Luận án tiến sỹ toán học các phương pháp hiệu chỉnh lặp newton kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VNHỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆNGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VNHỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN

CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN

KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ

KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS TS Nguyễn Bường

2 PGS TS Đỗ Văn Lưu

HÀ NỘI - NĂM 2018

LỜI CAM ĐOANCác kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi,được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TS Nguyễn Bường và PGS.

TS Đỗ Văn Lưu Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từngđược công bố trong các công trình của người khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình

Tác giả luận án

Nguyễn Dương Nguyễn

LỜI CẢM ƠNLuận án này được hoàn thành tại Học viện Khoa học và Công nghệ,Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tậntình của GS TS Nguyễn Bường và PGS TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy.

Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo, các thầy cô cùngtoàn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ thông tin, Họcviện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ ViệtNam đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp đỡ tác giả trong quá trình họctập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô trong Khoa

Cơ bản, trường Đại học Ngoại thương, nơi tác giả đang công tác, đã tạomọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án

Tác giả xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toánứng dụng, bạn bè đồng nghiệp đã có những trao đổi về kiến thức và đónggóp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, seminar,nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình,những người đã luôn động viên, chia sẻ và khích lệ để tác giả có thể hoànthành công việc học tập và nghiên cứu của mình, niềm vinh hạnh to lớnnày

Tác giả

Mục lục

1.1 Không gian Banach và các vấn đề liên quan 91.1.1 Một số tính chất trong không gian Banach 91.1.2 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 201.2 Phương pháp Newton-Kantorovich 221.3 Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên 241.3.1 Phương pháp điểm gần kề 251.3.2 Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề 26

Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovichcho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu 322.1 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi

tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach 322.2 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi

tuyến với toán tử J -đơn điệu trong không gian Banach 442.3 Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu

chỉnh lặp Newton-Kantorovich 55

Chương 3 Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn

3.1 Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại 643.2 Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham số

của toán tử giải khả tổng 663.3 Ví dụ số minh họa 79

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 85

Một số ký hiệu và viết tắt

Rn không gian Euclide n-chiều

H không gian Hilbert

E∗ không gian đối ngẫu của không gian Banach E

θE phần tử không của không gian E

2E tập tất cả các tập con của không gian E

hx, x∗i giá trị của phần tử x∗ ∈ E∗ tại x ∈ E

R tập hợp các số thực

A\B hiệu của tập hợp A và tập hợp B

inf M cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M cận trên đúng của tập hợp số M

S1(0) mặt cầu đơn vị trong không gian E

BE hình cầu đơn vị trong không gian E

Br(x0) hình cầu tâm x0 và bán kính r

∀x với mọi x

D(A) miền xác định của ánh xạ A

R(A) miền ảnh của ánh xạ A

A−1 ánh xạ ngược của ánh xạ A

A∗ ánh xạ liên hợp của ánh xạ A

I ánh xạ đơn vị

Jk toán tử giải của ánh xạ A với tham số rk

ZerA tập không điểm của ánh xạ A

Lp(Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω (1 < p < ∞)

lp không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞)

l1 không gian các dãy số khả tổng bậc 1

l∞ không gian các dãy số bị chặn

Wpm(Ω) không gian Sobolev

lim sup

n→∞

xn giới hạn trên của dãy số {xn}

lim inf

n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn}

αn & α0 dãy số thực {αn} hội tụ giảm về α0

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh đến x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu đến x

Js ánh xạ đối ngẫu tổng quát

j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

ρE mêtric của không gian mêtric E

int(C) phần trong của tập hợp C

PC phép chiếu mêtric lên tập hợp C

∂f dưới vi phân của phiếm hàm lồi f

arg min f tập tất cả các điểm cực tiểu (toàn cục) của phiếm hàm f

A × B tích đề các của hai tập hợp A và B

Mở đầu

Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái nhưquá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong địachất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp xỉ sóng, bài toán quyhoạch tuyến tính dẫn đến việc giải các bài toán dạng phương trình toán

tử sau (xem [15, 67, 68]):

trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào khônggian mêtric eE và f ∈ eE Tuy nhiên, tồn tại một lớp bài toán trong số cácbài toán này mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu,tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất lớncủa nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định.Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh Do các số liệu thườngđược thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ) và sau đó lại được

xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số Vì vậy, yêu cầu đặt

ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh saocho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gầnvới nghiệm đúng của bài toán xuất phát Những người có công đặt nềnmóng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là V.K Ivanov [50], M.M.Lavrent’ev [57], J.L Lions [102], A.N Tikhonov [83, 84], Do tầm quantrọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớnthời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giảibài toán đặt không chỉnh, điển hình là Ya.I Alber [9], A.B Bakushinskii[15, 16], J Baumeister [19], H.W Engl [40, 41], V.B Glasko [42], A.V.Goncharskii [15], R Gorenflo [10, 44], C.W Groetsch [40, 45], M Hanke[41, 47], B Hoffmann [49, 98], A.K Louis [99], V.A Morozov [63, 64],M.Z Nashed [66], F Natterer [67, 68], A Neubauer [41], G.M Vainikko[88], F.P Vasil’ev [89, 90], Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu

nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bàitoán đặt không chỉnh như Đ.Đ Áng [10], P.K Anh [1], Ng Bường [1, 2],Đ.Đ Trọng [10], v.v hoặc có công trình liên quan đến lý thuyết trênnhư Ng.M Chương [36], Đ.N Hào [48, 87], T.Đ Vân [87],

Nếu eE là không gian Banach với chuẩn k.k thì trong một số trường hợpcủa ánh xạ A, bài toán (0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểuphiếm hàm làm trơn Tikhonov:

Fαδ(x) = kA(x) − fδk2 + αkx − x+k2, (0.2)cùng với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > 0 thích hợp, ở đây fδ

là xấp xỉ của f thỏa mãn

kfδ − f k ≤ δ & 0, (0.3)

và x+ là phần tử được chọn trong E nhằm giúp cho ta tìm một nghiệmcủa (0.1) theo ý muốn Chính vì lí do đó mà x+ được gọi là phần tử dựđoán Nếu A là một ánh xạ phi tuyến thì phiếm hàm Fαδ(x) nói chung làkhông lồi Do đó, không thể áp dụng những kết quả đã đạt được trong việccực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu của Fαδ(x) Điều đódẫn đến việc cực tiểu và rời rạc hóa (0.2) là rất phức tạp Vì vậy, để giảibài toán (0.1) với A là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đã đưa

ra một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên là phươngpháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Tư tưởng của phương pháp này doF.E Browder [24] đưa ra vào năm 1966 để tìm nghiệm của bài toán bấtđẳng thức biến phân, trong đó sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệuchỉnh, với M có các tính chất như đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội và thỏamãn điều kiện bức Cụ thể, cho T : E −→ E∗ là một ánh xạ phi tuyến đơnđiệu và cho f : E −→ (−∞, +∞] là một phiếm hàm lồi, chính thường vànửa liên tục dưới Với mỗi phần tử ω ∈ E∗, xét bài toán bất đẳng thứcbiến phân:

Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) sao cho

hT (u0) − ω, v − u0i ≥ f (u0) − f (v), v ∈ E (0.4)

Kí hiệu tập nghiệm của bài toán (0.4) tương ứng với phần tử ω là Aω.Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E Browder đã xét

bất đẳng thức biến phân sau:

hTα(uα) − ωα, v − uαi ≥ f (uα) − f (v), v ∈ E, (0.5)trong đó α > 0, Tα = T + αM và ωα = ω + αv0, với v0 là phần tử bất

kỳ trong E∗ Ông đã chỉ ra với mỗi α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5)

có duy nhất một nghiệm uα và dãy nghiệm {uα} hội tụ mạnh về phần tử

u0 ∈ Aω khi α → 0, với u0 là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biếnphân:

hM u0 − v0, v − u0i ≥ 0, v ∈ Aω.Nếu E là không gian Banach phản xạ và không gian đối ngẫu E∗ làkhông gian lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu tổng quát Js của E có tính chấtnhư ánh xạ M nêu ở trên (xem [9]) Năm 1975, dựa trên tư tưởng phươngpháp hiệu chỉnh của F.E Browder và tính chất của ánh xạ đối ngẫu Js,Ya.I Alber (xem [1, 7, 9]) đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải bài toán (0.1) khi A là ánh xạ phi tuyến đơn điệu nhưsau:

A(x) + αJs(x − x+) = fδ (0.6)Năm 2016, Ng Bường, T.T Hương và Ng.T.T Thủy [32] đã phát triểnphương pháp (0.6) để đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trìnhtoán tử

Ai(x) = fi, i = 0, 1, , N, (0.7)

ở đây N là số nguyên dương cố định, fi ∈ E∗ và Ai : E → E∗ là ánh xạđơn điệu trên không gian Banach E, i = 0, 1, , N

Ta thấy, trong trường hợp E không phải là không gian Hilbert thì Js

là ánh xạ phi tuyến và do đó, (0.6) là bài toán phi tuyến, ngay cả khi

A là ánh xạ tuyến tính Đây là lớp bài toán khó giải trong thực tế Hơnnữa, một vài thông tin của nghiệm chính xác, ví dụ như độ trơn, có thể

sẽ không được giữ nguyên trong nghiệm hiệu chỉnh vì ánh xạ Js xác địnhtrên toàn không gian nên ta không thể biết được nghiệm hiệu chỉnh nằmđâu trong E Vì vậy, vào năm 1991, Ng Bường (xem [2, 28]) đã cải tiếnphương pháp (0.6) bằng cách thay ánh xạ Js bằng ánh xạ tuyến tính vàđơn điệu mạnh B để đưa ra phương pháp sau:

A(x) + αB(x − x+) = fδ (0.8)

Rõ ràng, nếu A là một ánh xạ tuyến tính thì (0.8) là bài toán tuyếntính Ngoài ra, phương pháp (0.8) còn có ưu điểm là nếu biết được một sốthông tin về nghiệm chính xác thì ta có thể xây dựng ánh xạ B sao chonghiệm hiệu chỉnh vẫn giữ nguyên được tính chất đó.

Trường hợp E ≡ H là không gian Hilbert thì phương pháp (0.6) códạng đơn giản nhất với s = 2 Khi đó, ánh xạ đối ngẫu J2 ≡ I là ánh xạđơn vị trong E và phương pháp (0.6) trở thành:

A(x) + α(x − x+) = fδ (0.9)

Lý thuyết về ánh xạ J -đơn điệu trong không gian Banach là một hướng

mở rộng của lý thuyết ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert Bài toán(0.1) với A là ánh xạ J -đơn điệu trong không gian Banach có mối liên hệchặt chẽ với bài toán điểm bất động, phương trình tiến hóa và bất đẳngthức đồng biến phân (xem [8]) Ngoài ra, lớp bài toán này còn đóng mộtvai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trongkhông gian Lp và Wpm (xem [56, 59, 78, 79]) Năm 2006, Ya.I Alber và I.P.Ryazantseva [9] đã đưa ra sự hội tụ của phương pháp (0.9) khi A là mộtánh xạ J -đơn điệu trong không gian Banach E dưới điều kiện ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc J của E liên tục yếu theo dãy Rất tiếc là lớp không gianBanach vô hạn chiều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy làquá nhỏ (chỉ có không gian lp) Năm 2013, Ng Bường và Ng.T.H Phương[33] đã chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (0.9) mà không đòihỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J Dựa vàophương pháp (0.9), vào năm 2014, Ng Bường và Ng.Đ Dũng [30] đã xâydựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.7) trongtrường hợp fi ∈ E, A0 là ánh xạ J -đơn điệu và Ai là ánh xạ ngược J -đơnđiệu mạnh trên không gian Banach E, i = 1, 2, , N

Tuy nhiên, ta thấy, nếu A là ánh xạ phi tuyến thì (0.6), (0.8) và (0.9)

là các bài toán phi tuyến Chính vì lí do đó, một phương pháp ổn địnhkhác để giải bài toán (0.1), có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đã được quan tâm nghiên cứu Phương pháp này được đềxuất bởi A.B Bakushinskii [14] vào năm 1976 để giải bài toán bất đẳngthức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu Đây là phương pháp hiệuchỉnh được xây dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là

phương pháp Newton-Kantorovich Năm 1987, dựa trên cơ sở phương phápcủa A.B Bakushinskii, để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường hợp

A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu

E∗, khi thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδn thỏa mãn (0.3) với δđược thay thế bởi δn, I.P Ryazantseva (xem [9, 77]) đã đưa ra phươngpháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich:

A(zn) + A0(zn)(zn+1− zn) + αnJs(zn+1) = fδn (0.10)Tuy nhiên, do phương pháp (0.10) sử dụng ánh xạ đối ngẫu Js làm thànhphần hiệu chỉnh nên nó có những hạn chế giống như phương pháp hiệuchỉnh Browder-Tikhonov (0.6) Trường hợp A là ánh xạ J -đơn điệu trênkhông gian Banach E, để tìm nghiệm của bài toán (0.1), cũng dựa trên tưtưởng của phương pháp của A.B Bakushinskii, năm 2005, Ng Bường vàV.Q Hùng [31] đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặpNewton-Kantorovich sau:

A(zn) + A0(zn)(zn+1− zn) + αn(zn+1− x+) = fδ, (0.11)dưới các điều kiện

kA(x) − A(x∗) − J∗A0(x∗)∗J (x − x∗)k ≤ τ kA(x) − A(x∗)k, ∀x ∈ E

(0.12)và

xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert,khái niệm J -đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) dưới điều kiện là

kA0(x)k ≤ 1, kA0(x) − A0(y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ H, L > 0 (0.14)

Nội dung thứ nhất của luận án này trình bày các kết quả mới về phươngpháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến vớitoán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J -đơn điệu) trong không gian Banach

mà chúng tôi đạt được, trong đó đã khắc phục được các hạn chế của cáckết quả đã nêu ở trên

Tiếp theo, ta xét bài toán:

Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗), (0.15)trong đó H là không gian Hilbert, A : H → 2H là ánh xạ đa trị và đơn điệucực đại Phần tử p∗ được gọi là một không điểm của ánh xạ A Ta đã biết,nếu f : H → (−∞, +∞] là phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tụcdưới thì dưới vi phân ∂f là một ánh xạ đơn điệu cực đại trên H Khi đó,bài toán tìm một cực tiểu của f tương đương với bài toán tìm một khôngđiểm của ∂f Ngoài ra, trong thực tế, có nhiều bài toán có thể đưa về bàitoán tìm không điểm của một ánh xạ đơn điệu cực đại như phương trìnhtiến hóa (xem [46]), bài toán bất đẳng thức biến phân (xem [61, 76]), bàitoán điểm yên ngựa lồi-lõm (xem [74]), bài toán quy hoạch lồi (xem [75]).Một trong những phương pháp đầu tiên để tìm nghiệm của bài toán(0.15) phải kể đến phương pháp điểm gần kề do B Martinet [103] giớithiệu vào năm 1970 để tìm cực tiểu của một phiếm hàm lồi và được tổngquát hóa bởi R.T Rockafellar [74] vào năm 1976 như sau:

xk+1 = Jkxk+ ek, k ≥ 1, (0.16)trong đó Jk = (I + rkA)−1 được gọi là toán tử giải của A với tham số

rk > 0, ở đây ek là vectơ sai số và I là ánh xạ đơn vị trên H Vì A là ánh

xạ đơn điệu cực đại nên Jk là ánh xạ đơn trị (xem [91]) Do vậy, ưu điểmnổi bật của phương pháp điểm gần kề là đã đưa bài toán đa trị về bàitoán đơn trị để giải R.T Rockafellar đã chứng minh được rằng phươngpháp (0.16) hội tụ yếu tới một không điểm của ánh xạ A dưới giả thiết tậpkhông điểm của ánh xạ A khác rỗng, P∞k=1kekk < ∞ và rk ≥ ε > 0, vớimọi k ≥ 1 Bằng cách kết hợp giữa nguyên lý ánh xạ co Banach và phươngpháp điểm gần kề (0.16), P.N Anh và các cộng sự đã đưa ra các phươngpháp mới để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu(xem [11, 12]) Năm 1991, O G¨uler [46] đã chỉ ra rằng phương pháp điểm

gần kề (0.16) chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong khônggian vô hạn chiều Với mục đích đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biêncủa phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cựcđại trong không gian Hilbert (xem [21, 22, 51, 58, 60, 82, 91, 95, 97]) cũngnhư của ánh xạ J -đơn điệu trong không gian Banach (xem [35, 52, 71, 80])

đã được nghiên cứu Sự hội tụ mạnh của tất cả các cải biên này đều đượcđưa ra dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số của toán tử giải của ánh xạ

k=1rk < +∞? Để trả lời câu hỏi này, nội dung thứ hai của luận

án giới thiệu các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà chúng tôi

đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong khônggian Hilbert, trong đó sự hội tụ mạnh của các phương pháp được đưa radưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng

Các kết quả thu được trong luận án là:

1) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của một cải biên mới của phươngpháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.10) của I.P Ryazantseva đểgiải bài toán (0.1) với A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vàokhông gian đối ngẫu E∗, trong đó đã khắc phục được các hạn chế như đãnêu của phương pháp (0.10)

2) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặpNewton-Kantorovich (0.11) để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trườnghợp A là ánh xạ J -đơn điệu trên không gian Banach E với việc đã loại bỏđược các điều kiện (0.12), (0.13), (0.14) và không đòi hỏi tính liên tục yếutheo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

3) Đưa ra hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề để tìm khôngđiểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, trong đó sựhội tụ mạnh của các cải biên này được chúng tôi chứng minh dưới giả thiếtdãy tham số của toán tử giải là khả tổng

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được bốcục gồm ba chương như sau:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này có tính chất bổ trợ, trình bày một số khái niệm và tínhchất trong không gian Banach, khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

và phương pháp hiệu chỉnh Chương này cũng trình bày phương phápNewton-Kantorovich và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề đểtìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert.Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovichcho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu

Chương này trình bày về phương pháp hiệu chỉnh lặp Kantorovich để giải phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến loại đơnđiệu trong không gian Banach, bao gồm: đưa ra các phương pháp và định

Newton-lí về sự hội tụ của các phương pháp này Cuối chương đưa ra ví dụ số minhhọa cho kết quả nghiên cứu đạt được

Chương 3 Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơnđiệu cực đại trong không gian Hilbert

Chương này trình bày các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề

để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert,bao gồm: giới thiệu các phương pháp cũng như các kết quả về sự hội tụcủa các phương pháp này Một ví dụ số được đưa ra ở mục cuối của chươngnày nhằm minh họa cho các kết quả nghiên cứu đạt được

Các kết quả của luận án được báo cáo tại:

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12, Ba Vì, Hà Nội,23-25/04/2014

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội,21-23/04/2016

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 15, Ba Vì, Hà Nội,20-22/04/2017

• Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII "Một số vấn đề chọn lọc củaCông nghệ thông tin và truyền thông", Thành phố Hồ Chí Minh,05-06/11/2015

• Seminar hàng tuần ở nhóm Toán ứng dụng của Viện Công nghệ thôngtin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các kiến thức cần thiết nhằm phục vụ cho việctrình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận án ở các chương sau Mục1.1 giới thiệu một số khái niệm, tính chất trong không gian Banach, bàitoán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Mục 1.2 khái quát lạiphương pháp Newton và phương pháp Newton-Kantorovich Mục 1.3 trìnhbày phương pháp điểm gần kề và một số cải biên của nó để tìm không điểmcủa ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

1.1 Không gian Banach và các vấn đề liên quan

1.1.1 Một số tính chất trong không gian Banach

Trước hết, mục này giới thiệu một số không gian Banach thông dụng.a) Không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω, trong đó Ω là một tập đođược trong Rn, ký hiệu Lp(Ω) (1 < p < ∞), được xác định như sau:

Lp(Ω) =





x(t) :

ZΩ

|x(t)|pdt < ∞







Lp(Ω) là không gian Banach, với chuẩn là

kxkp =



ZΩ

|x(t)|pdt





1/p, x(t) ∈ Lp(Ω)

Không gian đối ngẫu của Lp(Ω) là không gian Lq(Ω), với 1

p +

1

q = 1.Với x(t) ∈ Lp(Ω) và x∗(t) ∈ Lq(Ω) thì

hx, x∗i =

ZΩx(t)x∗(t)dt

Không gian L2(Ω) là không gian Hilbert

b) Không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞), ký hiệu lp, được

|xi|p < ∞

)

lp là không gian Banach, với chuẩn là

kxklp =

∞Xi=1

|xi|p

!1/p, x = (x1, x2, , xi, ) ∈ lp

Không gian đối ngẫu của lp là không gian lq, với 1

xiyi

Không gian l2 là không gian Hilbert

c) Không gian các dãy số bị chặn, ký hiệu l∞, được xác định như sau:

|xi| < ∞

)

l1 là không gian Banach, với chuẩn là

kxk1 =

∞Xi=1

xiyi

e) Không gian Sobolev Wpm(Ω) (1 < p < ∞, m > 0): Cho Ω là một tập congiới nội trong Rn Kí hiệu Cm(Ω) là tập các hàm số khả vi liên tục đến cấp

m trên Ω Do Ω là một tập compact nên Cm(Ω) ⊂ Lp(Ω), m = 0, 1, 2,

|x(t)|pdt + X

0<|α|≤m

ZΩ

nPi=1

αi, t = (t1, t2, , tn) ∈ Ω.Không gian Sobolev Wpm(Ω) là không gian Banach tạo thành bởi Cm(Ω)

và được làm đầy đủ bởi chuẩn

kxkWm

p (Ω) =



X

Không gian đối ngẫu của không gian Wpm(Ω) là Wq−m(Ω), với 1

p +

1

q = 1.Không gian W2m(Ω) là không gian Hilbert

Sau đây, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất trong khônggian Banach Để cho đơn giản, trong mục này cũng như trong suốt luận

án, chuẩn của không gian E và không gian đối ngẫu của E là E∗ cùngđược kí hiệu là k.k

Định nghĩa 1.1 Cho E và eE là hai không gian Banach Ánh xạ A :

E −→ eE được gọi là liên tục yếu theo dãy tại điểm x0 ∈ D(A) nếu vớimọi dãy {xn} ⊂ D(A) mà xn * x0 thì A(xn) * A(x0)

Định nghĩa 1.2 Cho E và eE là hai không gian định chuẩn và ánh xạ

A : E −→ eE, với D(A) là tập mở A được gọi là khả vi Gâteaux tại

x ∈ D(A) nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A0(x) : E → eE sao cho với mọi

h ∈ E, t ∈ R thỏa mãn x + th ∈ D(A) thì

limt→0

A(x + th) − A(x)

0(x)h

Khi đó:

A0(x) được gọi là đạo hàm theo nghĩa Gâteaux của ánh xạ A tại điểm x

A0(x)h được gọi là vi phân theo nghĩa Gâteaux của ánh xạ A tại điểm x

Định nghĩa 1.3 Cho E và eE là hai không gian định chuẩn và ánh xạ

A : E → eE, với D(A) là tập mở A được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ D(A)nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính và liên tục A0(x) : E → eE sao cho với mọi

A0(x) được gọi là đạo hàm theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x

A0(x)h được gọi là vi phân theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x.Nếu ánh xạ A khả vi Fréchet tại điểm x thì nó cũng khả vi Gâteaux tạiđiểm x và khi đó hai đạo hàm là đồng nhất (xem [5])

Định nghĩa 1.4 Cho E và eE là hai không gian định chuẩn Ánh xạ

A : E → eE được gọi là hemi-liên tục tại điểm x0 ∈ D(A) nếu với mọi dãy

số {tn}, tn → 0 khi n → ∞, mọi y ∈ E thỏa mãn x0 + tny ∈ D(A) thìA(x0 + tny) * A(x0) khi n → ∞

Nhận xét 1.1 Nếu ánh xạ A liên tục tại điểm x0 thì ánh xạ A là liên tục tại điểm x0

hemi-Định lí 1.1 ([6]) Mọi ánh xạ tuyến tính là ánh xạ hemi-liên tục

Bổ đề 1.1 ([23, 62, 86]) Cho E là không gian Banach thực, f ∈ E∗ và

A : E −→ E∗ là một ánh xạ hemi-liên tục Khi đó, nếu bất đẳng thức sauthỏa mãn

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ D(A),thì A(x0) = f

Bổ đề 1.1 còn được gọi là Bổ đề Minty

Định nghĩa 1.5 Cho E là không gian Banach và E∗ là không gian đốingẫu của nó Với số s ≥ 2, ánh xạ Js : E → 2E∗ được xác định như sau:

Js(x) = {g ∈ E∗ : hx, gi = kxkkgk, kgk = kxks−1}

= {g ∈ E∗ : hx, gi = kxks, kgk = kxks−1}, x ∈ Eđược gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E

Trường hợp s = 2, ánh xạ đối ngẫu J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc của E và thường được ký hiệu là J

|α|≤m(−1)|α|Dα(|Dαx(t)|p−2Dαx(t)) ∈ Wq−m(Ω),

Định nghĩa 1.6 Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả viGâteaux nếu với mọi x, y ∈ S1(0) giới hạn

limt→0

kx + tyk − kxk

ttồn tại

Định lí 1.4 ([37]) Không gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux khi vàchỉ khi ánh xạ đối ngẫu tổng quát Js (s ≥ 2) của E là đơn trị

Định nghĩa 1.7 Không gian Banach E được gọi là không gian lồi chặtnếu với mọi x, y ∈ S1(0), x 6= y thì

x + y

2 < 1.

Nói cách khác, không gian Banach E được gọi là không gian lồi chặtnếu trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt bất kỳ trên mặtcầu đơn vị S1(0) trong E nằm phía bên trong mặt cầu đơn vị đó Nếu E

là không gian lồi chặt thì với x, y ∈ S1(0), đẳng thức kx + yk = 2 xảy rakhi và chỉ khi x = y

Định lí 1.5 ([6, 9, 37]) Cho E là không gian Banach phản xạ Khi đóa) E là lồi chặt khi và chỉ khi E∗ có chuẩn khả vi Gâteaux

b) E có chuẩn khả vi Gâteaux khi và chỉ khi E∗ là lồi chặt

Định nghĩa 1.8 Không gian Banach E được gọi là có tính chất ES nếu

E là không gian phản xạ, lồi chặt và với mọi dãy {xn} ⊂ E thỏa mãn

xn * x và kxnk → kxk thì xn → x

Định nghĩa 1.9 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi

ε ∈ (0, 2], tồn tại δ = δ(ε) ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ E, kxk ≤ 1,kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thì

Ví dụ 1.1 Mọi không gian Hilbert H là không gian lồi đều Thật vậy,với mọi ε ∈ (0, 2], với mọi x, y ∈ E, kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε, ta có

4 ,tức là H là không gian lồi đều

Ví dụ 1.2 Không gian lp, Lp(Ω), với (1 < p < ∞), là các không gian lồiđều (xem [37, 38])

Định lí 1.6 ([6, 37]) Nếu không gian Banach E là lồi đều thì E là lồichặt

Ví dụ 1.3 Lấy phần tử x = (1, 0, 0, ) và y = (0, 1, 0, ) thuộc khônggian l1 Ta thấy kxk1 = 1, kyk1 = 1 và x 6= y nhưng kx + yk1 = 2 Do đó,

l1 không phải là không gian lồi chặt Theo Định lí 1.6, l1 không phải làkhông gian lồi đều

Chiều ngược lại của Định lý 1.6 không đúng

Định lí 1.7 (xem [6, 9, 37]) Nếu không gian Banach E là lồi đều thì E

là không gian phản xạ

Định nghĩa 1.10 Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả viGâteaux đều nếu với mỗi y ∈ S1(0), giới hạn

limt→0

kx + tyk − kxk

tđạt được đều với mọi x ∈ S1(0)

Nhận xét 1.2 Nếu không gian E có chuẩn khả vi Gâteaux đều thì E cóchuẩn khả vi Gâteaux

Định nghĩa 1.11 Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả viFréchet đều nếu giới hạn

limt→0

kx + tyk − kxk

tđạt được đều với mọi x, y ∈ S1(0)

Nhận xét 1.3 Nếu không gian E có chuẩn khả vi Fréchet đều thì E cóchuẩn khả vi Gâteaux đều, và do đó, E có chuẩn khả vi Gâteaux.

Định lí 1.8 ([6, 9, 37]) Cho E là không gian Banach E có chuẩn khả viFréchet đều khi và chỉ khi E∗ là lồi đều

Ví dụ 1.4 Vì không gian Hilbert H∗ = H và các không gian l∗p = lq,

L∗p(Ω) = Lq(Ω), với 1 < p < ∞, 1

p +

1

q = 1, là các không gian lồi đều nên

H, lp và Lp(Ω) là các không gian có chuẩn khả vi Fréchet đều

Nhận xét 1.4 Theo Ví dụ 1.4 và Nhận xét 1.3, không gian Hilbert H vàcác không gian lp, Lp(Ω) là các không gian có chuẩn khả vi Gâteaux đều.Định nghĩa 1.12 Cho E và eE là hai không gian định chuẩn Ánh xạtuyến tính giới nội P : E → eE được gọi là phép chiếu từ không gian Evào eE nếu R(P ) = eE và P2 = P

Định nghĩa 1.13 Không gian Banach E được gọi là có tính chất xấp xỉnếu tồn tại dãy {En} gồm các không gian con hữu hạn chiều của E thỏamãn En ⊂ En+1, ∪En = E và các phép chiếu Pn : E −→ En sao cho

kPnk = 1, ∀n và Pnx → x khi n → ∞, với mọi x ∈ E

Ví dụ 1.5 Không gian Lp[a, b], với 1 ≤ p < ∞, là không gian có tínhchất xấp xỉ (xem [37])

Định lí 1.9 ([3, 4]) Cho E, eE là hai không gian định chuẩn và A : E −→e

E là một toàn ánh tuyến tính Nếu tồn tại một số m > 0 sao cho

kA(x)k ≥ mkxk, với mọi x ∈ D(A),thì A có ánh xạ ngược A−1 liên tục

Tiếp theo, ta có các định nghĩa và định lí sau với giả thiết E và eE làhai không gian Banach

Định nghĩa 1.14 Ánh xạ A : E −→ 2E∗ được gọi là

i) đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), u ∈ A(x), v ∈ A(y) thì

hu − v, x − yi ≥ 0

ii) đơn điệu cực đại nếu A là đơn điệu và đồ thị của A không thực sựnằm trong đồ thị của một ánh xạ đơn điệu khác Nói cách khác, ánh xạ

A : E −→ 2E∗ được gọi là đơn điệu cực đại nếu A là đơn điệu và với y ∈ E

và v ∈ E∗ thỏa mãn

hu − v, x − yi ≥ 0, ∀x ∈ D(A), u ∈ A(x),thì y ∈ D(A) và v ∈ A(y)

Định lí 1.10 ([25]) Cho E là không gian Banach phản xạ, A : D(A) ⊂

E −→ E∗ là ánh xạ hemi-liên tục và w là một phần tử bất kỳ trong E∗.Khi đó, nếu ˜x ∈ D(A) là nghiệm của bất đẳng thức biến phân

hw − A(y), ˜x − yi ≥ 0, ∀y ∈ D(A) (1.1)thì ˜x cũng là nghiệm của bất đẳng thức biến phân

hw − A(˜x), ˜x − yi ≥ 0, ∀y ∈ D(A) (1.2)Hơn nữa, nếu A là ánh xạ đơn điệu thì hai bất đẳng thức biến phân (1.1)

Định lí 1.13 ([9, 18, 73]) Cho E là không gian Banach phản xạ và A1, A2

là hai ánh xạ đơn điệu cực đại đi từ E vào E∗ thỏa mãn

D(A1) ∩ int(D(A2)) 6= ∅

Khi đó, A1 + A2 là ánh xạ đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.15 Ánh xạ A : E −→ E∗ được gọi là

i) bức nếu

limkxk→+∞

hA(x), xikxk = +∞.

ii) α-đơn điệu mạnh (α > 0) nếu với mọi x, y ∈ D(A) thì

hA(x) − A(y), x − yi ≥ αkx − yk2

iii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng và liên tục γ(t), với t ≥ 0, thỏamãn γ(0) = 0, sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ γ(kx − yk), ∀x, y ∈ D(A)

Định lí 1.14 ([9, 27]) Nếu A : E −→ E∗ là ánh xạ đơn điệu cực đại vàbức thì R(A) = E∗

Định nghĩa 1.16 Ánh xạ A : E −→ E được gọi là

i) J -đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ 0

ii) m-J -đơn điệu nếu A là J -đơn điệu và R(A + αI) = E với mọi α > 0, ởđây I là ánh xạ đơn vị trên E, tức là I(x) = x với mọi x ∈ E

iii) α-J -đơn điệu mạnh (α > 0) nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈

J (x − y) sao cho

hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ αkx − yk2.iv) J -đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm số thực tăng γ(t), với t ≥ 0, thỏamãn γ(0) = 0 sao cho với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) để

hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ γ(kx − yk)

Định nghĩa 1.17 Ánh xạ A : E −→ eE được gọi là L-liên tục Lipschitz(L > 0) nếu với mọi x, y ∈ D(A) thì

kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk

Đặc biệt, nếu L = 1 thì A được gọi là ánh xạ không giãn và nếu L < 1 thì

A được gọi là ánh xạ co

Định lí 1.15 ([26]) Nếu A : E −→ E, với D(A) = E, là ánh xạ J -đơnđiệu và liên tục Lipschitz thì A là ánh xạ m-J -đơn điệu

Chú ý 1.1 Nếu E ≡ H là không gian Hilbert thì J là ánh xạ đơn vị, do

đó các khái niệm J -đơn điệu, m-J -đơn điệu và α-J -đơn điệu mạnh tươngứng trùng với các khái niệm đơn điệu, đơn điệu cực đại và α-đơn điệumạnh

Tiếp theo, cho H là không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.18 Phiếm hàm f : H → [−∞, +∞] được gọi là nửa liêntục dưới tại điểm x0 ∈ H nếu với dãy {xn} ⊂ H, xn → x0 thì

lim infn→∞ f (xn) ≥ f (x0)

Nói cách khác, phiếm hàm f : H → [−∞, +∞] được gọi là nửa liên tụcdưới tại điểm x0 ∈ H nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho vớimọi x ∈ H, kx − x0k ≤ δ thì f (x) > f (x0) − ε

Định nghĩa 1.19 Cho f : H → (−∞, +∞] là một phiếm hàm chínhthường Phần tử p ∈ H được gọi là dưới gradient của f tại điểm x ∈ Hnếu

hy − x, pi ≤ f (y) − f (x), ∀y ∈ H

Tập tất cả các dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của ftại x, ký hiệu là ∂f (x) Như vậy, dưới vi phân của một phiếm hàm chínhthường f là ánh xạ ∂f : H → 2H được xác định bởi

∂f (x) = {p ∈ H : hy − x, pi ≤ f (y) − f (x), ∀y ∈ H}, x ∈ H

Định lí 1.16 ([6, 9, 20]) Cho f : H → (−∞, +∞] là phiếm hàm lồi,chính thường và x0 ∈ Dom(f ) Nếu f khả vi Gâteaux tại x0 thì ∂f (x0) ={f0(x0)}

Định nghĩa 1.20 Ánh xạ F : H −→ H được gọi là γ-giả co chặt (γ ∈(0, 1)) nếu với mọi x, y ∈ H, ta có

hF x − F y, x − yi ≤ kx − yk2 − γk(I − F )x − (I − F )yk2

Định nghĩa 1.21 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H.Ánh xạ T : C −→ H được gọi là ánh xạ trung bình nếu T = (1−α)I +αN ,với α là một số cố định thuộc khoảng (0; 1) và N là ánh xạ không giãn.Khi đó, ta nói T là α-trung bình

Định nghĩa 1.22 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H.Phép chiếu mêtric trên C, ký hiệu PC, là một ánh xạ đặt tương ứng mỗiđiểm x ∈ H với một điểm duy nhất trong C mà gần với điểm x nhất, cụthể

kx − PC(x)k = inf

y∈Ckx − yk

1.1.2 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnhKhái niệm về bài toán đặt không chỉnh đã được J Hadamard [101] đưa

ra vào đầu thế kỷ 20 khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biênlên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình

với A là một ánh xạ từ không gian mêtric E vào không gian mêtric eE.Bài toán (1.3) được gọi là bài toán chỉnh trên cặp không gian mêtric(E, eE) nếu:

i) Với mỗi f ∈ eE tồn tại nghiệm x ∈ E;

ii) Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất;

iii) Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào f

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bàitoán (1.3) được gọi là bài toán đặt không chỉnh

Việc biết thêm thông tin về nghiệm chính xác x∗ của phương trình (1.3)như tính lồi, tính đơn điệu cũng như tính khả vi cho phép ta tìm nghiệmxấp xỉ của (1.3) trong một tập hẹp hơn như là tập compact chẳng hạn.Một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ dựa trên thông tin bổ sung vềnghiệm là phương pháp chọn, phương pháp tựa nghiệm, phương pháp sửdụng phương trình xấp xỉ, phương pháp tựa nghịch đảo (xem [1])

Để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.3) trong trường hợp tổngquát, khi không đủ thông tin để khẳng định nghiệm chính xác x∗ nằmtrong một tập compact nào đó của E, A.N Tikhonov đã đưa ra một kháiniệm mới Đó là phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán

tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào (xem[83, 84, 85])

Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là

fδ ∈ eE thỏa mãn ρ

e

E(fδ, f ) ≤ δ & 0 Bài toán đặt ra là dựa vào thôngtin về (A, fδ) và mức sai số δ, tìm một phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chínhxác x∗ Rõ ràng, ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc

xδ = A−1fδ, vì thứ nhất là A−1 có thể không xác định với fδ, thứ hai là

A−1 không liên tục, nên nếu A−1fδ tồn tại thì cũng chưa chắc đã xấp xỉ

A−1f

Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.3) Vì vậy, một điều

tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vàomột tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao chokhi δ & 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm x∗ Ta cũng thấy, nếuđược thì từ fδ ∈ eE ta có phần tử xấp xỉ thuộc E, tức là tồn tại một toán

tử nào đó tác động từ không gian eE vào không gian E

Định nghĩa 1.23 Toán tử R( ef , α), phụ thuộc tham số α, tác động từ eEvào E được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.3) nếu:

i) Tồn tại hai số dương α1 và δ1 sao cho toán tử R( ef , α) xác định vớimọi α ∈ (0, α1) và với mọi ef ∈ eE : ρ

Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải (1.3)gồm hai bước:

3) Trường hợp A là ánh xạ J -đơn điệu trên không gian Banach E, mộttrong những phương pháp được sử dụng rộng rãi để giải bài toán (1.3) làphương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.9) (xem trang 4) Ng.Bường và Ng.T.H Phương [33] đã chứng minh được kết quả sau cho sựhội tụ mạnh của phương pháp (0.9):

Định lí 1.17 ([33]) Cho E là một không gian Banach thực, phản xạ, lồichặt, có chuẩn khả vi Gâteaux đều và A là ánh xạ m-J -đơn điệu trên E.Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ E, phương trình (0.9) có nghiệm duy nhất

xδα Hơn nữa, nếu tham số α được chọn sao cho δ/α → 0 khi α → 0 thìdãy {xδα} hội tụ mạnh tới phần tử x∗ ∈ E là nghiệm duy nhất của bất đẳngthức biến phân sau

x∗ ∈ S∗ : hx∗ − x+, j(x∗ − y)i ≤ 0, ∀y ∈ S∗, (1.4)

ở đây S∗ là tập nghiệm của (1.3) và S∗ khác rỗng

Ta thấy, Định lí 1.17 đưa ra sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm hiệu chỉnh{xδ

α} sinh bởi phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.9) đến nghiệm

x∗ của bài toán (1.3) mà không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh

xạ đối ngẫu chuẩn tắc J Kết quả này là một sự cải tiến đáng kể so vớikết quả của Ya.I Alber và I.P Ryazantseva [9] (xem phần Mở đầu)

Do khi A là ánh xạ phi tuyến thì (0.6), (0.8) và (0.9) là các bài toán phituyến nên để khắc phục hạn chế này, trong Chương 2, chúng tôi sẽ trìnhbày một phương pháp hiệu chỉnh khác, có tên là phương pháp hiệu chỉnhlặp Newton-Kantorovich Đây là phương pháp hiệu chỉnh được xây dựngdựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là phương pháp Newton-Kantorovich sẽ được trình bày khái quát lại ở Mục 1.2 Đặc biệt, sự hội tụmạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich trong trườnghợp A là ánh xạ J -đơn điệu trên không gian Banach (trình bày trong Mục2.2, Chương 2) được chúng tôi chứng minh dựa trên việc sử dụng Định lí1.17

1.2 Phương pháp Newton-Kantorovich

Ta đã biết, phương pháp Newton là một công cụ quan trọng trong giảitích số và tối ưu Nó có ứng dụng rộng rãi trong khoa học quản lý, công

nghiệp, nghiên cứu tài chính và khai thác dữ liệu Ý tưởng cơ bản củaphương pháp Newton là rất đơn giản: đó là tuyến tính hóa Giả sử ta cầngiải phương trình phi tuyến

và được gọi là phương pháp Newton-Kantorovich liên tục

L.V Kantorovich đã đưa ra định lí hội tụ sau, được gọi là định líNewton-Kantorovich, cho phương pháp (1.8):

Định lí 1.18 ([53]) Cho E và eE là hai không gian Banach, ánh xạ F :

D ⊂ E → eE hai lần khả vi Fréchet trên tập lồi và mở D0 ⊂ D và điểm xuấtphát x0 ∈ D0 sao cho ánh xạ tuyến tính F0(x0) : E → eE là khả nghịch

Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn

Br(x0) = {x : kx − x0k ≤ r}, với r = 1 −

√

1 − 2h

Khi đó, nếu Br(x0) ⊂ D0 thì phương trình (1.7) có một nghiệm x∗ ∈ Br(x0)

và dãy {xn} xác định bởi (1.8) hội tụ tới x∗ với tốc độ hội tụ được xác địnhbởi

kxn− x∗k ≤ 1

2n−1(2h)2n−1η

Phương pháp Newton-Kantorovich đã có ứng dụng rộng rãi Nhiềubài toán phi tuyến, chẳng hạn như phương trình tích phân phi tuyến,phương trình vi phân thường, phương trình vi phân riêng phần và bàitoán biến phân, có thể đưa về dạng (1.7) và sử dụng phương pháp Newton-Kantorovich để giải (xem [54, 55])

Năm 1949, I.P Mysovskikh [65] đã thay thế điều kiện F0(x) là khảnghịch tại x0 bởi điều kiện F0(x) là khả nghịch trên D0 và tác giả đãchứng minh được sự hội tụ của phương pháp (1.8) dưới điều kiện h < 2.Điều kiện này yếu hơn điều kiện h < 1/2 mà L.V Kantorovich đã nêu ra.Nhận xét 1.5 Ta thấy, sự hội tụ của phương pháp Newton-Kantorovichđòi hỏi ánh xạ F0 khả nghịch và các điều kiện về đạo hàm của ánh xạ F

là hết sức chặt chẽ Đối với F là ánh xạ đơn điệu, sự hội tụ cho phươngpháp Newton-Kantorovich là một câu hỏi mở trong một thời gian dài Chú

ý rằng trong trường hợp này chỉ có quá trình hiệu chỉnh được xây dựngdựa trên phương pháp Newton-Kantorovich liên tục (1.9) mới có thể chophép chúng ta chứng minh được sự hội mạnh tới nghiệm của phương trìnhkhông chỉnh phi tuyến ban đầu (xem [9, 14])

1.3 Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên

Trong mục này, ta xét bài toán:

Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗), (1.10)

trong đó H là không gian Hilbert và A : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cựcđại Phần tử p∗ là nghiệm của bài toán (1.10) được gọi là một không điểmcủa ánh xạ A Giả sử tập các không điểm của ánh xạ A, ký hiệu là ZerA,khác rỗng.

ở đây A = ∂f và I là ánh xạ đơn vị trên H

Năm 1976, R.T Rockafellar [74] đã tổng quát hóa phương pháp của B.Martinet để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại A như sau

xk+1 = Jkxk+ ek, k ≥ 1, (1.15)trong đó Jk = (I + rkA)−1 được gọi là toán tử giải của A với tham số

rk > 0, ở đây ek là vectơ sai số Ta đã biết, Jk là ánh xạ đơn trị, khônggiãn, D(Jk) = H (xem [91]) và Fix(Jk) = ZerA (xem [93]) Do Jk là ánh

xạ đơn trị nên một trong những ưu điểm của phương pháp điểm gần kề

là đã đưa bài toán đa trị về bài toán đơn trị để giải R.T Rockafellar đãchứng minh được rằng, nếu dãy {ek} thỏa mãn điều kiện

kekk ≤ εk,

∞Xk=1

dãy {rk} giới nội dưới và cách xa 0 thì dãy {xk} sinh ra bởi phương pháp(1.15) hội tụ yếu tới một không điểm của A Điều đó thể hiện bởi định lísau:

Định lí 1.19 ([74]) Cho A : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực đại vớiZerA 6= ∅ và dãy {xk} sinh bởi phương pháp điểm gần kề (1.15) Giả sửđiều kiện (1.16) đúng Hơn nữa, dãy {rk} thỏa mãn điều kiện

(C0) tồn tại hằng số ε > 0 sao cho rk ≥ ε với mọi k ≥ 1

Khi đó, dãy {xk} hội tụ yếu tới một điểm thuộc ZerA

Năm 1991, O G¨uler [46] đã chỉ ra rằng phương pháp điểm gần kề chỉđạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không gian vô hạnchiều Để đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên của phương pháp điểmgần kề đã được đưa ra Mục sau sẽ trình bày một số cải biên của phươngpháp điểm gần kề được xây dựng dựa trên toán tử giải của ánh xạ A.1.3.2 Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề

Năm 1996, N Lehdili và A Moudafi [58] đã đề xuất một cải biên củaphương pháp điểm gần kề, được gọi là phương pháp điểm gần kề-Tikhonov,bằng cách kết hợp giữa phương pháp điểm gần kề và phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov như sau:

xk+1 = JAk

ở đây JAk

k = (I + rkAk)−1 với Ak = A + µkI, µk > 0 Các tác giả đã chứngminh được định lí sau cho sự hội tụ của phương pháp (1.17):

Định lí 1.20 ([58]) Giả sử {rk} là giới nội và {µk} là dãy số thực dươngthỏa mãn

lim

k→+∞µk = 0,

+∞

Xk=1

µk = ∞ và lim

k→+∞

1

µk+1 − 1

µk

= 0 (1.18)Khi đó, dãy {xk} sinh bởi phương pháp điểm gần kề-Tikhonov (1.17) hội

tụ mạnh tới một phần tử thuộc ZerA có chuẩn nhỏ nhất

Năm 2006, H.K Xu [95] đã mở rộng phương pháp điểm gần kề-Tikhonovcủa N Lehdili và A Moudafi để đưa ra dãy lặp:

xk+1 = Jk(tku + (1 − tk)xk + ek), k ≥ 1, (1.19)trong đó u là phần tử cố định trong H Sự hội tụ của dãy {xk} sinh bởi(1.19) tới PZerAu khi k → ∞, ở đây PZerAu là phép chiếu mêtric của phần

tử u trên tập ZerA, đã được tác giả đưa ra bởi định lí sau:

Định lí 1.21 ([95]) Giả sử các dãy {tk}, {rk} và {ek} thỏa mãn điều kiện(C0) và

(C1) tk ∈ (0; 1) với mọi k ≥ 1, limk→∞tk = 0 và P∞

H.K Xu đã chỉ ra rằng phương pháp (1.17) của N Lehdili và A Moudafi

là trường hợp riêng của phương pháp (1.19) nếu ta lấy u = θH, ek = θH

và µk = tk/rk, với mọi k ≥ 1 Ngoài ra, tác giả cũng chỉ ra rằng dãy {µk}với µk = 1/k, k ≥ 1 không thỏa mãn (1.18) Tuy nhiên, với dãy {µk} nhưtrên thì tk = rk/k Khi đó, các điều kiện trên dãy {tk} trong Định lí 1.21thỏa mãn nếu dãy {rk} thỏa mãn các điều kiện trong Định lí 1.21

Năm 2012, phương pháp (1.19) đã được tổng quát hóa bởi O.A Boikanyo

và G Morosanu [22] bằng cách sử dụng ánh xạ không giãn T : H → Hnhư sau:

xk+1 = Jk(tku + ρkxk+ δkT xk + ek), k ≥ 1, (1.20)trong đó tk, ρk, δk ∈ [0, 1] thỏa mãn tk+ ρk+ δk = 1 Ta thấy, khi T ≡ I làánh xạ đơn vị thì phương pháp (1.20) chính là phương pháp (1.19) Cáctác giả đã đưa ra định lí sau cho sự hội tụ của phương pháp (1.20):

Định lí 1.22 ([22]) Cho T : H → H là ánh xạ không giãn với ZerA ⊂Fix(T ) và x1, u là các điểm bất kỳ nhưng cố định thuộc H Giả sử tk, ρk, δk ∈[0, 1], với tk+ ρk+ δk = 1, thỏa mãn các điều kiện (C0), (C1) và hoặc (C5)

(C5’) limk→∞(kekk/tk) = 0

Khi đó, dãy {xk} sinh bởi phương pháp (1.20) hội tụ mạnh tới PZerAu.Trong kết quả trên, bên cạnh việc đã được loại bỏ được các điều kiện(C2), (C3) và (C4), các tác giả đã sử dụng điều kiện tổng quát hơn đối vớivới dãy {ek}, đó là dãy {ek} hoặc thỏa mãn (C5) hoặc thỏa mãn (C5’).Giả thiết này đã được các tác giả đưa ra đầu tiên trong [21] khi nghiêncứu sự hội tụ của phương pháp điểm gần kề co (xem Mục 3.2.2) Từ đó,các tác giả chỉ ra rằng, mọi dãy {ek} mà kekk → 0 đều thỏa mãn cho sựhội tụ mạnh của phương pháp (1.20) miễn là ta chọn dãy {tk} thích hợp.Năm 2013, Ch.A Tian và Y Song [82] cũng đã nghiên cứu sự hội tụcủa phương pháp (1.19) và đưa ra kết quả sau dưới những điều kiện nhẹhơn của H.K Xu:

Định lí 1.23 ([82]) Giả sử các dãy {tk} ⊂ (0, 1), {rk} ⊂ (0, +∞) và dãy{ek} ⊂ H thỏa mãn các điều kiện (C1), (C5) và

(C0’) lim infk→∞rk > 0

Khi đó, dãy {xk} sinh bởi phương pháp (1.19) hội tụ mạnh tới PZerAu.Phương pháp điểm gần kề co là một dạng cải biên khác của phươngpháp điểm gần kề được giới thiệu bởi S Kamimura và W Takahashi [51]vào năm 2000, với dãy {xk} được xác định bởi:

yk ≈ Jkxk, kyk − Jkxkk ≤ εk, xk+1 = tku + (1 − tk)yk (1.21)Phương pháp (1.21) được gọi là phương pháp điểm gần kề co vì với mỗi

t ∈ (0, 1) và rk > 0 cố định thì ánh xạ x 7→ tu + (1 − t)Jkx là ánh xạ co.Các tác giả đã đưa ra kết quả sau cho sự hội tụ của phương pháp (1.21):Định lí 1.24 ([51]) Giả sử các dãy {tk}, {rk} và {δk} thỏa mãn các điềukiện (C1) và

(C0”) rk ∈ (0; ∞) với mọi k ≥ 1 và limk→∞rk = ∞;

Ta thấy, nếu rk ≡ c, ∀k ≥ 1, với c là một hằng số nào đó thì khôngthỏa mãn điều kiện (C0”) Năm 2004, bằng việc thay thế điều kiện (C0”)bởi điều kiện nhẹ hơn là (C0), G Marino và H.K Xu [60] đã đưa ra định

lí sau cho sự hội tụ của phương pháp (1.22):

Định lí 1.25 ([60]) Giả sử các dãy {tk}, {rk} và {ek} thỏa mãn điều kiện(C0), (C1), (C3), (C4), (C5) và hoặc (C2) hoặc

(C2’) limk→∞tk/tk+1 = 1

Khi đó, dãy {xk} xác định bởi phương pháp (1.22) hội tụ mạnh tới PZerAu.Năm 2008, Y Yao và M.A Noor [97] đã mở rộng phương pháp (1.22)bằng cách đưa ra phương pháp lặp:

xk+1 = tku + ρkxk + δkJkxk+ ek, k ≥ 1, (1.23)trong đó tk+ ρk+ δk = 1 Các tác giả đã chứng minh được kết quả sau chophương pháp (1.23):

Định lí 1.26 ([97]) Giả sử tk, ρk, δk ∈ (0, 1), với tk + ρk + δk = 1 và dãy{ek} thỏa mãn các điều kiện (C0), (C1), (C5) và

(C4’) rk+1− rk → 0;

(C7) 0 < lim infk→∞ρk ≤ lim supk→∞ρk < 1

Khi đó, dãy {xk} sinh bởi phương pháp (1.23) hội tụ mạnh tới PZerAu

So với kết quả của G Marino và H.K Xu, trong kết quả trên, Y Yao

và M.A Noor đã thay thế điều kiện (C4) bởi điều kiện nhẹ hơn là (C4’) vàloại bỏ được các điều kiện (C2), (C2’) và (C3) nhưng sử dụng thêm điềukiện (C7)

Năm 2010, O.A Boikanyo và G Morosanu [21] đã chỉ ra rằng phươngpháp (1.19) tương đương với phương pháp (1.22) và đạt được kết quả hội

tụ sau cho phương pháp (1.22) với việc đưa ra giả thiết tổng quát hơnđối với dãy {ek} là: dãy {ek} thỏa mãn hoặc (C5) hoặc (C5’) nhưng lại sửdụng điều kiện (C0”) mạnh hơn điều kiện (C0):

Định lí 1.27 ([21]) Giả sử các dãy {tk}, {rk} và {ek} thỏa mãn điều kiện(C0”), (C1) và hoặc (C5) hoặc (C5’) Khi đó, dãy {xk} xác định bởi phươngpháp (1.22) hội tụ mạnh tới PZerAu

Tương tự như đã trình bày trong Mục 3.2.1, ta thấy, mọi dãy {ek} mà

kekk → 0 đều thỏa mãn cho sự hội tụ mạnh của phương pháp (1.22) miễn

là ta chọn dãy {tk} thích hợp

Năm 2015, nhờ việc sử dụng giả thiết về dãy {ek} giống như của O.A.Boikanyo và G Morosanu, F Wang và H Cui [91] đã cải thiện được kếtquả của Y Yao và M.A Noor đối với phương pháp (1.23) Điều đó thểhiện bởi định lí:

Định lí 1.28 ([91]) Giả sử tk ∈ (0, 1), ρk ∈ (−1, 1), δk ∈ (0, 2), với

tk+ ρk+ δk = 1 và dãy {ek} thỏa mãn các điều kiện (C0’), (C1), hoặc (C5)hoặc (C5’) và

(C8) 0 < lim infk→∞δk ≤ lim supk→∞δk < 2

Khi đó, dãy {xk} sinh bởi phương pháp (1.23) hội tụ mạnh tới PZerAu

So với kết quả của Y Yao và M.A Noor, trong kết quả trên, F Wang

và H Cui đã đưa ra khoảng lựa chọn cho các giá trị của các tham số ρk và

δk là rộng hơn và sử dụng điều kiện (C8) là nhẹ hơn so với điều kiện (C7).Ngoài ra, F Wang và H Cui đã loại bỏ được điều kiện (C4’) và cho phép

ta có nhiều lựa sự chọn hơn đối với dãy {ek}

Nhận xét 1.6 Ta thấy, sự hội tụ mạnh của các cải biên của phương phápđiểm gần kề nêu ở trên đều sử dụng một trong các điều kiện (C0), (C0’) và(C0”) Các điều kiện này đều dẫn tới dãy tham số {rk} của toán tử giải làkhông khả tổng, tức là

∞Pk=1

rk = +∞ Trong Chương 3, chúng tôi sẽ đưa rahai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ mạnh của cácphương pháp này được đưa ra dưới điều kiện về dãy tham số của toán tửgiải hoàn toàn khác so với các kết quả đã biết Cụ thể, chúng tôi sử dụngđiều kiện dãy tham số của toán tử giải là khả tổng, tức là

∞Pk=1

rk < +∞

KẾT LUẬN

Chương 1 có tính chất chuẩn bị, nhằm đưa ra những kiến thức phục vụcho việc trình bày trong các chương sau của luận án Cụ thể, Mục 1.1 đề

cập một số vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học của không gian Banachcũng như trình bày các khái niệm liên quan đến ánh xạ loại đơn điệu (đơnđiệu và J -đơn điệu) cùng một số tính chất cơ bản của chúng Mục nàycũng đưa ra khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệuchỉnh Mục 1.2 khái quát lại phương pháp Newton-Kantorovich Mục 1.3trình bày phương pháp điểm gần kề và một số cải biên của nó để tìmkhông điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert Sự hội

tụ mạnh của các cải biên này đều sử dụng các giả thiết dẫn tới dãy tham

số của toán tử giải là không khả tổng

Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh lặp

Newton-Kantorovich cho phương

trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu

Chương này trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich

để tìm nghiệm của phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu Mục2.1 đưa ra các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovichcho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu Mục 2.2 giớithiệu các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich chophương trình toán tử không chỉnh phi tuyến J -đơn điệu Mục 2.3 đưa ra

ví dụ số áp dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich để giảiphương trình tích phân kiểu Hammerstein Các kết quả của chương nàyđược trình bày dựa vào các công trình [20], [30] và [40] trong danh mục cáccông trình đã công bố

2.1 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phituyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach

Xét phương trình toán tử phi tuyến

Nếu A không có thêm tính chất đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều thìbài toán (2.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh.

Do khi A là ánh xạ phi tuyến thì các phương pháp hiệu chỉnh dạngBrowder-Tikhonov (0.6) (xem trang 3) và (0.8) (xem trang 3) là các bàitoán phi tuyến nên để giải (2.1), trong mục này, ta xét một phươngpháp hiệu chỉnh khác, có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich Phương pháp hiệu chỉnh này được đề xuất bởi A.B Bakushin-skii [14] dựa trên phương pháp Newton-Kantorovich (xem trang 23) để tìmnghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau trong không gian HilbertH:

Tìm phần tử x∗ ∈ Q ⊆ H sao cho

hA(x∗), x∗− wi ≤ 0, ∀w ∈ Q, (2.3)trong đó A : H → H là ánh xạ đơn điệu, Q là tập lồi và đóng trong H.A.B Bakushinskii đã đưa ra phương pháp lặp để giải bài toán (2.3) nhưsau:

z0 = x+ ∈ H, A(zn) + A0(zn)(zn+1− zn) + αn(zn+1− x+) = fδ, (2.5)với nguyên lý độ lệch suy rộng

kA(zN) − fδk2 ≤ τ δ < kA(zn) − fδk2, 0 ≤ n < N = N (δ) (2.6)Các tác giả đã đưa ra định lí sau cho sự hội tụ mạnh của phương pháphiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.5):

Định lí 2.1 ([17]) Cho H là không gian Hilbert thực và A : H → H làánh xạ đơn điệu Giả sử các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:

Newton- Kantorovich cho phương

trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu

Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich

để... phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich chophương trình tốn tử khơng chỉnh phi tuyến J -đơn điệu Mục 2.3 đưa

ví dụ số áp dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich để giảiphương...

để tìm nghiệm phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu Mục2.1 đưa kết phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovichcho phương trình tốn tử khơng chỉnh phi tuyến đơn điệu Mục 2.2 giớithiệu