Dai so 11-Chuong I-Luong giac

Nếu hàm số cho cĩ hoặc cĩ thể đưa về chỉ một trong hai giá trị lượng giác sin hoặc cos ta áp dụng : 2.. Ta cũng cĩ thể khảo sát hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất... Trong cùng một

Trang 1

Đại số 11-Chương I

Chương 1

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác:

cos sin tan ' cot



 Nhận xét:

 a, 1 cosa1;  1 sin 1

 tana xác định khi cos 0   , 

2

 cota xác định khi sina0ak,kZ

2 Hệ thức cơ bản:

sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1

3 Cung liên kết:

cos(a) cosa sin( a)sina sin cos



sin(a) sina cos( a) cosa cos sin



tan(a) tana tan( a) tana tan cot



cot(a) cota cot( a) cota cot tan



cosin

O

cotang

M

Q

a

T

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trang 2

4 Công thức cộng:

5 Công thức nhân :

a) Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a cos asin a 2 cos a  1 1 2 sin a

2 2

2 cot

1 tan

a a



 b) Công thức hạ bậc: c) Công thức nhân ba:

6.Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan

2

a

:

2

a

t  a  k thì:

2



sin(a) sina sin cos



cos(a) cosa cos sin



tan( a) tan a tan cot



cot( a) cot a cot tan



3 3

3 2

sin 3 3sin 4 sin cos3 4 cos 3 cos

3tan tan tan 3

1 3 tan

a







sin(a b )sin cosa bsin cosb a

sin(a b )sin cosa bsin cosb a

cos(a b ) cos cosa bsin sina b

cos(a b ) cos cosa bsin sina b

tan tan tan( )

1 tan tan

a b



 tan tan tan( )

1 tan tan

a b





2 2 2

1 cos2 sin

2

1 cos 2 cos

2

1 cos 2 tan

1 cos2

a a

a















Trang 3

1

t a t



 ;

2 2

1 cos

1

t a

t





1

t a

t





7 Công thức biến đổi :

a) Công thức biến đổi tổng thành tích:

sin sin 2 sin cos

a b a b

a b  

cos cos 2 cos cos

a b a b

a b  

sin( ) tan tan

cos cos

a b



sin( ) tan tan

cos cos

a b



sin( ) cot cot

sin sin

a b



sin( ) cot cot

sin

b a

a sinb



a a  a  a 

a  a    a        a   

b) Công thức biến đổi tích thành tổng:

1

2 1

2

VẤN ĐỀ 1 : TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Căn thức f x xác định  f x 0

2 Phân thức :  

 

g x

f x xác định  f x 0

3 Phân thức và căn thức :  

 

g x

f x xác định  f x 0

4 y = sin(f(x)) xác định  f x( ) xác định

5 y = cos(f(x)) xác định  f x( ) xác định

6 y = tan(f(x)) xác định cosf x 0 f x  ( )



7 y = cot(f(x)) xác định sin x 0 f x  k (kZ)

Trang 4

Bài 1 Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:

1

x y

x



b/ ycos x c/ tan

6

y  x 



d/ 



cot

cos 1

x y

x e/

1 tanx 1

VẤN ĐỀ 2 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Nếu hàm số cho cĩ ( hoặc cĩ thể đưa về ) chỉ một trong hai giá trị lượng giác sin hoặc cos ta áp dụng :

2 Nếu hàm số cĩ dạng : f x AcosxBsinx C ta làm như sau :

i Xác định A, B Tình A2B2

ii   2 2

2A 2cos 2B 2sin 2C 2

(Đặt nhân tử chung)

iii Đặt

cos

sin

A

B















cos cos

C





Quay về dạng trước

3 Ta cũng cĩ thể khảo sát hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a/ y = 2 sin 1

4

x



2

1 4cos 3

x

2sin 2cos 2

d/ y 4 sin2x4 sinx3 e/ y = sinx + cosx f/ y = 3 sin 2xcos 2x

i/ y = sin

5 cos

x x

sin cos 3

x x

2 cos sin 4

x x

Bài 3 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx

Trang 5

Đại số 11-Chương I g/ y = sin tan

sin cot



3 3

sin

x x



i/ y = tan x

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.Phương trình sinx = sin

2

   





b) sinx  a Điều kiện có nghiệm : 1  a1



arcsin 2

c) sinu sinv  sinusin(v)

2

u  v  u   v



2

u  v  u v 

 f) Một số cơng thức thu gọn :

2



2 Phương trình cosx = cos

   



2

b/cosx  a Điều kiện có nghiệm : 1  a1





arccos 2

x a k

c) cosu cosv  cosucos( v)

2

u  v  u   v



2

u  v u  v

 f) Một số cơng thức thu gọn :

2



0

π-α

α a sin

cos

-α M'

M

0

α a sin

cos

Trang 6

3 Phương trình tanx = tan

a) tanx tan  xk (kZ)

b) tanx  a  x  arctana k (kZ)

c) tanu tanv tanutan(v)

2

u v  u  v



2

u  v u   v



4 Phương trình cotx = cot

a) cotx  cot  xk (kZ)

b) cotx  a x arccota k  (kZ)

5.Một số điều cần chú ý:

a) Nếu đơn vị là độ thì ta đổi thành 0

180 Trong cùng một cơng thức nghiệm khơng được dùng đồng thời hai đơn vị

b) Khi giải phương trình cĩ chứa các hàm số tang, cotang, cĩ mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

 Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( )

2

x k kZ



 Phương trình chứa cotx thì điều kiện: xk (kZ)

Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

2

xk kZ

 Phương trình cĩ mẫu số:

 sinx 0  xk (kZ)

2

x   x k kZ



2

x   xk kZ

2

x   x k  kZ

c) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng một trong

các cách sau để kiểm tra điều kiện:

1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện

2 Dùng đường trịn lượng giác

3 Giải các phương trình vơ định

Bài 4 Giải các phương trình:



2) tan 2 x 1 3 3)  0 3

cot 3 10

3

x  

6

x



3

x



Trang 7

3

x



x



x



2

x   12)1 2 cos 3 3 cos   x0

1) sin 3 x1sinx2 2) tan 2 x1cotx0 3) cos3xsin 2x

4) cot2x  1 5)cos 1

2

x  6) sin2 cos2

4



8) sin2 1

2

x  9) sin 3 sin 0

x

x   



10) sinx1200cos2x0 11) cos2xcos2 x 1 0 12) cos2x6sin2x 2 0

Bài 6 Tìm nghiệm của phương trình trong các khoảng đã cho :

1)sin 2 1 , 0

2

x  x 2)cos 5 3,

2

x    x

tan 2x15  1, 180 x90 4)cot 3 1 , 0

2 3

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Nếu đặt: tsin2x hoặc t sinx thì điều kiện: 0 t1

Bài 7 Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x + 5sinx + 1 = 0 2) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x

3) tan2x1 3 tan x 30 4) 4 cos3x3 2 sin 2x8 cosx

5) tan2x + cot2x = 2 6) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0

7) 4 sin2x2 3 1 sin  x 30 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

1) cos2x + 9cosx + 5 = 0 2) 3

cos x + tan

2x = 9 3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) 4sin23x + 2 3 1 cos3  x 3 = 4

5) 9 – 13cosx +

2

4

2

1

sin x = cotx + 3

asin x b x c  t = sinx   1 t 1

2

a xb x c  t = cosx   1 t 1

2

x k kZ



2

a x b x c  t = cotx xk (k Z )

Trang 8

Đại số 11-Chương I 7)

2

1

cos x + 3cot

2x = 5 8) cos2x – 3cosx = 4 cos2

2

x

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)

1) Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

(1) 

phương trình (1) trở thành :

sin sinx cos cosx c

a b



a b



3) (2)  xk2 (kZ)

 Lưu ý:

Nhận dạng phương trình :  Phương trình chứa sin, cos

 Góc (cung) của sin, cos là giống nhau,  Số mũ của sin , cos là 1

 Trước khi giải phương trình ta kiểm tra điều kiện có nghiệm a2b2 c2(tổng bình phương hệ số của sin và cos  hệ số tự do bình phương)

Ví dụ : Giải phương trình sinx – 6cosx = 1 (1)

Giải



sinx – 6cosx 6

sinx – cos

 

















1 sin

6

37 (*) 1 sin sinx+cos cos

cos

37

6 cos

37 6

6

37

x

k Z

Trang 9

Đại số 11-Chương I Nhận xét :

 Để ý ở (*)   6    6   6

 

   

    



   







 



6

1 sin sinx+cos cos

37

2

x x

Ví dụ : Giải phương trình cosx  3 sinx  2 2 

Giải

 2 1cos 3sin 2(**)

2

7 2 12

x

k Z





   



   







  



Nhận xét:

 Nếu ở bước (**) ta đưa về phương trình theo sin nên lưu ý dấu

 2 1cos 3sin 2(**)

2

2 sin

x



 Ở bước (**) ta còn có thể biến đổi như sau :

 2 1cos 3sin 2(**)

sin

x





 2 1cos 3sin 2(**)

2

2 cos

x



      



Trang 10

1) cosx 3 sinx 2 2) sin cos 6

2

x x 3) 3 cos3xsin 3x 2 4) 3sinx – 2cosx = 2 5) 3sinx + 2cosx = 2 6) 3sin6x -4cos6x = 5

1) 3 sin 2 sin 2 1

2

x   x



3

x  x



6

x x  x 



4) 4sin2xcos2x 1 0 5) 2sin2xcos2x 1 0 6) 2 sin2x 3 sin 2x3

1) 2sin 2x 3cos2x  13 sin14x

2) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)

Bài 12 Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 cĩ nghiệm

Bài 13 Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vơ nghiệm

IV PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d (1)

 Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 cĩ thoả mãn hay khơng?

Lưu ý: cosx = 0 x  k sin2x 1

2

 Khi cosx  0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x  ta được: 0

a x b x c d  x

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t :

(a d t )2b t c d    0

 Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc

.sin 2 ( ).cos2 2

b x c a x d a c

      (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x )

1) 3sin2x8sin cosx x4 cos2x0

2) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0

3) 5sin2 x2 3 sin cosx x3 cos2x5

4) sin2 sin 2 2 cos2 1

2

5) 4 sin2x3 3 sin cosx x2 cos2x4

6) 3cos4 x4 sin2xcos2xsin4x0

Trang 11

V PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

4

t  x  x  x  t 

  

1 2sin cos sin cos ( 1)

2

 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t  2 Suy ra x

Lưu ý dấu :

x x  x  x 

x x  x   x 

1) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 2) 2 cos xsinx3sin 2x2

3) 3 sin xcosx2 sin 2x 3 4) sin 2x4 cos xsinx4

5) 2 sin 2x3 3 sin xcosx 8 0 6) 3 sin xcosx2 sin 2x 3

4

x

 8) cos2x 3sin2x 1 sin2x

VI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3

2 3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos4x + 2sin6x = cos2x

5) sin xcos xsin x 



2 6) sin23xsin24xsin25xsin26x 7) sin22xsin24xsin26x 8) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2

1) sin6x + cos6x = 1

8x + cos8x = 1

8 3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin4xcos4x sin x 3

2

5) sin3xcos3x 1 sin cosx x 6) sin8xcos8x1cos x

8

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0

Trang 12

Đại số 11-Chương I 3) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x

4) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0

5) sin7x + cos22x = sin22x + sinx

6) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x

7)1cosxcos2x2cosx2sin2x0

8) sin9 x6cosx3sin2xcox x2 8

9) 2cos2xsin2xcosxcos2xsinx2cosxsinx

10) sin2xtanxcos2xcotxsin2x 1 tanxcotx

11) sin3xcosxcos3xsinx 2

8

1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x

3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sinx + sin2x + sin3x = 0

1) sin sin 7x x sin 3 sin 5x x

2) sin 5 cos3x xsin 9 cos 7x x

3) cosxcos3x – sin2xsin6x – sin4xsin6x =0



2)

cos sin sin

2

sin

x

2 4

1

3 4) sin2x2sinx 2 2sinx1

sin





x

2

1

cos  xsin  x

3 7)

cos sin sin cos 

x x x x

1 8) sinxcosx  1 sin2 x

9) sinxcosx sinxcosx2

10) sin3 2x5cos2x2cos2x4sin2x0

11) 3sin2x2cos2x2 3 1 cos2x 4 3

12) cos cos 



4

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	294,56 KB