Bài tập Giải tích

Định nghĩa: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc nữa khoảng và f là hàm số xác định trên K.. Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.. Ta có thể mở rộng định lí trên: Giả sử hàm số

DẤU NHỊ THỨC VÀ TAM THỨC

A Lí thuyết:

1/ Nhị thức: f x  ax b a; 0

x -  b

a

 +

f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a 2/ Tam thức: f x    ax2  bx c a  ;  0   b2  4 a c

*   0 f x   0 vô nghiệm

x -  +

f(x) cùng dấu a

*   0 f x   0 có nghiệm kép x 2b

a





x - 

2

b a

 +

f(x) cùng dấu a 0 cùng dấu a

*  0 f x  0 có hai nghiệm phân biệt 1,2

2

b x

a

  

 Giả sử: x1  x2:

x -  x1 x2 +

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

Định lí Vi-et: Phương trình ax2   bx c 0 có hai nghiệm x x1; 2 thì:

1 2

b

S x x

a



   và P x x1 2 c

a

Chú ý: Phương trình: ax2 bx c  0 có hai nghiệm phân biệt:

1 Trái dấu  a c 0  2 Cùng dấu 0

0

P

 



  



0 0 0

P S

 





 



0 0 0

P S

 





  

 

 

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Bài tập:

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1 Định nghĩa: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc nữa khoảng

và f là hàm số xác định trên K

 Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu:

   

x x K x x f x f x

 Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:

   

2 Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f x'  0 với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên I b) Nếu f x'  0 với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên I

Chú ý:

Khoảng I có thể thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng và

hàm số f liên tục trên I thì định lí trên vẫn đúng

Ta có thể mở rộng định lí trên: Giả sử hàm số f có đạo hàm

trên khoảng I Nếu f x'  0 với mọi x I  (hoặc f x'  0 với mọi

x I ) và chỉ tại một số hữu hạn điểmthì hàm số f đồng

biến (hoặc nghịch biến ) trên I

 

f x 

I) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:

1) y x 4 2x2 1 2) y 2x2 x4

3) y  12 x4 3x2  5

3

y x  x

5)

1

y

x

 



1

y

x





 7) y  2x x11

9)  2

2 1

x

y

x





 10) y  x3 3x2  4 II) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:

1) y  3  x 2) y  2x x 2

3) y x 2x2 4) y x x2  x 1

III) Tìm tham số m để :

1) y m 1x2  2m 3x m đồng biến trong khoảng 2; 

2) 3 2  1

3

x

y  mx  m x1 luôn luôn đồng biến

3) 1  3 2 2  2 2 2 

3

x

y  m  m x  m x 5 đồng biến trong 6; 

4) y x 3  3 2 m 1x2 12m 5x 2 đồng biến trong khoảng 2; 

IV) Cho hàm số: 2x2 1 m x 1 m

y

x m



 định m để : 1) Hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định

2) Hàm số đồng biến trong 1; 

V) CMR:

1) xsin xcosx 1; x 0;2 

     2)

3

sin ; 0 6

x

x  x  x

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: 1) Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên và D x0D Nếu tồn

tại  a b; chứa điểm sao cho x0  a b;  D và:

a) f x  f x 0 ;  x D x\ 0

 0

thì được gọi là điểm cực đại của hàm số, khi đó

0

x

f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số

b) f x  f x 0 ;  x D x\ 0

 0

thì được gọi là điểm cực tiểu của hàm số, khi đó

0

x

f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

Điểm cực đại, cực tiểu nói chung là điểm cực trị Giá trị cực đại, giá

trị cực tiểu nói chung là cực trị

2) Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lí: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm Khi đó, nếu f có đạo

hàm tại thì

0

x

0

0 0

f x 

3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lí 1 : Giả sử hàm số f liên tục trong khoảng  a b; chứa điểm

và có đạo hàm trên các khoảng

0

x

a x; 0 và x b0;  Khi đó:

a) Nếu f x'    a x0; x  ; 0 và f x'    x b0; x  0;  thì hàm số

đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f x'   0; xa x; 0 và f x'   0; xx b0 ;  thì hàm số đạt cực

đại tại điểm x0

Định lí 2:Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  a b; chứa

điểm x0, '  và f có đạo hàm cấp hai tại điểm

0 0

a) Nếu f" x0  0thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f" x0  0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

Bài tập:

I Tìm cực trị của hàm số:

1) y x x  3 1 2) y   x3 3x2  3) y x 3 x2 x

2 4) y x 33x 5) y   2x3  6x2 6) y   x4 2x2

7) y x 4 2x2 5 8) y x 4  9) x2 y x 4 x2  2

10) 2 2

4

y  x x 11) 2 1

1

x y x





2

4

y x  x

13)y x  2 3x 14)

2

1

y

x



2

y

x

 

 16)

2

1

y

x

 



2 1

x y

x





1

2 





x

x y

19)y  4 2  x2 20) 1 1

1

y x

x

 21) y  x x11

 22) y  x 2 x 2 23) 2 2

x y

x x



2 2

1

y

x





II Tìm các giá trị của m để:

1 Hàm số y = f(x) =

3

1x3+mx2 + (2m+3)x + 2 có cực trị

2 Hàm số y= f(x) = 2 ( 1 2)

2







x

x m

x

có một cực đại và một cực tiểu

3 Hàm số y = x m

m mx

x

2

3

2







có một cực đại và một cực tiểu và hai giá trị cực trị trái dấu ?

4 Hàm số y = 34

2









x

m x

x

có một cực đại và một cực tiểu và

4



 CT

CD y

5 Hàm số y = f(x) =

3

1x3+mx2+(2m+3)x+2 đạt cực tiểu tại x0=2

6 Hàm số y=f(x)= x m

mx

x





2

đạt cực đại tại x0=2

7 Hàm số 2 1

2









x

m x x

y có một cực đại và một cực tiểu

8 Hàm số: f ( x )  x3  3 mx2  3 ( m2  1 ) x đạt cực đại tại x0 1

9 Hàm số y x 4 mx2  m 2 có điểm cực đại là gốc tọa độ O

10 Hàm số: y  13x3 mx2  xm1 có cực đại và cực tiểu

11 Đồ thị hs ) 2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

1 (

3

y

12 Hàm số

( ) :

1

m

x





2

có cực tri

13 Hàm số y =

1

x



2

có cực trị

14 Hàm số f(x)  x3 3mx2 3(m2 1)x đạt cực đại tại x=1

15 Hàm số ( ) 1 2

2









mx

mx x

x

16 Hàm số ( ) 2 1

2









x

m x x

x

f có một cực đại và một cực tiểu

17 Hàm số ( 2 ) ( 4 8 ) 1

3

2

3













2

1, x

x thoả x1  2  x2

18 Hàm số ( ) ( 1) 2( 1 1) 4

2

















x

m x m x

m x

f

đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau

19 Hàm số f x( )  x4  8mx3  6(m 2)x2  4chỉ có 1 cực tiểu mà không có

cực đại

20 Hàm số y  f (x) 31mx3 (m1)x2 3(m2)x1 đạt cực trị tại

2

1, x

x thoả x1  x2 2 1

21 Hàm số: y x mx xm m







 2 2 1 có cực trị

22 Hàm số: y  x3 1(m2  1 )x2  ( 3m 2 )xm

đạt cực đại tại x  1

23 Hàm số: 22 4

2











x

m mx

x

24 Hàm số y  (m 2)x3 3x2 mx 5 có cực đại, cực tiểu

25 Hàm số: 1

2









x

m x x

y có giá trị cực đại là 0

26 Hàm số

2

1

có cực đại và cực tiểu

y

x





27 Hàm số (Cm): y mx 1

x

  , có cực trị

28 Hàm số y = x4 mx3  2x2  3mx 1 có 3 cực trị

III Xác định hàm số:

1) Cho hàm số y =

4

2

( )

2

x

f x ax b Tìm a và b để hàm số đạt cực trị

bằng -2 khi x = 1

2) Cho y x x ax b





 2 2 2 5 Tìm a và b để đồ thị hàm số nhận điểm 









 ;6 2 1

làm điểm cực trị

3) Cho hàm số: y f x ax3 bx2  cx d Tìm các hằng số a b c d; ; ; biết: a) Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 tại x  2 và có cực tiểu bằng – 4 tại

0

x

b) Đồ thị hàm số y  f x  có một điểm cực đại là M 1;3 và đi 2 qua

điểmA 2;0, B2;12

c) Hàm số có giá trị cực trị bằng 0 tại x  và đồ thị hàmsố đi qua hai 1

điểm A0; 1  , B 2;1

d) Hàm số có giá trị cực trị cực tiểu bằng 3 tại x 1 và nếu chia f x  cho

x2  x 2thì phần dư là 2x 9

e) Hàm số có giá trị cực trị cực tiểu bằng – 4 tại x 1 và nếu chia f x  cho x2  3x 2thì phần dư là  x 3

IV Các dạng khác:

1) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của hàm số a

y  x  a x  a a x



luôn đạt cực trị tại hai điểm



1 ; 2 1 2

x x x  x với x2x1không phụ thuộc vào tham số a

2) Với những giá trị nào của thì đồ thị hàm số a y  2x3 ax2  12x 13 có

điểm cực đại và cực tiểu và hai điểm này cách đều trục tung

3) Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hàm số: m

m

y x  m x  m x1 có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực trị x x thỏa mãn điều kiện 1; 2 x1 2x2 1

4) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số: y x 3 m 2x2  1 m x  3m 1 đạt cực trị tại x x1 ; 2 thỏa x1 x2  2

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT:

1 Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên Nếu tồn tại

điểm

D

0

x D sao cho:

 f x  f x 0 ;  D x thì số M  f x 0 được gọi là giá trị lớn

nhất của hàm số trên D, kí hiệu Max f x D   M

 f x  f x 0 ;  D x thì số m f x 0 được gọi là giá trị nhỏ

nhất của hàm số trên D, kí hiệu  

D

Min f x  m

2 Cách tìm : Lập bảng biến thiên của hàm số trên rồi từ

đó kết luận

D

Đặc biệt: Giả sử hàm số f liên tục trên  a b và có đạo hàm ;

trên khoảng a b; có thể trừ một số hữu hạn điểm thuộc Thì

qui tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số f trên

a b; 

 a b là: ;

 Tìm các điểm x x1; ; 2 thuộc  a b; tại đó hàm số f có đạo hàm

bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Tính f a f b f x       ; ; 1 ; f x2 ;

 So sánh các số vừa tính

Số lớn nhất là giá trị lớn nhất của hàm số f trên  a b , số nhỏ nhất ;

 

Bài tập Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

1 y  x 2 4 x

1

x y





3 y  2cos2 xcosx1

4 y  4 sin x  3 cos x

5 y  x3  3x 1 trên đoạn 0 ; 3

6

2 2

1 1

x y

x







7 y  5  4x trên  1;1

8 y  x cos2 x trên 0 ;

2



9

2 2

1 1

y

 



 

1

x y





2 cos

x y

x



 trên 0 ;  

12 y  x6  4(1 x2)3 trên  1; 1

13 y  x4 2x2 3 trên 0 ; 2 

14 y  x  6 x2  trên 4 0 ; 3 

2









x

x x

y

16 y x 3 3x2 9x35 trên  4; 4

17 y  sinxcosx

18 y  x 4 x 2

19 2

1 1

x y

x x





 

20 y   x3 3x2  3 trên  1;3

21 y 2 cos2 x x 0 x 2 

22 y = sin4x – cox2x

23 y = x4 – 4x2 + 2 trên  2;3

24 y = 2sin2x + sinx trên  0;

25 y = x3 3x2 3 trên đoạn 1; 3

26

2 2

1

y

x



 5

3







28 f(x)   x4 8x2 1 trên   1;1

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y x

x

  x  0

2 y x  4  2 x2  3

1

 

 

4 y = x3(x-4)

x

x

y

2

2



 trên khoảng (0; + ∞)

6 y  tan3 x cos1 x  (0< x < 2

2

 )

7 y= x3+1x x 1x 2 x 1x

 (x > 0)

   

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

1 y  4x3 3x4

2 y   x2 2x3

3 y  x5 5x3 1 trên đoạn 2;3

4 y 2sin2 x x 0 x 

5 y  3 2 x x 2

6 y  cosx  sinx

7 y  3 2 x x 2

8 y = 4 x2 2x3 + 2x – x2

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

1 y  4x  2 16 4 x

2  2 2 2

y  x   x x 

3 y 2x 5x2

4 y  4 x6 xx2  2x



5 y x 2  2x  18 4 4 x2 x

y f x

Bài 5: Cho hàm số Tìm để giá trị bé nhất của hàm số trên [ -2 ; 0] bằng 2

y  x  ax a  a a

Bài 6: Tìm m để bất phương trình : x 1 x2  m

a) Có nghiệm b) Nghiệm đúng với   x  1;1

Bài 7: Định m để bất phương trình: x   3 x2  m 2 vô nghiệm

Bài 8: Cho bất pt : m 2x2    Tìm m để bpt nghiệm đúng với7 x m x

Bài 9: Cho bất pt: m2x m x  1 Tìm m để bất pt có nghiệm

thỏax 0; 2

Bài 10: Cho bất phương trình: x2 2x m  18 4 4  x2 x  0 Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với   x  2; 4

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

A Hàm bậc ba:

Bài 1: (KD08) Cho hàm số : y  x3 3x2 4 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số k ( k

> - 3 ) đều cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB

Bài 2 : Cho hàm số: y  x3 3x2  2

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số Xác định giao điểm của (C) và trục hoành

2) Một đường thẳng d đi qua A( -1 ; - 2) và có hệ số góc a Tìm a để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 3: (KA06)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y2x3 9x2 12x4

2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

2 x  9x  12 x  m

Bài 4: (KB08) Cho hàm số : y 4x3 6x2  (1) 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hs (1), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( - 1; - 9)

Bài 5: (KB07) Cho hàm số: y  x3 3x23m21x3m 12 (1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Bài 6: (KD06) Cho hàm số: y  x3 3x 2

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A (3 ; 20) và có hệ số góc m Tìm

m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 7: (KB04) Cho hàm số : y  13 x3  2x2 3x (1) có đồ thị (C)

1) Khảo sát hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 8: (KB03) Cho hàm số : y  x3  3x2  m (1) (m là tham số) 1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2

Bài 9: (KA02) Cho hàm số: y   x3 3mx23 1 m x m2  3m2 (1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm k để phương trình:  x3 3x2 k3 3k2 0 có ba nghiệm phân biệt 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1) Bài 10: Cho hàm số :  2

3

y  x  x

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số Chứng tỏ rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị

2) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 1 – m Bài 11: (KA1999)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số: y    x3 3 x.Từ đó suy ra đồ thị

hàm số: y   x3 3 x

2) Tìm các giá trị của m để phương trình: 3 2

2 3

1

m

x x

m

 

 có ba nghiệm Bài12: Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – 5

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết pt tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13)

B Hàm trùng phương :

Bài 1 : Cho hàm số: y  x 4  2 x2  1

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm m để phương trình : x4 2x2  m 0 có 4 nghiệm phân biệt

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A 2;1

Bài 2: Cho hàm số: y  2 x2  x4

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A 2 ; 0

Bài 3 : Cho hàm số y  12 x4  3x2  5

2 có đồ thị (C)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết pttt của (C) tại điểm uốn

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua 0; 5

2

Bài 4: (KB02) Cho hàm số: y mx 4 m2 9x2 10 (1) ( m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm m để hàm số (1) có ba cực trị

Bài 5: (KB09) Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Với các giá trị nào của m, phương trình x x2 2  2  m có đúng 6

nghiệm thực phân biệt?

Bài 6: (KD09) Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm),

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

2 Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều

có hoành độ nhỏ hơn 2

Bài 7: (KB08) Cho hàm số : y  4x3  6x2  (1) 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp

tuyến đó đi qua điểm M( - 1; - 9)

C.Hàm Hữu Tỉ:

Bài 1 : Cho hàm số : y  2x x 11

 (C)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ nguyên 2) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và d : x – 2y + m = 0

Bài 2: (KD07) Cho hàm số: 2

1

x y

x





1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số dã cho

2)Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục

Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4 Bài 3: (KD02) Cho hàm số: 2 1 2

1

y

x



 (1) (m là tham số )