Bài giảng: Hệ thức lượng (Hình 9)

Bài giảng "Hệ thức lượng (Hình 9)" có phần ngâng cao. Trình bày theo hướng "Lấy học trò làm trung tâm".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 9

CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

và đường cao trong tam giác vuông

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

• Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

• Định hướng thực hiện các hoạt động

• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

• Chép lại các chú ý, nhận xét

• Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

• Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách

giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng

em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

• Nôi dung chưa hiểu

• Hoạt động chưa làm được

• Bài tập lần 1 chưa làm được

• Bài tập lần 2 chưa làm được

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

p hần hình học

H ệ thức lợng trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, nếu biết hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn thì

có thể tính đợc các góc và các cạnh còn lại của tam giác đó hay không ? Câu trả lời sẽ đợc trình bày trong chơng này.

Chơng này, bao gồm:

1 Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

2 Tỉ số lợng giác của góc nhọn

3 Bảng lợng giác

4 Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

5 ứng dụng thực tế các tỉ số lợng giác của góc nhọn

Đ 1 M ột số hệ thức về cạnh và

đ-ờng cao trong tam giác vuông

bài giảng theo chơng trình chuẩn

Xét ∆ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = a, các cạnh

góc vuông AC = b, AB = c Gọi AH = h là đờng cao ứng

với cạnh huyền và CH = b’, BH = c’ lần lợt là hình chiếu

của AC, AB trên cạnh huyền

1 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình

chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phơng một cạnh góc vuông bằng tích

của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Nh vậy, trong ∆ABC vuông tại A, ta nhận đợc:

AC2 = BC.CH ⇔ b2 = a.b’ (1)

AB2 = BC.BH ⇔ c2 = a.c’ (1’)

Hớng dẫn: Giả sử cần đi chứng minh AC 2 = BC.CH, ta thực hiện phép biến đổi

ng-ợc:

AC 2 = BC.CH AC HC

Đó chính là hệ thức nhận đợc từ sự đồng dạng của hai tam giác vuông tơng ứng.

Nh vậy, chỉ cần trình bày theo chiều ngợc lại ta sẽ nhận đợc lời chứng minh cho định lí.

Nhận xét rằng hai tam giác vuông AHC và BAC có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau, do đó:

HC AC

AC= BC ⇔ AC2 = BC.CH ⇔ b2 = a.b’, đpcm

Tơng tự, ta cũng có c2 = a.c’

Thí dụ 1: Sử dụng định lí 1 chứng minh định lí Py−ta−go

 Giải − Sử dụng hình 1

Ta có ngay:

b2 + c2 = ab’ + ac’ = a(b’ + c’) = a.a = a2, đpcm

A

H a

b c

h Hình 1

Thí dụ 2: (Bài 1/tr 68 − Sgk): Hãy tính x, y trong hình 4/tr 68 − Sgk.

 Giải − Sử dụng hình 4/tr 68 − Sgk

Ta lần lợt:

 Với hình a, trớc tiên sử dụng định lí Py−ta−go ta có độ dài cạnh huyền là:

2 2

6 +8 = 100 10.=

Khi đó, ta lần lợt:

62 = x.10 x 36

10

⇔ = = 3,6; 82 = y.10 y 64

10

⇔ = = 6,4;

 Với hình b, trớc tiên sử dụng định lí Py−ta−go ta có độ dài cạnh góc vuông còn lại là:

2 2

20 −12 = 256 16.=

Khi đó, ta lần lợt:

122 = x.20 x 144

20

⇔ = = 7,2; 162 = y.20 y 256

20

⇔ = = 12,8;

 Có thể em cha biết: Hệ thức (1) đợc phát biểu nh sau:

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

2 Một số hệ thức liên quan tới đờng cao

Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phơng đờng cao ứng với cạnh huyền

bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Nh vậy, trong ∆ABC vuông tại A (hình trong định lí 1), ta nhận đợc:

AH2 = BH.CH ⇔ h2 = b’.c’ (2)

 Có thể em cha biết: Hệ thức (2) đợc phát biểu nh sau:

Trong một tam giác vuông, đờng cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Thí dụ 3: (HĐ 1/tr 66 − sgk): Chứng minh định lí 2

 Giải − Sử dụng hình 1

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:

ã ã

ABH CAH= − Góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc

⇒∆AHB và ∆CHA đồng dạng với nhau

AH CH

HB HA

⇒ = ⇔ AH2 = HB.CH ⇔ b2 = b’.c’, đpcm

 Nhận xét: Nh vậy, định lí 2 thiết lập mối quan hệ giữa đờng cao ứng với

cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền của một tam giác

Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh

huyền và đờng cao tơng ứng.

Nh vậy, trong ∆ABC vuông tại A (hình trong định lí 1), ta nhận đợc:

Thí dụ 4: (HĐ 2/tr 67 − sgk): Chứng minh định lí 3

 Giải − Sử dụng hình 1

Nhận xét rằng hai tam giác vuông ABC và HAC có:

ã ã

ABH HAC= − Góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc

⇒∆ABC và ∆HAC đồng dạng với nhau

AB HA

BC= AC ⇔ AB.AC = BC.HA ⇔ bc = ah, đpcm

 Nhận xét: Nh vậy, định lí 3 thiết lập mối quan hệ giữa đờng cao ứng với

cạnh huyền, cạnh huyền với hai cạnh góc vuông của một tam giác

Thí dụ 5: (Bài 3/tr 69 − Sgk):

 Giải − Sử dụng hình 6/tr 69 − Sgk

Ta lần lợt có:

y2 = 52 + 72 = 25 + 49 = 74 ⇔ =y 74; xy = 5.7 x 35 ;

74

⇔ =

Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phơng đờng cao ứng với

cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phơng hai cạnh góc vuông.

Nh vậy, trong ∆ABC vuông tại A (hình trong định lí 1), ta nhận đợc:

2 2

2 AC

1 AB

1 AH

1

+

c

1 b

1 h

1

+

Hớng dẫn: Sử dụng định lí Py − ta − go kết hợp với định lí 3.

Từ (3) ta có biến đổi:

b2c2 = a2h2 2

2 2 2

1 a

h b c

⇔ = b22 2c2

b c

+

= 12 12

b c

= + , đpcm

bài tập lần 1

Bài 1 Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đờng cao Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BH, CH, AH

Bài 2 Cho ∆ABC vuông tại A, đờng cao AH, biết BH = 3cm, CH =

3

16

cm

a Tính độ dài các cạnh của ∆ABC

b Tính độ dài AH

Bài 3 Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 6cm, BC = 10cm Tính độ dài đờng cao AH

Bài 4 Cho ∆ABC vuông tại A; AH là đờng cao HE, HF lần lợt là các đờng cao của

∆AHB, ∆AHC Chứng minh rằng:

a BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2

b 3 BE2 + 3 CF2 = 3 BC2

Bài 5 Cho ∆ABC, biết S =

4 1

(a + b − c)(a − b + c) chứng minh rằng ∆ABC là vuông

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 450.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

1 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phơng một

cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu

của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Nh vậy, trong ∆ABC vuông tại A, ta nhận đợc:

AB2 = BC.BH ⇔ c2 = a.c’,

AC2 = BC.CH ⇔ b2 = a.b’,

2 Một số hệ thức liên quan tới đờng cao

Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phơng đờng cao ứng với cạnh huyền

bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Nh vậy, trong ∆ABC vuông tại A (hình trong định lí 1), ta nhận đợc:

AH2 = BH.CH ⇔ h2 = b’.c’

Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh

huyền và đờng cao tơng ứng.

Nh vậy, trong ∆ABC vuông tại A (hình trong định lí 1), ta nhận đợc:

A

H a

b c

h

AB.AC = AH.BC ⇔ bc = ah.

Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phơng đờng cao ứng với cạnh

huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phơng hai cạnh góc vuông.

Nh vậy, trong ∆ABC vuông tại A (hình trong định lí 1), ta nhận đợc:

2 2

2 AC

1 AB

1 AH

c

1 b

1 h

B phơng pháp giải toán

Dạng toán 1: Giải các bài toán định lợng

Ví dụ 1: (Bài 2/tr 68 − Sgk): Hãy tính x, y trong hình 5/tr 68 − Sgk

Hớng dẫn: Sử dụng công thức hình chiếu.

 Giải − Sử dụng hình 5/tr 68 − Sgk

Ta có độ dài cạnh huyền là 1 + 4 = 5

Ta lần lợt:

x2 = 1.5 = 5 ⇔ =x 5;y2 = 4.5 ⇔ =y 2 5;

Ví dụ 2: (Bài 4/tr 69 − Sgk): Hãy tính x, y trong hình 7/tr 69 − Sgk

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả trong định lí 2.

 Giải − Sử dụng hình 7/tr 69 − Sgk

Ta lần lợt:

22 = 1.x ⇔ x = 4; y2 = x(x + 1) = 4(4 + 1) = 20 ⇔ =y 2 5;

Ví dụ 3: (Bài 5/tr 69 − Sgk): Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm,

AH là đờng cao Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BH, CH, AH

Hớng dẫn: Sử dụng định lí Py − ta − go cùng các công thức hình chiếu.

 Giải

Ta lần lợt có:

BC = AB 2 + AC 2 = 9 + 16 = 5cm

BH =

BC

AB2

=

5

9

cm

CH =

BC

AC2

=

5

16

A

H

Ví dụ 4: (Bài 6/tr 69 − Sgk): Cho ∆ABC vuông tại A, đờng cao AH, biết BH =

1cm, CH = 2cm

c Tính độ dài các cạnh của ∆ABC

d Tính độ dài AH

Hớng dẫn: Sử dụng công thức hình chiếu và định lí 2.

 Giải

Ta lần lợt có:

BC = BH + CH = 1 + 2 = 3cm

AB2 = BH.BC = 1.3 = 3 ⇔ AB = 3cm

AC2 = CH.BC = 2.3 = 6 ⇔ AC = 6cm

AH2 = BH.CH = 1.2 = 2 ⇔ AH = 2cm

Ví dụ 5: Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 6cm, BC = 10cm Tính độ dài đờng

cao AH

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả định lí 4.

 Giải

Ta có:

AC = BC 2 − AB 2 = 100 − 36 = 8cm

2 2

2 AC

1 AB

1 AH

1

+

8

1 6

1 + =

576

25

⇔ AH =

24

5

cm

Ví dụ 6: (Bài 8/tr 69 − Sgk): Hãy tính x, y trong hình 10, 11, 12/tr 70 − Sgk

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả các định lí.

 Giải − Sử dụng hình 10, 11, 12/tr 70 − Sgk

Ta lần lợt:

 Với hình 10/tr 70, ta có ngay x2 = 4.9 = 36 ⇔ x = 6

 Với hình 11/tr 70, ta có ngay:

22 = x.x ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2

y2 = 22 + x2 = 4 + 4 = 8 ⇔ =y 2 2

 Với hình 12/tr 70, ta có ngay:

122 = x.16 ⇔ x = 9

y2 = 122 + x2 = 122 + 92 = 225 ⇔ y = 15

A

H

A

H

Dạng toán 2: Giải các bài toán định tính

Ví dụ 1: Cho ∆ABC, biết:

S =

4

1

(a + b − c)(a − b + c) (1) Chứng minh rằng ∆ABC là vuông

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả ngợc của định lí Py − ta − go Cụ thể ta biến đổi VP của

(1) về dạng (p − c)(p − b) còn VT sử dụng công thức Hêrông.

Khi đó, trong các phép biến đổi các em cần linh hoạt để nhận đợc kết quả cuối cùng là a 2 + b 2 = c 2

 Giải

Sử dụng công thức Hêrông, ta biến đổi (1) về dạng:

p(p a)(p b)(p c)− − − = (p − c)(p − b)

⇔ p(p − a)(p − b)(p − c) = (p − c)2(p − b)2 ⇔ p(p − a) = (p − c)(p − b)

⇔ (a + b + c)(b + c − a) = (a + b − c)(a + c − b)

⇔ a2 + b2 = c2⇔∆ABC là vuông tại C

Ví dụ 2: (Bài 8/tr 69 − Sgk): Cho hình vuông ABCD Gọi I là một điểm nằm

giữa A và B Tia DI và tia CB cắt nhau ở K Kẻ đờng thẳng qua D, vuông góc với DI Đờng thẳng này cắt BC tại L Chứng minh rằng:

a ∆DIL là một tam giác cân

b Tổng 12 12

DI +DK không đổi khi I thay đổi trên AB

Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), sử dụng sự bằng nhau của hai tam giác vuông để nhận

đợc DI = DL.

 Với câu b), sử dụng định lí 4.

 Giải − Học sinh tự vẽ hình

a Với hai tam giác vuông ADI và CDL, ta có:

ã ã

ADI CDL

AD CD





=

 ⇒∆ADI = CDL (g.c.g) ⇒ DI = DL

⇔∆DIL là một tam giác cân

b Ta có ngay:

1 1

+ = 1 + 1 = 1 − Không đổi

Ví dụ 3: Cho ∆ABC vuông tại A; AH là đờng cao HE, HF lần lợt là các đờng

cao của ∆AHB, ∆AHC Chứng minh rằng:

a BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2 b 3 BE2 + 3 CF2 = 3 BC2

Hớng dẫn:

 Giải

a Ta có:

3AH2 + BE2 + CF2 = 3AH2 + BH2 − HE2 + CH2 − HF2

= 3AH2 − EF2 + (BH + HC)2 − 2HB.HC = 2AH2 + BC2 − 2AH2 = BC2

b Trong ∆AHB, ta có:

BE = BH2

BA ⇒ BE2 = BH42

BA = BH4

BH.BC = BH3

BC (1) Trong ∆AHC:

CF = CH2

CA ⇒ CF2 = CH42

CA = CH4

CH.BC = CH3

BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

3BE2 + 3CF2 = 3BH

BC + 3CH

BC = 3BC

BC = 3BC

bài tập lần 2

Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 15, AC = 20, AH là đờng cao

a Tính BC b Tính BH

c Tính CH d Tính AH

Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A và AB < AC, đờng cao AH Biết rằng AH =

13

13

BC = 13cm

a Tính AB b Tính AC

c Tính HB d Tính HC

Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại A, tanC =

4

3

và đờng cao AH = 12cm

a Tính độ dài đoạn BH b Tính độ dài đoạn CH

c Tính độ dài đoạn AB d Tính độ dài đoạn AC

Bài 4. Cho ∆ABC vuông tại A, đờng cao AH, biết BH = 1cm, AC = 2 5cm

a Tính độ dài cạnh BC

b Tính độ dài cạnh AB

c Tính độ dài cạnh AH

Bài 5. Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm, đờng cao AH Điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA = 2IB, CI cắt AH tại E Tính độ dài CE

C

H F

E

Bài 6. Cho ∆ABC vuông tại A, AD là phân giác trong của góc A Khẳng định AD

=

c

b

2

+ bc là đúng hay sai ?

Bài 7. Cho ∆ABC vuông ở A, đờng cao AH; r, r1, r2 lần lợt là bán kính các đờng tròn nội tiếp tam giác vuông ABC, AHB, AHC Chứng minh rằng:

a r1 = r

a

c

và r2 = r

a

b

b r1 + r12 = r2

Bài 8. Cho ∆ABC vuông tại A; D là hình chiếu của A trên BC; E và F lần lợt là hình chiếu của D xuống AB và AC Các khẳng định sau là đúng hay sai ?

a

2

AC

AB











 =

DC

DB

3

AC

AB











 =

CF

BE

b AD3 = BC.EB.CF