chuyen de toan chia het va tap hop so nguyen 90316

chuyen de toan chia het va tap hop so nguyen 90316 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...

Chuyên đề 1 : Toán chia hết trên tập hợp số nguyên Z

I Một số kiến thức cơ bản

1 Định lí về phép chia hết :

- Nếu có 2 số nguyên a và b ( b = 0 )và tồn tại số

q sao cho : a = b q thì ta nói a chia hết -cho b và kí hiệu a : b

+ ) Nếu a chia hết cho m thì a.k chia hết cho m ( k thuộc z ; a , m thuộc z , m khác 0 )

+ ) Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

+ ) Nếu a.b chia hết cho c và ( a ; c ) = 1 thì b chia hết cho c

+ ) Nếu một tổng mà có tất cả các số hạng đều chia hết cho m thì cả tổng đó chia hết cho m ( m khác 0 ) + ) Tích của 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2

+ ) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3

chia hết cho n

+ ) Tích của 2 số nguyên chẵn liên tiếp chia hết cho 8 II.Bài tập :

1.Chứng minh rằng : A = n^2 + 5.n chia hết cho 2 với mọi n thuộc z

Bài giải :

Cách 1 :

Ta có : A = n^2 + 5.n = n.(n+5) chia hết cho 2

- Xét n chẵn : n = 2.k ( k thuộc z )

- Xét n lẻ : n = 2.k + 1 ( k thuộc z ) ->A = (2.k + 1).(2.k+1+5)

= (2.k+1).(2.k+6) chia hết cho 2 (2)

Từ (1) và (2) -> n.(n+5) chia hết cho 2

=>n^2+5.n chia hết cho 2

(ĐPCM)

Cách 2 :

Ta có : A=n^2+5.n=n^2–n+6.n=n.(n-1)+6.n

Dễ thấy : ( n-1).n là tích cuả 2 số nguyên liên tiếp mà 6.n chia hết cho 2

=>n.(n-1)+6.n chia hết cho 2

2.Chứng minh rằng : B=n^3-n+18 chia hết cho 3 với mọi n

Bài giải :

Ta có : B=n^3-n+18

=n.(n^2-1)+18

=n.(n^2+n-n-1)+18

=n.[n.(n+1)-(n+1)]+18

=n.(n+1).(n-1)+18

Nhận thấy : n.(n+1).(n-1) chia hết cho 3 mà 18 chia hết cho 3 =>n.(n+1).(n-1) chia hết cho 3

3.Chứng minh rằng : P=m.n.(m^2-n^2) chia hết cho 6 với mọi m , n thuộc Z

Bài giải : Ta có : P=m.n.(m^2 – n^2)

=m.n.[(m^2-1)-(n^2-1)]

=m.n.(m^2-1)-m.n.(m^2-1)

=m.n.(m-1).(m+1)

-m.n.(n-1).(n+1)

Dễ thấy : Với mọi m,n thuộc Z thì m.n.(m-1).(m+1)

và m.n.(n-1).(n+1)là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó vừa chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1=>m.(m-1).(m+1) và n.(n-1).(m+1) chia hết cho 6 =>P chia hết cho 6 ( ĐPCM )

Bài 4 : Chứng minh rằng :Với mọi a,b,c thuộc Z thì a+b+c chia hết cho 6 thì a^3+b^3+c^3 chia hết cho 6 Bài giải :

Ta có : a^3+b^3+c^3-(a+b+c)

= (a^3–a)+(b^3-b)+(c^3-c)

= (a-1).a.(a+1)+(b-1).b.(b+1)+(c-1).c.(c+1)

Vì (a-1).a.(a+1) chia hết cho 3 và 2 (1)

(b-1).b.(b-1) chia hết cho 3 và 2 (2)

(c-1).c.(c-1) chia hết cho 3 và 2 (3)

Mà (3;2)=1=>(a-1).a.(a-1)+(b-1).b.(b+1)+(c-1).c (c+1) chia hết cho 6