TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH PHẮNG

TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH PHẮNG

Chương IV CÁC CHUYÊN ĐỀ

Chuyên để 1

BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG, MỘT MẶT

Với việc đưa hệ toạ độ vào mặt phẳng và không gian, ta có thể nghiên cứu Hình học bằng các phương pháp của Đại số Ở đó, mỗi sự kiện trong Hình học được cho tương ứng với một sự kiện trong Đại số Nói cách khác, ta "phiên dịch” các sự kiện trong Hình học sang ngôn ngữ của Đại số Các đối tượng đầu tiên cần

"phiên dịch" là các khái niệm chính của hình học : điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu (và sau đó là các tính chất của chúng) Các khái

niệm tương ứng với những đối tượng trện trong Đại số được gọi là phương trình của đối tượng đó (riêng đối với điểm, vectơ, chúng được gọi là toạ độ) Có thể hiểu một cách đơn giản phương trình (tổng quát) của một đường hay một mặt là một phương trình hay hệ phương trình đa thức (rút gọn) sao cho điểm M thuộc đường hay mặt đó (sự kiện của hình học) khi và chỉ khi toạ độ điểm M thoả mãn phương trình hay hệ phương trình nói trên (sự kiện của Đại số) Bài toán viết phương trình của một đường thẳng hay một mặt là bài toán cơ bản nhất của hình học giải tích Trong các kì thi đại học, các bài toán loại này luôn có mặt trong đề thi và chiếm phần nhiều số điểm dành cho phần hình học Trong chuyên đề này, ta phân tích các phương pháp khi giải bài toán loại này

Bài toán viết phương trình của đường hay mặt thường được giải quyết bằng một trong các cách sau

Cách 1 : Dùng định nghĩa để viết phương trình

Cách này được bắt đầu bằng việc xem xét điều kiện cần và đủ để một điểm

M(zx ; y ; z) thuộc hình ('Z) đang cần viết phương trình Điểm M(x ; y ; z) thuộc

(@) khi va chỉ khi x, y, z thoả mãn phương trình hay hệ phương trình nào đó, thì phương trình, hệ phương trình tìm được sẽ là phương trình của () Cần lưu ý rằng

có thể có nhiều tiêu chuẩn để kiểm tra điểm M thuộc (Ø), nhưng ta cần lựa chọn tiêu chuẩn dễ thể hiện bằng Hình học giải tích và gây ra phương trình Đại số Cách này thường được dùng trong các bài toán viết phương trình của một đường (hay mặt) (#) mà những điểm thuộc (#) có đặc trứng để thể hiện bằng Hình học giải tích

137

Cách 2 : Dùng lí thuyết đã học để viết phương trình

Trong lí thuyết đã trình bày các cách khác nhau để xác định phương trình của một đường hay một mặt Ví dụ phương trình của một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ hoàn toàn xác định nếu biết một trong các thông tin sau :

+ Một điểm thuộc nó và pháp vectơ ;

+ Một điểm thuộc nó và vectơ chỉ phương ;

+ Hai điểm thuộc nó ;

+ Nếu điểm M thuộc một đường thẳng A cho trước trong mặt phẳng hay trong không gian thì có thể gọi toạ độ của M với một ẩn, bằng cách viết phương trình đường thẳng A dưới dạng tham số

+ Nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ø) cho trước thì có thể gọi toạ độ của ă với hai ẩn

+ Có thể gọi phương trình một đường thẳng A trong mặt phẳng toạ độ dưới

dạng A : x = m và A: y= ax + b (thay vì A : Ax + By + C =0)

+ Nếu đường thẳng A trong mặt phẳng toạ độ đi qua một điểm M cho truéc thì

có thể gọi hệ số góc & (nếu có) của đường thẳng A để từ đó thiết lập phương trình

đường thing A với một ẩn là #

+ Nếu đường thẳng A trong mặt phẳng toạ độ có pháp vectơ hay hệ số góc cho trước thì có thể gọi phương trình của đường thẳng A với một ẩn chưa biết là hệ số

tự do Chú ý rằng có nhiều cách thể hiện khác nhau để từ đó suy ra pháp vectơ (hay hệ số góc) của đường thẳng A Ví dụ như cho biết đường thẳng A vuông góc, hoặc song song với một đường đã biết, hoặc tạo với một đường đã biết một góc cho trước

138

+ Nếu một mặt phẳng trong không gian chứa đường thẳng cho trước thì có thể gọi phương trình mặt phẳng dưới dạng chùm, khi đó trong phương trình xác định

mặt phẳng chỉ còn một ẩn

+ Nếu mặt phẳng trong không gian đã biết pháp vectơ thì có thể gọi phương

trình mặt phẳng dưới dạng phương trình tổng quát với một ẩn là hệ số tự do

Các bài toán viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu đã được phân

tích và làm rõ trong chương HI Do đó, trong chuyên đề này, chúng ta xem xét

thêm các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng

Ví dụ 1 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm Ä⁄(I ; 1) và cùng với các

đường thẳng A; : 2x — 3y + 4 = 0,A¿ : 3x + 2y + 5 = Ô tạo thành một tam giác cân Lời giải (h.53)

Ta nhận thấy A, L A;, do đó nếu gọi đường thẳng cần lập phương trình là A,

A là giao điểm của hai đường thẳng A¡ và A›, B, C lan lượt là giao điểm của đường thắng A với Ai và A› thì tam giác ABC vuông cân tại A Nói cách khác, đường thẳng A là đường thẳng qua M(Í ; 1) va tạo với đường thẳng A¡ góc T

Vậy có hai đường thẳng qua M(1 ; 1) và tạo với các đường thẳng A¡, A; một

tam giác cân là :

A:y=5(x- l)+ lI hay y=5x— 4,

A': y = =sẲx — ]) y=—-|x-l)+1 hay y = -—x+-— yy=-rde

Ví dụ 2 Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD biết A = (—4 ; 5)

và đường chéo 8D có phương trình 7x — y + 8 = 0

139

Lời giải (h.54)

Trước hết ta có nhận xét : AB, AD là các đường thẳng qua A và tạo với BD góc

7 C đối xứng với A qua BD, CB//AD, CD//AB Duong thang d qua A cé phuong trinh x = — 4 hoặc y —5 = k(x + 4) hay y=kr +5 + 4k

Dé thay dudng thang x = — 4 tạo với BD góc ọ # T

Goi / 14 giao diém cha AC va BD thi J = (- i2)

Vì 7 là trung điểm AC nên C = (3; 4), suy ra

Vậy phương trình các cạnh của hình vuông ABC?D là :

Chú ý : Ta có nhiều cách khác nhau để giải bài toán trên Chẳng hạn, nếu gọi

A' là điểm đối xứng của A qua G thì : 8GCA' là hình bình hành Từ đó ta viết được phương trình BA', CA' và tính được toạ độ của B va C

Ví dụ 4 Cho đường tròn (Ø) : xˆ + yŸ — 2x + 6y — 15 = 0 và điểm A(2; 1)

Viết phương trình đường thẳng A cat (@) tai hai diém ẤM, N sao cho A là trung diém cha MN

Lời giải (h.56)

(9: (x- ” +(y+3Ÿ” =25,

suy ra (S) có tâm /(1 ; —3) và bán kính # = 5

Do A là trung diém cia MN nén JAL A Vay

A 1a đường thẳng qua A và nhận ¡4 làm vectơ

Toa độ giao điểm của đường thẳng A và (ở) là nghiệm của hệ :

A cỏ phương trình tham số : \ (2? +p # 0)

x=2+at y=1+ ft

Thay x =2+at,y=1+ Br vào (1), ta được phương trình bậc hai đối với / :

(a? + 8”? + 2(z + 4Ø) — 8 = 0 (2)

Phương trình (2) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt /¡, /; Khi đó :

MỆ + an ;1 + Bt),N(2 + at ;1 + Br)

142

A là trung diém cia MN khi va chi khi

Ví du 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ xÓy, cho tam giác ABC có A(0 ; 2), B(-2 ; -2) và C(4 ; -2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ 8 ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm

Giả sử đường tròn có phương trình : x” + y.+2ax+2by+c=0 (1)

Do M, N, H thuộc đường tròn nên ta có :

2a-c=1 2a-4b+c=-5 2a+2b+c =-2

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề-các vuông góc, cho đường tròn

(Ø): (x- Đ” +(y - 2)” = 4 và đường thing d: x - y-1=0

Viết phương trình đường tròn (%') đối xứng với đường tròn (%) qua đường thẳng đ và tìm toạ độ các giao điểm của (ð) và (”)

Suy rax = 1, y=0 hoac x = 3, y=2

Vay (@) va (@') cắt nhau tại hai điểm phân biệt là A(1 ; 0) và 8Ó ; 2)

Ví dụ 7 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là A(-1; 7), B(4; -3) va C(-4; 1)

144

Gọi 7 là tâm đường tròn nội tiếp AABC, khi đó / là chân đường phân giác kẻ từ

B của AABD Tương tự như trên, ta tính được toạ độ của 7 là (—1 ; 2) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp AAĐC thì r = d(/, BC)

Ta có

BC : x+2y+2 = 0 nên r = d(I,BC) = v5

Vậy, đường tròn nội tiếp AABC có phương trình :(x + 1” + (y - 2} = 5

Ví dụ § Cho các đường tròn

(OP: r+y =1,

(mm): x + y ~ 2(m + 1)x + 4my = 5

a) Chứng minh rằng có hai đường tròn (%, ) (%4) tiếp xúc với () ứng với

hai giá trị của m là mị và mạ

b) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn 4 ) và (, }

Lời giải

a) Ta có : ('ố„) có phương trình chính tắc :

[x~(m+ ĐT +(y+ 2m” = 5m + 2m + 6

=> (G,) 6 tam In (m + 1,-2m) Va ban kinh R,, = Vẫm2 + 2m + 6

(#) có tâm (0 ; 0) và bán kính R = 1 (@,,) tiếp xúc với (*) khi và chỉ khi

b) (%,): x? +(y - 2) = 9 c6 tâm 1¡(0 ; 2) và ban kinh Ry =3,

Do Kì = Rạ = 3 và hi; < Rị + R, nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt Vì vậy, chúng chỉ có hai tiếp tuyến chung ngoài Đó là các đường thẳng

A song song và cách 71; một khoảng bằng 3 Ta có

Vi du 9 Cho dudng tron (@ : x2 + y? —2x+2y-2=0 va dudng thing A:2x+y+10=0

a) Chứng minh rang A không cắt (%3

b) Từ một điểm M bất kì trên A, kẻ các tiếp tuyến M2, M2; tới (9) (7¡ J; là các tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng 7;J¿ và chứng minh rằng đường

thẳng này luôn đi qua một điểm cố định

đo đó A không cát đường tròn (')

b) Giả sử M = (xo; yọ) và Jy = (45%)

Xét đường thắng đ: (xụ - I(x— 1) + (sọ +1)(y+1)= 4 Từ (*) suy ra

Jị, Jạ e d nên d chính là đường thẳng qua J¡, J> hay J;J; có phương trình :

(xo - 1x - 1) + 0o +1)y +1) =4 (v6i 2x) + yy + 10 = 0)

147

* Chứng minh J,J> luon di qua mot diém cé dinh

Do 2x9 + yy +10 = 0 nén yp = —(2% + 10), suy ra

J1; : (Xọ — I(x — 1) + (—2xo - 9Xy + =4

(x - 1)xy -— 2(y + Ixy -— x +1-9y-9 = 4

Vậy 7¡J; luôn đi qua điểm cố định : Áñ ; -3}

Vi du 10 Trong mat phẳng với hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxy, cho đường tròn (@) : x” + y* = 4va diém A(1 ; 0) Gọi M là điểm di động trên (Ở), A„ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM tai M Hay ching minh ring Ay lu6n tiếp xúc với một đường cong cố định ; xác định phương trình đường cong đó

(2cost — 1)(x — 2cosr) + 2sin/(y — 2sin:) = 0

© (2cosr — 1)x + (2sin?)y — A(cos?r + sin? ) + 2cost = 0

© (2cosr — 1)x + (2sint)y + 2cost - 4 = 0

N(x,y) € Ay khi M di dong trén (@) néu và chỉ nếu

(2cost ~ 1)x + (2sint)y + 2cost — 4 = 0 vo nghiém ¢

€> 2(x + I)cosr + 2y.sint - (x + 4) = 0 vô nghiệm ¿

<> 4(x + iy + 4y? <(x+ 4y ` Hình 59

148

Ta sẽ chứng minh rằng A¿; luôn ti€p xuc véi elip (£) : T + a =1

Dat A = 2cost - 1, B = 2sint, C = 2cost - 4, a” = 4, b? = 3

Ta có: 42A? + 2B? = 4(2cosr - IŸ + 3(2sin)'

= l6cos?/ + 12sin?/ — t6cost + 4

Viết phương trình cạnh 8C, biết nó đi qua điểm M(2 ; -1)

2 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy cho :

A, :2x-y-2=0,

A, :2x+4y-7=0,

Áa : mx + y ~ 2m = 0

Tim m sao cho A¡,A;,As là ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác cân

3 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, cho tam giác ABC cân tại A có :

AB: y+1=0,

BC :x+y-2=0

Tính diện tích tam giác ABC biết AC đi qua diém M(-1 ; 2)

149

Tam giác ABC có C(-3 ; 1), duéng cao hy: x+7y +32 =0, phan gidc

I, 2x +3y +12 =0 Viết phương trình các cạnh của tam giác

Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC có A(1 ; 3), hai đường trung tuyến là mp : x— 2y+l=0; mẹ: y-1=0

Tam giác ABC có A(I ; l), B(-2 ; 5), trọng tâm ỞŒ thuộc đường thẳng

A, :2x+3y-1=0, dinh C thuộc đường thẳng A; :x+y_—l=0 Tính -

điện tích tam giác ABC

Tam giác ABC có A(I ; 3), trung tuyến ¿mẹ : x + 3y -1 = 0, đường cao

hẹ : 2x + 3y + 5 = 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Tam giác ABC có hai đường cao

hg: x+3y-1=0, Aor x+y+1=0

va trung tuyén m, :2x-y+1=0

Viết phương trình các cạnh của AABC

Tam giác ABC có hai đường cao hạ : 4x— y-1=0, hp:x-y+3=0, trọng tâm Œ(1 ; 2) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Tam giác ABC có đường trung tuyến mạ :x— y+1=0, đường cao hp :x+2y—1=0, đoạn AB có trung điểm ÄM⁄(I ; 1) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp /(4 ; 0), đường cao hx :x+ y—2=0, trung tuyến ma : x + 2y - 3 =0

Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Tam giác ABC có đường phân giác l¿ : x + y- 3 =0, đường trung tuyến

mp :x— y+1=0, đường cao c : 2x + y + 1 =0 Tính toạ độ các đỉnh của tam giác

Cho hai dudng tron (@) :x7 + y* =16, (@'): x” + y? — 10x + 5 = 0cắt nhau tại hai điểm A và A’, trong d6 A c6 tung độ dương Viết phương trình

đường thẳng A đi qua A lần lượt cắt (@) va(G') tại các điểm thứ hai B, C sao cho A là trung điểm của BC

14 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(A): x + y? -6x4+5=0, (B): x? + y? -12x -6y + 44 =0

15 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(8): x? +y? —-2x+2y-7=0, (%): x? +? ~4x+6y+4=0

16 Cho hai đường tròn :

dị có vectơ pháp tuyến 7¡(l; —3) ; dạ có vectơ pháp tuyến 7; (3; 1)

Tam giác ABC cân tai A nên BC vuông góc với d¡ hoặc d;

+ BC 1a đường thẳng qua Ä⁄(2 ; —1) và vuông góc với đ¡ nên 8C có vectơ chỉ

+ BC là đường thẳng qua M(2 ; -1) va wu6ng géc véi d, nén 8C có vectơ chỉ phương là n2(3; !) Phương trình BC : *x=?- me

A, :2x-y-2=0,

A, :2x+4y-7=0, A; :mx+y-2m=0

Vi A, L A; nên A¿ là đường thẳng chứa cạnh đáy của tam giác cân

Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AI, Ay la:

A, Ld nm =0m-3=00ms3

Ay Ld te nig = 0 <> 3m +1=0 e m= —>

Vậy m = 3 hoặc m = >

3 AB: y+1=0, M(-1;2), BC:x+y-2=0

Toa độ diém B 1a nghiém của hệ phương trình :