Δ x được gọi là vi phân của hàm số tại xo.
Trang 1Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC
2.1 ĐẠO HÀM :
2.1.1 Định nghĩa :
Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số
x
y
Δ
Δ khi Δ x → 0 gọi là đạo hàm của hàm số tại xo và
ký hiệu f ’( xo)
f ’(xo ) =
o
o
y
Ghi chú :
• Hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì gọi là khả vi tại xo
• Đạo hàm một bên :
- Đạo hàm bên trái :
o
o x
x o
x x
x f x f x
f
o −
−
→
−
) ( ) ( lim ) (
'
- Đạo hàm bên phải :
o
o x
x o
x x
x f x f x
f
o −
−
→ +
) ( ) ( lim ) (
'
- f ’(xo) tồn tại ⇔ '( ) '( )
o
x
f− = +
2.1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm :
Đạo hàm của hàm y = f(x) tại xo bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong
y = f(x) tại điểm Mo(xo,f(xo))
2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm :
1 ( u ± v ) ’ = u’ ± v’
( uv)’ = u’v + u v’
' ' 2 '
) (
v
uv v u v
2.Hàm hợp : y = y[u(x)] ⇒ y’x = y’u.u’x
Trang 23.Hàm ngược : y =f(x) ⇔ x = f -1(y) ⇒ x’y = 1'
x y
4.Đạo hàm theo tham số :
Cho x=f(t) và y=g(t) , khả vi ∀t ∈ (∝ ,β) Nếu hàm số ngược t = -1(x) tồn tại thì
y’x =
t
t
x
y
'
'
2.1.4 Bảng đạo hàm của một số hàm số :
(x ∝)’ = ∝x ∝-1 (u ∝)’ = ∝u ∝-1u’ ( cosx)’ = -sinx ( cosu)’ = -u’sinu
(ax)’ = axlna (au)’ = u’aulna (tgx)’ =
x
2
cos
1
u
u
2
cos '
(ex)’ = ex (eu)’ =u’ eu (cotgx)’ =
x
2
sin
1
−
u
u
2
sin
'
−
( logax)’ =
a
x ln
1 ( logau)’ =
a u
u
ln
' ( arcsinx)’ =
2
1
1
x
− ( arcsinu)’ = 1 2
'
u
u
− ( lnx)’ =
x
1
u
u'
1
1
x
+ (arctgu)’ =1 2
'
u
u
+
2.1.5 Đạo hàm cấp cao :
2.2 VI PHÂN :
2.2.1 Định nghĩa : Hàm số f(x) khả vi tại xo
α +
= Δ
Δ
⇒ Δ
Δ
=
→
)
(
'
x
x
y x
y x
f
Ta có thể viết : Ì y = f’(xo ) Δ x + α Δ x với α là Vô cùng bé khi Δ x Æ 0
• f ’(x) Δ x được gọi là vi phân của hàm số tại xo Ký hiệu : df(xo) =f ’(xo).Δ x
Vi phân của hàm số y =f(x) tại x :
dy =df(x) = f’(x).Δ x
• Đặc biệt ,nếu xét hàm số y = x thì dy = dx = y’ Δ x = Δ x
==> Δ x = dx
Trang 3Vậy y’ = dy y dx
dx
dy
'
=
⇒
2.2.2.Áp dụng vi phân để tính gần đúng :
Ta có Δ y = f ’(xo).Δ x + α Δ x
==> Δ y ≈ f ’(xo).Δ x khi Δ x càng bé
hay f(xo + Δ x ) – f(xo) ≈ f ’(xo).Δ x
f(x o + Δ x ) ≈ f(x o ) + f ’(x o ) Δ x
Phương pháp gần đúng giá trị hàm số đã cho :
- Từ giá trị f(α ) cần tính rút ra dạng f(x)
- Phân tích giá trị α thành xo + Δ x sao cho f(xo) tính được và Δ x càng nhỏ
- Tính f(xo) và f ’(xo)
Ví Dụ : Tính gần đúng :
2.2.3.Vi phân cấp cao :
1.Định nghĩa : 2.Một số kết quả :
2.3 Một số ứng dụng của vi phân hàm 1 biến :
2.3.1 Qui tắc Lôpitan (L’hospital) :
Giả sử các hàm số f(x), g(x) khả vi tại lân cận V(xo) của xo, lim f(x)
o
x
⎣
⎡∞
=
limg x o
x
g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ V (xo) Khi đó :
Nếu
0
'( ) lim
'( )
x x
f x
A
g x
x g
x f o
x
) ( lim
Ví Dụ 1 : Tìm
x x
x x
x 1 sin cos
cos sin
1 lim
− +
→ ( dạng )
0
0
Ví Dụ 2 : Tìm α
x
x x
ln lim
+∞
→ ( dạng ∞
∞)
Ví Dụ 3 : Tìm
ln
1 1
lim
x
−
→ ( dạng ∞ - ∞ )
Trang 4Ví Dụ 4 : Tìm lim( 2ln )
x→ ( dạng 0 ∞ )
2.3.2 Khảo sát hàm số trong hệ toạ độ Descartes :
Sơ đồ khảo sát hàm số :
1• Miền xác định
2• Đạo hàm :
• Cấp 1 : Tăng, giảm – Cực trị
• Cấp 2 : Lồi, lõm, điểm uốn
3• Giới hạn – Tiệm cận
4• Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt
5• Vẽ đồ thị :
Ví Dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
y =
2 2
2( 1)
x
+
Ghi chú : Cực đại (3 , 5/4) cực tiểu ( -1/3,-5/4)
Ví Dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = 4 x− 2
Ví Dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y =
ln
x
x