khóa luận tốt nghiệp giải bài toán đại số và lượng giác bằng công cụ vectơ

Nhiều bài toán hình học có thể dùngđại số để giải và ngược lại nhiều bài toán đại số có thể dùng hình học để giải,vận dụng công cụ hình học vào trong giải các bài toán đại số và lượng gi

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình THPT, môn Toán được chia thành ba phân môn:Hình học, Đại số và Giải tích Sự phân chia đó chỉ mang tính chất tương đối,bởi lẽ, có nhiều bài toán có nội dung, đặc điểm, ý nghĩa hay hình thức thuộchai hoặc cả ba phân môn trên Có bài có thể giải được đồng thời bằng cáccông cụ hình học, đại số hay giải tích Nhiều bài toán hình học có thể dùngđại số để giải và ngược lại nhiều bài toán đại số có thể dùng hình học để giải,vận dụng công cụ hình học vào trong giải các bài toán đại số và lượng giác Ở

đề tài này tôi đã sử dụng công cụ vectơ -một công cụ hình học -vào giải một sốbài toán đại số và lượng giác

Vectơ là một khái niệm quan trọng, nó có tính khái quát cao Nó có thể

sử dụng cho cả hình học phẳng , lẫn hình học không gian và thậm chí cả đại

số và lượng giác Nhờ vectơ ta có thể đưa tọa độ vào bài toán hình học do đótránh khỏi những sai lầm về mặt trực quan Chính vì vậy, nghiên cứu ứngdụng các vectơ vào việc giải một số bài toán đại số và lượng giác là một vấn

đề thú vị và ý nghĩa

Qua đó tôi muốn đưa đến một cách nhìn khác nhằm làm phong phú hơn

về phương pháp giải các bài toán đại số và lượng giác, đó chính là sử dụnghình học như một công cụ hữu ích cho việc giải quyết vấn đề đã nêu Lờigiải bài toán đại số có chứa yếu tố hình học nhiều khi thực sự bất ngờ bởi sựngắn gọn, dễ hiểu bởi cái nhìn trực quan do hình học đem lại!

Trong khuôn khổ của một khóa luận tôi muốn góp phần hoàn thiện hơn

về phương pháp giải một số bài toán về phương trình, bất phươn g trình, hệphương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị của hàm số Với những lí

do trên, đề tài của tôi có tên gọi là: “Giải bài toán đại số và lượng giác bằng công cụ vectơ ”.

2 Mục đích nghiên cứu

Từ thực tế cho ta thấy khi nghiên cứu về các bài tập phương trình, bất

nhiều khó khăn về mặt kiến thức Nên chúng tôi đã đi sâu vào một số vấn đề

và hệ thống hóa các kiến thức của nó nhằm giúp sinh viên dễ dàng tiếp thukiến thức và yêu thích say mê nghiên cứu phần này hơn

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình,chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị của hàm số bằng cách sử dụng tính chấtvectơ

4 Giả thuyết khoa học

Nếu trong quá trình dạy học giáo viên và học sinh có thể sử dụng tínhchất vectơ vào giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, chứngminh bất đẳng thức, tìm cực trị của hàm số thì việc giải bài toán có thể đạt kếtquả cao hơn

5 Giới hạn và phạm vi:

Trong môn học: Toán sơ cấp tôi chỉ trình bày một phần nhỏ về “Giải một

số bài toán đại số và lượng giác bằng công cụ vectơ ”

6 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Hệ thống hóa lí luận những vấn đề liên quan đến đối tượng nghiên cứu

của đề tài là: “Giải bài toán đại số và lượng giác bằng công cụ vectơ”.

Đưa ra một số phương pháp giải, và dạng bài tập nhằm giúp sinh viên,học sinh dễ dàng tiếp thu các kiến thức cũng như các ứng dụng của vectơ

7 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp từ các tài liệu liên quan

Phân loại và hệ thống hóa lí tthuyết

NỘI DUNG

Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ VECTƠ 1.1 Định nghĩa vectơ

- Vectơ là một đoạn thẳng định hướng

- Mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối

-Vectơ có điểm là A và điểm cuối là B, kí hiệu: AB 

Định nghĩa: Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác đ ịnh một

điểm gốc O và một vectơ đơn vị i

Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trục Ox, Oy

vuông góc với nhau với hai vectơ đơn vị i

Kí hiệu: u

= (u1, u2)Cho hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) thì:

AB=(x −x , y −y )

• Tọa độ của một điểm: OM= +xi y j ⇔x, y là tọa độ của M

Kí hiệu: M(x, y)

1.2.3 Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ khác 0

: a, b 

ta có : a.b

= a b cos a, b  ( ) Nên a.b   ≤ a b   (do cos ( ) a  , b 

≤1)

Vectơ a, b 

cùng phương, cùng chiều nếu a kb k 0, b 0=  ( >  ≠ )

a, b 

cùng phương, ngược chiều nếu a kb k= ( <0, b 0 ≠ )

(Vectơ 0 cùng phương, chiều với mọi vectơ)

1.2.4 Tính chất

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ a x , y , b x , y( 1 1) ( 2 2)

và số thực k,khi đó:

• a+ =b (x1+x , y2 1+y2)

• a − =b (x1−x , y2 1−y2)

• ka=(kx , ky1 1)

• a.b  =x x1 2+y y1 2

1.2.5 Biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a(x , y ) 1 1

, b(x , y ) 2 2

,Khi đó: a.b  =x x1 2 +y y1 2

1.3 Vectơ trong không gian

1.3.1 Tọa độ của vectơ

Trong không gian, với hệ tọa độ ( 0, i, j, k  

)

Chú ý: i2 = =j2 k2 =1 và   i.j=i.k =k.j =0

1.3.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian 0xyz cho hai vectơ:

a=(a ,a ,a ), b=(b , b , b ), k∈Khi đó:

1.3.3 Tọa độ của điểm

(a) =a.a  = a a cos 0  = a

Độ dài luôn dương nên

2

a

≥ 0Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi a = ⇔ =0 a 0

Bổ đề 2: Cho hai vectơ a

ii) ) Đặt : a=AB, b  =AC thì a− =b BC

Bổ đề 3: Cho hai vec tơ a

ii) Ta có a.b  = a b cos a, b  ( )  và cos( )a, b  ≥ −1nên ta suy ra a.b  ≥ −a b  Đẳng thức xảy ra khi và chi khi cos( )a, b  = −1 ⇔ ( )a, b  = π

Hay đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a

và bngược hướng

Chương 2: GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC

+ Công thức về độ dài vectơ

+ Tích vô hướng của hai vectơ

+ Góc giữa hai vectơ

• Tùy từng bài toán cụ thể t a có thể gán biểu thức đại số (hoặc lượnggiác) cho biểu thức tọa độ của vectơ trong mặt phẳng ( hoặc trong không gian)Kết hợp với một số bổ đề thường dùng

Để giải quyết theo yêu cầu bài toán

• Kết luận chuyển bài toán từ ngôn ngữ vec tơ sang ngôn ngữ đại số(lượng giác) và kết luận theo yêu cầu bài to án

2.1 Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Kinh nghiệm giải toán:

Khi gặp bài toán có thể giải bằng vectơ ta biến đổi bài toán đã cho sau đóxét các vectơ có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba bổ đề, hoặc bấtđẳng thức tam giác và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để đưa ra nghiệm củaphương trình, bất phương trình, hệ phương trình đã cho

2.1.1 Ứng dụng giải phương trình

Bài tập 1: Giải phương trình :

=+

−

−+

−2x 5 x 6x 10

Hướng giải bài toán : Các bài toán đại số cho mỗi biểu thức dưới dấu căn

bậc hai mà ta có thể biểu điễn lại dưới dạng tổng của hai bình phương

2 1

để suy ra các kết quả bài toán Ta giải như sau:

−

=

−

(4)Giải (4) phương trình có nghiệm x = 5

Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x = 5

Bài tập 2: Giải phương trình:

5x2

Hướng giải quyết bài toán: Bài toán này về cơ bản không khác gì nhiều

so với bài toán trước Nên ta làm như sau:

Giải

Ta viết lại (1)⇔ (1−x)2 +4 + ( )2 2

3x

Trong mặt phẳng Oxy ta chọn các vectơ :

( ) ( )

u= 1 – x, 2 , v= +1 x, 3  Khi đó ta có: u

Theo bổ đề 2: u

+ v

≥ u+v , ta suy ra:

5x2

x2 − + + x2 +2x+10 ≥ 29Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ u, v 

cùng hướng

Việc giải phương trình (2) q uy về giải phương trình:

3

x12

Vậy nghiệm của phương trình là x =

5

1

Bài tập 3: Giải phương trình: 9x3 +18x2 + 36x2 −9x3 = 9 + x2

Bài tập 4: Giải phương trình:

u+ =v (3x+2,5)⇒ + =u v 9x +12x+29Suy ra phương trình (1) tương đương:

u+ = +v u v

u kv(k 0)

1k

x 1 (2x 3)

41

Như vậy dấu bằng đạt được ⇔ u, v 

Khi đó phương trỡnh trở thành: u.v 1  =

Hay: u v cos u, v  ( )  =1⇔2cos u, v( )  =1



cos xsin x

O O

A 3

Dấu bằng xảy ra ⇔ u, v 

cùng hướng

Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài tập 2: Giải bất phương trình:

u.v  = x 1+ + 2x− +3 50 3x−Suy ra (1): ⇔u.v  ≤ u v 

Theo bổ đề 3 đẳng thức này luôn đúng

Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là 3 x 50

2≤ ≤ 3

2.1.3 Ứng dụng giải hệ phương trình và một số bài tốn liên quan.

Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau

=++

=++

3zyx

3zyx

3zyz

3 3 3

2 2

Trong khơng gian Oxyz ta chọn các vectơ :

u( x, y, z ), v = (1, 1, 1 )Khi đĩ: u = x2+y2 +z2 = 3, v = 3, u.v 

= x + y + z = 3Suy ra: u.v 

Bài tập 2:Giải hệ phương trình sau:

u.m 0v.m 0w.m 0

Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra được các góc ( ) (u, v  = v, w ) (= w, u )

Điều này tương đương với u v w = =  hoặc ( ) (u, v  = v, w ) (= w, u )=2

3

π.

Nếu u v w = =  thì ⇒ = =a b c⇒ 3 3 3

a + + =b c 3abc.Nếu ( ) (u, v  = v, w ) (= w, u )=2

3π

Bài tập 7: Giả sử hệ phương trình sau có nghiệm

Do vai trò của x, y, z như nhau nên ta chỉ cần chứng minh cho biến x là đủ

Từ hệ ta suy ra được x, y, z cùng dấu

Thật vậy không mất tính tổng quát:

- Trường hợp: x+ + =y z 4 ⇒x, y, z≥0

Trong hệ tọa độ 0xyz chọn điểm M x, y, z thay đổi và điểm A( 1, 1, 1 )( )

Khi đó ta có: OM x, y, z , OA 1,1,1( ) ( )

Từ giả thiết ⇒ OM = 8, OA = 3 và OM.OA = + + =x y z 4

Từ đây ta suy ra khi x, y, z thay đổi thì OM

luôn nằm trong góc phầntám thứ nhất và tạo với O A

một góc không đổi

Chiếu M lên trục Ox ta xác định được x hay x=OM.cos(OM,i)  , nhưvậy x đạt giá trị lớn nhất phụ thuộc vào góc (OM,i) 

.Xét trong góc tam diện (OM,OA,Ox) tổng hai góc tam diện luôn lớnhơn góc còn lại

Kinh nghiệm giải toán:

Khi gặp các đẳng thức có thể giải bằng vectơ ta biến đổi bất đẳng thức đãcho sau đó xét các vectơ có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba bổ đề,bất đẳng thức tam giác hoặc tích vô hướng cua hai vectơ và xét trường hợpdấu bằng xảy ra, để chứng minh bất đẳng thức đã cho

● Khi gặp các bài toán đại số mà mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc haiđược biểu điễn dưới dạng tổng của hai bình phương A = A12 +A12 ,

2 1

2.2.1 Ứng dụng chứng minh các bất đẳng thức đại số

Bài tập 1: Chøng minh r»ng: 2

a + +a 1+ 2

a − +a 1 ≥2 (1) víi ∀a∈R

Hướng giải quyết bài toán : Bài toán này nếu đơn thuần chỉ sử dụng việc

chứng minh bất đẳng thức thông thường thì sẻ rất khó đối với học sinh, vì bàitoán có hai căn bậc hai nên việc biến đổi sẻ rất khó Nhưng nếu c hú ý các đốitượng trong bài toán và biết khai thác bổ đề 2 nêu trên thì bài toán trở nên dểdàng hơn Cụ thể, ta có hướng suy nghĩ sau:

Hai biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành tổng các bìnhphương

2 2

Hướng giải quyết bài toán : Bài toán này về cơ bản không khác gì nhiều

so với bài toán trước Nên ta làm như sau:

Bài tập 3 Cho 2n số thực a1, a2, an, b1, b2, bn….Chứng minh rằng:

Vì ba vectơ ta xét đều khác vectơ 0

nên dấu bằng xảy ra:

u, v, w

⇔    cùng hướng ⇔ = =a b c

Mà ab + bc + ca = abc ⇒ a = b = c =3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =3

Bài tập 7: Cho 4 số thực: x , x , x , x1 2 3 4.Chứng minh rằng:

Bài tập 8: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì:

Vậy bất đẳng thức ( 1) được chứng minh.

Bài tập 9: Cho ba số x, y, z thỏa mãn hệ thức

Mặt khác ta có: xy+yz+zx=x2+y2+z2

Nếu cos(u, v) 1  = nghĩa là u

và vcùng hướng

Hướng giải bài toán : Các dương số a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam

giác thì vế trái của bất đẳng thức phải chứng minh xuất hiện diện tích S củatam giác đó nhờ công thức Hê- rông Ta giải như sau:

Giải

Ta thấy nếu (c+ −b a c)( + −a b b)( + − ≤a c) 0 thì đẳng thức hiển nhiên đúng

Do đó chỉ cần xét (c+ −b a)(c+ −a b b)( + −a c)> 0 Khi đó hoặc cả bathừa số đó đều dương hoặc một thừa số dương và hai thừa số còn lại âm

Xét trường hợp có một thừa số dương và hai thừa số còn lại âm, chẳng

 ⇒ (c+ −b a)(b+ −a c) = 2b < 0 ( trái giả thiết )

Do đó khi (c+ −b a c)( + −a b b)( + −a c)> 0 thì cả ba thừa số đều dương.Khi đó tồn tại tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a = BC, b = CA, c = AB.Gọi S, R lần lượt là diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

2.2.2 Ứng dụng chứng minh các bất đẳng thức lượng giác

2.2.2.1 Chứng minh các bất đẳng thức lượng trong tam giác

Bài tập: 1Cho tam gi¸c ABC, chøng minh r»ng:

cos2A + cos2B + cos2C

2

3

−

Hướng giải quyết của bài toán: Để sử dụng được các tính chất của vectơ

vào bài toán này thì công thức nào có chứa vectơ và có chứa cả co sin Vậy đó

sẻ là tích vô hướng của hai vectơ, đó là:

OA.OB = OA OB cos OA,OB    , OB.OC = OB OC cos OB,OC  ( )

OA.OC = OA OC cos OA,OC   

Và khi đó nếu ta gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC thì R= OA = OB = OC

Từ đó, ta nghĩ tới việc dùng bổ đề 1 đ ể chứng minh Cụ thể như sau:

Bài tập 2:Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng:

6cosA.cosB.cosC ≤ cos2A + cos2B + cos2C (1)

* Hướng giải quyết bài toán: Ta thấy trong biểu thức cần chứng minh

xuất hiện tổng các bình phương Vì thế có thể sử dụng được bổ đề 1 Nhưng ở

bài toỏn trờn chỳng ta cần lưu ý, phải xột cỏc trường hợp của tam giỏc ABC.

Vỡ ở bài toỏn trờn khụng núi đú là tam giỏc như thế nào Cụ thể, ta l àm bàitoỏn này như sau:

Giải

Nếu tam giỏc ABC là tam giỏc tự (cú một gúc tự) thỡ (1) hiển nhiờn đỳng

vỡ khi đú nếu vế trỏi õm, cũn vế phải dương

Nếu tam giỏc ABC khụng phải là tam giỏc tự thỡ trờn mặt phẳng ta đặtcỏc vectơ OM,ON,OP  

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ABC đều

● Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị.

Bài tập 3: Cho∆ABC và số thực x

Chứng minh rằng : cosA + x(cosB + cosC)≤ x2 1

= x2+ 2x (e e 1 2+e e ) 2e e 1 3 +  2 3+ +e22 e23Hay 0 ≤ x2- 2x (cos C + cosB) - 2cos A + 2

⇔ x2+ 2≥2cosA + 2x (cosB + cos C)

2 2

Bài tập 4: Cho∆ABC Chứng minh rằng :

3cos A + 2cos B + 2 3 cos C≤4

= 4 + 3 + 1 - 2 ( 3 cos A + 2cos B + 2 3 cosC)

⇔ 3 cos A + 2cosB + 2 3cos C≤4

e e 0( 3 e e ) (2e )

1

e e(2e e ) ( 3 e )

2

A 90cos A 0

B 601

Bài tập 5: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:

cos A + cosB + cosC≤

2

3

Giải

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC

Đặt 3 vectơ đơn vị có gốc I, hướng vuông góc với các cạnh lần lượt là

2 2

++

⇔3 - 2 (cosA + cosB + cosC)≥0

⇔cosA + cosB + cos C ≤

2

3

2 2 2 gợi cho ta nghĩ đến vẽ các tia phân giác trong của các góc A, B, C

vả đường tròn nội tiếp

Gọi I là đường tròn tâm nội tiếp của tam giác ABC và giả sử AI, BI, CIlần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC tại các điểm D, E, F

Ta giải như sau:

2Acos e ,e cosEDF sin

2Bcos e ,e cosDEF sin

Dấu bằng có được khi O ≡ G hay ABC đều

§Ó chøng minh: sin A sin B sin C 3 3

2 2 2 9 3 3sin A sin B sin C 3 sin A sin B sin C 3 .

Dấu đẳng thức đạt được ⇔ ABC đều

2.2.3 Ứng dụng chứng minh các bất đẳng thức lượng giác

Bài tập 1:Chứng minh rằng:

Bài tập 2:Chøng minh r»ng x, y∀ ∈ , ta cĩ

4cos x cos y+sin (x−y)+ 4sin x sin y+sin (x−y)≥2

Gi¶i

Trong mặt phẳng Oxyta chọn các vect¬:

u =(2cos x cos y,sin(x−y)), u=(2sin x sin y,sin(x−y))

Khi đĩ ta cĩ:

| u | = 4cos x cos y+sin (x−y), | v | = 4sin x sin y+sin (x−y)

u + =v (2cos(x−y), 2sin(x−y)), | u+ =v | 2

Theo bổ đề 2:| u | | v | +  ≥ | u+v | , ta suy ra:

4cos x cos y+sin (x−y) + 4sin x sin y+sin (x−y) ≥2

Dấu bằng xảy ra ⇔x = y =

4

π+ kπ, (k∈ )

2.3 Ứng dụng trong tìm cực trị của hàm số và một số biểu thức Kinh nghiệm giải toán:

Khi gặp bài toán cực trị có thể giải băng vectơ chủ yếu là ta xét các vectơ

có tọa độ thích hợp sử dụng một trong ba bổ đề, các tính chất của vectơ để tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, hàm số đã cho

2.3.1 Ứng dụng trong tìm cực trị của hàm số và một số biểu thức đại số

)1x

23

1x

Bài tập 2: Cho x∈[ ]0, 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y = 4x−x3 + x+x3

Hướng giải bài toán: Vế phải của biểu thức là tổng của hai căn bậc hai,

tuy nhiên biểu thức trong mỗi căn bậc hai không được viết dưới dạ ng tổng củacác tích và gán cho biểu thức là tích vô hướng của hai vectơ

Giải

Ta có: 2y = 2 8x−2x3 +2 x+x3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn các vectơ :