos4x-2 cos23x=1

Dang 6 : Ph ơng trình LG giải bằng các hằng đẳng thức

* a3b3=(ab)(a2ab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4

* a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6b6=( a2b2)( a4a 2b2+b4)

Giải ph ơng trình

1/ sin4

2

x

+cos4

2

x

=1-2sinx 2/ cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

3/ cos3x+ sin3x= cos2x 4/

(tan cot )

x



5/cos6x-sin6x=13

8 cos

22x 6/sin4x+cos4x=7

7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8/cos3x+sin3x=cosx-sinx

9/ cos6x+sin6x=cos4x 10/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x

11/ cos8x+sin8x= 1

8 12/ (sinx+3)sin

4

2

x

-(sinx+3) sin2

2

x

+1=0

Dang 7 : Ph ơng trình LG biến đổi về tích bằng 0

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0

3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 3

2 sin2x+ 2 cos

2x+ 6 cosx=0

7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3 sin 5

9/ 2cos2x-8cosx+7= 1

cos x 10/ cos

8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+5

4cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

14/ 2sin3x- 1

sin x=2cos3x+

1

cos x 15/cos

3x+cos2x+2sinx-2=0

16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1

cos x)=0

18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 19/1+cot2x=1 cos 22

sin 2

x x



20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1

sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0

22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx

24/ 2 2 sin( )

4

sinxcosx 25/ 2tanx+cotx=

2 3

sin 2x

 26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

Dang 8 : Ph ơng trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc

cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x

sin2x=2sinxcosx

tan2x= 2 tan2

1 tan

x x



sinx = 2 2 1

t t

 ; cosx=

2 2

1 1

t t



 tanx= 2

2 1

t t



Giải ph ơng trình

1/ sin3xcosx=1

4+ cos

3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x

5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2

8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x

10/a* tan2x+sin2x=3

2cotx b* (1+sinx)

2= cosx

Dang 9 : Ph ơng trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng

Giải ph ơng trình

1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

3/sin 3 sin

sin 2 cos 2

1 cos 2

x



 tìm x0;2 4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0

5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 6/ 3 cos 2 cot 2 

7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x

Dang 10 : Ph ơng trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B

Giải ph ơng trình

1/ sin(3

x



 )=1

2sin(

3

x



5 15 15

xk k k

4

x  )=sin2x sin(

4

x ) x4k2

3/(cos4x/3 – cos2x): 1 tan x 2 =0 x k  3 4/ cosx-2sin(3

x



 )=3 x k  4 5/ cos( 7

2

2

x  )=sin(4x+3  ) ;

k

x    k 

  6/3cot2x+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx 2 ; 2

x    k    k 

7/2cot2x+ 22





  8/ cos2x+ 12

1

cos x x k

9/sinx- cos2x+ 1

sin x +2 2

1

sin x=5

7

2 ; 2 ; 2

xk  k  k 

1 sin 2

x x



1 tan

1 tan

x x



; , tan 2

xk  k  

Dang 11 : Ph ơng trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp

Giải ph ơng trình

1/ 3 4 6 (16 3 8 2) cos   x 4cosx 3 2

4

x  k  2/cos 3 9 2 16 80



 =1 tìm n0 xZx   21; 3  

6

xk  4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0

3

x  k

5/2 sin tan 

2 cos 2 tan sin

x





3

xk  6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x 2

4

xk 

7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x xk4 8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x 2

3

k

x  k

9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k  10/ sinxsinx 1 sin2 x cosx ;sin 5 1

2

x k  x 

11/cos2 sin 2 cos 2 





4



4

xk

x  k  k k

Dang 12 : Ph ơng trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 l ợng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm

Giải ph ơng trình

1/ cos3x+ 2 cos 3x 2 =2(1+sin22x) x k 2/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x x4k 3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x0; 4/ 8cos4xcos22x+ 1 cos3x +1=0 2 2

3

x  k 

5/sin x cosx x 0 6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k Z* để hệ có nghiệm 7/

1-2

2

x =cosx

8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x x2k 9/ 1 cos 1 cos cos 2 1sin 4

2

4

x  k 