BD HSG_Chuyên đề 12:Dãy số và các bài toán về dãy số

TIẾT 1, 2DÙNG QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề Pn phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ n0 n0 ∈ ¥ , ta có thể sử dụ

CHUYÊN ĐỂ 12:

DÃY SỐ

VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

TIẾT 1, 2

DÙNG QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ

Phương pháp chứng minh quy nạp toán học:

Để chứng minh mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ n0 (n0 ∈ ¥ ), ta

có thể sử dụng phương pháp quy nạp Phương pháp quy nạp được thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 0.

• Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, bằng suy luận ta suy ra được mệnh đề cũng đúng với

n = k + 1 Từ đó kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n0

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi n ∈¥* ta có:

1/ 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)

1 2 3 n

6

+ + + + + + =

2/

2

1 2 3 n

2

+

+ + + + =  

Giải

1/

* Khi n = 1 thì ta có đẳng thức đúng vì 2 1(1 1)(2 1)

1

6

+ +

=

* Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: 2 2 2 2 k(k 1)(2k 1)

1 2 3 k

6

+ + + + + + =

Ta có: 2 2 2 2 ( )2 k(k 1)(2k 1) ( )2

6

+ +

(k 1) k 2k 1 6(k 1)

6 (k 1) k 2 (2k 3)

6

+  + + + 

=

=

Vậy đẳng thức đúng khi n = k + 1

Do đó đẳng thức đúng với mọi n ∈¥*

2/

* Khi n = 1 thì đẳng thức đúng vì

3 1 (1 1) 1

4

+

=

* Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥1 tức là:

3 3 3 3 k (k 1)

1 2 3 k

4

+ + + + + =

Vậy

4

+ + + + + + + = + +

( )

2 2

2 2

2

2 2

(k 1) k 4(k 1)

4 (k 1) k 4(k 1)

4 (k 1) k 4

+  + + 

=

+  + + 

= +

=

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1

Do đó đẳng thức đúng với mọi n ∈¥*

Bài tập 2:

Chứng minh rằng với mọi n ∈¥* ta có: n(n 1)(n 2)

1.2 2.3 3.4 n(n 1)

3

+ + + + + + + =

Giải

* Khi n = 1, VT = 1.2 = 2

VP = 1(1 1)(1 2)

2 3

+ + =

Vậy đẳng thức đúng với n = 1

* Giả sử đẳng thức đúng với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là:

n(n 1)(n 2) 1.2 2.3 3.4 n(n 1)

3

+ + + + + + + =

Khi đó n = k + 1, ta có:

k(k 1)(k 2) 1.2 2.3 3.4 k(k 1) (k 1)(k 2) (k 1)(k 2)

3

+ +

(k 1)(k 2)(k 3)

3

+ + +

=

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1

Suy ra đẳng thức đúng với mọi n ∈¥*

Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi n ∈¥* ta có: 1 22 33 nn 3 2n 3n

+ + + + + = −

Giải

* Khi n = 1, VT = 1

3

VP = 3 2.1 3 1

4 4.3 3

+

Vậy (1) đúng với n = 1

* Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là: 1 22 33 kk 3 2k 3k

+ + + + + = −

Khi đó, với n = k + 1, ta có: 1 22 33 kk k 1 3 2k 3 k 1k 1 k k 1

+ + + + + = − +

k 1

k 1

k 1

3 (2k 3).3 4(k 1)

3 2k 5

4 4.3

3 2(k 1) 3

4 4.3

+

+

+

+ − +

= −

+

= −

+ +

= −

Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1

Suy ra đẳng thức (1) đúng với mọi n ∈¥*

Bài tập 4: Chứng minh rằng với mọi n ∈¥*, ta có:

 −  −  −   − ÷=

Giải

* Khi n = 1, VT = 1 - 4

3

1 = −

VP = 1 2

3

1 2+ = −

−

Vậy (1) đúng với n = 1

* Giả sử (1) đúng với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là:

 −  −  −   − ÷=

     − 

Khi đó, với n = k + 1, ta có:

2

 −  −  −   − ÷ − ÷=

2

4k 4k 3 2k 1 2k 1 2k 3 2k 1 2k 1 2k 1 2k 3

2k 1

1 2(k 1)

1 2(k 1)

+ −

=

=

+

=

− + + +

=

− +

Vậy (1) đúng với n = k + 1

Suy ra (1) đúng với mọi n ∈¥*

Bài tập 5: Cho a ≥ 0 Cmr: *

n

∀ ∈¥ , ta có: ( )n n(n 1) 2

2

−

Giải

* Khi n = 1, VT = 1 + a

VP = 1 + a Vậy (1) đúng với n = 1

* Giả sử (1) đúng với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là: ( )k k(k 1) 2

2

− + ≥ + +

Khi n = k + 1, ta có: ( )k 1 2

1 a+ + = + + +(1 a) (1 a) k(k 1) 2

(1 a) 1 ka a

2

−

≥ +  + + 

2

2

k(k 1) k(k 1)

k(k 1)

2 (k 1) (k 1) 1

2

+

≥ + + +

+ + −

= + + +

Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1

Suy ra (1) đúng với mọi n nguyên dương

Bài tập 6: Chứng minh ∀ ∈n ¥*, ta có: 1 1 1

1+ 2 + + n ≤ + − − (1)

Giải

* Khi n = 1 thì (1) 1

1 1 1 2 1 n

* Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: k

= + + + ≤ + + −

Ta chứng minh đẳng thức (1) đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy do giả thiết quy nạp, nếu ta chứng minh được 1

k 1

+ − − + ≤ + + + −

thì (2) sẽ đúng

k 1

+ − − + ≤ + + + −

+

k 1

+

2

1

k 1

k k 1 k 3k 2

k k 1 2 k k k 3k 2

2 k k 2k 1

4(k k) 4k 4k 1

0 1

+

⇔ + + ≤ + +

⇔ + + + + ≤ + +

⇔ + ≤ +

⇔ + ≤ + +

⇔ ≤

Vậy (1) đúng khi n = k + 1

Suy ra (1) đúng *

n

∀ ∈¥

TIẾT 3, 4, 5

II XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

Bài tập 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi: 1

n 1 n

u 3

u + 2u , (n 1)

=





Giải

Ta có: u1 = 3

Cho n = 1: u2 = 2u1 = 2.3

Cho n = 2: u3 = 2u2 = 2.2.3 = 22.3

Cho n = 3: u4 = 2u3 = 2.2.2.3 = 23.3

Dự đoán: un = 2n-1.3

Chứng minh bằng quy nạp

Giả sử uk = 3.2k-1, ta chứng minh: uk+1= 3.2k

Ta có: uk+1 = 2uk = 2.( 3.2k-1) = 3.2k

Vậy un = 3.2n-1 ∀ ≥n 1

Bài tập 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 1.4; 4.7; 7.10; 10.13; …

Giải

u1 = 1.4 = (3 - 2)(3 + 1)

u2 = 4.7 = (3.2 - 2)(3.2 + 1)

u3 = 7.10 = (3.3 - 2)(3.3 + 1)

…

Vậy un = (3n - 2)(3n + 1)

Thật vậy với un = (3n - 2)(3n + 1)

Ta có: u1 = 1.4; u2 = 4.7; u3 = 7.10; u4 = 10.13

Ta tìm được các số hạng của dãy số

Bài tập 3: Cho dãy số (un) với un = 2 1

n +3n 2+ và dãy số (Vn) xác định dãy số Vn được cho bởi:

1 1

n 1 n n 1

v u

v + v u +

=



 − =



Giải

Ta có: v1 = u1

v2 = v1 + v2 = u1 + u2

v3 = v2 + v3 = u1 + u2 + u3

…

vn = u1 + u2 + u3 + … + un

n 3n 2 (n 1)(n 2) n 1 n 2

+ + + +  + + 

Do đó vn = u1 + u2 + u3 + … + un

2 n 2

n 1 2(n 2)

= − ÷ + − ÷ + − ÷+ + − ÷

+ +

= −

+ +

= +

Vậy n

n 1 v

2(n 2)

+

= +

Bài tập 4: Xét dãy Fibonacci 1 2

n n 1 n 2

u u 1

u u − u − (n 3, n )

= =



Chứng minh rằng: un =

n 1 n 1

(*)

5

 +   −  

 ÷ − ÷ 

    

Giải

• Khi n = 1 thì u1 =

1

5

 +   −  

 ÷ − ÷=

    

Vậy (*) đúng khi n = 1

• Giả sử (*) đúng với n = k, tức là: uk =

k 2 k 2

5

 +   −  

 ÷ − ÷ 

    

Ta chứng minh (*) đúng khi n = k + 1 tức là chứng minh:

Un+1 =

k 2 k 2

5

 +   −  

 ÷ − ÷ 

    

(**)

Xét uk+1 = uk + uk-1

5

5

5

 +   −    +   −  

=  ÷ − ÷ +  ÷ − ÷

         

 +   −   −   − 

=  ÷  + −÷  ÷  + ÷

       

 +  +  −  − 

 +   +  −

=  ÷  ÷ −

   

k 2 k 2

5

 +   −  

=  ÷ − ÷

    

Vậy (**) đúng

Kết luận: un =

n 1 n 1

5

 +   −  

 ÷ − ÷ 

    

Bài tập 5: Cho dãy số (un) xác định như sau:

a/ u1 = 2, un = un – 1, ∀ ∈n ¥, n 2≥ Tìm un theo n

b/ u1 = 2, un+1= 1

3un, ∀ ∈n ¥ * Tìm un theo n

Giải

a/ u1 = 2

Ta có un = un-1 +3 ⇔un - un-1 = 3, ∀ ∈n ¥, n 2≥

Do đó: un = (un - un-1) + (un-1 - un-2) + … + (u2 - u1) + u1

= 3 + 3 + … + 3 + u1

= (n – 1)3 + u1

= 3n – 3 + 2

= 3n – 1 Vậy un = 3n - 1

b/ u1 = 2

Ta có: un+1=

1

3un

⇔

un+

n 1 n

+ =

, ∀ ∈n ¥ *

Do đó: n n n 1 2 1

u u

u u2 u

−

−

=

1

n 1 1

n 1

1 1 1 u

3 3 3 1 u 3 2 3

−

−

=

 

=  ÷ 

=

Vậy n n 12

u

3 −

=

Bài tập 6: Cho dãy số (un) xác định bởi:

1

u 3

1

u 2 u n 2, 3,

2

+

=





Giải

• Ta có: u1 = 3

+ = + = −

+ = + = = −

+ = + = = −

Dự đoán: n 1n 1

u 4

2 −

= − (*),∀ ∈n ¥ *

Ta chứng minh bằng quy nạp

• n = 1: 1 10

2

= − = : đúng

• Giả sử (*) đúng với n = k tức là k 1k 1

u 4

2 −

= −

Ta chứng minh (*) đúng khi n = k + 1, tức là: k 1 1k

2

+ = −

Thật vậy: k 1 1k 1 1k 1

+ = − = +  − − 

= + − = −

Vậy (*) đúng khi n = k + 1

Vậy n 1n 1

u 4

2 −

= − ∀ ∈n ¥ *

Bài tập 7: Cho dãy số (un) xác định như sau: −

−

= =





+



2

n 1 n

n 2

u u 1

u , n 3,4, (1)

u Chứng minh: un = 4un-1- un-2, suy ra tất cả mọi số hạng của (un) là số nguyên

Giải

Chứng minh: un = 4un-1- un-2, ∀ =n 3,4, (*)

• n = 3: u3 = 4u2 – u1 = 4 – 1= 3

Và từ (1): = 2 + = + =

2 3

1

u 2 1 2

Vậy (*) đúng khi n = 3

• Giả sử (*) đúng khi n = k ≥3, tức là: uk = 4uk-1 – uk-2

Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh: uk+1 = 4uk – uk-1

Ta có: uk+1 = 4uk – uk-1 −

−

+

⇔ k2 = −

k 1

u 2 4u u u

⇔ 2+ = − − −2

u 2 4u u u (1) Thay uk = 4uk-1 – uk-2 vào (1) ta được: (4uk-1 – uk-2)2 + 2 = 4uk-1(4uk-1 – uk-2) - uk-12

⇔ 16uk-12 - 8uk-1uk-2 + 2 = 16uk-12 - 4uk-1uk-2 - uk-12

⇔…

⇔ uk = 4uk-1 – uk-2 đúng theo giả thiết quy nạp

Vậy uk+1 = 4uk – uk-1 tức (*) đúng khi n = k + 1

Kết luận: un = 4un-1- un-2, ∀ =n 3,4,

Do u1 =u2 = ∈1 ¢

Và do un = 4un-1- un-2∈¢

Nên tất cả các số hạng của (un) là các số nguyên

TIẾT 6, 7

III CÁC DẠNG TOÁN KHÁC VỀ DÃY SỐ

1 Dạng toán phần nguyên của dãy số:

Bài tập 1: Tìm phần nguyên của dãy số: 31 31 31 3 1

= + + + +

Giải

Ta có:

3

 +  = + + +

2 2

1 2 1 , n *

 

> + + = + ÷ ∈

2 3

 

⇒ + > + ÷

 

2 3 2 3

3

2

3

1 3

2 n

− + > +

>  + − 

Tương tự

Ta có:

3

 −  = − + −

2 2

1 2 1 , n *

 

> − + = − ÷ ∈

(vì 42 8 13 12 13

3n −27 n > 3n −3n ≥ )

Ta có:

2 3

 

− > − ÷

 

2

3

3 2 3 2 3

3

1 3

n (n 1) 2

n

⇔ − > − ÷

 

⇔ <  − − 

⇒  + −  < <  − − 

Do đó: M > 3 ( 3 2 3 2) (3 2 3 2) (3 2 3 2)

5 4 6 5 1000001 1000001

(3 2 3 2)

1000000000000 9 10000 3 14997

14996 M 14997

⇒ < <

Do đó [M] = 14996

Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số ( )n

2 3

 + 

  là một số lẻ.

Giải

Ta có số ( )n

2+ 3 có thể biếu diễn dưới dạng an +bn 3, trong đó an, bn là các số nguyên Mặt khác ta có an2−3bn2 =1 (1)

Thật vậy (chứng minh quy nạp)

• Khi n = 1 thì (1) đúng

• Giả sử (1) đúng với n = k , tức là ( )n

n n

2+ 3 =a +b 3 với an→2+3bn2 =1

n n

2+ 3 + = a +b 3 2+ 3

(2an 3bn) (an 2bn) 3

Đặt an+1= 2an + 3bn và bn+1 = an + 2bn

an+12 – 3bn+12 = (2an + 3bn)2 – 3(an + 2bn)2

= an2 - 3bn

= 1 Vậy an2 - 3bn = 1 với mọi số tự nhiên n

Khi đó: ( )n

 +  = +  = + 

n 1 n

2

= +  

= + − 

n n

n

a (a 1) 2a 1

= + −

= −

Vậy ( )n

n n

 +  = + 

Bài tập 3: Tìm phần nguyên của số A = 1 1 1

n 1 n 1+ + +3n 1

+ + + trong đó n là một số nguyên dương,

n > 1

Giải

3n 3n 1 2n 2n+ < + =n

+

Do đó A < 2, mặt khác ta có:

A =

= 1

⇒ A > 1

Từ đó ta thu được 1 < A < 2

Vậy [A] = 1

Bài tập 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có: x 1 [ ] [ ]2x x

2

Giải

Đặt n = [x], α ={ }x , ta có: x = n + α

Nếu 0 1

2

≤ α < thì x 1 [ ]x

2

  bởi vì

1 1 2

α + <

Ta có: 2x = 2n + 2α và 0 2≤ α <1 nên [2x] = 2n

Do đó: [2x] – [x] = 2n – n = n = [x] = x 1

2

Nếu 1 1

2≤ α < thì x 1 [ ]x 1 n 1

2

Vì 1 2≤ α <2 nên [ ] [2x = 2n 2+ α =] 2n 1+

Do đó: [2x] – [x] = 2n + 1 – n = n + 1 = x 1

2

Vậy với mọi số thực x, ta có: x 1 [ ] [ ]2x x

2

2 Dạng toán về tìm công thức truy hồi:

Bài tập 1: Cho dãy số: ( ) (n )n

n

2 3

tính un+2 theo un+1và un

Giải

Đặt an = ( )n

2 3

+

, bn = ( )n

2 3

−

Khi đó: un = an - bn

+

+

= + − −

2

2

n 1 n

7 4 3 a 7 4 3 b

8 4 3 a 8 4 3 b (a b ) 4u + u

= −

Bài tập tương tự: Cho dãy số ( ) (n )n

n

2 3

hồi tính un+2 theo un+1 và un.