Viết phương trình đường thẳng A di qua M2 ; 3, cat chiéu duong sủa các trục toạ độ Ó+x, Óy tại các điểm A, B sao cho AAOB cé dién tích nhỏ nhất... Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương
Trang 1CUC TRI HINH GIAI TICH
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viét phuong trinh dudng thang A di qua
M(i ; 2) va cắt các truc Ox, Oy lan luot tai A, B khéc O sao cho TT + —
OA* OB?
bé nhất
Ở ví dụ này, ta trình bày ba cách giải theo ba \
Cach 1 Ha OH L A Trong tam giác vuông H
OAB, ta có :
>
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
Hìinhói
HNẽMK<œ=OM l A
Vậy mm + 2 đạt giá trị bé nhất khi đường thang A di qua diém M(1 ; 2)
và có pháp vectơ là Ø4⁄(1; 2)
Vậy đường thẳng A cần tìm là :
l(x — 1) + 2(y - 2) = 0 @xt+2y-5=0
Nhận xét :
e Phép biến đổi : z+ z= z là chuyển biểu thức ban đầu với hai đại
luong bién thién OA, OB vé biéu thifc con mot dai lugng bién thién OH
e Cách giải trên không mở rộng được cho bài toán tổng quát hơn : xác định vị
trí của đường thẳng A để —“~ + — nhỏ nhất (z > 0, b > 0)
Trang 2PHAM BUC QUAN - 12C - LHP
Cách 2 Đường thẳng A đi qua M(1 ; 2), cắt các trục toạ độ và không di qua
gốc nên nó là đường thẳng có hệ số góc k với k # 0,k # 2 Khi đó :
A:y—2 =k{(x-— 1) ©y = kx — k +2
Ta có : A“?:0) s2 — k) và
L1 _— K+]
OA? OB? (k-2)
Ộ k?+l
Xét hàm số : ƒ(k) = = (k # 0,2)
&~2)
-4k? + 6k + 4
k=2
Ta có: fi(k) =00 4h +6k+4=00 => 1
Ta có bảng biến thiên của hàm số f{k) :
f'(k) ~ 0 + ~
AY) NN 1 1|IxZ 42 NI
5
Vậy f(k) nhỏ nhất khi và chỉ khi k = >
Do d6 + + +, nhỏ nhất khi và chỉ khi k = + @ A: x+2y-5=0
Trang 3Cách 3 Giả sử : A(m ; 0), B(O0; 2), m,n # 0
Khi dé A: — +2 =1 diquaM(1; 2) nen:
H
—+—=l 12
m H
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có :
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
1 2
on
Nhu vậy —— + ——~ = —> + =z 3 = Dấu bảng xảy ra khi và chỉ khi z = 5,
5
n = —, nghia 2 g la
A:x+2y-5=0
Ví dụ 2 Viết phương trình đường thẳng A di qua M(2 ; 3), cat chiéu duong sủa các trục toạ độ Ó+x, Óy tại các điểm A, B sao cho AAOB cé dién tích nhỏ nhất
Lời giải
Giả sử : AŒn ; 0), B(Ó ; n), m, n > Ö
Khi đó A : — + * = I Vì A đi qua điểm ẤM(2 ; 3) nên 2 321
n n
x
Ap dung bất đẳng thức Cauchy ta có :
1-243 >2 c5 mg >24,
`
Trang 4PHẠM ĐỨC QUẦN - 12C - LHP
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 42321 <> m=4,n=6
m H
Do đó diện tích tam giác Ø4 nhỏ nhất khi và chỉ khi A :— + È = I
Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng A di qua
điểm M(I ; 8), cắt chiều dương của các trục Ox, Oy tai A, B sao cho AB nhỏ nhất
— Lời giải ,
Gia sl: A(m; 0), B(O; 2), m,n > 0
Khi đó A : +2 =1, ViddiquaM(;8)nen 242 <1
Tac6: t= 45 =o # ác +ec+ > TÔI TT,
Do dé: mn* > Dấu đăng thức xảy ra khi và chỉ khi
—+ mon 1 c m=5
2m n
Ta có :
AB’ = OA? + OB? =m? +r =m? 47454542 4 4 4 4 2557" 4
2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi øˆ = 7 o> n = 2m
2.8 10
Vay ; AB? > 5.5) > si = 125
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = 5,n = 10
Vậy AZ nhỏ nhất khi và chỉ khi A: itis hay A: 2x+y-10=0
Ví du 4 Trong mat phang toa d6 Oxy cho ba diém A(1 ; 1), B(3 ; 2), C(7; 10)
a) Chứng minh rằng góc A của tam giác ABC nhọn.
Trang 5b) Viết phương trình đường thẳng A đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ
B và C tới đường thẳng A là lớn nhất
a) Ta có : AB = (2;1), AC = (6;9)
2.6+1.9
cosBAC = cos(A8,AC] = j 5 5 j 2 > 0
b) + Nếu đường thẳng A cắt đoạn 8C tại một điểm M Khi đó :
d(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC
Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuông góc với ÖC
+ Nếu đường thẳng A không cắt đoạn BC (h.62) Gọi /({5 ; 6) là trung điểm của BC
Ta có :
d(B, A) + d(C, A) = 2d(I, A) < 2AI
Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuông góc với A/ (để ý rằng khi đó
đường thẳng A không cắt đoạn 8C)
Do tam giác ABC nhọn nén 2A/ > BC
Do đó d(B, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thang A đi qua điểm
A(I1 ; 1), có pháp vectơ Al(4 ; 5)
Đường thẳng A cần tìm là
4(x - 1) + 5(y - 1) =0 > 4x+5y-9=0
Trang 6PHAM BUC QUAN - 12C - LHP
Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, viết phương trình đường thắng A di qua điểm
l
+
OM? ON?
A(-I ;3) và cắt các trục Óx, Oy lần luot tai M, N sao cho
nhỏ nhất
Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, viết phương trình đường thang A di qua điểm
M(2 ; 5), cắt chiều dương của các trục Ox, Oy lan luot tai céc diém A, 8 khác
gốc toạ độ sao cho diện tích tam giác ÓAð nhỏ nhất
Trong mặt phẳng toa do xOy cho đường thẳng
Á : mx + y + 2m = ÔQ
Tim m dé khoang cach tir A(3 ; 4) tới đường thẳng A đạt giá trị lớn nhất
Trong mặt phẳng toa độ xÓy, viết phương trình đường thang A di qua điểm M3 ; 2), cắt chiều dương của các trục Óv, Óy tương ứng tại các điểm A, B
khác gốc toa độ sao cho ÓA + 2Ó8 đạt giá trị nhỏ nhất
Trong mặt phẳng toạ độ xÓy cho các điểm A(1 ; 1), 8(2 ; 5), C(4 ; 7) Chứng minh rằng AA8C có góc A nhọn
Viết phương trình đường thẳng A đi qua A sao cho :
a) d(B, A) + d(C, A) lớn nhất ;
b) 2d(B, A) + d(C, A) 16n nhat
Trong mặt phẳng toạ độ xÓy cho đường thẳng A : x + y+ 2 = 0 và các điểm
A(2; 1), B(—1;—3), C(; 3) Tìm điểm M thuộc đường thang A sao cho
a) |MA — MB| lớn nhất ;
b) MA + MC nhỏ nhất ;
c) MA? + MB? - MCˆ” nhỏ nhất ;
d) |MA + MB + MC| nhỏ nhất.
Trang 7Lời giải
1l Giả sử M =(m;0),N=(0;n)Œmn #Ô)
Đường thẳng A đi qua M, N nên có phương trình là :
+*=1
x
m n
Hơn nữa A(—1;3) e A nên a3 Ly
mon
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, tacó: -
-(243) (2) “(4 (z h moon m n 2
Dấu "=" xay ra khi va chi khi:
Vậy đường thẳng A có phương trình là : —x + 6y - 19 = 0
2 Giastt A =(a;0), B=(0;5) (a > 0,5 > 0)
+
+ —= ]
Đường thẳng A có phương trình là :
Trang 8PHAM ĐỨC QUẬN- 12C - LHP
Do đường thang A di qua M(2 ; 5) nén: — + 5 lễ
q
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 2 va >, ta CÓ :
a
p=a24232 1Ô ub > 40
“ ! tÍ 2 h‹ " 2 5 1 a=4
Dấu “=" xảy ra khi và chỉ khi : — = — = — &
Tir đó SOAB = 20A.OB = 2b 2 20
Vay Soag bé nhat bang 20 khi a = 4,b = 10
Khi đó đường thẳng A có phương trình :
x oy
l
4 10
3 Khoảng cách từ A(3 ; 4) tới đường thẳng A : mx + y + 2m = 0 là :
Bm + 4 + 2m| _ Sm + 4|
Vm? +1 Vm? +1
Cách ! Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
(m? + 1\(s? + 42) > (5m + 4y
=> 4I(m + 1) > (Sm + 4)”
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi = -ả hay m = =
Vậy khoảng cách từ A đến đường thẳng A dat gid tri lớn nhất bằng V41 khi
5
m=
4
Trang 9|
Cách 2 : Đặt f(m) = (Sm + 4) _ 25m* + 40m + 16
Khi đó
~40m2 + 18m + 40
/(n) =“—
[m + 1)
=0 © m =—— hoặc m = —
sim fm)
Ta c6 bang bién thién :
f'(m) - 0 + 0 -
Từ đó ƒ(m) đạt giá trị lớn nhất bằng 41 khi m = : hay khoảng cách từ A tới
đường thẳng A lớn nhất bằng v41 khizm = =
4, Gia sit A(a;0), B(0;b) (a > 0,5 >0) 1a giao diém cha dudng thing A voi
chiều dương của các trục toạ độ Khi đó đường thẳng A có phương trình là :
“+2 =1,
a
=> 2d + 3b = ab
2a
Via>0, b>Onén ti (*) suy ra ø > 3 và b = ;
a-
Trang 10PHAM BUC QUAN - 12C - LHP
4a a’ +a
ee
.Ổ Ta có
_ 3 Đặt / (a) =
Ga + lu —3)— 2 =a - a —6a- 3
(4) = 0 9 (47387 283
lim f(a) = lim a f(a) =
a—3+
Ta có bảng biếu thiên :
F(a) =
Từ đó f(a) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7+493 khi a = 3+ 23 hay
OA + 20B dat gid tri nhé nhất bằng 7 + 44/3 khi ø =3 + 243
Với a= 3 + 2/3 thì b = 2 + V3
Phương trình đường thẳng A cần tìm là :
Taco: AB =(1;4), AC = (3;6)
AB.AC = 1.3 + 4.6 = 27
AB.AC = AB.ACcosBAC = V17.'45.cosBAC
27
V17V45
= cosBAC = > 0 => BAC nhon
Trang 11a) Nếu đường thang A cat đoạn 8C tại một điểm M thì :
d{(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi đường thang A vuông góc với BC
Nếu A không cắt đoạn BC thi d(B, A) + d(C, A) = 2dU/, A) < 2AI, ở đó
1(3;6) 1a trung điểm của BC Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A vuông góc
voi Al
Do tam giác ABC có BAC nhọn nên 2Aƒï > BC
Vậy d{(B, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thang A di qua điểm
A(I ; 1) và có vectơ pháp tuyến !A = (-2: -5)
Đường thẳng A cần tìm có phương trình :
-2(x -1)- 5(y - 1) =0 = 2x+5y-7=0
b) Trén tia AB lay diém B' sao cho B 1a trung diém cla AB’
Ta có : B= (3; 9) va d(B’, A) = 2d(B, A)
Tir dé : 2d(B, A) + d(C, A) = d(B', A) + d(C, A)
Tương tự như cách giải câu a) 4p dụng cho tam giác AE, ta cũng chia làm hai trường hợp :
e Nếu đường thẳng A di qua A và cắt đoạn #'C tại M thì :
d(B', A) + d(C, A) < B'M + CM = BC
Dấu "=” xảy ra khi và chỉ khiA 1 B'C
e Nếu đường thẳng A không cắt đoạn 8'C thì
d(PB', A) + d(C, A) = 2d(F', A) < 2ƑA
với Ï ( : ) là trung điểm của cạnh 8C
Dấu "=" xảy ra khi đường thang A vuông góc với ‘A
AABC có AC nhọn nên 2!'A > BC
Trang 12PHAM BUC QUAN - 12C - LHP
Vậy d(B', A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi duong thang A di qua A(I ; 1)
và có vectơ pháp tuyến ar 2 ; 7}
Đường thẳng A cần tìm là :
5(x~1)+ TÚy =1) =0 « 5x +l4y- 19 =0
a) AC2 ; 1) va Ö8(—I1 ; -3) thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là đường thăng A : x + y + 2= Ô vì
(xa + ya + 2Ì(xpg + yg + 2) = 5(-2) < 0
Gọi A' là điểm đối xứng với Á qua đường thẳng A Khi đó A' và 8 thuộc cùng
một nửa mặt phẳng bờ A
Ta có : |MA — MB| = |MA-— MB| < A'B
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M, A', B8 thẳng hàng và M ở ngoài đoạn A'B
<> {M} = A'BOA (vi M € A vàA', B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ A)
AA' đi qua A(2 ; 1) và vuông góc với đường thẳng A nên AA có vectơ chỉ
phương là mạ = (1;1)
x=2+í AA' có phương trình |
y=l+t
{1}= AA A thì toạ độ của 7 tương ứng với giá trị : là nghiệm của phương
trình : (2+)+(I+r)+2=0
©21+5 =0 c ta Số,
1 3
Vậy Ï =|-—;—-| v!=[-2:-))
Vì / là trung điểm của ÁA' nên
Y —*aA + Xp
“bo 2 21" Xu: = 2X, — x i nh Xy = —3 — A'=(-3; -4)
y = 2a tia AE 2W —XA Va =-4
2
Trang 13Suy ra đường thing A'B cé phuong trinh: {7 ” ° “
y= —4 +f
Giao diém M cia A'B va đường thẳng A img véi ¢ 14 nghiém cla phuong trinh :
(-3 + 2r)+(4+1r)+2=0
=3r~5=0r=Šœ M=[ ¡~ 3)
3
b) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua A Khi đó, A' va C nam ở hai phía khác nhau đối với đường thẳng A
Với M tuỳ ý trên đường thẳng A ta có :
MA +MC =MA'+MC> AC
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3 là giao điểm của A'C và A (tức Mí ở giữa A' và
C, điều này có được do Á' và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là
đường thẳng A)
Theo câu a) : A'(—3 ; -4), A'C = (4:7)
Phương trình đường thẳng A'C :
x=-3+4á4t
y=-4+ 7
Toa d6 cua M ứng với giá trị f là nghiệm của phương trình :
(-3 + 4:)+(_-4+7?)+2=0
Vậy |MA —- MB| lớn nhất khi M = E : -3}
eo 1l-5=0er==
c) Với M(x ; y) thuộc đường thang A, ta c6 : x =—y — 2
MA? = (x -2) +(y-1),
MB? = (x +1) +(y +3),
MC? = (x- 1 + (y- 3Ÿ,
Trang 14PHAM BUC QUAN - 12C - LHP
suy ra MA? + MB? ~ MC? = x’ +y? +10y+5
= (-y - 2) + y? + 10y +5
= 2y? + 14y +9, Xét hàm số ƒ (y) = 2y? + 14y +9 có đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên
Do đó ƒ(y) nhỏ nhất khi y = 5 © M= lš:-;]
Vậy MA? + MB” - MC” nhỏ nhất khi M = lš:-;]
d) Gia sit M = (x ; y) thì MA =(2-x;1—-y), MB =(-I-x;-3-),
MC =(1-x;3-)
=> MA + MB + MC = (2 -3x;1- 3y)
[MA + MB + MC| = (2 -3x) +(1-3y)) nhỏ nhất khi và chỉ khi
(2 - 3x)” + (1— 3y)” nhỏ nhất
Với M(x ; y) thuộc đường thẳng A thì x = —y — 2, do đó :
(2- 3x” +(L- 3y)” = (3y + 8Ÿ +(L- 3yŸ
= 18y? + 42y + 65
Xét hàm số ƒ(y) = 18y” + 42y + 65 Hàm số này có đồ thị là parabol quay bể
5 7 lõm lên trên Do đó ƒ(y) nhỏ nhất khi y = sẽ © M -(-2-2),
Vay MA + MB + MC| nhé nhat khiM = (2.2).