chuyen de luong giac

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác.. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc.CMR:b2+c2=5a2.. C/

+ Đường phân giác:

la =

2 cos

2

A bc

bc lb =

2 cos

2

B ac

ac la =

2 cos

2

C ab

ab

+ Mở rộng định lí sin và cosin:

cotA =

2 2 2 4

b c a s

cotB =

2 2 2 4

a c b s

cotC =

2 2 2 4

a b c s

1)



2 xcos2x 2)

2

2 2

1

cos

1 tan

x

x x

3) cosx + cos(2/3 - x) + cos(2/3 - x) = 0

4) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a

5)

1 tan tan



 = tan(a +b)tan(a - b) 6) cos

3 xsinx - sin3xcosx = 1

4sin4x 7) cos sin

cos sin



1

cos 2x - tan2x 8)

sin 2 2sin sin 2 2sin



 = -tan

2 2

x

9)sin3xcos3x +sin3xcos3x = 3

4sin4x 10)sinx - sin2x +sin3x = 4cos

3 2

x

cosxsin

2

x

11) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x 12)

2 2

cos

x



13) A = sin(x + 5

2

 ) - 3cos(x - 7

2

 ) + 2sin(x +  )

2

C c    c      c  

16) D= 2cosa-3cos(+a)-5sin(/2-a)+cot(3

2



- a)

17) cos( - a) - 2sin(3/2 + a) + tan(3

2



- a ) + cot(2 - a) 18) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a 19) B = cos4a - sin4a + 2sin2a

20) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a)

21)D = 1 cot

1 cot

a a



2 tana1 22)E =

2 sin 4a4cos a+ cos4a4sin2a

23)F=cos2a+sin(300+a)sin(300-a) 24)G=sin6a+cos6a+3sin2acos2a

25) H =

26) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) k2 tính tan

2

a

.tan 2

b

27) Tính sin2x nếu: 5tan2x - 12tanx - 5 = 0 (

4

 < x <

2

 ) 28) A = cos200cos400cos600cos800

29) B = cos

7



.cos4 7

 cos5 7



30) C = sin60.sin420.sin660.sin780

31) Tính: E = sin50.sin150sin250.sin350 sin850

32) Tính: F = sin

18

 sin3 18

 sin5 18

 sin7 18

 sin9 18

 33) A = sin370.cos530 + sin1270.cos3970

34) A = tan1100 + cot200

35) Tính sin150 và cos150

36)a) A = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o

b) B = 1

2sin10o - 2sin70

o , M = cos

5



- cos2

5

 c) C = sin416



+ sin4

3 16

 + sin4

5 16

 + sin4

7 16



d) D = tan2

12



+ tan2

3 12

 + tan2

5 12

 e)E =tan9o-tan27o-tan63o+tan81o f) F = cos616



+ cos6

3 16

 + cos6

5 16

 +cos6

7 16



g) G1 = sin18o.cos18o; G2 = sin36o.cos36o h) H = cos2

7

 + cos4

7

 + cos6

7



i)I=sin

5



+sin23

5

 +sin 6

 +cos13

5



k)K=cos

5

 +cos2 5

 +cos3 5

 +cos4 5



36’) Với a ≠ k (k  Z) c/m: a) cosa.cos2a.cos4a cos16a = sin 32

32.sin

a a

b) cosa.cos2a.cos4a cos2na =

1 1

sin 2

2 sin

n n

a a





37.tính a) A=cos20o

.cos40o.cos60o b)B=sin6o.sin42o.sin66o.sin78o c)C = cos

7



cos4 7

 cos5 7

 d)D= sin

18

 sin3 18

 sin5 18

 sin7 18

 sin9 18



e)E=cos

65



cos2

65

 cos4 65

 cos8 65

 cos16 65

 cos32 65



F=cos

15



.cos2

15

 cos3 15

 cos4 15

 cos7 15

 G= sin5o sin15o sin25o sin85o

H= 96 3 sin

48

 cos 48

 cos 24

 cos 12

 cos 6

 I=16.sin10o.sin30o.sin50o.sin70o K= sin10o.sin20o.sin30o sin80o

L=cos9o.cos27o.cos45o.cos63o.cos81o.cos99o.cos117o.cos135o.cos153o.cos171o

38 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = sin3x.sin3x + cos3x.cos3x b) B = 1 cos

sin

x x



[1 +

2 2

(1 cos ) sin

x x



] c) C = cos3x.cos3x - sin3x.sin3x

39 Chứng minh rằng :

a) cos15 sin15

cos15 sin15



sin 75 cos 75 cos 75 sin 75



1 3 c) 4.cosx.cos(

3



- x).cos(

3

 + x) = cos3x

d) 4.sinx.sin(

3



- x).sin(

3

 + x) = sin3x

e) tanx.tan(

3



- x).tan(

3

 + x) = tan3x áp dụng tính .A = sin20o.sin40o.sin80o B = cos10o.cos20o.cos30o cos80o

C = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o

f) sin6x + cos6x = 5

8 +

3 8

cos2x g) tanx = 1 cos 2

sin 2

x x



A/D tính A=sin6

( 24

 )+cos6(

24

 ) B=tan2(

12

 )+tan2(3

12

 )+tan2(5

12

 )

h) sin4x=3 1cos 2 1cos 4

82 x8 x i) sin8x + cos8x = 35 7 cos 4 1 cos

6416 x16 x A/D tính A=sin8

( 24

 )+cos8(

24

 ) B=sin4(

16

 )+sin4(3

16

 )+sin4(5

16

 )+sin4(7

16

 )

40 tính A=cos(2

7

 )+cos(4

7

 )+cos(6

7

 )

B=cos(

5



)+cos(2

5

 )+cos(3

5

 )+cos(4

5

 )

41 Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính: tana.tanb

42 CMR:

sin 75 cos 75

sin 75 cos 75



1

3

43Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:

S =

2 2

( ).sin sin

2.sin( )

A B



1

4(a

2 sin2B + b2sin2A) = p2.tan

2

A

tan 2

B

tan 2

C

= 2R2.sinA.sinB.sinC

44Chứng minh các đẳng thức sau:

a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0

b) (b - c)cot

2

A

+(c - a)cot

2

B

+ (a - b)cot

2

C

= 0

c) (b2 - c2)cotA +(c2 - a2)cotB+(a2 - b2)cotC = 0

d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC

e) sin

2

BC

= b c

a



cos 2

A

f) cos

2

B C

= b c

a



sin 2

A

g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).h) cosA + cosB = 2 a b

c



sin2 2

C

i) 1

r =

1

a

h +

1

b

h +

1

c

h

45 Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:

a) 2sinA = sinB + sinC b) tan

2

B

tan 2

C

= 1

3

46 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC R, r là bán kính đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác Chứng minh rằng:

a) r = 4R.cos

2

A

.cos 2

B

.cos 2

C

b)IA.IB.IC=4Rr2 c)cosA+cosB+cosC= 1 + r

R

47 Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng công sai

của cấp số cộng đó được xác định theo công thức sau: d = 3

2r(tan2

C

- tan 2

A

)

48 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc.CMR:b2+c2=5a2

49 Chứng minh rằng:

cos 2

a

A

l +

cos 2

b

B l

cos 2

c

C

l =

1

a +

1

b +

1

c

50 C/m rằng trung tuyến AA' và BB' vuông góc vs nhau khi:cotC=2(cotA+cotB)

51 Cho c

b =

b

c

m

m ≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC

52 Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến gọi  = AMB Chứng minh rằng:

a) cot =

2 2 4

b c s



b) cot = cotC - cotB c) cot = 2 sin( )

2 sin sin

B c



53 Chứng minh rằng c

b là nghiệm của phương trình:

(1 + x2 -2xcosA)(b2 - bc) = a2(1 - x)

54 Tam giác có 3 cạnh lần lượt là:(x2 +2);(x2 -2x+2);(x2 + 2x + 2).Với giá trị nào

của x (dương) thì tam giác đó tồn tại

55 Cho ma = c Chứng minh rằng:

a) bcosC = 3cosB b) tanB = 3tanC c) sinA = 2sin(B - C)

56 Gọi H là trực tâm tam giác ABC H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ

số k cho trước CMR :

a) tanB.tanC = 1 + k b)tanB+tanC=ktanA c) cos(B-C)= (1+2

k )cosA

57 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC Chứng minh rằng :

58 Xđ hình dạng of tam giác ABC khi

a sin3A + sin3B + sin3C = 0 b sin4A + sin4B + sin4C = 0

c sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB

d a3 = b3 + c3 e c = Ccos2B + Bsin2B f (1+cotA)(1 + cotB) = 2

f sin2A + sin2B =5sin2C g 1 1 1

a

b c l h.sin2A+sin2B+sin2C  2

i cos2A + cos2B + cos2C  1

k C/m: nếu  ABC có: sin

2

A

= sin 2

B

.sin 2

C

thì tan

2

B

tan 2

C

= 1

2 và ngược lại

59) Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm

H của AD Chứng minh rằng tanB.tanC = 2

60 Cho tam giác vuông ABC tại A Gọi  là góc giữa đường cao và đường

trung tuyến ứng với cạnh huyền Chứng minh rằng: tan

2

 = tan

2

BC

61 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:

a) tgB = 3tgC b) sin A = 2sin(B - C)

62 Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác Chứng minh rằng điều kiện

cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức

sinasinB sinC  A B C 

63 Cho tam giác ABC nhọn CMR: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > 2

Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?

64) Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a sinA + sinB +sinC  3 3

A

+ sin 2

B

+ sin 2

C  3

2

c 1 < cosA + cosB + cosC  3

2

A + Sin2B + Sin2C ≥ 9

4

e 2 < cos2 2

A

+ cos2 2

B

+ cos2 2

C

4 f

3

4  sin2 2

A

+sin2 2

B

+sin2 2

C

< 1

g sin

2

A

sin

2

B

sin 2

C

 1

3

i cosA.cosB.cosC  1

A

cos 2

B

cos 2

C

3

l 1 + cosA.cosB.cosC ≥ 3 sinA.sinB.sinC m. 1

cos A+

1

cos B+

1

cos C ≥ 6

n.) 1

sin

2

A +

1 sin 2

B +

1 sin 2

2.sin sin sin

A B C 

1

3 3

x) (1 + 1

sin A) + (1 +

1

sin B) + (1 +

1

sin C ) ≥ 5 + 26 3

9

z) tan

2

A

+ tan

2

B

+ tan 2

C

≥ 3 s) tan2 2

A

+ tan2 2

B

+ tan2 2

C

≥ 1

p) (Với ABC nhọn) tanA + tanB + tanC ≥ 3 3 o) tan2A + tan2A + tan2A ≥ 9

u) tan

2

A

tan

2

B

tan 2

C ≥ 1

3 3

y).cos3A+cos3A+cos3A9

4+

1

4(cos3A+cos3B + cos3C)

t) 36r2 ab + bc + ca  9R2 r) (a + b + c)(ha +

hb + hc) ≥ 18S

W) ha + hb + hc ≥ 9r (1

r =

1

a

h +

1

b

h +

1

c

h ) Q) (a + b - c)(b + c - a)(c +

a - b)  abc

65 a2(b+c-a)+ b2(a+c-b)+c2(a+b- c)  3abc

66 a(b2+c2-a2)+b(a2+c2-b2)+c2(a2+b2-c2)  3abc

67 a(b-c)2 + b(c-a)2 +c(a -b)2 +4abc≥ a3 +b3+c3 68

c

ab

l + a

bc

l + b

ac

l  6R

69 1

a

r +

1

b

r +

1

c

r ≥ 3

2

R

r a b c abc 70

2

a

m + m + b2 m ≥ c2

3

s

71 a4 + b4 + c4 ≥ 16S2 72 tg

2

A

+ tg 2

B

+ tg 2

C

+ cotg

2

A

+

cotg

2

B

+ cotg

2

C

≥ 4 3

73 a2 + b2 + c2 ≥ 4S 3 74 a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ 16S2

Chứng minh, tam giác ABC đều nếu thỏa mản

1)R = 2r 2 S = 2

3R

2 (sin3A + sin3B + sin3C)

2 9

p R

3 3 3

2 4

2 cos

b c a

a

b c a



 



 



3 3 3 2

3 sin sin

4

a b c a

a b c





2

1 cos cos

4

a b c a

a b c





 



7 A, B, C là nghiệm của phương trình: tanx - tan

2

x

= 2 3 3

8 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c 9 sinA + sinB + sinC = sin2A

+ sin2B + sin2C

10 cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0 11 cot2A + cot2B + cot2C = 1

12 acosA bcosB c.cosC

a b c

1

2 13 sin sin 2sin





  = 3.cotA.cotB.cotC, với ABC nhọn

15 3tan2A + tan2B + tan2C = tan2A tan2B tan2C

16 12

sin A+ 2

1

sin B+ 2

1

sin C =

1 2sin sin sin

A B C

17 cot

2

A

+ cot

2

B

+ cot 2

C

= tanA + tanB + tanC

18 cot

2

A

+ cot

2

B

cot 2

C

= 9

2

a b c



20 p + R = (2 + 3 3 ).r

21 Xđ hình dạng tam giác 2cosA.sinB.sinC + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17

4

22 cotA+cotB+cotC = tan

2

A

+ tan

2

B

+ tan

2

C

23 : sinA+ inB+sinC =sin2A+sin2B+sin2C

sin 2Asin 2Bsin 2C 2.cos cos cosA B C

26 Tính các góc của tam giác cos2A + 3 (cos2B + cos2C) +5

2 = 0

29 C/m  ABC vuông khi : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB

m  m  m 

31 CMR, không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó đều là nghiệm của

2