Chuyên đề Phép chia các đa thức.doc

Hệ quả: Nếu x=a là một nghiệm của đa thức fx thì đa thức fx chia hết cho nhị thức x-a  Ta có thể vận dụng các tính chất và định lý trên để phân tích một đa thức thành nhân tử bằng hai p

CHUYấN Đ Ề 4 : phép chia các đa thức

A Lý THUYếT:

 Cho đa thức f(x) và g(x) 0, ta luôn tìm đợc một đa thức q(x) (đa thức thơng) và một đa thức r(x) ( đa thức d) sao cho:

f(x) = g(x) q(x) + r(x) trong đó:

 Bậc của đa thức r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức g(x)

 Nếu f(x) ≠ 0 thì bậc của f(x) = bậc của g(x) + bậc của q(x)

 Nếu r(x) =0 thì ta nói đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) và f(x) = g(x) q(x)

 x = a gọi là nghiệm của đa thức f(x)  f(a) = 0

 Định lý Bezout: D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a là một hằng số bằng f(a)

Hệ quả: Nếu x=a là một nghiệm của đa thức f(x) thì đa thức f(x) chia hết cho nhị

thức x-a

 Ta có thể vận dụng các tính chất và định lý trên để phân tích một đa thức thành nhân tử bằng hai phơng pháp sau:

 Phơng pháp hệ số bất định

Ví dụ: Phân tích đa thức x3- 15x -18 thành tích một nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai

Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì:

x3- 15x -18= (x+a)(x2+ bx+ c)

 x3- 15x -18= x3 + (a+b)x2 + (ab +c)x + ac

Đồng nhất hai đa thức ở 2 vế ta đợc:

0

15(*) 18

a b

ab c

ac









Từ ac=-18 ta có chọn a=3  c=-6 ; b = -3 thoả mãn (*)

Vậy: x3- 15x -18= (x+3)(x2- 3x -6)

CHUYấN Đ Ề 4 : phép chia các đa thức B.MộT Số Ví Dụ:

 Phơng pháp xét giá trị riêng

VD1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

f(x) = x3- x2 – 14x + 24

Ta thấy với x=2 ta có f(2)= 8 - 4 - 28 + 24 = 0

 f(x) chia hết cho x-2 và tìm đợc

f(x) = (x-2)(x2+ x -12)

Tơng tự với x=3; x=- 4  f(3)= 0; f(- 4)= 0

Và tìm đợc f(x)=(x-2)(x -3)(x + 4)

VD2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A x y   z  y z  x  z x  y

Nếu x=y A=0

 A chia hết cho x-y

Vì x,y,z vai trò nnh nhau nên A cũng chia hết cho y-z, z-x  A chia hết cho (x-y)(y -z)(z -x)

Mặt khác bậc của các đa thức trong đa thức A cao nhất là 3, còn bậc của đa thức trong đa thức (x-y)(y -z)(z -x) cao nhất cũng là 3

 đa thức thơng có bậc là 9

 A=k(x-y)(y -z)(z -x)

xét các biến nhận giá trị riêng x=0; y=1; z=2

ta có:

1

k k

Vậy A=(x-y)(y -z)(z -x)

Ta có thể giải bài toán trên bằng cách tạo ra các nhân tử chung lần lợt là:

x-y; y –z; z –x

VD:

x y z x x y z x

x y z x y z

CHUYấN Đ Ề 4 : phép chia các đa thức C.MộT Số BàI TậP áP DụNG:

Bài toán 1: Rút gọn biểu thức

A= 298 80

160 100

4 5

2

125 ; B =

4 3 8

8 8

5 27 3

5

9 ; C= (15.311+4.274):97 ; D =

y x

y x

4 2

) 2 (





Bài toán 2: Xác định các số a sao cho :

a) 27x2+a chia hết cho 3x+2 ; b) x4+a.x2+1 chia hết cho x2+2x+1; c) 3x2+a.x+27 chia cho x+5 có số d bằng 2

Bài toán 3: Xác định các số a và b sao cho :

a)x4+a.x2+b chia hết cho x2+x+1; b) a.x3+b.x-24 chia hết cho (x+1)(x+3);

c) x4-x3-3x2+ã+b chia hết cho x2-x-2 có d là 2x-3

d) 2x3+a.x+b chia cho x+1 d -6, chia cho x-2 d 21

Bài toán 4: Không làm phép chia đa thức,hãy xác định xem đa thức : 4x3-7x2-x-2 có hay không chia hết cho: a) x-1 ; b) x+2

Bài toán 5: Làm tính chia

a) (6x3-7x2-x+2):(2x+1) ; b) (x4-x3+x2+3x) : (x2-2x+3)

c) x2-y2+6x+9): (x+y+3) ; d) (2x4+x3-3x2+5x-2) : (x2-x+1)

Bài toán 6: Làm tính chia

a) ( 125 x3y4z5+10x3y2z3) :( -5 x3y2z2)

b) ( 8x2-26x+21):( 2x-3)

Bài toán 7: Tìm m để đa thức

a)2x3+5x2-2x+m chia hết cho đa thức 2x2-x+1

b) 5x3-3x2+x+m chia hết cho đa thức x+2

Bài toán 8: Xác định d của phép chia đa thức : x+x3+x9+x27+x81 cho:

a) x-2 ; b) x+2

Bài toán 9: Tìm các giá trị nguyên của x để :

a) 2x2+x-7 chia hết cho x+2 ; b) 10x2+x+7 chia hết cho 2x-3

Bài toán 10: Tìm các giá trị nguyên dơng của x ,y sao cho : x2=y2+2y+13

Bài toán 11: Tìm số tự nhiên x sao cho 25x2-97x+11 chia hết cho x-4

Bài toán 12: Chứng minh rằng 2n3+3n2+n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n