PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ... Phương trình dạng : α.a2x+β... Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi đưa về hệ đơn giản.. ● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp.. ● Biểu d
Trang 1CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ðẠI HỌC
HµM Sè
HµM Sè Mị Mị Mị – LOGARIT LOGARIT LOGARIT
Quy nhơn, năm 2011
Trang 2DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Phương trình mũ cơ bản cĩ dạng : a x =m, trong đĩ a > 0, a ≠ 1 và m là sốđã cho.
● Nếu m≤0, thì phương trình ax = m vơ nghiệm
● Nếu m>0, thì phương trình ax = m cĩ nghiệm duy nhất x =logam
Bài 1 Giải các phương trình sau :
1) 5x 1+ +6.5x −3.5x 1− =52 2) 3x 1+ +3x 2+ +3x 3+ =9.5x+5x 1+ +5x 2+
3) x x 1
3 + −2.3 − =25
5) x 1 x 2 x x 2
3.2 + +2.5 − = +5 2 − 6)
x 3x 1
0
−
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Phương trình logarit cơ bản cĩ dạng : loga x = m, m là số đã cho
● ðiều kiện : 0
0 1
x a
<
< ≠
● Phương trình cĩ nghiệm : m
x=a
Bài 2 Giải các phương trình sau :
log x − −3 log 6x 10− + =1 0
3) log x 15( + )+log 2x 5( − =) 2 4) ( x 1 )
2 log 2 + − =5 x
5) 2 2( )( )
x 1
+ 6) log 16 logx 2 − x7=2
DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Sử dụng cơng thức : a α = a β ⇔ α β =
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
2 3x
3
−
+
=
MŨ – LOGARIT
Trang 3B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng cơng thức : 0 ( 0)
loga b loga c b c
b c
> >
Bài 2 Giải các phương trình sau :
1) ( 2 ) ( 2 )
log x +3x+ +2 log x +7x 12+ = +3 log 3
2) ( )
x 3
1
log + 2
3) ( 2 )2
−
4) ( 2 ) ( )2
log x − −1 log x 1− =log x−2
5) ( )2 ( )3
log x 1+ + =2 log 4 x− +log 4+x
6) ( ) ( )8 ( )
2
log x 3 log x 1 log 4x
DẠNG 3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Phương trình dạng : α a2x+ β ax+ = γ 0
● ðặt : t=a x >0
● Khi đĩ ta được phương trình bậc hai : α t2+ + = β γ t 0
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1) 4x+ x2−2−5.2x 1− + x2−2 − =6 0
2) 3 2cos x 1 cos x
4+ −7.4+ − =2 0
3) 23x 83x 6 2x 1x 1 0
Phương trình dạng : α.a x+β.a−x+ =γ 0
● ðặt : t = ax >0 Suy ra : x 1 1 0
x
a
a t
− = = >
t
α β+ + =γ ⇔ α + + =γ β
Trang 4Bài 2 Giải các phương trình sau :
1) ( ) (x ) (x )x
26 15 3+ +2 7+4 3 −2 2− 3 =1 2) 9sin x2 +9cos x2 =10
Phương trình dạng : α.a x+β.b x+ =γ 0 Với a b = 1
● ðặt : t = ax >0 Suy ra : b x 1
t
=
t
α β+ + =γ ⇔ α + + =γ β
Bài 3 Giải các phương trình sau :
1) ( ) (x )x
2− 3 + +2 3 =4 2) ( ) (x )x
4− 15 + 4+ 15 =8
Phương trình dạng : α.a2x+β.( )ab x+γb2x =0
● Chia hai vế phương trình cho : a2x ( hoặc b2x)
● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai :
2 0
x x
α β γ
+ + = ðặt : 0
x
b t a
= >
Bài 4 Giải các phương trình sau :
1) 15.25x2 −34.15x2+15.9x2 =0
2)
6.9 −13.6 +6.4 =0
3) 27x +12x =2.8x
Phương trình dạng : . f x( ) . g x( ) h x( )
a
α + β − = αβ Với h x( )= f x( ) ( )+g x
● ðặt :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
0 0
f x
h x f x g x
u a
v a
+
= >
Trang 5● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai : α u + β v uv − = αβ ⇔ ( α − v u ) = β α ( − v )
v
β
=
Bài 5 Giải các phương trình sau :
1) x2 x x2 x 2x
2 + −4.2 − −2 + =4 0 2) 4x2− +3x 2+4x2+ +6x 5 =42x2+ +3x 7+1
3) 2 2 ( ) 2
x 1
x x 1 x
4 + +2− =2 + +1 4) 8.3x+ 3.2x =24 6+ x
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Phương trình có chứa : loga x , logk a x, logx a
● ðặt : t=loga x Suy ra : , 1
logk k log
x a t x a
t
Bài 1 Giải các phương trình sau :
1) log 3 log xx 3 log x3 log3 x 1
2
3
4
1 log x
−
3) log2(x 1+ =) logx 1+ 16 4) ( x 1 ) ( x )
log 4 + +4 log 4 + =1 3
5) log x.log (4x )22 x 2 =12 6) ( ) 2
log 125x log x=1
Phương trình dạng : loga( logbx ) = logb( logax )
● ðặt : loga( logb x ) = logb( loga x ) = A
( ) ( )
1 2
log log log
log log log
A
A
a a
b
x b
⇔
=
= Suy ra :
log log
A A
A
b a
a b
1
log
a
x
log log log
A
a
b
a
b
● Từ (1) suy ra :
log log
.
b
a b
a A
a a
= =
Trang 6Bài 2 Giải các phương trình sau :
1) log2x=log x3 2) log2(log3x)=log3(log2x)
3) log x7 =log ( x3 +2) 4) log4(log x2 )+log2(log x4 )=2
Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi đưa về hệ đơn giản
● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp
● Biểu diễn ẩn phụ theo phương trình
● Tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ độc lập đối với biến x
Bài 3 Giải các phương trình sau :
1) ( 2 ) ( 2 )
log x− x − +1 3log x+ x − =1 2 2) 32 lgx− = −1 lgx 1−
3) ( 2 ) ( 2 )
3 log+ x −4x+ +5 2 5 log− x −4x+5 =6
DẠNG 4 PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA
● Dạng 1 : ( )
( )
0 1, 0
log
f x
a
< ≠ >
= ⇔
=
● Dạng 2 : f x( ) g x( ) log f x( ) log g x( ) ( ) ( ) .lo g
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1) log x 2 4 3 log x 1 ( 4 )
1 x 1 1 x 1
−
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1) 6 log 5 x 5
x =1000x
3) 23x =32x 3) 2x2−2x.3x =1, 5
5) 5 3x x2 =1 6)
x
x x 2
3 8 + =6
DẠNG 5 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
Phương pháp : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất
Ta thường sử dụng các tính chất sau :
Trang 7● Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng ( ) a b ; thì phương trình :
( )
f x = C có không quá một nghiệm trong khoảng ( ) a b Do ; ñó nếu tồn tại x0∈ ( ) a b ; sao cho f x ( )0 = C thì ñó là nghiệm duy nhất của phương trình : f x ( ) = C
● Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng ( )a b; và hàm g là hàm một hàm giảm
trong khoảng ( )a b thì phương trình ; f x( )= g x( ) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng ( )a b Do ñó nếu tồn tại ; x0∈( )a b; sao cho f x( )0 =g x( )0 thì ñó là nghiệm duy nhất của phương trình : f x( )=g x( )
Bài 1 Giải các phương trình sau :
1) 3x+4x =5x
2) x x
4 − =3 1
3) ( ) (x )x
x
2− 3 + +2 3 =4
Bài 2 Giải các phương trình sau :
1) log x2 = −3 x 2) x
3
2 = −2 log x
3) x
x+2.3 =3
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) log x 2 3log x 8
4 + + +2 =4+ + +2 + −
3) ( 2 ) ( 2 )
log x +5x+ +6 log x +9x+20 = +1 log 8 4) log x2 −log4(x 3− =) 2
5) ( ) ( 2 )
4
2 log 2x log x 2x 1
3
+ − + = 6) 3log 3 3log xx 27 2log x3
7) 2 2
x
1 log+ 9 − =6 log 4.3 −6
9) ( )2 ( )3 ( )3
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
log 4x log x
log 2x =log 8x
11) x( ) 1( )
x log cos x sin x− +log cos x+cos 2x =0 12) log5x 5 log x25 1
Trang 813)
2
2
2 1
2
3 log x 1 log x 1 6
2
log x 1
2 log x 1
log 2.log 2=log 2
15) ( )2 ( )3
1 log x 1 log x 2 2 log 4 x 1
3
2 3x
27 x
16 log x 3log− x =0
17) 4{ 3 2( 2 ) }
1 log 2log 1 log 1 3log x
2
log x+2 log x 1− +log 6=0
19) ( ) ( )3
2
2
log x 1 log+ − 3 x− −log x 1− =0 20) log 2 2 logx + 2x4= log 2x8
21) 2 3 1
2
log x− +2 log x 5+ +log 8=0 22) x
3
23) 4 2
2x 1
log + 4 2
log 8 log x+ log 2x =0
25) ( 2 ) ( )2
2
2 log 2x+ +2 log 9x 1 1− =
27) ( x x )
1
4.2 3
log log x +log log x − =2 0
29) 2 ( )2
2
log 2x 3x 1 log x 1
log x 1− +log 2x 1− =2
31) ( ) ( )2
2
log x+ +2 log x 5− +log 8=0 32) 2 ( )
lg x−lgxlog 4x +2log x=0
33) ( )2 ( 2 )
log x x 1− +log xlog x − − =x 2 0 34) 4 3 2
lg x+lg x−2lg x 9lgx 9− − =0
35) 2
log x−log x+log x−log xlog x=0 36) 3( ) 1( )
3 2log 4x 3− +log 2x+ =3 2
- HẾT -
Trang 9trang 1
DẠNG 1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
● 0< <a 1
f x g x
f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤ (nghịch biến)
● a>1
g x
f x
f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥ (đồng biến)
Ví dụ 1 Giải bất phương trình : 2
x x 1
x 2x 1 3
3
− −
≥
x 2x 0
x 2
≤
≥
- Bất phương trình ⇔ 3 x2−2x ≥3x x 1− − ⇔ x2−2x ≥ − −x x 1 (1)
+ Nếu x≤0 thì x 1− = −1 x, khi đĩ ( ) 2
1 ⇔ x −2x ≥2x 1− (luơng đúng vì x≤0)
+ Nếu x≥2 thì x 1− = −x 1, khi đĩ ( ) 2 2
1 ⇔ x −2x≥ ⇔1 x −2x 1 0 − ≥
( )
x 1 2 loai
x 1 2 chon
≥ +
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S= −∞( ; 0]∪ +1 2;+∞)
Ví dụ 2. Giải bất phương trình : ( ) 2
3 3
log x log x
3 +x ≤6
- ðiều kiện : x>0
- Ta cĩ : ( ) 2 ( ) 3
log x log x log x
- Khi đĩ bất phương trình log x 3 log x 3 log x 3 ( log x 3 )
( )2
1 log x.log x 1 log x 1 1 log x 1 x 3
3
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S 1;3
3
CHUYÊN ĐỀ 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
Trang 10BÀI TẬP
1) 3
x 2
log
x
−
( )
2 log2x 1
3 1
2 3
x log log 2 3
2 1
1 3
−
+ +
≥
3)
1 2 1
2 2 2
log x log x log x
log x log x
2.x ≥2
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
● 0< <a 1
> ⇔ < <
● a>1
log log 0 log log 0
≥ ⇔ < ≥ (ñồng biến)
Ví dụ Giải bất phương trình : 1 2
3
1 2x
1 x
+
>
- Bpt 2
2
x 0
< − ∨ >
> −
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=(0;+∞)
BÀI TẬP
1)
2 0,7 6
x 4
+
4 log log x+ 2x −x <0
1 log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
1 x
−
<
5) ( x ) ( x 2 )
log 4 +144 −4 log 2 1 log< + 2 − +1 6) ( x x)
2 log 7.10 −5.25 >2x 1+
7) 25( ) 5 1( )
5
1
2x 1 1
− −
8) log 64 log 162x + x2 ≥3