Bài giảng giới hạn dãy số chi tiết, dễ tiếp cận cho các em học sinh. Đồng thời là tài liệu để quý thầy cô giảng dạy. Tài liệu được cập nhật thường xuyên do trong quá trình biên soạn theo cấu trúc mới.
Trang 1L ý thuyết bài giảng chương 4
(Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)
A Giới hạn của dãy số
Bài 1 Dãy số có giới hạn 0
1 Định nghĩa
a) Định nghĩa: Ta nói dãy số u có giới hạn là 0 nếu kể từ số hạng nào đó trở đi của dãy số, các số n
hạng đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 số dương bé tùy ý Khi đó ta viết là lim n 0
limu hoặc n 0 u n 0
b) Nhận xét: Dãy u có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy n u n có giới hạn 0
2 Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp
a)
3
n n
b) Dãy không đổi u có n u có giới hạn 0 n 0
c) Nếu | | 1q limq n 0
3 Định lý: Cho hai dãy số u n , v thỏa mãn: n lim 0
n n
u v
2
7
n
n
Ví dự 2: Chứng minh
6n
n
2.6n
III Bài tập
Trang 2L ý thuyết bài giảng chương 4
(Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)
Bài 2 Dãy số có giới hạn
1 Định nghĩa giới hạn của dãy số
Ta nói dãy u n có giới hạn là 1 số hữu hạn L nếu limu n L0 Khi đó ta viết là lim n
limu n L hoặc u n L
2 Một số tính chất
Định lý 1: Nếu limu n L thì:
a) limu n L; lim3u n 3L
b) Nếu u n 0, thì n 0
L
Định lý 2: Nếu limu n a; limv n b; c thì
a) Các dãy số u n v n , u v n n , c u n có giới hạn và
lim
n n n
u v a b
c u c a
b) Nếu b thì dãy số 0 n
n
u v
có giới hạn và lim n
n
v b
Định lý 3: (Định lý kẹp về giới hạn)
Cho 3 dãy số u n , v n , w Nếu với mọi n ta có n
thì limu n L
Định lý 4: (Định lý Weiertrass)
a) Dãy tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
3 Tính chất đặc biệt
n e n
b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn | | 1q là 2 1
1 1 1
1
u
S u u q u q
q
Ví dụ 1: Với mọi số nguyên dương k và hằng số c ta có: lim c k c.lim 1k 0
Trang 3L ý thuyết bài giảng chương 4
(Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)
2
16 lim 25
n n
Ví dụ 3: Tính
a)
4 2
4 3
lim
3 2
4 3
lim
Ví dụ 4: Tính
3 2
1 lim
n n n
Ví dụ 6: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số
Ví dụ 7: Gọi (C) là đường tròn đường kính AB 2a (a là 1 số thực dương) Gọi C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính
2
AB
Gọi C là đường gồm 4 nửa đường tròn đường kính 2 2
2
AB
,…, Gọi C n là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính
2n
AB
,… Gọi p là độ dài của n C n , S là diện n
tích giới hạn bởi đường C với đoạn thẳng AB n
a) Tính p và n S n
b) Tính giới hạn của các dãy p n , S n
Ví dụ 8: Cho | | 1,|q Q | 1 và
2 1
2 1
n n
Tính tổng S 1q Q q Q 2 2 q Q n n
III Bài tập
Bài 3 Dãy số có giới hạn vô cực
1 Định nghĩa: Ta nói dãy số u có giới hạn là nếu kể từ số hạng nào đó trở đi của dãy số mà n
các số hạng đều lớn hơn 1 số dương lớn tùy ý Khi đó ta viết là limu ,… (TT với giới hạn n
âm)
2 Các quy tắc tìm giới hạn vô cực (Không đúng đối với các định lý trong bài 2)
Trang 4L ý thuyết bài giảng chương 4
(Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)
Quy tắc 2: Nếu limu n ; limv n a 0 thì limu v được xác định như sau (kẻ bảng) n n
Quy tắc 3: Nếu limu n a 0; limv n 0,v n 0 thì lim n
n
u
v được xác định như sau (kẻ bảng)
Chú ý:
a) Nếu limv n 0,v n 0 thì lim 1
|v n |
b) Nếu limu thì n lim 1 0
n
u
Ví dụ 1: Có: limn ; lim n ; lim3n ; lim 2n ; lim 1 2 n ; lim3n
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
a)
2 5 lim
n n
3 2 2
lim
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau
2 2
lim
Ví dụ 4: Tính
a)
2 2
lim
n n
2 2 2 2
lim
n
Ví dụ 5: Tính lim 2.3n n 5(Khó)
Ví dụ 6: Tổng của 1 CSN lùi vô hạn bằng 6 và tổng của hai số hạng đầu bằng 4,5 Tìm số hạng đầu
và công bội của CSN đó
Ví dụ 7: Cho dãy số
1 1
1 :
2
n
u
Đặt v n u n 6
a) Chứng minh v n là 1 CSN
b) Tính limu n
III Bài tập
B Giới hạn của hàm số
C Hàm số liên tục