HỆ THỨC LƯỢNG

+ Nếu một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc này bằng một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau.. Cỏc trường hợp bằng nhau của tam giỏc vuụng: + Nếu hai cạnh gú

Trang 1

HèNH HỌC CHUYấN ĐỀ I: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

TIẾT 1: TAM GIÁC

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA khi ba điểm A, B ,C không thẳng

hàng

- Kí hiệu: ABC , trong đó A, B, C là ba đỉnh; AB, BC, CA là ba cạnh, BAC, CAB,

ACB là ba góc

2 Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau Hai góc kề đáy bằng nhau 3 Tổng ba góc của tam giác bằng 1800 Ví dụ : ABC có: 0 A + + =B C 180 4 Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó 5 Công thức tính diện tích tam giác : 1 2 S = a h II B I TÀ ẬP P DÁ ỤNG Bài 1 : Xem hình vẽ rồi điền vào bảng sau : A

B I C

Tên tam giác Tên ba đỉnh Tên ba góc Tên ba cạnh ABI A, B, I AIC IAC, ACI,CIA ABC AB , BC,CA Giải:

Tên tam giác Tên ba đỉnh Tên ba góc Tên ba cạnh

ABI A, B, I ABI, BIA, BAI AB ,BI,IA

AIC A, B, I IAC, ACI,CIA AI, IC, CA

ABC A ,B ,C ABC , ACB,BAC AB , BC,CA

Trang 2

TT Giỏo viờn & Gia sTT Giỏo viờn & Gia sưưư t t tưưưiiii TP Hu TP Hu ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 –––– 0989824932 0989824932

Bài 2 : Cho ABC có A = 70o , B= 80o Tính góc C?

Giải: Cˆ = 1800 - (A+B) =1800 - (70 0+800 ) =300

Bài 3 : Tính các góc ở đáy của một tam giác cân , biết góc ở đỉnh bằng 50o

Giải:

Góc ở đỉnh của tam giác cân bằng 500 => các góc ở đáy của tam giác đó bằng nhau và bằng

0 0

180 50

2

ư

= 650

Bài 4 : Tính diện tích ABC biết độ dài cạnh BC = 6cm , đường cao AH ứng với cạnh BC bằng 4cm

Giải:

SABC = 1

2BC.AH =16.4

2 = 12 (cm2)

III Bài tập đề nghị :

Bài 1 : Cho ABC biết diện tích bằng 24cm2 , độ dài đường cao ứng với cạnh BC bằng 4cm Tính độ dài cạnh đáy BC

Bài 2 : Cho ABC biết A= 75o , B= 55o

a) Tính góc C ?

b) Hãy vẽ góc ngoài đỉnh C của tam giác Tính góc ngoài đỉnh C

Bài 3 : Vẽ đoạn thẳng IR = 3cm , vẽ điểm T sao cho IT = 2,5cm, TR = 2cm Vẽ TIR

_

TIẾT 2: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC

1 Định nghĩa

Hai tam giỏc bằng nhau là hai tam giỏc cú cỏc cạnh tương ứng bằng nhau và cỏc gúc tương ứng bằng nhau

2 Cỏc trường hợp bằng nhau của hai tam giỏc:

+ Nếu ba cạnh của tam giỏc này bằng ba cạnh của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau + Nếu hai cạnh và gúc xen giữa của tam giỏc này bằng hai cạnh và gúc xen giữa của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau

+ Nếu một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc này bằng một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau

3 Cỏc trường hợp bằng nhau của tam giỏc vuụng:

+ Nếu hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này lần lượt bằng hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau

+ Nếu cạnh huyền và một gúc nhọn của tam giỏc vuụng này bằng cạnh huyền và một gúc nhọn của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau

4 Định lý Pytago:

Trong một tam giỏc vuụng , bỡnh phương của cạnh huyền bằng tổng cỏc bỡnh phương của hai

cạnh gúc vuụng

Trang 3

Bài 1 : Cho hỡnh vẽ Hóy chỉ ra cỏc tam giỏc bằng nhau ? vỡ sao ?

H.1

H.2

Giải: Hình 1: ACB = BDA (g.c.g)

Hình 2: AMB =ACM (c.c.c)

Bài 2 : Cho ABC , M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho :

ME = MA Chứng minh rằng AB // CE

Giải:

Xét hai tam giác ABM và ECM có BM = MC

(gt), AMB=EMC,

AM= ME(gt) =>ABM = ECM =>

MCE=MBA(góc tương ứng)

=> AB // CE

A

E M

III B I TÀ ẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 : Cho ABC vuông tại A , cạnh AC = 4cm , BC = 5cm Tính cạnh góc vuông AB

Bài 2 : Cho ABC cân tại A Kẻ AH vuông góc với BC

Chứng minh rằng : AHB = AHC

Bài 3 : Cho góc xOy khác góc bẹt , Ot là phân giác của góc xOy Qua điểm H thuộc tia Ot kẻ

đường vuông góc với Ot cắt Ox và Oy theo thứ tự tại A và B Chứng minh OA = OB

TIẾT 3: TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

cạnh của tam giỏc đú

đỉnh của tam giỏc đú

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

A

C

Trang 4

Bài 1 : Cho hỡnh vẽ

a) Chứng minh ABD = ACD

A

D

Giải:

a) ABD và ACD có AB = AC (gt) , ABD= CAD (gt)

AD là cạnh chung => ABD = ACD

b) Từ ABD = ACD (theo c/m a) => BD = CD => BDC cân tại D

=> DBC= DCB

Bài 2 : Cho DEF cân tại D với DI là trung tuyến

1 Chứng minh DEI = DFI

2 Các góc DIE và DIF là những góc gì ?

3 Biết DE = DF = 13cm , EF= 10cm Tình độ dài đường trung tuyến DI

Giải:

1.DEI = DFI (c-c-c)

2 Theo chứng minh (1) ta có : DIE = DIF mà 0

DIE +DIF = 180 => 0

DIE =DIF = 90

Vậy cỏc góc DIE , DIF là gúc vuông

3.Các DEI và DFI vuông tại I theo Pytago

ta có : DI = 2 2

Mặt khác IE = 1

2EF => IE = 10

2 = 5

Bài 1 : Cho ABC cân tại A , có AB = AC =34cm , BC = 32cm, kẻ đường trung tuyến AM

a) Chứng minh rằng AM vuông góc với BC

b) Tính độ dài AM ?

Bài 2 : Cho hình vẽ A

E

B D C

a) Chứng minh CI vuông góc với AB

b) ChoACB= 400 Tính góc BID và góc DIE

D

F

Trang 5

Bài 3 : Cho ABC có AB < AC Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA Trên

tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA

a) Hãy so sánh các góc AMB và góc ANC

b) Hãy so sánh các độ dài AM và AN

TIẾT 4: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1 Định lí Talet trong tam giác

* Định lí Ta lét thuận:

Nếu một đường thẳng song song với cạnh của một tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định

ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

GT ∆∆∆∆ABC , B ' C ' // BC ( B '∈AB , C '∈AC )

KL

AC

AC AB

AB ' '

C C

AC BB

AB

' '

'

==== ;

AC

C C AB

BB ' '

====

*VD: Tính độ dài x trong hình sau:

Giải: Vì MN// EF nên : Theo định lí Talet

ta có:

NF

DN ME

DM

==== hay

NF

DN x

DM

==== suy ra x=

4

2 5 , 6 DN

NF DM

==== Vậy x=3,25

j

4 6,5

N M

D

*Định lí Talet đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn

thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác

Vớ dụ:

a) Trong hình vẽ có :

+) DE // BC vì theo đ/lí Ta let đảo ta có











====

2

1 EC

AE

DB

AD

+) EF // AB vì theo đ/lí Ta let đảo ta có

(((( ))))2

FB

CF

EA

CE

====

b)Tứ giác BDEF là hình bình hành vì có

DE // BC ; EF // AB











====

3

1 BC

DE AC

AE AB

AD

j

14 7

5 3

E D

A

F

Nhận xét: Các cặp cạnh tương ứng của tam giác ADE và tam giác ABC tỉ lệ với nhau

2.Tính chất đường phân giác trong tam giác

Trang 6

*Tính chất: Trong tam giác , đường phân giác của một góc chia đôi cạnh đối diện thành hai

đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy

Ví dụ: Cho hình vẽ:

Tính

y x

A

3,5 7,5

B x D y C

*.Chú ý

Định lí vẫn đúng với tia phân giác góc ngoài của tam giác

II B I TÀ ẬP P DÁ ỤNG

Bài 1:: Tính x trong các trường hợp sau:

A D

x 9 24

M4 5 8,5 P Q

x N 10,5

B (a ) C E ( b) F

Bài giải:

a) Vì MN // BC nên theo đ/lí Ta let ta có:

NC

AN MB

AM

==== hay

AN AC

AN MB

AM

ưưưư

5

5 , 3 4 x 5 5 , 8

5 x

4

====

⇒

ưưưư

====

b) Vì PQ // EF nên theo đ/lí Ta let ta có:

QF

DQ PE

DP

==== hay

DQ DF

9 5

, 10

x

ưưưư

15

5 , 10 9 x 9 24

9 5 , 10

x

====

⇒

ưưưư

====

Bài 2: Tính x trong hình sau và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất

A

4,5 7,2

B 3,5 D x C

Bài giải:

Vì AD là phõn giác của góc BAD nên:

Bài giải:

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên ta có :

DC

DB AC

AB

==== hay

5 , 7

5 , 3 y

x

==== Vậy

15

7 y x

====

Trang 7

AC

AB

DC

DB

==== hay

2 , 7

5 , 4 x

5 , 3

==== ⇒x =

5 , 4

2 , 7 5 , 3

≈ 5,6

Bài 1:

Tam giác ABC có BC = 15 cm Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho

AK = KI = IH Qua I và K vẽ các đường E F // BC, MN// BC

a, Tính độ dài các đoạn thẳng MN và E F

b, Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270 cm2

Bài 2:

Tam giác ABC có AB= 5cm, AC= 6cm và BC= 7 cm Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E Tính các đoạn EB, EC

TIẾT 5: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC

1 Định nghĩa hai tam giác đồng dạng:

Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

' ' '

A =A ; B =B ; C =C

A B B C C A

AB BC CA

* Kí hiệu ∆ A B C' ' ' ∼ ∆ ABC(viết theo các cặp đỉnh tương ứng)

2 Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác:

a) Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

Ví dụ Hai tam giác ABC và

A'B'C' (kích thước trong

hình vẽ có cùng đơn vị đo)

đồng dạng với nhau vì có:

A B B C C A

AB BC CA

4 8 6 2

 

 

b) Trường hợp đồng dạng thứ hai: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng

Trang 8

Ví dụ: Hai tam giác ABC và DEF (kích thước

như hình vẽ có cùng đơn vị đo) đồng dạng với

nhau vì có:

=

A=D =60

F

6 8

3 4

60 0

E

D

C B

A

c) Trường hợp đồng dạng thứ ba: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau

Ví dụ : Hình vẽ,

' ' ' ABC ∆A B C

A=A ; B=B

C' B'

A'

C B

A

Bài tập 1: Tìm trong hình vẽ các cặp tam giác đồng dạng

*Trả lời: Cặp tam giác đồng dạng là ∆ ABC ∼ ∆DFE (trường hợp đồng dạng thứ nhất)

Bài tập2: Tìm trong hình vẽ các cặp tam giác đồng dạng(hình2)

*Tr

ả lời: Cặp tam giá

c

đồn

g dạn

g là

∆ABC ∼ ∆DEF (trường hợp đồng dạng thứ hai)

6

4

5

4

6

8 4

c) b)

a)

K

I

H

F E

D

C B

A

a)

(Hinh 2)

c) b)

5

3

6

4 3

70 0

R P

Q

F D

E

C B

A

Trang 9

Bài tập 3: Tìm x trong hình vẽ

Biết AB // CD

Giải:

Ta có: ∆DAB đồng dạng với ∆CBD (vì

BD ⇔x.x = 12,5 28,5

⇔ x = 356, 25

Bài tập1 Cho tam giác ABC Trong đó AB = 15 cm, AC = 20cm Trên hai cạnh AB và AC lần

lượt lấy hai điểm D và E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm Hai tam giác ABC và ADE có đồng dạng với nhau không? vì sao?

Bài tập 2 Hai tam giác ABC và DEF có A=D, B=E , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm Tính

độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF 3cm

TIẾT 6: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUễNG

1 Từ các trường hợp đồng dạng của tam giác suy ra tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng nếu:

a, Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia

b, Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

kia

2 Dấu hiệu nhận biết về hai tam giác vuông đồng dạng

*Định lí 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh

huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng

Ví dụ: Hai tam giác vuông DEF và

D'E'F' (hình vẽ) đồng dạng với nhau vì

có: DE' '= DF' ' 1

=

  (định lí1)

F' E'

D'

F E

5 2,5

3 Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

*Định lí 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng

*Định lí 3: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

12,5

C D

28,5

X

B A

Trang 10

Bài tập 1: Cho hình vẽ bên hãy chỉ ra các tam giác

đồng dạng Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh

tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng

Giải:

Các cặp tam giác vuông

- ∆DEF ∼ ∆BCF (vì DFE=BFE)

- ∆DEF ∼ ∆BEA (có góc E chung)

- ∆DCA ∼ ∆BCF (có góc C chung)

C B F

E D

A

Bài tập 2: Hai tam giác vuông ABC và MNP có đồng

dạng với nhau không? vì sao?

Giải:

Tam giác vuông ABC đồng dạng với tam giác vuông

MNP

Vì Cˆ =Pˆ

P

N

M C

B

A

Bài tập 1: Bóng của một cột điện trên mặt đất có độ dài 4,5m cùng thời điểm đó một thanh sắt

cao 2,1m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,6m Tính chiều cao của cột điện

Bài tập 2: Trong hình vẽ, tam giác MNQ vuông tại M

và có đường cao MH

a) Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác

đồng dạngvới nhau? (Hãy chỉ rõ từng cặp tam giác

đồng dạng và viết theo các đỉnh tương ứng

b) Cho biết MQ = 12,45cm,

MN = 20,50cm Tính độ dài các đoạn thẳng NQ, MH,

QH, NH

20,50 12,45

H

M

Bài tập 3: Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm Tam giác PQR đồng dạng với

tam giác ABC và có diện tích là 54cm2 Tính độ dài các cạnh của tam giác PQR

TIẾT 7: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO

TRONG TAM GIÁC VUễNG

1 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Ta có: 2

'

b =a b (1)

2

'

c =a c (2)

2 Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Trang 11

Ta có: + 2

' '

h =b c (3)

+ b.c = a.h (4)

+ 12 12 12

h =b +c (5)

Tính x, y, h trong mỗi hình sau:

Bài 1:

y x

Giải:

Theo định lý Pitago ta có: x+y = 2 2

6 + = 8 100 = 10

áp dụng hệ thức (1) ta có: 6 2 = (x+y)x ⇒

2

6

3, 6 10

Tương tự ta có:

2

6, 4

10 10

y= = = ( Hoặc y = 10 - 3,6 = 6,4 ) Bài 2:

Giải:

+ Áp dụng hệ thức (1) ta có: 2 2 ( )

x = AB = BH+HC HB = +(1 4 1 5) = ⇒x= 5

+ Tương tự ta có: 2

+ Áp dụng hệ thức (4) ta có: . 5 20 2

5

x y h a

Cách 2: áp dụng hệ thức (5) ta có:

2 2 2

4

h

Bài 3:

Giải:

h

x

Trang 12

TT Giỏo viờn & Gia sTT Giỏo viờn & Gia sưưư t t tưưưiiii TP Hu TP Hu ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 ĐT: 2207027 –––– 0989824932 0989824932 + Áp dụng định lý Pitago ta có:

2 2

= + =

+ Áp dụng hệ thức (4) ta có: x.y = 5.7 => x = 35

74

Bài 1:

Cho tam giỏc vuụng với cỏc cạnh gúc vuụng cú độ dài là 3 và 4 Kẻ đường cao tương

ứng với cạnh huyền Hóy tớnh đường cao tương ứng với cạnh huyền và độ dài cỏc đoạn thẳng

mà nú định ra trờn cạnh huyền

Bài 2:

Cho hỡnh bờn

Tớnh độ dài cỏc đoạn AH, BH, HC

Bài 3: Tớnh x, y trong hỡnh bờn

TIẾT 8: TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC NHỌN

1 Định nghĩa:

cotgα = cạnh kề

cạnh đối

tg α = cạnh đối

cạnh kề

Cos α = cạnh kề

cạnh huyền

Sin α = cạnh đối

cạnh huyền

Cạnh kề

Cạnh huyền

Cạnh đối

α

- Cỏc tỉ số lượng giỏc của 1 gúc nhọn luụn dương

2 Tỉ số lượng giỏc của hai gúc phụ nhau:

90

α β+ =

β

α

cot cot

Sin cos

Cos Sin

=

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	794,59 KB