Chuyên đề 2 toán 8

Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ.A.Lí thuyết: 1.. Một số ví dụ minh hoạ: Hằng đẳng thức đáng nhớ đợc học trong chơng trình cho ta kết quả cuối cùng của các phép nhân đa thức với

Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ.

A.Lí thuyết:

1 các hằng đẳng thức đáng nhớ:

 (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2

 (A-B) 2 = A 2 -2AB+B 2

 A 2 -B 2 = (A+B)(A-B)

 (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3

 (A-B) 3 = A 3 -3A 2 B +3AB 2 -B 3

 A 3 +B 3 =(A+B)(A 2 -AB+B 2 )

 A 3 -B 3 =(A-B)(A 2 +AB+B 2 )

2 Một số hằng đẳng thức khác:



(A A  A n) A A  A n  2A A  2A A

  2A A1 n 2A A2 3 2  A A2 n

  2A A n1 n

VD: (A+B+C)2 =A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC

(A-B+C) 2 =A 2 +B 2 +C 2 -2AB+2AC-2BC

 x n y n (x y x)( n1 x n2.y x y n2 y n1)

 x n y n (x y x)( n1 x n2.y x n3.y2 x y n2 y n1)

B Một số ví dụ minh hoạ:

Hằng đẳng thức đáng nhớ đợc học trong chơng trình cho ta kết quả cuối cùng của các phép nhân đa thức với đa thức:

Bài toán 1 : Cho đa thức 2x2-5x+3 Viết đa thức trên dới dạng một đa thức của biến y trong đó y= x+1

HD : Thay x = y-1 ta đợc :

2x2-5x+3 = 2.( y-1)2-5.( y-1)+3 = 2.( y2-2y+1)-5y+5+3 = 2.y2-9.y+10

Bài toán 2 : Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?

A = (2+1).(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)

B = 232

HD : Nhân hai vế của A với (2-1) ta đợc:

A = (2-1) (2+1).(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)

 áp dụng hằng đẳng thức A 2 -B 2 = (A+B)(A-B) nhiều lần ta đợc :

A= 232-1 Vậy A <B

Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức : C = (a+b+c)3+(a-b-c)3-6.a.(b+c)2

HD : C = [a+(b+c)]3+[a-(b-c)]3- 6.a.(b+c)2

= a3+3.a2.(b+c)+3.a.(b+c)2+(b+c)3+a3-3.a2+3.a.(b+c)2-(b+c)3- 6.a.(b+c)2 = 2.a

Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Bài toán 4 : Tính

a) ( 2.x+3)2 ; ( 2.x- 3)2 b) ( x+

4

1

)2 ; ( x -

4

1

)2

c) ( 3.x+ 5.y)2 ; ( 3.x- 5.y)2 d) ( 2.x2.y+

3

1

.x.y2)2 ; ( 2.x2.y-

3

1

.x.y2)2

HD :

a) Ta có ( 2.x+3)2 = 4.x2 + 12.x +9 ; ( 2.x-3)2 = 4.x2 - 12.x +9

b) Ta có ( x+

4

1

)2 = x2+

2

1

x+

16

1

; ( x-

4

1

)2 = x2

-2

1

x+

16

1

c) Ta có ( 3.x+ 5.y)2 =9.x2+30.x.y+25y2 ; ( 3.x- 5.y)2 =9.x2-30.x.y+25y2

d) Ta có ( 2.x2.y+

3

1

.x.y2)2 = 4.x4.y2+

3

4

x3.y3+

9

1

x2.y4

( 2.x2

.y-3

1

.x.y2)2 = 4.x4.y2

-3

4

x3.y3+

9

1

x2.y4

Bài toán 5 : Tính

a) ( 2.x+3)3 ; ( 2.x- 3)3 b) ( x+

4

1

)3 ; ( x -

4

1

)3

c) ( 3.x+ 5.y)3 ; ( 3.x- 5.y)3 d) ( 2.x2.y+

3

1

.x.y2)3 ; ( 2.x2.y-

3

1

.x.y2)3

HD : a) Ta có ( 2.x+3)3 = 8.x3+36.x2.y+54.x.y2+27

Ta có ( 2.x-3)3 = 8.x3-36.x2.y+54.x.y2-27

b) Ta có ( x+

4

1

)3 = x3+

4

3

x2+

16

3

x +

64

1

Ta có ( x-

4

1

)3 = x3

-4

3

x2+

16

3

x -

64

1

c) Ta có ( 3.x+ 5.y)3=27.x3+135.x2y+225.xy2+125.y3

Ta có ( 3.x- 5.y)3=27.x3-135.x2y+225.xy2-125.y3

d) Ta có ( 2.x2.y+

3

1

.x.y2)3 = 8.x6.y3+4.x5.y4+

3

2

x4.y5+

27

1

x3.y6

Ta có ( 2.x2

.y-3

1

.x.y2)3 = 8.x6.y3- 4.x5.y4+

3

2

x4.y5-

27

1

x3.y6

Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ.

c Một số bài tập áp dụng:

Bài toán 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức sau

a) 1272+146.127+732 b) 98.28- (184-1).(184-1)

c) 1002-992+982-972+…+2+22-12 d).( 202+182+…+2+42+22)-(192+172+ +12)

2 2

75 125 150 125

220 780





 f).342+662+68.66

Bài toán 2 : Tính

a) (x+2y)2 ; (x-2y)2 ; (x+2y)3; (x-2y)3 ; b) (3x+y)2 ; (3x-y)2 ; (3x+y)3; (3x-y)3

c).(x2

-3

1

).(x4+

3

1

.x2+

9

1

) d) (0,1x+y2).(0,01x2-0,1x.y2+y4) e).3xn-2(xn+2-yn+2) + yn+2(3xn-2-yn-2) f).(a+b- c)2- (a+b+c)2

Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức

a).(x2+2)2-(x+2).(x2+4) b)

5(x+2).(x-2)-2

1

(6-8x)2+17

c).(x2-1)3-(x4+x2+1).(x2-1) d).(x4-3x2+9)(x2+3)- (3+x2)3

Bài toán 4 : Tìm x biết

a).(x+2).(x2-2x+4)-x(x2+2)=15 b) (x-2)3-(x-3)(x2+3x+9)+6(x+1)2=15

c).6x2-(2x+5)(3x-2)=7 d).0,6x(x-0,5)-0,3x(2x+1,3)=0,138.

Bài toán 5 : So sánh các số sau.

a) A=2005.2007 và B = 20062 b).C = x x y y





và D = 2 2

2 2

y x

y x





d).M = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) và N = 332-1

Bài toán 6 : Tính giá trị các biểu thức

a) a3+1+3a+3a2 với a=9 b).x3+3x2+3x với x= 19

c) a3+6+3a+3a2 với a=29 d) a3+1+3a-3a2 với a=101

Bài toán 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a).x2- 4x+1 b).4x2 +4x+11

c).3x2- 6x-1 d).5x2- 4x+7

Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a).5-8x-x2 b) 4x-x2+1

Bài toán 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a).(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) b).x2-2x+y2-4y+6

Bài toán 10: Chứng minh các hằng đẳng thức

a).a3+b3 =(a+b)3-3ab(a+b) b).(a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a) c).(a2-b2)2+(2ab)2=(a2+b2) d) (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2

Bài toán 11:Hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36 tìm hai số

ấy

Bài toán 12: Hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40 tìm hai số ấy Bài toán 13:Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của hai số trong ba số ấy

bằng 74