Phép biến được gọi là tương đương nếu nó biến đổi một bất đẳng thức này thành bất đẳng thức khác tương đương với nó... Dùng phép biến đổi tương đương đưa đến điều mâu thuẫn điều vô lí..
Trang 1Giáo án tự chọn lớp 10
Chương III: Bất phương trình
Đ1 Bất đẳng thức
1- Định nghĩa:
Cho hai số a,b, ta nói rằng a lớn hơn b ( kí hiệu: a>b) nếu hiệu a-b là một số dương; a nhỏ hơn b (kí hiệu:a<b) nếu hệu a-b là một số âm và ngược lại
Như vậy: a>b a-b>0
a<b a-b <0
Tương tự ta cũng có định nghĩa a b và a b
a b a-b 0
a b a-b 0
Hai bất đẳng thức a>b (a b) và c>d (c d) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều
Hai bất đẳng thức a>b(a b)và c<d( c d) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều
2- Tính chất:
Nếu a >b và b >c thì a>c
Nếu a > b thì c ta có a c > b c
Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d
Nếu a>b và c<d thì a-c>b-d
Nếu a>b và c>0 thì a.c>b.c
Nếu a>b và c<0 thì a.c <b.c
Nếu a>b>0 và c>d>0 thì a.c>b.d
Nếu a>b>0 thì an>bn.và n a n b
Nếu n là một số tự nhiên thì a2n>b2n | a | >| b |
a ta có a2 a 0 ; a a a
| a+b| |a|+|b| dấu “=” xảy ra ab 0
Trang 2 Bất đẳng thứcCÔ-SI : Nếu a1,a2,… ,an là các số không âm thì ta có:
1 2
n n .
n
n
Dấu “=” xảy ra a1=a2=… =an
Bất đẳng thứcBunhiacôpxki: Nếu ta có hai bộ số (a1,a2,… ,an), (b1,b2,… ,bn) thì ta có :
(a1b1+a2b2+… +anbn)2 2 2 2 2 2 2
(a a a b b n)( b n)
a b a b a b a a a b b b
Dấu “=” xảy ra 1 2
n n
a
a a
b b b
3-Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức:
a) Phương pháp dùng định nghĩa:
Để chứng minh bất đẳng thức: A>B (A B) là đúng ta cần chỉ ra A-B > 0 (A-B
0)
Ví dụ1: Chứng minh rằng a, b, c ta có bất đẳng thức:
a2+b2+c2 a.b +b.c +c.a
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu a+b+c 0 thì ta có bất đẳng thức
a b c a b c
Ví dụ 3: Cho a.b 1 Chứng minh rằng 1 2 1 2 2
1 a 1 b 1 ab
b) Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương:
Hai bất đẳng thức được gọi là tương dương nếu bất đẳng thức này đúng thì bất
đẳng thức kia cũng đúng và ngược lại Phép biến được gọi là tương đương nếu nó biến đổi một bất đẳng thức này thành bất đẳng thức khác tương đương với nó
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu |a| <1 và |b| <1 thì ta có bất đẳng thức.
|a+b| <|1+ab|
Trang 3Ví dụ 5: Cho a>c ; b>c; c>0 Chứng minh rằng:
c a c c b c ab
c) Phương pháp phản chứng:
Để chứng minh bất đẳng thức A>B (A B) là đúng ta giả sử ngược lại A>B (A
B ) là sai Tức là ta có A B (A < B) Dùng phép biến đổi tương đương đưa đến
điều mâu thuẫn (điều vô lí) Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
Ví dụ 6: Cho 0<a<1; 0<b<1; 0<c<1 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất
đẳng thức sau là sai
1 (1 ) ;
4
4
4
c a
Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu ta có :
0 0 0
a b c
ab bc ca abc
thì a>0 ; b>0 ; c>0
d) Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quan trọng đã biết:
Sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức quan trọng quen biết ta có thể rút ngắn các phép chứng minh Thông thường các bất đẳng thức CÔ-SI và bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI là những bất đẳng thức được sử dụng rộng rãi nhất
Ví dụ 8: Cho a, b là hai số dương Chứng minh rằng : a+b 4
1
ab ab
Ví dụ 9: Cho x, y, z là ba số dương Chứng minh rằng:
(x+y+z)(xy+yz+zx) 9xyz
Ví dụ 10: Cho a>b>c>0 Chứng minh rằng: 1 4
( )( )
a
a b b c c
Trang 4Ví dụ 11: Chứng minh rằng với n số dương bất kì a1,a2,… ,an ta có bất đẳng thức :
2
1 1 1
n
a a a a a a
Ví dụ 12: Chứng minh rằng với a, b, c dương ta có bất đẳng thức:
2
b c c a a b
Ví dụ 13: Cho các số x, y, u, v thoả mãn điều kiện x2+y2=1; u2+v2=1
Chứng minh bất đẳng thức | u(x+y)+v(x-y)| 2
Ví dụ 14: Cho các số x,y thoả mãn điều kiện 2x+3y=5.
Chứng minh rằng 2x2+3y2 5
Ví dụ 15: Cho các số x, y, z thoả mãn điều kiện x2+y2+z2 =1
Chứng minh bất đẳng thức : |x+2y+3z| 14
Ví dụ 16: Cho các số a,b,c không âm thoả mãn điều kiện: a+b+c =1 Chứng
minh bất đẳng thức: a b b c c a 6
4-ứng dụng của bất đẳng thức tìmGTLN vàGTNN
a) Định nghĩa:
Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên tập D R Nếu tồn tại x0 D sao cho f(x)
f(x0) ( hoặc f(x) f(x0) ) x D thì số M = f(x0) ( hoặc m= f(x0) ) được gọi là GTLN (hoặc GTNN) của hàm số y= f(x) trên tập D
GTLN (GTNN) của một biểu thức chứa hai biến hoặc nhiều biến được định nghĩa tương tự
b) Hệ quả của bất đẳng thứcCÔ-SI:
Trang 5 Giả sử có n số không âm thay đổi : a1,a2,… ,an mà a1+a2+… +an = S không đổi thì tích P = a1a2… an đạt GTLN a1=a2=… =an
Giả sử có n số không ẩm thay đổi a1, a2,… ,an mà a1a2… an= P không đổi thì tổng S = a1+a2+… +an đạt GTNN a1=a2=… =an
Ví dụ 17: Tìm GTLN của hàm số y= x2(1-x) trong [0;1]
Ví dụ 18: Tìm GTLN của biểu thức F(x,y) = (3-x)(4-y)(2x+6y) với
0 x 3; 0 y 4
Ví dụ 19: Tìm GTNN của hàm số y x 12
x
với x >0
Ví dụ 20: Tìm GTNN của hàm số 4
1
x y
x x
với 0 <x<1
Ví dụ 21: Cho các hàm số x,y,z dương và x+y+z =1 Tìm GTLN của biểu thức:
F = xy+yz+zx
Ví dụ 22: Cho các số x,y,z dương và x+y+z =1 Tìm GTNN của biểu thức :
x y
F
xyz
Ví dụ 23: Cho các số không âm x,y,z và x+y+z=1 Tìm GTLN của … … …
F x y z
Ví dụ 24: Cho 2x+5y =7 Tìm GTNN của biểu thức F =2x2+5y2
Bài tập.
1-Chứng minh rằng a, b 0 và x, y ta có bất đẳng thức:
Trang 6(ax+by)(bx+ay) (a+b)2xy.
2- Chứng minh rằng a, b, c, d, e ta có bất đẳng thức:
a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e)
3- Chứng minh rằng nếu 0<x y z ta có:
x z y x z
4-Cho a>b>0 và c ab Chứng minh rằng ta có :
5- Cho 0 <a <2 ; 0 < b < 2 ; 0 < c < 2 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba
bất đẳng thức sau là sai: a(2-b) >1; b(2-c) >1; c(2-a)>1
6- Cho a, b, c thoả mãn: a b 22c
ab c
Chứng minh rằng b < 0
7- Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức:
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
8- Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức:
a b c 1 1 1
bc ac ab a b c
9-Cho x, y, z là các số dương Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức:
3x+2y+4z xy 3 yz 5 zx
10- Chứng minh rằng với a, b, c dương ta có:
Trang 72 2 2 9
a b b c c a a b c
11- Cho ba số dương a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1 Chứng minh rằng:
(1 )(1 )(1 ) 64
12-Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh bất đẳng thức:
a52 b25 c d25 25 13 13 13 13
b c d a a b c d
13-Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện 3x+4y =5 Chứng minh rằng ta có:
7
x y
14- Cho a,b,c thoả mãn a2+b2+c2=3 Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức:
| ab +bc+ca | 3
15- Cho a, b, c dương và a+b+c =1 Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức:
4a 1 4 1b 4 1c 21
16- Tìm GTLN của hàm số: y = x 1 x2 trong [0;1]
17- Tìm GTNN của hàm số: y= 3
3
1
x x
với x>0
18- Tìm GTLN của biểu thức: F(x,y) = (2x-x2)(y-2y2)
với 0 x 2; 0 y 1
2
19- Cho x, y là các số dương Tìm GTNN của biểu thức F(x,y) =(x y2)3
xy
20- Cho các số x, y, z thoả mãn điều kiện xy+yz +zx =1
Tìm GTNN của biểu thức F(x,y)=x4+y4+ z4
Trang 8Đ 2 Bất phương trình bậc nhất
1- Dạng tổng quát: ax+b >0 ( ax+b <0)
2- Cách giải và biện luận:
Xét bất phương trình: ax+b >0 (1).Ta có (1) ax>-b
Nếu a> 0 thì bất phương trình có nghiệm: x b
a
Nếu a< 0 thì bất phương trình có nghiệm: x b
a
Nếu a = 0 thì (1) trở thành 0x >-b
Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình: mx+4 >2x+m2
Ví dụ 2: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 3 2 4 5
x m
Ví dụ 3 : Tìm m để bất phương trình sau được nghiệm đúngx >0:
(m+1)x-m2=m+6 >0
3- Định lí về dấu nhị thức bậc nhất:
Định lí: Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a 0) có nghiệm la x0= b
a
Khi đó:
f(x) cùng dấu với a x> x0
f(x) trái dấu với a x<x0
af(x) <0 af(x)>0 x
x a
Ví dụ 4: Giải các bất phương trình:
a.(2x-1)(x-5)(x+3)(4-3x) >0
(1 3 )( 4)
x
x x
Nếu b 0 thì bất phương trình vô nghiệm Nếu b > 0 thì bất phương trình vô định
Trang 9(m-2)x+3 –m >0 và (m+1)x+2-m>0.
Bài tập
1- Giải và biện luận các bất phương trình sau:
1
x m x
2- Tìm m để hệ bất phương trình sau có ngiệm: 3 6
1
x x
mx m
3- Tìm m để hệ bát phương trình: 1 0
2
4 1
x x
a Vô nghiệm b Có nghiệm duy nhất
4-Tìm m để bất phương trình (m-2)x-m<0 nghiệm đúng x<1
5- Giải các bất phương trình sau:
a (-3x+2)(x+1)3(4x-5)(x-2)4<0 b.( 2)(2 4) 0
( 1)(7 2)
Đ 3 Định lí dấu tam thức bận hai
- Bất phương trình bậc hai
1- Định lí dấu tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax2+bx +c(a 0)
Nếu=b2-4ac(’=b’2-ac)<0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a hay a.f(x)>0x
Nếu (’) =0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a trừ x=
2
b a
và f(
2
b a
) = 0
Trang 10 f(x) cùng dấu với hệ số a x: x<x1 hoặc x>x2
f(x) trái dấu với hệ số a x: x1<x<x2
a.f(x)>0 a.f(x)<0 a.f(x)>0 x
x1 x2
b Chú ý:
Điều kiện để f(x) =ax2+bx+c >0 x là: 0
( ') 0
a
Điều kiện để f(x) =ax2+bx+c 0 x là a>0
( ') 0
Điều kiện để f(x) <0 (f(x) 0) x tương tự
Nếu hệ số a phụ thuộc tham số thì phải xét thêm trường hợp a = 0
Ví dụ 1: Tìm m để f(x) = (m2-1)x2+2(m-1)x+3 0 x
Ví dụ 2: Tìm m để f(x) =(m+1)x2-2(m+1)x-3 <0 x
Ví dụ 3: Tìm m để với mọi x ta có: 3 22 2 2
1
x mx
x x
Ví dụ 4: Tìm m sao cho x2+4y2+2x+my+3 >0 x,y
2- Bất phương trình bậc hai.
a) Dạng tổng quát: Bất phương trình bậc hai có dạng tổng quát là
ax2+bx+c >0 (a 0) hoặc ax2+bx+c <0
b.Cách giải và biện luận:
Xét bất phương trình: ax2+bx+c >0
Với a =0 thì bất phương trình trở thành bất phương trình :bx+c >0
Với a >0
Nếu (’) <0 thì bất phương trình có nghiệm x
Nếu (’) =0 thì bất phương trình có nghiệm x
2
b a
Trang 11Khi đó bất phương trình có nghiệm là x<x1 hoặc x>x2.
Với a<0:
Nếu (’) 0 thì bất phương trình vô nghiệm
Nếu (’) >0 thì bất phương trình có nghiệm là : x1<x<x2
Cách giải và biện luận bất phương trình ax2+bx+c<0 tương tự
c Chú ý:
Xét bất phương trình ax2+bx+c 0 thì ta có:
Điều kiện để bất phương trình vô nghiệm là : 0
0
a
Điều kiện để bất phương trình có nghiệm duy nhất là: 0
0
a
Bất phương trình ax2+bx+c 0 tương tự
Nếu hệ số a phụ thuộc tham số phải xét thêm trường hợp a=0
Ví dụ5: Giải và biện luận các bất phương trình:
a.x2-2mx+m+6 <0
b.(m2-1)x2-2(m-1)x+1 >0
Ví dụ 6: Cho bất phương trình: (m-1)x2-2(m-1)x-5 0 Hãy tìm m để:
a.Bất phương trình vô nghiệm
b.Bất phương trình có nghiệm duy nhất
3- Bất phương trình quy về bất phương trình bậc hai:
a Bất phương trình vô tỉ:
Cách giải bất phương trình vô tỉ cũng tương tự như cách giải phương trình vô tỉ Tức là có thể áp dụng các phương pháp: Dùng phép biến đổi tương đương; phương pháp đặt ẩn phụ Chú ý các dạng bất phương trình cơ bản sau:
( ) 0
f x g x
f x g x
g x
Trang 122
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
f x( ) g x( )
Ví dụ7: Giải các bất phương trình sau:
a x2 3 10x x 2
b x2 4x x 3
c 3x2 x 4 2 2
x
Ví dụ 8: Giải các bất phương trình sau:
a x 3 7 x 2x 8 b.2x2 4x 3 3 2 x x 2 1
b) Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Phương pháp chung để giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng tương tự như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý các dạng cơ bản sau:
| f(x) | < |g(x)| f2(x) <g2(x)
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
g x
f x g x
g x f x g x
f x( ) g x( )
Ví dụ 9: Giải các bất phương trình sau:
( ) 0 ( ) 0
g x
f x
2
( ) 0 ( ) ( )
g x
f x g x
g(x)<0
( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
Trang 13a.| 2x2-5x+3|>|x2-3x+2|
b.|x2-4x+3|<x-1
c.2|x2-1|>x+2
Ví dụ 10: Giải các bất phương trình sau:
a.|x2-3x+2|+|x2-x+6| x2-4x
5 6
x
x x
Bài tập:
1- Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a –x2+2x+m-1 0 b 4(m+2)x22(2m-2)x+m-1 <0
2-Cho bất phương trình: (m+1)x2-2(m+1)x+m+3 0
a.Tìm m để bất phương trình vô nghiệm
b.Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất
3-Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 2 2 15 0
( 1) 3
x x
m x
4-Giải các bất phương trình sau:
a 21 4 x x 2 x 3 b x2 4x 3 2x 5
c 1 1 4x2 3
x
d x 3 x 2 x 1
1
5-Giải các bất phương trình sau:
a x2 5x 2 b 2 25 4 1
4
x x x
Trang 142
2
4 3
1 5
x x
x x
d x2 3x 2 x 3 x2 3
Đ4 Định lí đảo dấu tam thức bậc hai.
1- Định lí đảo dấu tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax2+bx+c ( a 0) Nếu sao cho: a.f()<0 thì:
Tam thức bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt x1< x2
Số nằm luôn giữa khoảng hai nghiệm : x1< < x2
2- ứng dụng của định lí đảo dấu tam thức bậc hai:
a) Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai:
Hệ qủa 1: Nếu để cho a.f()<0 thì tam thức bậc hai (phương trình bậc hai ) luôn có hai ngiệm phân biệt
Hệ quả 2: Nếu , sao cho f( ).f()<0 thì tam thức bậc hai (phương trình bậc hai) luôn có nghiệm: Một nghiệm nằm trong khoảng (,); một nghiệm nằm ngoài đoạn [ , ]
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình : (m2+1)x2+4mx-4m2-8m-5 =0 luôn có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình : m2(x2-4)+x(x-5)=0 luôn có nghiệm
Ví dụ 3: Cho m<n<p Chứng minh rằng phương trình:
(x-m)(x-n)+(x-n)(x-p)+(x-p).(x-m)=0 luôn có nghiệm
b) So sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với số :
Điều kiện để x1< < x2 là: a.f()<0
Trang 15 Điều kiện để< x1 x2 là:
0 ( ) 0 2
a f S
Điều kiện để x1 x2< là:
0 ( ) 0 2
a f S
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình : x2 6mx 9m2 2m 2 0 có hai nghiệm đều lớn hơn 3
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình : x2 (2m 1)x m 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình : x2-(m-1)x+2m =0 có đúng một nghiệm nhỏ hơn –1
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) =m có nghiệm
Ví dụ 8: Cho phương trình : x2 2m x2 2x 2 2 1x Tìm m để phương trình
có nghiệm
Ví dụ 9: Cho phương trình : x2 2mx 2m x m m 2 2m 3 0
Tìm m để phương trình có nghiệm
c) So sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với hai số <
Điều kiện để<x1 x2 < là:
0 ( ) 0 ( ) 0 2
a f
a f S
Trang 16 Điều kiện để trong khoảng ( , ) có đúng một nghiệm nằm trong (a, b) còn một nghiệm nằm ngoài đoạn [,] là: 1 2
( ) ( ) 0
f f
Điều kiện để x1 x2 là : ( ) 0
( ) 0
a f
a f
Điều kiện để<<x1 x2là:
0 ( ) 0 2
a f S
Điều kiệm để x1 x2<< là :
0 ( ) 0 2
a f S
Ví dụ 10: Cho phương trình : x2-mx+2 =0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều thuộc khoảng (0;3)
Ví dụ 11: Cho phương trình : mx2+(m+1)x+3 =0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm đồng thời một nghiệm lớn hơn 1 còn nghiệm kia nhỏ hơn –2
Ví dụ 12: Cho hai phương trình : x2+(m+1)x+1=0 và x2+mx+m-3 =0 Tìm m để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm của hai phương trình này xen kẽ nhau
Ví dụ 13: Tìm m để phương trình: x2+mx+1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc
đoạn [-1;1]
Ví dụ 14: Cho phương trình : x4+mx3+2mx2+mx+1 =0
Tìm m để phương trình có nghiệm
Ví dụ 15: Cho phương trình : x 3 6 x (x 3)(6 x) m