Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh giỏi trung học phổ thông qua dạy chuyên đề bất đẳng thức đại số trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤCLÊ THỊ NGA PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ T

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ NGA

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ

TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Hà Nội - 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ NGA

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ

TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại họcGiáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang côngtác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tôitrong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Đặc biệt tôi xin cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy đã giao đềtài và là người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo tôi trong quátrình nghiên cứu, thực hiện đề tài

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các

em học sinh trường Trung học phổ thông chuyên Vĩnh Phúc, phường LiênBảo, thành phố Vĩnh Yên, tỉnh Vĩnh Phúc đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiệnthuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, đặcbiệt là các bạn học viên trong lớp K10 Cao học ngành lý luận và phươngpháp dạy học bộ môn toán học, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốcgia Hà Nội đã luôn sát cánh và động viên tôi trong suốt quá trình học tập

Mục lục

1.1 Một số khái niệm 6

1.1.1 Năng lực 6

1.1.2 Năng lực toán học 6

1.1.2 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề 8

1.2 Dạy học phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề 8 1.2.1 Vấn đề, tình huống gợi vấn đề 8

1.2.2 Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 10 1.2.3 Các hình thức và cấp độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 11

1.2.4 Quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 12

1.3 Vai trò của chủ đề bất đẳng thức đại số trong tam giác trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi THPT 13

1.4 Mối liên hệ giữa dạy học bất đẳng thức đại số trong tam giác và sự phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề 13

1.5 Thực trạng dạy học phát triển năng lực phát hiện và giải

quyết vấn đề cho học sinh giỏi THPT qua chuyên đề bất

đẳng thức đại số trong tam giác 14

1.5.1 Học sinh 14

1.5.2 Giáo viên 15

1.5.3 Nhà trường 15

1.6 Thuận lợi và khó khăn khi dạy chuyên đề bất đẳng thức đại số trong tam giác với mục đích phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh giỏi THPT 16

1.6.1 Thuận lợi 16

1.6.2 Khó khăn 16

Kết luận Chương 1 17

Chương 2 ĐỀ XUẤT BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ QUA DẠY BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ TRONG TAM GIÁC 18 2.1 Cơ sở để xây dựng các biện pháp 18

2.1.1 Cơ sở triết học 18

2.1.2 Cơ sở tâm lý học 18

2.1.3 Cơ sở giáo dục học 18

2.1.4 Các cấp độ dạy học theo sự phát triển năng lực 18

2.2 Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản 19

2.2.1 Các định lý cơ bản trong tam giác 19

2.2.2 Một số bất đẳng thức cổ điển 21

2.3 Biện pháp 2: Thiết kế những bài toán bất đẳng thức đại số trong tam giác tạo thành tình huống có vấn đề 29

2.3.1 Các cách tạo tình huống có vấn đề 29

2.3.2 Một số bài toán minh họa 29

2.4 Biện pháp 3: Xây dựng hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải 37

2.4.1 Các bài toán liên quan đến độ dài cạnh, chu vi, diện tích tam giác 37

2.4.2 Các bài toán liên quan đến yếu tố bên trong tam giác:

đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác 48

2.4.3 Các bài toán liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp 57

2.5 Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh khai thác các bài toán ở các tạp chí toán học, các kì thi học sinh giỏi trong và ngoài nước 66

Kết luận Chương 2 79

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 80 3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 80

3.2 Tổ chức thực nghiệm 80

3.3 Nội dung thực nghiệm 80

3.4 Phân tích, đánh giá kết quả thực nghiệm 106

Kết luận Chương 3 113

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

• 4ABC: tam giác ABC

• A, B, C: 3 đỉnh của tam giác ABC hay số đo các góc trong tam giác

ABC

• a, b, c: độ dài các cạnh của tam giác ABC, a = BC, b = AC, c = AB

• ĐC: Đối chứng

• GV: Giáo viên

• ha, hb, hc: các đường cao của tam giácABC xuất phát từ đỉnhA, B, C

của tam giác ABC

2 : nửa chu vi tam giác ABC

• R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

• r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

• ra, rb, rc: bán kính đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C của tam giác

ABC

• S: diện tích tam giác ABC

• TN: Thực nghiệm

• THPT: Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Bảng phân phối tần số, tần suất và tần suất tích lũy

kết quả của bài kiểm tra trước thực nghiệm 107Bảng 3.2 Bảng tổng hợp phân loại kết quả của bài kiểm tra

trước thực nghiệm 108Bảng 3.3 Bảng tổng hợp các tham số đặc trưng của bài kiểm tra

trước thực nghiệm 109Bảng 3.4 Bảng phân phối tần số kết quả của bài kiểm tra sau

thực nghiệm 109Bảng 3.5 Bảng phân phối tần suất kết quả của bài kiểm tra

sau thực nghiệm 109Bảng 3.6 Bảng phân phối tần suất tích lũy kết quả của bài kiểm

tra sau thực nghiệm 110Bảng 3.7 Bảng tổng hợp phân loại kết quả của bài kiểm tra

sau thực nghiệm 111Bảng 3.8 Bảng tổng hợp các tham số đặc trưng của bài kiểm tra

sau thực nghiệm 111

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ tần suất số học sinh đạt điểm Xi

trở xuống bài kiểm tra trước thực nghiệm 107Biểu đồ 3.2 Biểu đồ đường lũy tích phần trăm số học sinh đạt điểm

Xi trở xuống bài kiểm trước thực nghiệm 108Biểu đồ 3.3 Biểu đồ phân loại kết quả học tập của học sinh bài

kiểm tra trước thực nghiệm 108Biểu đồ 3.4 Biểu đồ tần suất số học sinh đạt điểm

Xi trở xuống bài kiểm tra sau thực nghiệm 110Biểu đồ 3.5 Biểu đồ đường lũy tích phần trăm số học sinh đạt điểm

Xi trở xuống bài kiểm tra sau thực nghiệm 110Biểu đồ 3.6 Biểu đồ phân loại kết quả học tập của học sinh bài

kiểm tra sau thực nghiệm 111

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức trên toàn thếgiới và sự hội nhập quốc tế sâu rộng hơn của nước ta đã đặt ra nhữngyêu cầu, nhiệm vụ, thách thức mới cho ngành Giáo dục nói riêng và củatoàn Đảng, toàn dân nói chung Đó là “đào tạo con người Việt Nam pháttriển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp,trung thành với lý tưởng độc lập và xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhâncách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu sự nghiệp xâydựng và bảo vệ Tổ quốc, đào tạo những con người lao động tự chủ, năngđộng sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra” Dovậy mà ngành Giáo dục phải có định hướng phát triển, có tầm nhìn chiếnlược, ổn định lâu dài cùng những đổi mới về phương pháp, hình thức tổchức, quản lí giáo dục và đào tạo cho phù hợp Đi đầu là những đổi mới

về phương pháp dạy học

Luật Giáo dục sửa đổi ban hành ngày 27/6/2005 cũng đã nêu rõ “Phươngpháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động,sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vàothực tiễn; tác động đến tình cảm; đem lại niềm vui hứng thú học tập chohọc sinh”

Để thực hiện mục tiêu giáo dục này, các trường đã từng bước áp dụngcác phương pháp dạy học hiện đại, dạy học phát triển năng lực Mỗi họcsinh cần trang bị cho mình một vài năng lực cần thiết, phát hiện và giảiquyết vấn đề là một trong những năng lực đó Phương pháp dạy học “Pháthiện và giải quyết vấn đề” là một phương pháp dạy học tích cực Nó pháthuy tính tích cực, chủ động tư duy của học sinh Phương pháp dạy họcnày phù hợp với tư tưởng hiện đại về đổi mới mục tiêu, phù hợp với yêucầu đổi mới của giáo dục nước nhà là xây dựng những con người biết đặt

và giải quyết vấn đề trong cuộc sống

Trong chương trình toán Trung học phổ thông, bất đẳng thức nói chung

và bất đẳng thức trong tam giác nói riêng có mặt trong nhiều kì thi quan

trọng như tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp, các kì thi Olympictrong và ngoài nước Nhưng đó cũng là một phân môn khó đòi hỏi sự

tư duy, sáng tạo, nhạy bén khiến đa số học sinh ngại học bất đẳng thức.Như vậy sẽ hình thành khoảng trống trong kiến thức toán học của các emhọc sinh

Để cải thiện tình hình nói trên, giáo viên cần phải có những biện phápdạy học tích cực mang lại hứng thú cho học sinh, tạo động lực thúc đẩycác em nhận biết vấn đề và từng bước giải quyết vấn đề đó

Với những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Phát triển năng lựcphát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh giỏi trung học phổ thông quadạy chuyên đề Bất đẳng thức đại số trong tam giác” làm luận văn tốtnghiệp Thông qua đề tài này giúp bản thân trau dồi thêm kiến thức, kĩnăng dạy học đặc biệt là dạy học tích cực; giúp các em học sinh thấy hứngthú và chủ động và tự tin hơn với dạng toán bất đẳng thức này

2 Lịch sử nghiên cứu

Thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” xuất phát từ thuật ngữ “Orixtic” haycòn gọi là phương pháp phát kiến, tìm tòi Nó có tên gọi là “Dạy họcphát hiện và giải quyết vấn đề”, xuất hiện vào năm 1970 tại trường Đạihọc Hamilton–Canađa, sau đó phát triển nhanh chóng tại trường Đại họcMaastricht–Hà Lan Dạy học GQVĐ đã được nhiều nhà khoa học nghiêncứu như A Jahecđơ, B E Raicôp, Xcatlin, Machiuskin, Lecne, Tuynhiên, dạy học giải quyết vấn đề đã không phải dễ dàng được chấp nhận

và sử dụng trong thực tiễn dạy học ở các nhà trường, mà đã phải trải quanhiều thử thách, thực nghiệm trong gần suốt một thế kỷ 20 để đến gầnđây mới được sử dụng thực sự ở nhiều trường đại học ở Hoa Kỳ và trởthành một yếu tố chủ đạo trong cải cách giáo dục ở một số nước khác

Ở trong nước, Phạm Tất Đắc, Nguyễn Bá Kim, Lê Khánh Bằng lànhững người đi đầu nghiên cứu về phương pháp dạy học giải quyết vấn

đề Sau này còn có nhiều các nhà giáo dục học cũng viết nhiều công trình,sách báo về phương pháp này cũng như các ứng dụng cụ thể vào từng mônhọc, từng cấp học

Trong nước có rất nhiều các khóa luận tốt nghiệp, luận văn thạc sĩ,luận văn tiến sĩ về "phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề"

hay về " bất đẳng thức trong tam giác" nhưng chưa có ai kết hợp giữaphát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và bất đẳng thức đại

số trong tam giác nên tôi quyết định làm luận văn với đề tài "Phát triểnnăng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh giỏi trung học phổthông qua dạy chuyên đề Bất đẳng thức đại số trong tam giác"

3 Mục tiêu nghiên cứu

Phân tích mối liên hệ giữa dạy học bất đẳng thức đại số trong tam giác

và năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh, từ đó đề xuấtmột số biện pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinhkhá, giỏi môn Toán cấp Trung học phổ thông qua dạy học bất đẳng thứcđại số trong tam giác

4 Giả thuyết nghiên cứu

Xây dựng được bài soạn với hệ thống bài tập tốt, hướng giải hay và

áp dụng được những phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển nănglực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh giỏi THPT qua dạy họcchuyên đề Bất đẳng thức đại số trong tam giác

5 Khách thể nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu

6 Giới hạn nghiên cứu, địa bàn thực nghiệm

6.1 Giới hạn nghiên cứu

Chương trình Toán học Trung học phổ thông

6.2 Địa bàn thực nghiệm

Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc, phường Liên Bảo, thành phố VĩnhYên, tỉnh Vĩnh Phúc

7 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận của đề tài Trong phần này, đề tài sẽ hệ thốnghóa cơ sở lý luận về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, về Bất đẳngthức đại số trong tam giác và mối liên hệ giữa chúng

Tìm hiểu tình hình dạy học chuyên đề Bất đẳng thức đại số trong tamgiác ở trường Trung học phổ thông chuyên Vĩnh Phúc và một số trườngTrung học phổ thông khác Đánh giá thực trạng về dạy học bất đẳng thứcđại số trong tam giác, phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến năng lực pháthiện và giải quyết vấn đề của học sinh giỏi môn Toán cấp Trung học phổthông.

Đề xuất các giải pháp nhằm phát triển năng lực phát hiện và giải quyếtvấn đề cho học sinh giỏi môn Toán cấp THPT trong dạy học bất đẳngthức đại số trong tam giác

Xây dựng một số giáo án thực nghiệm, tiến hành thực nghiệm nhằmđánh giá tính khả thi của các biện pháp trên

8 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và phân tích, tổng hợp, hệ thốnghóa các nguồn tư liệu (sách, tài liệu, các bài tập tiểu luận, khóa luận, luậnvăn, bài báo cáo khoa học, ) để xây dựng cơ sở cho đề tài nghiên cứu.Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra, quan sát thông qua tiếnhành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp có kinhnghiệm; tìm hiểu thực tiễn giảng dạy Bất đẳng thức đại số trong tam giác

Sử dụng phiếu hỏi, trò chuyện với học sinh nhằm đánh giá thực trạng

và hiệu quả của việc sử dụng phương pháp mới với việc phát triển nănglực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh Trung học phổ thông.Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một sốgiáo án soạn theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệuquả của đề tài

Phương pháp thống kê toán học: Sử dụng các phần mềm thống kê toánhọc, trong đó chủ yếu là phần mềm SPSS để xử lí số liệu điều tra khảosát

9 Đóng góp của luận văn

Luận văn đã tổng quan một cách rõ ràng cơ sở lý luận và những vấn đề

cơ bản về phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Luận văn cũng đề xuất được một số biện pháp nhằm phát triển nănglực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh giỏi trung học phổ thôngqua dạy chuyên đề bất đẳng thức đại số trong tam giác

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luậnvăn dự kiến được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Đề xuất các biện pháp phát triển năng lực phát hiện và giảiquyết vấn đề cho học sinh giỏi qua dạy chuyên đề bất đẳng thức đại sốtrong tam giác

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

và chắc chắn một hay một số dạng hoạt động nào đó”.

Theo tâm lý học: “Năng lực là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cánhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất địnhnhằm đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt ”

Như vậy có thể hiểu: “Năng lực là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảmbảo thực hiện được một dạng hoạt động nào đó” Năng lực gồm có nănglực chung và năng lực đặc thù Năng lực chung là năng lực cơ bản cầnthiết mà bất cứ người nào cũng cần phải có để sống và học tập, làm việc.Năng lực đặc thù thể hiện trên từng lĩnh vực khác nhau như năng lực đặcthù môn học là năng lực được hình thành và phát triển do đặc điểm củamôn học đó tạo nên

Năng lực toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua vàgắn liền với các hoạt động của học sinh nhằm giải quyết các nhiệm vụ họctập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vậndụng định lý, giải bài toán,

Trong khuôn khổ của PISA, OECD định nghĩa về năng lực toán học làkhả năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán họctrong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng

và hình thành niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng những

nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ýthức, có tính xây dựng, và có hiểu biết [3] Do đó, cần quan tâm đến nănglực của học sinh được hình thành qua việc học toán nhằm đáp ứng vớinhững thách thức của đời sống hiện tại và tương lai; quan tâm đến nănglực phân tích, lập luận và trao đổi thông tin một cách có hiệu quả thôngqua việc đặt ra, hình thành và giải quyết các vấn đề toán học trong nhữngtình huống và hoàn cảnh khác nhau.

Bởi vậy, năng lực toán học không phải là một hệ thống kiến thức toánhọc phổ thông truyền thống mà điều được nhấn mạnh ở đây là kiến thứctoán học được sử dụng như thế nào để tạo ra ở học sinh khả năng suy xét,lập luận và hiểu được ý nghĩa của kiến thức toán học Theo V.A.Krutetxkicấu trúc năng lực toán gồm 4 thành phần

1 Khả năng thu nhận thông tin toán

2 Khả năng chế biến thông tin toán

3 Khả năng lưu trữ thông tin toán

4 Khuynh hướng chung về toán

Theo quan điểm của UNESCO thì năng lực toán học gồm 10 yếu tố cơbản đó là:

1 Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán vàcác khái niệm

2 Năng lực tính nhanh, cẩn thận và sử dụng chính xác các kí hiệu

3 Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu

4 Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu

5 Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh

6 Năng lực xây dựng một chứng minh

7 Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học

8 Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học

9 Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng

10 Năng lực tìm cách khái quát hóa toán học

1.1.3 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Năng lực phát hiện vấn đề trong môn toán là năng lực hoạt động trítuệ của học sinh khi đứng trước những vấn đề, những bài toán cụ thể, cómục tiêu và tính hướng đích cao đòi hỏi phải huy động khả năng tư duytích cực và sáng tạo nhằm tìm ra lời giải cho vấn đề

Năng lực giải quyết vấn đề là tổ hợp các năng lực thể hiện ở các kĩ năng(thao tác tư duy và hoạt động) trong hoạt động học tập nhằm giải quyết

có hiệu quả những nhiệm vụ của bài toán

1.2 Dạy học phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đềPhương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một phươngpháp dạy học mà ở đó người giáo viên tạo ra cho học sinh những tìnhhuống có vấn đề và học sinh sẽ chủ động, tích cực suy nghĩ để giải quyếtvấn đề Sự tích cực hoạt động tư duy của học sinh là một yếu tố quantrọng quyết định sự phát triển của bản thân người học Do đó người thầycần phải bồi dưỡng và phát huy được cao độ năng lực tư duy tích cực củatrò trong quá trình dạy học

1.2.1 Vấn đề, tình huống gợi vấn đề

Có nhiều cách hiểu thuật ngữ “vấn đề” nhưng hiểu theo nghĩa dùngtrong giáo dục thì vấn đề là bài toán mà chủ thể chưa biết ít nhất mộtphần tử của khách thể, mong muốn tìm phần tử chưa biết đó dựa vàonhững phần tử biết trước nhưng chưa có trong tay thuật giải

Nói theo một cách khác, vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống cácmệnh đề, câu hỏi, yêu cầu hành động thỏa mãn các điều kiện:

• Câu hỏi còn chưa được giải đáp (yêu cầu hành động còn chưa đượcthực hiện)

• Chưa có một phương pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câuhỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra

Vấn đề mang một ý nghĩa khách quan như vậy thật ra ít xuất hiện trongdạy học toán cũng như trong dạy học nói chung Để có thể vận dụng một

cách có hiệu quả khái niệm vấn đề trong giáo dục, người ta thường hiểukhái niệm này như sau:

Một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi hoặcyêu cầu hành động thỏa mãn các điều kiện sau:

• Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện đượchành động đó

• Học sinh chưa được học một quy tắc có tính chất thuật toán nào đểgiải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra

Có nhiều cách phát biểu về tình huống gợi vấn đề (tình huống có vấnđề) của các nhà giáo dục học như: I.IA.Lecne, M.I.Makhmutov, giáo sưNguyễn Bá Kim, Mặc dù có những khác biệt nhưng tất cả đều thốngnhất tình huống có vấn đề là tình huống thỏa mãn được cả ba điều kiệnsau:

1 Tồn tại một vấn đề: Đây là vấn đề trung tâm của tình huống Tìnhhuống phải chứa đựng một mâu thuẫn, đó là mâu thuẫn giữa trình độkiến thức sẵn có của bản thân với yêu cầu lĩnh hội kiến thức, kĩ năngmới Hay nói cách khác, tình huống có vấn đề là tình huống mà họcsinh phải nhận ra được có ít nhất một phần tử nào đó của khách thể

mà học sinh chưa biết và cũng chưa có thuật giải nào để tìm phần tửđó

2 Gợi nhu cầu nhận thức: Tình huống có vấn đề là tình huống phảichứa đựng một vấn đề tạo ra sự ngạc nhiên, hứng thú, hấp dẫn, thuhút sự chú ý của học sinh Hay nói cách khác là phải gợi nhu cầunhận thức ở học sinh, làm cho học sinh cảm thấy cần thiết phải giảiquyết Chẳng hạn tình huống phải bộc lộ sự khiếm khuyết về kiếnthức, kĩ năng để họ thấy cần thiết phải chiếm lĩnh tri thức để lấpđầy những khoảng trống đó nhằm tự hoàn thiện hiểu biết của mìnhbằng cách tham gia giải quyết vấn đề nảy sinh Nếu tình huống đưa

ra nhưng không khơi dậy ở học sinh nhu cầu phải tìm hiểu, họ cảmthấy xa lạ và không liên quan gì đến mình, hoặc học sinh cảm thấykhông có nhu cầu giải quyết vấn đề đó thì cũng chưa được gọi là mộttình huống có vấn đề

3 Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân: Tình huống có vấn đề phảiphù hợp với trình độ hiểu biết của học sinh, nó không được vượt quá

xa tầm hiểu biết của học sinh vì nếu như vậy thì học sinh sẽ thấyhoang mang, bế tắc, không sẵn sàng tham gia giải quyết vấn đề; cònnếu tình huống quá dễ thì học sinh không cần suy nghĩ mà cũng cóthể giải quyết được vấn đề thì yêu cầu của giờ học không được thỏamãn Tình huống cần khơi dậy ở học sinh cảm nghĩ, niềm tin là tuy

họ chưa có ngay lời giải nhưng bằng kiến thức sẵn có của chính mìnhcùng với sự tích cực suy nghĩ thì sẽ có hi vọng giải quyết được vấn đề

đó Với suy nghĩ đó học sinh sẽ tận lực huy động tri thức và kĩ năngsẵn có liên quan đến vấn đề đó của bản thân để giải quyết vấn đề đặt

ra Qua đó tạo cho học sinh niềm tin vào khả năng của bản thân, đâychính là yêu cầu quan trọng của tình huống gợi vấn đề

1.2.2 Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đềTrong phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề người thầykhông đọc bài giảng cho học sinh viết, giải thích hoặc nỗ lực chuyển tảikiến thức đến cho học sinh mà là người tạo ra tình huống gợi vấn đề chohọc sinh, thiết lập các tình huống và cấu trúc cần thiết cho học sinh, điềukhiển học sinh phát hiện ra vấn đề dựa trên hoạt động tự giác, tích cực,chủ động sáng tạo của chính bản thân người học Người thầy là người xácnhận kiến thức, thể chế hóa kiến thức cho học sinh Thông qua đó họcsinh tiếp nhận được tri thức mới, rèn luyện kĩ năng và đạt được nhữngmục tiêu học tập khác Phương pháp dạy học này mang tính chất kháchẳn về nguyên tắc so với phương pháp dạy học giải thích – minh họa.Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có ba đặc điểm sau đây:

1 Học sinh được đặt vào tình huống có vấn đề do thầy giáo tạo ra chứkhông phải là tiếp thu kiến thức một cách thụ động do người khác ápđặt lên mình

2 Học sinh hoạt động tích cực, tự giác, sáng tạo, chủ động, tận lực huyđộng tất cả các kiến thức mà mình biết để hi vọng giải quyết đượcvấn đề đặt ra chứ không phải là tiếp thu kiến thức một cách thụđộng theo thói quen “thầy giảng, trò ghi”, “thầy đọc, trò chép” Thông

qua những hoạt động và những yêu cầu của người giáo viên, học sinhtham gia xây dựng bài toán, giải quyết bài toán đó Học sinh là chủthể sáng tạo ra hoạt động.

3 Mục tiêu dạy học không phải là chỉ làm cho học sinh nắm được trithức mới tìm được trong quá trình tham gia vào giải quyết vấn đề màcòn giúp cho học sinh nắm được phương pháp đi tới tri thức đó vàbiết cách vận dụng phương pháp đó vào các quá trình như vậy Biếtkhai thác từ một bài toán đã biết để giải quyết bài toán mới, biết vậndụng quy trình cho những bài toán cùng dạng

Như vậy: Bản chất của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là quá trìnhnhận thức độc đáo của học sinh trong đó dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn củagiáo viên, học sinh nắm được tri thức và cách thức hoạt động trí tuệ mớithông qua quá trình tự lực giải quyết các tình huống có vấn đề

1.2.3 Các hình thức và cấp độ dạy học phát hiện và giải quyếtvấn đề

Dựa theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình phát hiện vàgiải quyết vấn đề người ta phân chia dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề thành bốn hình thức như sau:

• Thứ nhất: Giáo viên nêu vấn đề và trình bày cách giải quyết còn họcsinh thì chú ý vào làm mẫu của giáo viên Đây là mức độ mà tính độclập học sinh thấp hơn hết so với các mức độ bên dưới Hình thức nàyđược sử dụng nhiều hơn ở các lớp thuộc cấp tiểu học

• Thứ hai: Giáo viên nêu vấn đề và dẫn dắt học sinh giải quyết vấn đề.học sinh giải quyết vấn đề dựa vào sự hướng dẫn, gợi ý của giáo viên.Với hình thức thoạt đầu này ta thấy phương pháp dạy học phát hiện

và giải quyết vấn đề gần giống như dạy học theo phương pháp vấnđáp Tuy nhiên hai cách dạy này không thể đồng nhất với nhau Điềuquan trọng của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

là đưa ra được tình huống gợi vấn đề - đây chính là điểm khác biệtcủa phương pháp này so với phương pháp dạy học vấn đáp

• Thứ ba: Giáo viên cung cấp thông tin để tạo ra tình huống còn học

sinh phát hiện ra vấn đề và tự lực huy động kiến thức, đề xuất cácgiải pháp giải quyết vấn đề.

• Thứ tư: Học sinh tự phát hiện vấn đề từ một tình huống thực và độclập lựa chọn các giải pháp, đề xuất các giả thuyết và xây dựng kếhoạch, thực hiện kế hoạch giải quyết vấn đề Đây là hình thức dạyhọc mà tính độc lập của học sinh được phát huy cao độ nhất

1.2.4 Quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Qua việc nghiên cứu những đặc điểm của phương pháp dạy học pháthiện và giải quyết vấn đề ta thấy hạt nhân của phương pháp dạy học này làviệc điều khiển học sinh tự thực hiện hoặc hòa nhập vào quá trình nghiêncứu vấn đề Quá trình này được chia làm bốn bước sau:

Bước 1: Phát hiện và thâm nhập vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy giáotạo ra

- Giải thích và chính xác hóa tình huống

- Phát biểu vấn đề và đặt ra mục tiêu giải quyết vấn đề

Bước 2: Tìm giải pháp - Tìm cách giải quyết vấn đề Việc này thườngđược thực hiện theo trình tự sau:

- Phân tích vấn đề, tức là làm rõ mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cầntìm

- Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, thường sử dụng các cách:quy lạ về quen, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, suy xuôi, suyngược tiến, suy ngược lùi, Việc thực hiện hướng giải quyết vấn đề có thểđược thực hiện nhiều lần đến khi tìm được hướng đi hợp lí

- Hình thành được một giải pháp

- Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp

Có thể tìm thêm nhiều giải pháp khác để so sánh xem giải pháp nào làhợp lí nhất

Bước 3: Trình bày giải pháp

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất vấn đề mới có liên quan

1.3 Vai trò của chủ đề bất đẳng thức đại số trong tam giác trongcông tác bồi dưỡng học sinh giỏi THPT

Cùng với việc đảm bảo chất lượng đại trà thì công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi cũng là một nhiệm vụ quan trọng trong việc nâng cao chất lượnggiáo dục, đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho Quốc gia Đặcbiệt ở các trường năng khiếu và các trường chuyên thì nhiệm vụ phát triểnmũi nhọn này càng được chú trọng hơn

Toán học là một ngành khoa học cơ bản, có vai trò quan trọng trongđời sống và không thể thiếu trong hầu hết các ngành khoa học khác Cóthể coi Toán học là một trong những thước đo đánh giá chất lượng giáodục, trình độ dân trí Vì vậy để nâng cao chất lượng giáo dục, nâng caotrình độ dân trí, đưa Việt Nam phát triển và hoà nhập với nền giáo dụccủa các quốc gia khác trên thế giới thì đẩy mạnh công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi nói chung và học sinh giỏi toán nói riêng là cần thiết và đúngđắn

Có rất nhiều các kì thi dành cho học sinh giỏi Toán như giải toán bằngtiếng anh, giải toán qua internet, giải toán bằng máy tính cầm tay casio,các kì thi Toán cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh, kì thi học sinh giỏi Quốcgia, kì thi toán Quốc tế, giúp các em trau dồi kĩ năng, kiến thức và kinhnghiệm thi cử Xuất hiện ở hầu hết các kì thi toán học, bất đẳng thức làmột nội dung không quá mới lạ nhưng luôn là phần khiến các em học sinhcảm thấy lúng túng, mất tự tin và thấy khó khăn trong việc tìm hướnggiải Trong khuôn khổ luận văn này, tôi chỉ trình bày về nội dung bất đẳngthức đại số trong tam giác-một nội dung thường gặp trong các kì thi họcsinh giỏi nhất là thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, kì thi Quốc gia, Quốc tế.1.4 Mối liên hệ giữa dạy học bất đẳng thức đại số trong tam giác

và sự phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Bất đẳng thức là một nội dung lớn của Toán học, được đánh giá là cáihay cái đẹp của Toán học Vẻ đẹp của bất đẳng thức là khi thực hành haygiải quyết một vấn đề hay bài toán bất đẳng thức thì không đòi hỏi nhiều

về kiến thức, kĩ thuật giải toán mà thiên về ý tưởng, sự thông minh, dễphát hiện được học sinh có năng lực Toán học khi phát hiện và giải quyếtvấn đề về bất đẳng thức

Giải bất đẳng thức đôi khi chỉ cần nắm bắt ý tưởng, phát hiện đượcvấn đề cốt lõi là coi như đã xong bài toán Vì thế học bất đẳng thức nóichung và bất đẳng thức đại số trong tam giác nói riêng sẽ giúp rèn luyệncho học sinh năng lực phát hiện, nắm bắt vấn đề, hình thành giải pháp đểgiải quyết vấn đề.

Rèn luyện năng lực PH&GQVĐ qua dạy chuyên đề bất đẳng thức đại

số trong tam giác sẽ tăng hứng thú và niềm say mê toán học cho học sinh.Biến những bài toán khô khan thành những vấn đề mang tính chất là độnglực thôi thúc học sinh tìm hiểu và giải quyết nó Và khi đã học tập bằngniềm đam mê và hứng thú thì hiệu quả của học tập tăng lên là điều tấtyếu Hơn thế, các em sẽ chủ động và tự tin hơn khi gặp những vấn đề mớiphát sinh

Như vậy giữa việc dạy học bất đẳng thức đại số trong tam giác và sựrèn luyện năng lực PH&GQVĐ cho học sinh khá, giỏi có mối quan hệ mậtthiết với nhau, cùng hỗ trợ và thúc đẩy nhau để đạt hiệu quả học tập cao.1.5 Thực trạng dạy học phát triển năng lực phát hiện và giảiquyết vấn đề cho học sinh giỏi THPT qua chuyên đề bất đẳngthức đại số trong tam giác

1.5.1 Học sinh

Học sinh là thành tố quyết định trong quá trình dạy học Thực tiễn chothấy học sinh hiện nay còn tồn tại một vài vấn đề về cách học

Thứ nhất, học sinh học tập một cách thụ động Mục đích và động cơhọc tập chính của học sinh là vượt qua các kì thi, đạt thành tích cao trongcác kì thi đó chứ không phải học tập nhằm phát triển năng lực, phát triển

tư duy

Thứ hai, học sinh thường học tủ nên khi đi thi có thể làm được bài rấtkhó (do trúng tủ) nhưng gặp những bài đơn giản lại không làm được, hoặcnhững bài tương tự cũng không biết cách giải

Thứ ba, học sinh học với phương châm “thi gì học nấy” nên chỉ chútrọng, tập trung ôn luyện vào các dạng toán thường gặp trong các kì thi

mà không chú ý rèn luyện năng lực toán học, vì thế khi gặp dạng toán mới

sẽ không phát hiện được vấn đề cốt lõi nằm ở đâu và không có kĩ năng đểhình thành giải pháp để giải quyết vấn đề đó Nói đơn giản hơn chính là

kiểu học “hình thức” chứ không phải hiểu được “bản chất” của vấn đề.Thực trạng trên dẫn đến hệ quả là các em học sinh vẫn mang tính thụđộng cao, chưa phát huy được hết khả năng của mình, chưa rèn được nănglực tư duy, chưa biết vận dụng kiến thức để phát hiện và giải quyết vấn

đề Điều đó cho thấy công tác bồi dưỡng học sinh giỏi vẫn chưa đáp ứngđược mục tiêu của giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàndiện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản, pháttriển năng lực cá nhân, tính năng động, sáng tạo,hình thành nhân cáchcon người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệmcông dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống laođộng, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc."

1.5.2 Giáo viên

Giáo viên đa phần vẫn quen với phương pháp dạy học truyền thống,nặng về cung cấp kiến thức Có thể giáo viên đã phần nào áp dụng phươngpháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trên lớp đại trà nhưng khibồi dưỡng học sinh giỏi thì lại thuần túy và trung thành với phương phápdạy học truyền thống

Mặc dù được tập huấn, trao đổi kinh nghiệm trong tổ chuyên môn,được hỗ trợ về các trang thiết bị công nghệ nhưng không phải giáo viênnào cũng có thể sử dụng thành thạo các trang thiết bị dạy học đa phươngtiện đó, đặc biệt là các giáo viên lâu năm, tuy rất giàu kinh nghiệm và chắckiến thức chuyên môn nhưng lại phản ứng chậm với sự đổi mới phươngpháp dạy học

Cách thức kiểm tra, đánh giá vẫn chủ yếu là ghi nhớ và tái hiện màchưa chú trọng đến năng lực của học sinh Nói cách khác là sự đổi mới vềphương pháp dạy học chưa đồng đều với sự thay đổi cách thức kiểm tra,đánh giá

1.5.3 Nhà trường

Phía nhà trường vẫn đặt nặng vấn đề “thành tích”, gây áp lực đối với

cả giáo viên và học sinh

Cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy học hiện nay tuy đã được cải thiệnđáng kể nhưng vẫn chưa đáp ứng đưuọc yêu cầu đổi mới phương pháp dạyhọc Một số trang thiết bị được trang bị mới nhưng số lượng hạn chế và

rất ít được sử dụng.

Hằng năm tổ chức tập huấn về đổi mới phương pháp dạy học nhưngchưa thực sự đạt hiệu quả, mỗi trường cử một vài đại diện đi tập huấn vàkhi về trường công tác triển khai chưa được tốt

1.6 Thuận lợi và khó khăn khi dạy chuyên đề bất đẳng thức đại

số trong tam giác với mục đích phát triển năng lực phát hiện vàgiải quyết vấn đề cho học sinh giỏi THPT

1.6.1 Thuận lợi

Sự đổi mới phương pháp dạy học đã nhận được sự quan tâm của toàn

xã hội

Những người làm giáo dục luôn tìm những cách thức và phương hướng

để nhằm đổi mới phương pháp dạy học, mang lại một môi trường đào tạogiáo dục mới phù hợp với từng địa phương, với cả nước mà vừa hòa nhập,tiếp cận được với thế giới

Học sinh Việt Nam vốn có tố chất thông minh, ham học hỏi nên việcđổi mới phương pháp dạy học sẽ đáp ứng được nhu cầu tìm kiếm tri thức,giúp các em mở rộng hiểu biết chứ không bị bó hẹp bởi những kiến thức,tri thức mà giáo viên truyền thụ như trước

Giáo viên sẽ thấy hứng thú và bớt nhàm chán với công tác giảng dạy,đồng thời chính các em học sinh sẽ đem lại nhiều hướng suy nghĩ và cáchnhìn vấn đề mới mẻ, từ đó giáo viên sẽ học hỏi được nhiều điều và đội ngũgiáo viên ngày càng có chất lượng hơn

1.6.2 Khó khăn

Việc đổi mới phương pháp dạy học còn mang nặng tính hình thức, giáoviên thường chỉ sử dụng các phương pháp dạy học mới khi có người dựgiờ, có đoàn kiểm tra,

Thời lượng cũng như nội dung chương trình còn gây nhiều khó khăn,trở ngại trong việc đổi mới phương pháp dạy học

Nhiều địa phương hiện nay cơ sở vật chất còn chưa đáp ứng được yêucầu đặt ra của việc đổi mới phương pháp dạy học

Đội ngũ giáo viên mặc dù có nhiều kinh nghiệm và chắc kiến thứcchuyên môn nhưng kĩ năng về công nghệ thông tin, cách tổ chức hoạtđộng tập thể vẫn còn hạn chế

Kết luận Chương 1

Trong chương này chúng tôi đã nghiên cứu và trình bày một số vấn đề

về cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài đó là:

1 Những vấn đề khái quát về năng lực, năng lực toán học, năng lựcphát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học giải quyết vấn đề

2 Vị trí, tầm quan trọng của nội dung bất đẳng thức đại số trong tamgiác ở trung học phổ thông, đặc biệt là với đối tượng học sinh khá giỏi

3 Thực trạng việc dạy và học theo hướng phát triển năng lực phát hiện

và giải quyết vấn đề của HS và GV cũng như phía nhà trường hiện nay

4 Đưa ra được những thuận lợi và khó khăn khi dạy chuyên đề bấtđẳng thức đại số trong tam giác với mục đích phát triển năng lực pháthiện và giải quyết vấn đề cho học sinh giỏi THPT

Tất cả những vấn đề nêu trên là cơ sở để tôi xây dựng chương 2 - Đềxuất một số biện pháp để phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn

đề cho học sinh giỏi trung học phổ thông qua dạy chuyên đề bất đẳng thứcđại số trong tam giác

CHƯƠNG 2

ĐỀ XUẤT BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PHÁT

HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ QUA DẠY

BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ TRONG TAM GIÁC

2.1 Cơ sở để xây dựng các biện pháp

2.1.1 Cơ sở triết học

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quátrình phát triển Một vấn đề được gợi cho học sinh học tập chính là mộtmâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệmsẵn có Tình huống này phản ánh một cách logic và biện chứng quan hệbên trong giữa kiến thức cũ, kĩ năng cũ, kinh nghiệm cũ với những yêucầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế

2.1.2 Cơ sở tâm lý học

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảysinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cầnphải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề."Tư duy sáng tạo luôn luônbắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề" (Rubinstein 1960)

2.1.3 Cơ sở giáo dục học

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tựgiác và tích cực vì nó khơi gợi được hoạt động học tập mà chủ thể đượchướng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhấtgiữa giáo dưỡng và giáo dục Tác dụng giáo dục của nó là ở chỗ nó dạycho học sinh học cách khám phá, tức là rèn luyện cho học sinh cách thứcphát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời nógóp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người laođộng sáng tạo như tính chủ động, tích cực, tính kiên trì vượt khó, tính kếhoạch và thói quen tự kiểm tra,

2.1.4 Các cấp độ dạy học theo sự phát triển năng lực

Đối với mỗi HS có một thế mạnh về năng lực khác nhau, có người mạnh

về năng lực Toán học, có người giỏi về năng lực ngôn ngữ, Mỗi ngườilại đang ở các cấp độ khác nhau trong quá trình phát triển năng lực củamình

Có 5 cấp độ phát triển năng lực tương ứng là 5 cấp độ dạy học từ dễđến khó, từ cơ bản đến nâng cao như sau:

Cấp độ 1: là các ví dụ minh họa để HS biết được cái mà mình đang tìmhiểu là gì (định nghĩa), nó ở đâu và được biểu diễn như thế nào,

Cấp độ 2: là các ví dụ mô tả tính chất, quy luật, quy tắc của vấn đề.Cấp độ 3: là các bài toán áp dụng các tính chất, quy luật, quy tắc đó.Cấp độ 4: là các bài toán ứng dụng vấn đề trong thực tiễn

Cấp độ 5: là các bài toán tổng hợp, nâng cao cần sử dụng nhiều kiếnthức khác nhau để giải quyết vấn đề, thường là các bài tập trong các kìthi HSG, Olympic

Các biện pháp được xây dựng dựa trên 5 cấp độ này Biện pháp 1 hướngdẫn học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản ứng với cấp độ 1 và 2 Biệnpháp 2 xây dựng các bài toán bất đẳng thức thành các tình huống có vấn

đề và biện pháp 3 hệ thống các bài toán và phương pháp giải ứng với cấp

độ 3 và 4 Biện pháp 5 khai thác các bài toán trong các tạp chí toan shocj,các kì thi HSG, thi Olympic trong và ngoài nước ứng với cấp độ 5

2.2 Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh nắm vững các kiến thức cơbản

2.2.1 Các định lý cơ bản trong tam giác

Định lí 2.1 (Định lý hàm số sin)

asin A =

bsin B =

csin C = 2R.

2

b − c

b + c =

tanB − C

2tan B + C

lb = 2ac

a + c cos

B2



2.2.2 Một số bất đẳng thức cổ điển Bất đẳng thức AM-GMTrung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trungbình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi vàchỉ khi n số đó bằng nhau

• Với 2 số thực a, b không âm thì ta có:

(a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ≤ (a21 + a22 + + a2n)(b21 + b22 + + b2n)

Hay viết một cách gọn hơn

b2R +

c2R

· a

2 + b2 + c24S



= V P

Vậy đẳng thức được chứng minh

Bài toán 2.2 Trong tam giác ABCcó độ dài các cạnh là a, b, c, bán kínhđường tròn nội tiếp tam giác làr, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

là R và ra, rb, rc lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ABC.Chứng minh rằng:

abc = 4rR√

ra · rb + rb· rc + rc · ra

Bài giải

p

abc4S

1(p − b)(p − c) +

1(p − c)(p − a)

= abc · S

p

s

p(p − c) + p(p − a) + p(p − b)p(p − a)(p − b)(p − c)

Ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.3 Chứng minh đẳng thức sau đây biết a, b, c là độ dài cáccạnh của một tam giác, la, lb, lc là độ dài ba đường phân giác trong củatam giác đó

a(b + c)2 · la2 + b(c + a)2 · lb2 + c(a + b)2 · lc2 = abc(a + b + c)2

b(c + a)2 · l2

c(a + b)2 · l2

Cộng theo vế của (1), (2), (3) ta được,

Khi đó

(1) ⇔ 4S



1sin A +

1sin B +

1sin C



+



1sin B − cot B



+



1sin C − cot C

Mặt khác, không mất tính tổng quát ta giả sử b ≤ a ≤ c Khi đó ta có bấtđẳng thức (3):

(b − c)2 ≥ (a − b)2 + (c − a)2

Vì bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức (a − b)(a − c) ≤ 0

Từ (2) và (3) ta có được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cosπ

3 − A = 1 và a = b; a = c Haydấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Bài toán 2.5 Tam giác ABC có p là nửa chu vi, r là bán kính đườngtròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng

Sử dụng bất đẳng thức hàm số sin bất đẳng thức này tương đương với

sin A + sin B + sin C ≤ 3

√32

(1)Bất đẳng thức (1) này đúng vì hàm số f (x) = sin x là hàm lồi trên (0, π)

Bài toán 2.6 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:

4S2 ≤ a2(p − b)(p − c) + b2(p − a)(p − c) + c2(p − b)(p − a)

Bài giảiBất đẳng thức cần chứng minh tương đương

Suy ra

p

(p − a)(p − b)(p − c) ≤ p

√p

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy ngược nhau ta có

b2p(p − b) +

c2p(p − c) ≥ 4

Tương tự ta được

b2p(p − b) +

c2p(p − c) ≥ 4bc

pa

a2p(p − a) +

c2p(p − c) ≥ 4ac

b2p(p − b) +

c2p(p − c)



Tương đương với

a2p(p − a) +

b2p(p − b) +

c2p(p − c) ≥ 2

b2p(p − b) +

c2p(p − c) ≥ 2(b + c + a)

⇔ (p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc

8 .

2.3 Biện pháp 2: Thiết kế những bài toán bất đẳng thức đại sốtrong tam giác tạo thành tình huống có vấn đề

2.3.1 Các cách tạo tình huống có vấn đề

Để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cho giờ học haycho một đơn vị kiến thức nào đó của giờ học, điểm xuất phát là tạo ratình huống gợi vấn đề, tốt nhất là tình huống gây được cảm xúc và làmcho học sinh ngạc nhiên

Sau đây là một số cách thông dụng để tạo ra các tình huống "có vấnđề", chứ chưa phải là tình huống "gợi vấn đề" Để chúng trở thành cáctình huống "gợi vấn đề" cần phải đảm bảo rằng tình huống gợi ra ở họcsinh nhu cầu nhận thức và niềm tin ở khả năng

• Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, thực hành hoặc hoạt động thựctiễn

• Tạo tình huống có vấn đề bằng cách khai thác kiến thức cũ, đặt vấn

đề dẫn đến kiến thức mới

• Lật ngược vấn đề

• Xem xét tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa

• Khai thác kiến thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới

• Tìm sai lầm và sửa chữa sai lầm

2.3.2 Một số bài toán minh họa

Bài toán 2.11 Cho 4ABC với bán kính đường tròn nội tiếp là r khôngđổi và độ dài cạnh a, b, c Hãy xác định giá trị lớn nhất của biểu thức

a2 + 1

b2 + 1

c2

Bài toán 2.12 Cho 4ABC với bán kính đường tròn nội tiếp là r và chu

vi 2p = 6 Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức sau:

1(4 − a)(4 − b) +

1(4 − b)(4 − c) +

1(4 − c)(4 − a) ≤ 3

6r2 + 2.

Nhận xét Hai bài toán này có cách giải quyết tương tự nhau, giáo viên

có thể hướng dẫn học sinh giải quyết một bài, và bài còn lại để học sinh

tự nhận thấy và tự giải quyết bài toán

Giải bài toán 2.11

Vì a, b, c là nghiệm của phương trình

1(x − b)(x − c) +

1(x − c)(x − a).

Cho x = p ta có

1(p − a)(p − b) +

1(p − b)(p − c) +

1(p − c)(p − a) =

14(p − c)(p − a) ≥ 1

a2+ 1

b2+ 1

c2

Vậy Tmax = 1

4r2 khi 4ABC đều

Giải bài toán 2.12

Vì a, b, c là nghiệm của phương trình

x3 − 2px2 + (p2 + r2 + 4Rr)x − 4Rr = 0

nên

f (x) = x3 − 6x2 + (9 + r2 + 4Rr)x − 12Rr

= (x − a)(x − b)(x − c)

1(x − b)(x − c) +

1(x − c)(x − a).

Cho x = 4 ta có

1

(4 − a)(4 − b) +

1(4 − b)(4 − c) +

1(4 − c)(4 − a) =

3

2 + 2r2 + 2Rr.

Vì R ≥ 2r nên

1(4 − a)(4 − b) +

1(4 − b)(4 − c) +

1(4 − c)(4 − a) ≤ 3

6r2 + 2.

Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi R = 2r hay tam giác ABC đều

Cho hai bài toán sau:

Bài toán 2.13 Giả sử tam giác ABC thay đổi Kí hiệu độ dài cạnh là

a, b, c và bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp là r, R Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức

và bán kính đường tròn nội tiếp r Hãy chứng minh các kết quả sau đây:

(i) (a2 − bc)(b2 − ca)(c2 − ab) ≥ 8p3abc − (p2 + 9r2)3

đề sau thì việc học sinh nhận biết vấn đề và giải quyết hai bài toán nàyhoàn toàn đơn giản hơn rất nhiều