Chuyên đề phép chia hết

8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m..  Cmr abcdeg 7  2 CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo

Chuyên đề 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI

Tiết 13: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI

A KIẾN THỨC CƠ BẢN :

1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b  0)

.

a b q  a b  a là bội của b  b là ước của a

2) Tính chất: 1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.

2/ Nếu a b và b c  a c

3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1

5/ Nếu a  m và b  m thì a b m  và a b m 

6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m

thì số còn lại cũng chia hết cho m

7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m

thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m

8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

9/ Nếu a m b n ,   ab mn

Hệ Quả: Nếu a b  a nb n

Nếu a m a n m n ,  ,( , ) 1   a mn

B.Ví dụ: Ví dụ 1:Chứng minh rằng:

a) ab ba chia hết cho 11

b) ab ba Chia hết cho 9 với a > b

Giải:

a) Ta có ab ba= (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)  11

Vậy ab ba  11

b) Ta có : ab ba= (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b)  9

Chú ý : Nếu ab cd  11  abcd  11

Ví dụ 2: Tìm n N để:

a) n + 4  n b) 3n + 7  n

Giải:

a) n + 4  n , n  n => 4  n => n Ư(4) = 1;2; 4

b) 3n + 7  n; 3n  n => 7  n => n Ư(7) = 1;7

C/ BÀI TẬP:

1) Cho abc deg 7  Cmr abcdeg 7 

2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11

3) Cho số abc27Chứng minh rằng số bca 27

Giải:

: deg 1000 deg 1001 ( deg )

7.143 ( deg )

abc abc

1)Tacó

Mà : 7.143abc7 và abc deg 7  Vậy abcdeg 7 

2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab.( 0 < a  9, 0  b  9, a,b N)

Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba

1000 100 10

1001 110 7.11.13 11.10 11 : 11

abba



Vậy

3) abc27

0 27

1000 0 27

999 0 27

27.37 27

27 ( 27.37 27)

abc

a bc

a a bc

a bca













1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì không chia hết cho 10

3) Tìm n N để:

c) 2n + 3  n – 2 d) 3n + 1  11 – 2n

4) Cmr nếu ab cd eg   11thì abcdeg 11 

5) Cho abc  deg 37  Cmr abcdeg 37 

6) Cho 10 k – 1  19 với k > 1 CMR: 102k – 1  19

7) Cho n là số tự nhiên CMR:

a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2

b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3

8) Chứng minh rằng nếu ab  2cd  abcd 67

Giải:

1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2

Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)  3

Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3  3

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.

Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên

Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10

Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên

Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5  10

3) a) 27 – 5n  n ; 5n  n => 27  n => n Ư(27) = 1;3;9; 27 nhưng 5n < 27 nên n < 6 Vậy n  1;3

b) n + 6  n + 2 => n + 2 + 4  n + 2, mà n +2  n + 2 => 4  n + 2 => n + 2 1;2; 4

=> n 0; 2

c) 2n + 3  n – 2 => 2(n – 2) + 7  n -2 => 7  n - 2 => n – 2 1;7 => n   3;9 

d*) 3n + 1  11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n)  11 – 2n => 35  11 – 2n

=> 11 – 2n 1;5;7;35 nhưng vì n < 6 nên n 5;3; 2

9999 11; 99 11;( ) 11

 

có

Vậy : abcdeg 11 

27.37 37; ( deg) 37; : deg 37

abc abc



có

Vậy

6) Ta có: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1)

Do 10k - 1 19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1)  19

Vây 102k – 1  19

7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )

Khi n chẵn => n = 2k (k N)

Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2

Khi n lẽ => n = 2k + 1 (k N)

Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)

= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2

Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2

b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2)

+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2

+ Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (1)

Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2

Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1)

Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3

Vậy A chia hết cho cả 2 và 3

8) Ta có abcd  100ab cd

Mà: ab  2cd

Suy ra: abcd  2cdcd 200cd cd  201cd 3.67cd  67

Vậy: abcd 67

A/ LÝ THUYẾT:

1 2 1 0

n







n

B/ Ví du:

Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng hai chữ số ở

giữa của nó là 97

Giải: Gọi n là số phải tìm Vì n chia hết cho 5 và cho 27 nên n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 và chia hết cho 9, do đó ta có số n = *975 Hoặc số n *970

Khi: n = *975  9 => (* + 9 + 7 + 5)  9 => * = 6 Thử lại 6975 không chia hết cho 27 Khi: n = *970  9 => (* + 9 + 7 + 0)  9 => * = 2 Thử lại 2970 chia hết cho 27

Vây số 2970 là số phải tìm

Ví dụ 2: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó

a) CMR: b chia hết cho a

b) Giả sử b = ka (k N) CM: k là ước của 10

Giải: a) Theo đề bài ta có: ab = 3ab

=> 10a + b = 3ab (1)

=> 10a + b  a

=> b a b) Do b = ka nên k < 10 Thay b = ka vào (1), ta có:

10a + ka = 3a.ka

=> a(10 + k) = 3ak a

=> 10 + k = 3ak

=> 10 + k  k

=> 10  k Vậy k là ước của 10

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n  N thì số 92n – 1 chia hết cho cả 2 và 5

Giải: Có: 92n – 1 = (92)n – 1 = 81n - 1 = ….1 - 1 = …0

Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5

C/ BÀI TẬP:

1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:

a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125

b/ Số 9 4xy chia hết cho 2, cho4, cho 8

Giải: 1) a/ 275x  5  x0;5 ; 275x  25  x 0 ; 275x  125  x 0

b/ 9 4 2xy   x y, 0;1; 2; ;9 ; 9 4 4xy   x0;1; 2; ;9 , y0, 2, 4,6,8

9 4 8xy   x0; 2; 4;6;8 ; y2;6 hoặc x1;3;5;7;9 ;y0; 4;8

Tiết 16: LUYỆN TẬP

1) Cho n N, chứng minh rằng:

a/ 5n – 1 4

b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4

c/ 10n - 1  9

d/ 10n + 8  9

2) Chứng minh rằng:

a/ 1028 + 8  72

b/ 88 + 220  17

3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5

4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5.

b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5

Giải:

1) a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4

+ Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4  4

+ Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4

Vậy với n N, 5n – 1 4

b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n2 + n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4

c/ Ta có 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99… 9  9

n chữ số 0 n chữ số 9

d/ Ta có: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 9

n chữ số 0 n-1 chữ số 0

2) a/ Ta có: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08  9 (1)

28 chữ số 0 27 chữ số 0

Số 1028 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)

Mặt khác (8;9) = 1 Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72

b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220 17  17

vây 88 + 220 chia hết cho 17

3) Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6 Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5

4) a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5  5

b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - … 6 =….0

Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5