BD HSG_Chuyên đề 34:Cực trị trong hình học

3/ Một số kiến thức thường sử dụng trung trong trị hình học: */ Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu: • Nhắc lại kiến thức: a/ Trong các đường xiên và đường vuông góc

Chuyên đề 34:

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC

GIỚI THIỆU VỀ CỰC TRỊ ( 2 tiết)

1/ Định nghĩa:

*/ Giá trị nhỏ nhất:

Nếu A m≥ thì A = m gọi là giá trị nhỏ nhất của A Kí hiệu: min A ( hoặc Amin )

*/ Giá trị lớn nhất:

Nếu A m≤ thì A = m gọi là giá trị lớn nhất của A Kí hiệu: max A ( hoặc Amax )

2/ Tính chất :

• A2≥ 0 ( với mọi A)

• m + A2 ≥ m

• m – A2 ≤ m

• Amin ⇔ ( )1

A max

• Amax ⇔ ( )1

A min

• Nếu A = m–x ( m là hằng số) thì Amin khi xmax và Amax khi xmin

• Nếu A = m+x ( m là hằng số) thì Amax khi xmax và Amin khi xmin

• Nếu A = m

x ( m là hằng số) thì Amin khi xmax và Amax khi xmin.

3/ Một số kiến thức thường sử dụng trung trong trị hình học:

*/ Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu:

• Nhắc lại kiến thức:

a/ Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất

b/ Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì:

- Đường xiên nào có hình chiếu nào lớn hơn thì lớn hơn

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại

•Ví dụ:

a/ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau.Tìm

giá trị nhỏ nhất của cotgB+cotgC

Hướng dẫn giải:

Vẽ AD và GH vuông góc với BC, gọi I là trung điểm của BC

Ta có: cotgB+cotgC = BD CD BC

AD+ AD= AD (1 ) .Tam giác ABC có G là trọng tâm ⇒ AI 3

GI = .Tam giác AID có GH // AD ⇒ AD AI

⇒ AD

⇒ AD = 3 GH (2)

.Tam giác vuông BGC có : BC = 2 GI (3)

Từ (1) ; (2) và (3) ⇒ cotgB+cotgC = 2

3

GI GH

Mà: GI ≥ GH ⇒ cotgB+cotgC ≥ 2 2

3 3

GI

GI = ⇒ min (cotgB+cotgC) = 2

3

b/ Ví dụ 2: Cho (O;R), và hai dây AB và AC vuông góc Trên tia AB lấy điểm D sao cho

BD = BA ( D≠A); trên tia AC lấy điểm E sao cho CE = CA ( E ≠A); vẽ đường kính AI

a/ Chứng minh: Ba điểm D, I, E thẳng hàng

b/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác BCED theo R

Hướng dẫn giải: a/ Vẽ đường kính AI.

Ta có: ·BAC = 900 ⇒BC là đường kính

CD là đường trung bình của tam giác ADE ⇒DE//BC (1)

OC là đường trung bình của tam giác AIE ⇒IE // OC ⇒ IE // BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ D, I, E thẳng hàng

b/ Ta có DE // BC ⇒ BCED là hình thang

Vẽ IH vuông góc với BC ⇒ SBCED = 1

2IH.( BC+DE ) ≤ 1

2OI.( BC+DE )

⇒ SBCED ≤ 1

2R.( 2R+4R ) = 3R

2

⇒ max SBCED = 3R2 (đạt khi BC ⊥AI )

*/Bất đẳng thức trong tam giác, trong đường tròn:

•Nhắc lại kiến thức:

+/Trong một tam giác mỗi cạnh của tam giác bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại

+/Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất

•Ví dụ:

a/Ví dụ 1: Cho Tam giác đều ABC nội tiếp (O:R) trên cung BC lấy điểm M, trên tia BM

lấy điểm D sao cho MD = MC Tìm giá trị lớn nhất của tổng P = MA + MB + MC

Hướng dẫn giải:

Ta có: P = MA +MB + MC = MA + MB + MD

= MA + MB + MD

= MA + BD (1)

Ta lại có: ·AMB AMC= · =600 ⇒CMD· =600

⇒ MCD đều ⇒ ACM = BCD ( c.g.c)

⇒ MA = BD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ P = 2MA ≤ 2 2R = 4R (vì MA là dây của (O))

⇒ max P = 4R, đạt khi MA là đường kính của (O)

b/Ví dụ 2: Cho (O;R) và một dây BC = R 3 cố định không đi qua O Điểm A di động trên cung lớn BC.Vẽ đường cao AH của tam giác ABC Gọi S là diện tích của phần hình giới hạn giữa cung nhỏ BC và hai dây AB, AC Tìm giá trị lớn nhất của S theo R

Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của BC⇒ OI ⊥BC

Trong BOI ⇒OI =

2

R

; ·BOI =60 ;0 ·BOC=1200

Gọi SVP là diện tích hình viên phân giới hạn bỡi

cung nhỏ BC và dây BC

Ta thấy: S = SVP + SABC

+/ SVP = SqBOC - SBOC

=

2

3

R

π - 2 3

4

R

(1) +/ SABC = 1

2AH BC

Mà: AH ≤ AI ≤ OA+OI = 3

2

R

⇒ SABC = 1

2.

3 2

R

.R 3=

2

3 3 4

R

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ max S = 2

3

R

π - 2 3

4

R

+

2

3 3 4

R

⇒ max S =

2

(2 3 3) 6

*/ Một số bất đẳng thức cơ bản:

+/Bất đẳng thức Cauchy:

• Dạng đơn giản: với a, b là hai số dương ta có:

2 2

2

ab

+ ≥

; 2

a b

ab

+ ≥

Dạng khác :

2

2 2 ( )

2

a b

a + ≥b + ; ( )2

2

a b

ab

+ ≥

• Dạng tổng quát: với các số a1; a2; a3; ………;an dương ta có:

1 2 3

1 2 3

n n

n

n

Dấu "=" xảy ra khi a1= a2= a3= ………= an

+/Bất đẳng thức Bunhiacopxki: cho n cặp số bất kỳ: a1;a2;a3; ………;an và b1;b2;b3;

……;bn

Ta có: (a b1 1+a b2 2+ +a b n n)2≤(a12+ +a22 +a n2)(b12+ +b22 +b n2)

Dấu "=" xảy ra khi tồn tại k sao cho a i =kb i (với i=1;2;3;……;n) hay 1 2

1 2

n n

a

a/ ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB = 6cm cố định và M là một điểm di động sao cho tam

giác MAB luôn nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác và K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MAB Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM

Hướng dẫn giải:

Hai tam giác BKM và HKA có:

·BMK =·HAK ⇒ BKM HKA

⇒ BK KM

⇒ BK.KA = KH.KM

Ta lại có: BK.KA ≤ ( )2 2

⇒KH.KM ≤ 2

4

AB

= 9

⇒ min (KM.KH) = 9

b/ Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R tâm O cố định Điểm A trên nửa

đường tròn Gọi H là hình chiếu vuông góc của Alên BC Gọi Đ và E là hai hình chiếu của H lân

AC và AB; xác định vị trí của A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất Tính giá trị lớn nhất theo R

Hướng dẫn giải:

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

SADHE = AD AE

2

=

2 2

⇒ SADHE ≤ 2 2 2 2

⇒ max SADHE =

2

2

R

khi »AB AC= »

LUYỆN TẬP ( 4 tiết) Bài 1: Cho một hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng 1 Trên bốn cạnh hình vuông lần

lượt lấy bốn điểm M,N,P,Q Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ

Hướng dẫn giải:

Vẽ MM1;NN1; PP1; QQ1 cùng vuông góc với BD

Ta có:

MN ≥ MM1 + NN1 PQ ≥ PP1 + QQ1 NP ≥ N1P1 MQ ≥ M1Q1

⇒ Chu vi(MNPQ) = MN + NP + PQ + QM ≥ MM1 + NN1 + PP1 +

QQ1+ N1P1 + M1Q1

Các tam giác: MM1B ; NN1B; PP1D; QQ1D vuông cân

⇒ MM1 = M1B; NN1= N1B; PP1= P1D; QQ1= Q1D

⇒ Chu vi(MNPQ) ≥ M1B + N1B + P1D + Q1D + + N1P1 + M1Q1=2BD ⇒ Chu vi (MNPQ) ≥2

⇒ Giá trị nhỏ nhất của chu vi (MNPQ) = 2

Bài 2: Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 1, Dlà điểm bất kì trên BC Gọi r1 và r2 lần lượt

là bán` kính của đường tròn nội tiếp tam giácABD và tam giác ACD Xác định vị trí của điểm D để tích r1.r2 đạt giá trị lớn nhất.Tính giá trị đó

Hướng dẫn giải: Vẽ DE⊥AB Đặt BD = x ⇒ DC= 1 - x

BDE là nửa tam giác đều ⇒ BE =

2

x

; DE = 3

2

x

ADE ⇒ AD = 2

1

x − +x

Do SABD = 1 1

AB BD AD

⇒ 1

2

3

x r

=

+ + − +

Tương tự: 2 2

x r

−

=

− + − +

1 2

.(1 1) 1 ( )

= = − − + =  − − + 

⇒ 1 2 1.(1 3) 2 3

⇒Max r r = 21 2 3

2

− ; đại khi x = 1

2 ⇒ D là trung điểm của BC

Bài 3: Trong tất cả các tam giác có cùng chiều dài một cạnh là a và có cùng chiều cao tương ứng

với cạnh ấy là h, hãy tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp trong tam giác ấy là lớn nhất

Hướng dẫn giải: Ta có BC = a; AH = h không đổi ⇒ A∈d song song

với BC cách BC một đoạn bằng h và SABC =

2

ah

không đổi Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

⇒ SABC =

2

AB BC CA

⇒ 2S ABC

r

a AB CA

= + +

⇒ r lớn nhất khi AB + CA bé nhất.

Gọi D là điểm đối xứng của B qua d ⇒ AB = AD

⇒ AB + CA = AD + CA≥ DC ( không đổi)

⇒ min ( AB + CA) = DC , đạt khi A≡A1

Dễ thấy A1D = A1C ⇒ A1B = A1C

⇒ A1BC cân tại A1

⇒ r lơn nhất khi A ở vị trí sao cho ABC cân tại A

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có AB = c, BC = a, AC = b nọâi tiếp trong đường tròn tâm O

đường kính BC Lấy điểm P bất kì trên cung BC không chứa A, vẽ PK vuông góc với BC tại K, PL vuông góc với AC tại L, PM vuông góc với AB tại M Đặt PK = x, PL = y và PM = z Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: S a b c

= + + .

Hướng dẫn giải:

Trên BC lấy điểm E sao cho ·EPC BCA=· ⇒PEB PCA· =· ·PBE PAC=· ( cùng chắn »PC )

=> PBE : PAC

=> AC PL AC BE

Ta lại có:

·PAB PCE=· ( cùng chắn »PB )

·PBA PEC=· ( vì ·PEB PCA=· )

=> PBA : PEC

=> AB PM AB CE

Từ (1) và (2) => AC AB BE CE

+

=> AC AB BC

=> b c a

y+ =z x

Do đó: S a b c

= + + = 2a

x

2 4

a PO

≥ = ( vì x = PK≤ PO =

2

a

) Vậy: min S = 4

Bài 5: Cho (O;R) đường kính AB M là là một điểm di động trên đường tròn đó Vẽ (I) tiếp xúc

với (O) tại M và tiếp xúc với AB tai N Đường thẳng MN cắt (O) tại K; các đường thẳng AM và

BM lần lượt cắt (I) tại C và D Đường thẳng NC cắt KB tại P; đường thẳng ND cắt KA tại Q Xác định vị trí của điểm I sao cho chu vi tam giác NPQ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó

Hướng dẫn giải:

· 0

90

AMB= => CD là đường kính của (I) MID và MOB là hai tam giác cân => CD // AB

=> »NC=»ND

=> CMD vuông cân tại N => AQN và BPN là Các tam giác vuông cân

=> NPKQ là hình chữ nhật

Chu vi NPQ = NP + PQ + QN = PB + KN + KP

= KN + KB ≥ KO + KB = R + R 2

=> min Chu vi NPQ = (1R + 2), đạt khi N O≡ , khi

đó I là trung điểm của OE ( KE là đường kính (O) )

và ME⊥BC Xác định vị trí của M trên AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất Tính giá trị đó

theo a Hướng dẫn giải:

Đặt AE = x; BE = y ⇒ x+y = a

⇒ ME = AE = BF = x; MF = BE = CF = y

Ta có: S DEF =S ABCD−S DAE −S DCF −S BEF

= a2 -

2 2 2

− − =

2

2 2

a −xy

Mà: xy ≤ ( )2 2

⇒ max(xy) =

2

4

a

; đạt được khi

2

a

x= =y

⇒ min SDEF =

2

3 8

a

; đạt khi M là trung điểm của AC

Bài 7: Cho (O1; R1) và (O2; R2) tiếp xúc ngoài tại A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC ( B∈(O1) và C

∈(O2) ) ; tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC taị I

a/ Chứng minh: BC = 2 R R1 2

b/ Một (O;R) tiếp xúc với BC tại D và tiếp xúc ngoài với (O1) và (O2) Giả sử (O) cố định và (O1) và (O2) di động.Tìm giá trị nhỏ nhất của tích R1R2 theo R

Hướng dẫn giải:

a/ C/m: BC = 2 R R1 2

Dễ thấy: BC = 2 IA

O1I O2 vuông tại I

⇒ IA2 = O1A.O2A = R1.R2

⇒ BC = 2 R R1 2

b/ Tìm min R1.R2

Tương tự câu a ta có: BD = 2 R R ; DC = 1 2 RR2

Mà: BC = BD + DC

⇒ 2 R R = 1 2 2 R R + 1 2 RR2

⇒

1 2

1 2

1 1

2

⇒ R R1 2 ≥4R

⇒ 2

1 2 16

⇒ min R1.R2 = 16R2 (đạt khi R1= R2 = 4R)

Bài 8: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, O là điểm bất kì trong tam giác Gọi da, db,

dc lần lượt là khoảng cách từ O đến các cạnh BC, AC, AB Xác định vị trí của O để biểu thức

a b c

S

= + + đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2 SABC = ada + bdb + cdc

=>2 SABC (

a b c

d +d +d )= (ada + bdb + cdc).(

a b c

=>

a b c

ABC

1

2 S (ada + bdb + cdc).(

a b c

=>

a b c

d +d +d =

ABC

1

2 S [

2 2 2

( a b) ( b c) ( c a)

≥

ABC

1

2 S (a2+ + +b2 c2 2ab+2bc+2ca) =

ABC

1

2 S (a+b+c)2 (không đổi) ( vì a b 2

b a

Dấu “=” xảy ra khi da = db = dc ⇔ O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a; vẽ trung tuyến AD; M là một điểm di

động trên đoạn AD Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC Vẽ tia Bx vuông góc với AB cắt tia PD tại E Gọi H là hình chiếu của N trên PD

a/ Chứng minh ba điểm B, M, H thẳng hàng

b/ Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác AHB lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo a

Hướng dẫn giải:

a/ Dễ thấy AMPN là hình vuông và 5 điểm A,P,H,M,N cùng

thuộc đường tròn đường kính AM và PN

=> ·AHM =900 và ·AHN =·APN =·NHM =450(1) Tứ giác BNHE nội tiếp => ·NHP NEB= · Dễ thấy AD // NE => ·DAB ENB NEB=· = · =450(2)

Từ (1) và (2) => ·NHM =·NHB=450

=> B, M, H thẳng hàng

b/

2 2

=> max SAHB =

2

4

a

, đạt khi AH2 = HB2 ⇔AH = HB

⇔H ≡ D ≡ M

Bài 10: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O;r) Vẽ các tiếp tuyến của (O) song song với ba cạnh của

tam giác ABC Các tiếp tuyến nay tạo với các cạnh của tam giác ABC ba tam giác nhỏ có diện tích lần lượt là S1, S2,S3 Gọi S là diện tích tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2 3

S

+ +

Hướng dẫn giải:

Gọi BC = a, AC = b, AB = c, hai đường cao từ dỉnh A của tam giác ABC và tam giác AMN là

ha và h1,

AMN ABC ⇒ 1 ( )1 2

a

⇒ 1 2 2 2 2

( a ) (1 )

−

2

a

ah

S = =r p (với p =

2

a b c+ +

) ⇒ 2 ah a

r p

= (2)

Từ (1) và (2) ⇒ S1 (1 a)2

⇒ S1 1 a

Tương tự ta có: S2 1 b

S = − p , S3 1 c

+ +

⇒ 12 ( S1.1 S2.1 S2.1)2 (12 12 1 ).(2 S1 S2 S3)

( BĐT Bunhiacopxki)

⇒ S1 S2 S3

S

+ +

3

⇒ min (S1 S2 S3

S

+ +

) = 1 3 ( đạt khi S1 S2 S3

− = − = − ⇔a = b = c ⇔ ABC đều )