BD HSG_Chuyên đề 26: Dựng hình

Phân tích :Giả sử bài toán đã giải xong,và ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu của đề toán .Phân tích hình đó theo hướng phát hiện một bộ phận của hình hội đủ các điều kiện để

Chuyên đề 26 :

BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

• Nói đến dựng hình phải nhớ là dựng bằng thước và compa.

• Ta đã học những phép dựng hình cơ bản sau:

 Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước

 Dựng một góc bằng một góc cho trước

 Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước ,dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước

 Dựng tia phân giác của một góc cho trước

 Qua một điểm cho trước ,dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước

 Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng cho trước ,dựng đường thẳng song song với đường thẳng ấy

Ta đã vận dụng các phép dựng hình cơ bản để dựng tam giác biết ba cạnh ,hoặc biết hai cạnh và góc xen giữa,hoặc biết một cạnh và góc kề

Trong các bài toán dựng hình phức tạp hơn,ta phải tuân thủ các bước của phương pháp dựng hình như sau:

− Bước 1 :Phân tích hình.

buộc không.Từ đó suy ra bài toán có mấy nghiệm hình

Thí dụ 1:Dựng tam giác ABC ,biết cạnh BC = a ,trung tuyến AM = m (a và m là những độ

dài cho trước ) và góc α giữa AM và đường cao AH.

1 Phân tích :Giả sử bài toán đã giải xong,và ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn

yêu cầu của đề toán Phân tích hình đó theo hướng phát hiện một bộ phận của hình hội

đủ các điều kiện để dựng được một cách chính xác.Đó là tam giác vuông AHM có

cạnh huyền AM = m,và ·HAM = α cho trước.Tam giác đó hoàn toàn xác định nên dựng được Sau khi dựng xong tam giác vuông AHM ,ta hoàn tất hình phải dựng chẳng khó khăn gì.Vậy ta có cách dựng như sau :

2 Cách dựng:

− Dựng đoạn thẳng AM có độ dài m cho trước (phép dựng cơ bản a)

− Dựng ·MAx = α cho trước (phép dựng cơ bản b).

− Từ M kẻ MH ⊥Ax tại H (phép dựng cơ bản e)

Bây giờ chỉ còn dựng hai đỉnh B,C Cạnh BC nằm trên đường thẳng MH,nên trên đường thẳng MH ,ta lấy ở hai phía khác nhau đối với điểm M hai điểmB,C sao cho MB = MC =

2

a

(phép dựng cơ bản c và a)

3 Chứng minh : Rõ ràng tam giác trên đây thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của đề toán :có

cạnh BC = a cho trước , trung tuyến AM = m cho trước , ·MAH = α cho trước

4 Biện luận : Lần lại từng khâu dựng hình , khâu nào cũng được thực hiện không có gì

trở ngại.Duy chỉ có góc α cho trước và yêu cầu đề ra là ·MAH của tam giác vuông

AMH phải bằng α ,thì rõ ràng α phải là góc nhọn Vậy với điều kiện này thì bài toán bao giờ cũng giải được và có một nghiệm hình

Thí dụ 2 :Dựng một tam giác ABC với trung tuyến AM có độ dài bằng một đoạn thẳng m

cho trước ,và các góc MAB và MAC lần lượt bằng những góc α và β cho trước

1 Phân tích :

− Giảsử bài toán đã giải xong và ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu bài toán Hình vẽ trên cho thấy không có một bộ phận nào của hình hội đủ điều kiện để dựng được

− Thí dụ:Tam giác AMC chỉ có hai yếu tố được biết là ·MAC =β và AM = m ,nên không thể dựng được.Đây là lúc nhớ lại được những bài toán tương tự rất quí giá

− Thí dụ ,nhớ bài :nếu kéo dài trung tuyến AM thêm một đoạn MD = AM ,thì

hai tam giác AMB và DMC bằng nhau (c,g,c) nên µA1=µD. Từ đó ,hình thành tam giác ACD với µA2= β, µD = µA1=α và AD = 2m Tam giác đó hội đủ điều kiện để dựng được Sau khi dựng được tam giác này ,ta sẽ dựng được điểm B,chẳng gì khó khăn

2 Cách dựng:

− Dựng đoạn thẳng AD = 2m

− Dựng hai góc kề cạnh đó là ·DAC = β và ·ADC = α

,hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Sau đó ta vẽ

trung tuyến CA của tam giác ACD và kéo dài thêm

một đoạn MB =MC ,từ đó xác định đỉnh B của tam

giác ABC cần dựng

3 Chứng minh :Theo cách dựng này ,rõ ràng tam giác AMB và tam giác DMC bằng

nhau(c,g,c).Từ đó AM =

2

AD

= m , µA1= µD = α , µA2= β.Cho nên ,tam giác ABC dựng được thoả mãn đầy đủ các yêu cầu đề bài

4 Biện luận :Trên đây ta nói hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Thực ra là chúng chỉ

giao nhau nếu α + β < 2v Do đó bài toán luôn giải được và có một nghiệm hình

Thí dụ 3: Cho một góc xOy và một điểm M ở bên trong góc ấy Dựng một đoạn thẳng AB

sao cho A∈Ox , B∈Oy và M là trung điểm của AB

1 Phân tích :Giả sử bài toán giải xong và ta đã dựng được đoạn thẳng AB thoả mãn yêu

cầu của đề bài là A ∈Ox, B ∈Oy và M là trung điểm của AB

Nếu kéo dài OM thêm đoạn MD = OM thì

∆AMO = ∆BMD(c,g,c) ⇒ µO1= µD Từ đó ,

DB P Ox Ngược lại, nếu từ D kẻ DB POx

(B ∈Oy ,rồi BM đến cắt Oxtại A thì ∆AMO =∆BMD (g,c,g) với ¶M 1= ¶M 2 (đối

đỉnh) , ¶M 1= µD (so le trong ,DB POx) và MD =OM (do dựng ),từ đó AM = MB.

2 Cách dựng :Kéo dài OM thêm đoạn MD= OM ,rồi từ D kẻ đường thẳng song với

Ox ,cắt Oy tại B.Tiếp đến kẻ BM cho đến cắt Ox tại A thì M là trung điểm của AB

3 Chứng minh: ∆AMO và ∆BMD có :

¶M 1= ¶M 2 (đối đỉnh)

MO = MD (cách xác` định điểmD)

µO1= ·MDB (so le trong –DB P Ox)

Do đó :∆AMO = ∆BMD (g,c.g) ⇒ AM = MD

4.Biện luận : Bài toán luôn có một nghiệm

Phụ chú :Bài toán có thể phân tích cách khác :

Kẻø MNPOx (N∈Oy) thì MN=

2

OA

.Ngược lại, nếu kẻ MNPOx(N∈Oy),và lấy điểm A trên Ox sao cho

OA = 2MN,rồi kẻ AM đến cắt Oy tại B thì có AM

=MB.Quả vậy ,gọi B là trung điểm của OA⇒OP = PA

⇒PMPON.Vậy BM phải đi qua trung điểm của AB,tức

AM = MB

Qua phân tích này ta thấy rõ cách dựng và chứng minh Bài toán luôn có một nghiệm

Thí dụ 4 :Cho một góc xOy và hai điểm A,B Dựng một điểm cách đều hai cạnh Ox,Oy và

cách đều hai điểm A,B

1 Phân tích :

Giả sử bài toán đã giải xong và ta đã

dựng được điểm M cách đều hai cạnh

Ox, Oy và cách đều hai điểm A,B ,nghĩa

là có MH = MK (MH⊥Ox,H∈Ox, MK

⊥Oy,K∈Oy) và MA=MB

Vậy M vưà thuộc tia phân giác Ot của

xOy, vừa thuộc đường trung trực d của

AB

nên M là giao điểm của Ot và d

2 Cách dựng :

Dựng tia phân giác Ot của góc xOy và đường trung trực d của AB ,d cắt Ot tại M.

M là điểm cần dựng

3.Chứng minh :

M∈Ot nên MH = MK

M∈d nên MA = MB.

4.Biện luận :

a d cắt Ot nếu AB không vuông góc với Ot Bài toán có một nghiệm hình

b Nếu AB ⊥ Ot và OA≠OB thì Ot P d :Bài toán vô nghiệm

c Nếu AB⊥Ot và OA = OB thì d ≡ Ot Bài toán có vô số nghiệm,nghĩa là bất kỳ điểm nào của Ot cũng vừa cách đều hai cạnh Ox và Oy,vừa cách đều A và B

Thí dụ 5 :Cho một góc nhọn xOy và một điểm A trên Oy.Tìm một điểm M trên đoạn OA sao

cho nếu kẻ MP = MA

1 Phân tích :Giả sử bài toán đã giải xong và ta đã dựng được điểm M theo yêu

cầu của đề bài

Kẻ PNPAM và PN =

AM thì AN P NP ,

Có nghĩa là AN ⊥Ox (1)

Mặt khác PN = AM = OP

nên tam giác OPN cân :

µO1= µN1

Mà µO2 = µN1(góc so le

trong-PNPOy)

Nên µO1= µO2.

Điều đó có nghĩa là N nằm

trên tia phân giác của góc xOy

Theo (1) thì N nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox hạ từ A.Vậy N là giao điểm của đường thẳng đó với tia phân giác của góc xOy Vị trí N hoàn toàn xác định ,do đó dựng được

2 Cách dựng :Kẻ tia phân giác Ot của góc xOy và từ A ,kẻ đường thẳng vuông

góc với Ox , cắt Ot tại N Từ N kẻ NP POy ,cắt Ox tại P Từ P kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, cắt Oy tại điểm N cần dựng

3 Chứng minh :NP POy nên µN 1= µO2 (so le trong )

Mà Ot là tia phân giác : µO1= µO2.

Từ đó : µO1= µN1⇒ Tam giác OPN cân tại P : OP = PN

MP và AN cùng vuông góc với Ox nên MPP AN

Do đó: PN = AM (đoạn thẳng song song bị chắn bởi hai đường thẳng song song).(2)

Từ (1),(2) suy ra: OP = AM

4 Biện luận : Góc xOy nhọn nên tia phân giác Ot cắt đường thẳng kẻ từ A

vuông góc với Ox tại một điểm N duy nhất.Do đó bài toán có một nghiệm hình

BÀI TẬP

Bài 1:Cho tam giác ABC vuông cân, cạnh huyền BC = 2a không đổi Gọi H là trung điểm

của BC

1 Hãy dựng điểm M trên đoạn AH sao cho khoảng cách từ M đến BC bằng tổng khoảng cách đến AB và AC

2 Tính theo a độ dài của HM tương ứng

HD: 1/ Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB.

1 Phân tích :Giả sử đã dựng được M thuộc AH

mà khoảng cách từ M đến BC bằng tổng khoảng

cách từ M đến AB và AC

Ta cĩ N∈AP ⇒ MH = MK + ML =MN.

⇒ ∆MNH cân tại M ⇔ ·MNH = ·MHN ⇔

·MHN = ·PHN.

2 Cách dựng :+Dựng điểm P là đối xứng của điểm H qua AB.

+Dựng phân giác HN của ∆AHB.

+DỰng NMP PH , M∈ AH thì ta cĩ M là điểm cần dựng

4 Biện luận:BaØi tốn cĩ một nghiệm hình

2/Đặt MH = x.TA cĩ : AH = AM + MH

⇒MA = a – x

MH = 2MK ⇔ x = 2 (a – x)

2

2 ⇔x =

2

1 2

a

+ ⇔x = a(2- 2).

Bài 2: Dựng một tam giác ,biết hai gĩc và một đường phân giác

Biết hai gĩc của một tam giác tức là biết cả gĩc thứ ba ,nên cho biết đường phân giác thuộc gĩc nào cũng vậy thơi.Do vậy ta sẽ dựng tam giác ABC,biết gĩc B bằngβ,gĩc

C bằng γ và đường phân giác BD bằng một đoạn thẳng a cho trước

yêu cầu của đề bài Ta hãy tìm khâu” đột phá’tức là tìm một tam giác hội đủ các điềåu kiện để dựng được.Dễ dàng phát hiện được tam giác BDA cĩ BD =a ,

·ABD = 2

B

= 2

β

và ·BDA =2

B

+ C = 2 β +γ

2 Cách dựng :

− Trước hết dựng một góc ·xBy =

β.

− Dựng tia phân giác Bt của góc

đó.Trên tia Bt dựng đoạn BD = a

− Từ D dựng đường thẳng song

song với By cắt Bx tại E.Dựng góc ·EDv =γ .

− Cạnh Dv cắt Bx tại A và tia đối

của tia Dv cắt By tại C

β (so le trong )

Vậy ·BDA = ·BDE + ·EDA = 2

β + γ Từ đó suy ra µC = γ . Vậy tam giác ABC đã dựng có µB = β , µC = γ và tia phân giác BD = a

4.Biện luận :bài toán luôn có nghiệm hình nếu β + γ < 2v

Bài 3 :Dựng tam giác cân ABC (AB = AC ),biết chu vi bằng 2p và chiều cao AH=h

1 Phân tích :Giả sử bài toán đã giải xong và ta dựng được tam giác ABC theo yêu cầu đề

bài

Nếu trên tia đối của tia CB ta dựng đoạn thẳng CD = AC ,và trên tia đối của tia BC dựng đoạn thẳng BE = AB thì được đoạn DE = 2p,và đường cao AH=h là dựng được Sau khi dựng được tam giác cân DAE ,ta xác định vị trí hai đỉnh B và C chẳng khó khăn gì ,bằng cách dựng đường trung trực của AE và AD

2 Cách dựng :Dựng đoạn thẳng DE = 2p.Dựng đường trung trực d của DE ,vuông góc với

DE tại H.Dựng điểm A trên d sao cho AH = h Dựng đường trung trực của AE và AD lần lượt cắt DE tại đỉnh B và C cần dựng

3 Chứng minh : RoÕ ràng AB = BE , AC = CD nên tam giác ABE và ACD là tam giác cân.

·ABC = 2 µE , ·ACB = 2µD Mà tam giác AED là tam giác cân(AE = AD) nên µE = µD

.TưØ đĩ ·ABC = ·ACB ,và tam giác ABC là tam giác cân với đường cao AH = h MaËt

khác , chu vi tam giác ABC = AB +AC +BC =EB + BC + CD = 2p Vậy là tam giác cânABC đã dựng đáp ứng các yêu cầu của đề bài

4 Biện luận :

Bài tốn luơn cĩ một nghiệm hình

1 Phân tích :Giả sử bài tốn đã giải xong và ta đã dựng được tam giác ABC theo yêu cầu

đề bài

Nếu trên tia đối của tia BC ta dựng đoạn thẳng BE = AB , và trên tia đối của tia CB dựng đoạn thẳng CD = AC thì ta được đoạn thẳng DE = 2p Hai tam giác ABE và ACD là tam giác cân nên: µE = 12 µB = 2

β

và µD = 12 µC = 2

γ .Vậy là tam giác ADE hội đủ các điều kiện

để dựng được

β

và gĩc µD =2

γ ,hai cạnh EA

và DA của hai gĩc E và D cắt nhau tại A Dựng đường trung trực của AE và AD , cắt

DE tại B và C cần dựng

của AE(AB = BE ) và C thuộc đường trung trực của AD (AC = CD ).Từ đĩ ,µB =2µE =

β và gĩc µC =2µD =γ .

Mặt khác , chu vi tam giác ABC = AB+AC+BC=BE+CD +BC = 2p

Vậy tam giác ABC thoả mãn yêu cầu đề bài

BÀI TẬP

Bài 1:Dựng tam giác ABC ,biết vị trí của ba điểm : Đỉnh A ,trung điểm M của cạnh AC và trọng

tâm G của tam giác

Hướng dẫn :Trường hợp dựng hình như thế nầy là rất thuận lợi ,vì ngay từ đầu đã cĩ tam giác

AGM làm cơsở để hồn tất hình cần dựng

huyền

Bài 3: Dựng một tam giác vuơng biết cạnh huyền và trung tuyến ứng với một cạnh gĩc vuơng Hướng dẫn :Chú ý rằng trong tam giác vuơng ,nếu biết cạnh huyền thì biết luơn trung tuyến ứng

với nĩ,thành ra biết hai trung tuyến và trọng tâm của tam giác

Baì 4: Dựng một tam giác biết một cạnh và hai trung tuyến xuất phát từ hai mút của cạnh đĩ Bài 5:Dựng tam giác ABC biết cạnh BC và trung tuyến AM,BN.

Hướng dẫn :Bài 4,5 biết hai trung tuyến tức là biết trọng tâm của tam giác

Bài 6:Dựng một tam giác biết độ dài ca ûba trung tuyến

Hướng dẫn :Kéo dài AD thêm một đoạn DI = GD =

1 3

AD

Chứng minh CI = BG Vậy tam giác CIG là hồn tồn

xác định,dựng được Từ đĩ hồn tất hình cần dựng

Bài 7: Dựng tam giác ABC biết giao điểm của ba đường

cao với đường trịn ngoại tiếp là D,E,F

Hướng dẫn : Giả sử tam giác ABC đã dựng xong ,gọi H là trực tâm của tam giác ABC ,khi

đĩ ,D,E,F là các điểm đối xứng của H qua BC, CA và AB

⇒DA,BE, CF là ba đường phân giác của tam giác DEF cắt (O) tại A,B,C.Tam giác ABC là tam giác cần dựng

BaØi 8: Dựng hình thoi ABCD ,biết E là điểm trên AC ,M là một điểm trên BD, E cách giao

điểm hai đường chéo là a ( cm ) và Q là điểm đối xứng của M qua cạnh AD

Hướng dẫn : Giả sử hình thoi ABCD đã dựng xong ,tâm O của nĩ là giao điểm của:-Đường trịn

đường kính ME (vì MOE=1v)

-Đường trịn (E; a) ,(vì EO = a (cm) )

Các đường thẳng EO và MO là những đường thẳng chứa các đường chéo AC và BD

A và D là giao điểm của EO và MO và đường trung trực của MQ Từ đó xác định C và B đối xứng với A và D qua O

Bài 9: Cho hai điểm A và B ở cùng một phía đối với đường thẳng xy Dựng một điểm M sao cho

từ M nhìn đoạn AB dưới một góc α cho trước và hai cạnh AM và MB chắn trên xy một đoạn thẳng có độ dài bằng m cho trước

Hướng dẫn : Giả sử bài toán đã dựng xong.

Vẽ BC P xy và BC = m

⇒ ·AEC = ¶M = α

⇒E ở trên cung chứa góc α dựng trên đoạn AC và E thuộc xy.

Lấy đoạn ED trên xy để có ED = m

M là giao điểm của AE và BD

và P/ là chân đường phân giác của góc A và cung chứa

góc 1350 dựng trên đoạn PP/

BÀi 11: Dựng tam giác cân biết chu vi và một góc của tam giác