chuyên đề hàm số ôn thi đại học

chuyên đề hàm số ôn thi đại học tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...

ÔN THI ðẠI HỌC NĂM 2009

Chương I: Hàm số

Cấu trúc ñề thi của Bộ GD&ðT:

I

• Khảo sát, vẽ ñồ thị của hàm số

• Các bài toán liên quan ñến ứng dụng của ñạo hàm

và ñồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số

Cực trị Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tiếp

tuyến, tiệm cận (ñứng và ngang) của ñồ thị hàm số

Tìm trên ñồ thị những ñiểm có tính chất cho trước;

tương giao giữa hai ñồ thị (một trong hai ñồ thị là

ñường thẳng);

2,0

NỘI DUNG ÔN TẬP

1 Chiều biến thiên của hàm số

Kiến thức:

Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh và có ñạo hàm trên khoảng (a b; )

• Nếu y x′( )≥0 với mọi x∈(a b; ) (y′ =0 tại hữu hạn ñiểm thuộc

(a b; )) thì hàm số y= f x( ) ñồng biến trên khoảng (a b; )

• Nếu y x′( )≤0 với mọi x∈(a b; ) (y′ =0 tại hữu hạn ñiểm thuộc

(a b; )) thì hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng (a b; )

Ví dụ 1: Tìm m ñể hàm số ( ) 3 2

y= m− x − x − x+ luôn nghịch biến (trên tập xác ñịnh)

Hướng dẫn:

• Tập xác ñịnh: D = ℝ

y′ = m− x − x− =  m− x − x− 

Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khiy′ ≤0 với mọi x

( ) 2

′

• Kết luận: Giá trị của m phải tìm thỏa yêu cầu là m ≤ −3

Ví dụ 2: Tìm m ñể hàm số

2

1

y

x

=

− ñồng biến trên khoảng (3; +∞)

Hướng dẫn giải:

• Với mọi x >3, ta có

( )

2

2

1

y

x

′ =

• Hàm số ñồng biến trên khoảng (3; +∞) khi và chỉ khi

( )

2

2

0 1

y

x

− với mọi x >3

2

2x 4x 3 m 0

mọi x >3 (*) Việc giải quyết vấn ñề này có 02 cách:

Cách 1: Dùng ñịnh lý về dấu của tam thức bậc hai (cách này khó

với nhiều học sinh)

Cách 2: Dùng ñạo hàm

2x 4x 3 m

⇔ − + ≥ , với mọi x >3 (**)

y= f x = x − x+ trên nửa khoảng[3; +∞), ta có:

( ) 4( 1) 0,

f′ x = x− > với mọi x ≥3 Vậy hàm số ñồng biến trên

(3; +∞)

f x = x − x+ > f = với mọi x >3

Do ñó (**) ñược thỏa mãn ⇔m≤ 9

• Kết luận: Giá trị của m phải tìm là m ≤9

• Bài tập tự luyện:

Bài 1: (ðH Ngoại thương 1997)

y=x + x + m+ x+ m nghịch biến trên khoảng (−1;1)

Bài 2: (ðH Luật – Dược 2001)

y=x − m− x + m m− x+ ñồng biến trên các khoảng thỏa mãn 1≤ x ≤2

2 Cực trị

Lý thuyết:

1) Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng (a b; ) chứa

ñiểm x0 và có ñạo hàm trên khoảng (a b; ) { }\ x0

• Nếu f′( )x <0 với mọi x∈(a x; 0) và f′( )x >0 với mọi

( 0; )

x∈ x b thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x0

• Nếu f′( )x >0 với mọi x∈(a x; 0) và f′( )x <0 với mọi

( 0; )

x∈ x b thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x0

2) Giả sử hàm số y= f x( ) có ñạo hàm cấp một trên khoảng

(a b; ) chứa x0, f′( )x0 =0 và có ñạo hàm cấp hai khác 0 tại x0

• Nếu f′′( )x0 <0 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x0

• Nếu f′′( )x0 >0 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x0

Ví dụ 1: (CðSP TP Hồ Chí Minh 1999)

y=x − mx + m − x+m ñạt cực tiểu tại

2

x =

Hướng dẫn giải:

• Tập xác ñịnh: D = ℝ

y′ = x − mx m+ − , y′′ =6(x m− )

• ðiều kiện cần và ñủ ñể hàm số ñạt cực tiểu tại x =2 là:

( ) ( )

y y





′′ >



2

m m m

 − + − =

⇔ 

− <



2

4 3 0

m

 − + =

⇔ 

− <



1

3 3

2

m

m m

m

 =



⇔ = ⇔ =

 >



• Kết luận: m =3

Nhận xét: Ngoài cách giải trên có thể dùng ñiều kiện cần (ñiều

kiện cần ñể hàm số có cực trị tại x =2 là y′( )2 =0) ñể tìm m, sau

ñó kiểm tra lại rồi kết luận

Ví dụ 2: (ðH Cảnh sát 2000)

y= x −mx + chỉ có cực tiểu mà không có cực ñại

Hướng dẫn giải:

• Tập xác ñịnh: D = ℝ

y′ =x − mx=x x − m , 2

y′′ = x − m, 2

0 0

2

x y

=



′ = ⇔  =



• Xét các trường hợp sau:

1) Nếu m =0 thì y′ = ⇔ = 0 x 0 và y′′( )0 =0 nên trường hợp này hàm số không có cực trị

2) Nếu m <0 thì y′ = ⇔ = 0 x 0 và y′′( )0 = −2m>0 nên trường hợp này hàm số ñạt cực tiểu tại x =0

3) Nếu m >0 thì 0 0

2

x y

=



′ = ⇔ 

= ±

Ta có y′′( )0 = −2m< , nên hàm số ñạt cực ñại tại 0 x =0.Vậy

trường hợp này không thỏa ycbt

• Tóm lại: Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực ñại khi m <0

♣ Bài tập tự luyện:

Bài 1: (ðH, Cð Khối B, 2005)

1

y

x

=

Chứng minh rằng với m bất kỳ, ñồ thị hàm số luôn có ñiểm cực

ñại, ñiểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai ñiểm ñó bằng 20

Bài 2: (ðH, Cð Khối A 2005)

Cho hàm số y mx 1

x

= + có ñồ thị là ( )C m , (m là tham số)

Tìm m ñể hàm số có cực trị và khoảng cách từ ñiểm cực tiểu của

( )C m ñến tiệm cận xiên của ( )C m bằng 1

2

Bài 3: (ðH, Cð Khối A 2007)

2

y

x

=

Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại, cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực

trị của ñồ thị cùng với gốc tọa ñộ O tạo thành một tam giác vuông

tại O

Bài 4: (ðH, Cð Khối B 2007)

y= − +x x + m − x− m − (1) , m là tham số

Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại, cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực

trị của ñồ thị cách ñều gốc tọa ñộ O

Bài 5: Cho hàm số y=x4−mx2+4x+ m (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 0

2 Tìm các giá trị của m ñể ñồ thị của hàm số (1) có 3 ñiểm cực trị

sao cho tam giác có 3 ñỉnh là các ñiểm cực trị ñó nhận gốc tọa ñộ

O làm trọng tâm

Bài 6: (Dự bị 2, khối A – 2007)

Cho hàm số

2

m

y x m

x

= + +

− , có ñồ thị là ( )C m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số với m =1

2 Tìm m ñể ( )C m có cực trị tại các ñiểm A, B sao cho ñường thẳng AB ñi qua gốc tọa ñộ O

Bài 7: (Dự bị 2, khối B – 2007)

y=x + − m x + −m x+ +m (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m =2

2 Tìm các giá trị của m ñể hàm số (1) có ñiểm cực ñại, cực tiểu

ñồng thời hoành ñộ ñiểm cực tiểu nhỏ hơn 1

3 Tiếp tuyến, tiệm cận của ñồ thị hàm số

Bài 1: (ðH, Cð khối D năm 2005)

Gọi ( )C m là ñồ thị của hàm số 1 3 2 1

m

y= x − x +

Gọi M là ñiểm thuộc ( )C m có hoành ñộ bằng 1− Tìm m ñể tiếp

tuyến của ( )C m tại ñiểm M song song với ñường thẳng

( )d : 5x− = y 0

Bài 2: (ðH, Cð khối B năm 2006)

Cho hàm số

2

1 2

y x

+ −

= + có ñồ thị ( )C

Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( )C , biết tiếp tuyến vuông

góc với tiệm cận xiên của ( )C

Bài 3: (ðH, Cð khối B năm 2008)

Cho hàm số y=4x3−6x2+ 1 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến ñó ñi qua ñiểm

( 1; 9)

Bài 4: (Dự bị 1, khối D – 2007)

x y x

− +

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( )C của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến ( )d với ( )C , biết rằng ( )d ñi qua

giao ñiểm của trục Ox với ñường tiệm cận của ( )C

Bài 5: (Dự bị 2, khối D – 2007)

Cho hàm số

1

x y x

=

−

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( )C của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến ( )d với ( )C sao cho ( )d và hai

ñường tiệm cận của ( )C cắt nhau tạo thành tam giác cân

Bài 6: (Dự bị 2, khối A – 2006)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( )C của hàm số

1

2

y= x − x −

2 Viết phương trình các ñường thẳng ñi qua ñiểm A( )0; 2 và tiếp

xúc với ñồ thị ( )C

4 Tìm trên ñồ thị những ñiểm có tính chất cho trước Giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1: (ðH, Cð khối B năm 2007)

1

x y x

= + có ñồ thị ( )C Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc

( )C , biết tiếp tuyến của ( )C tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và

tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

Bài 2: Cho hàm số

2

2

y

x

=

+ Tìm tất cả những ñiểm trên

ñồ thị hàm số cóa tọa ñộ là số nguyên

Bài 3: Cho hàm số

2

1

y

x

=

+ Tìm trên ñồ thị hàm số những

ñiểm có khoảng cách từ ñiểm ñó ñến trục Ox bằng 2 lần khoảng cách từ ñiểm ñó ñến trục Oy

Bài 4: Cho hàm số y=2x4−3x2+2x + Tìm ñiểm M thuộc ñồ 1

thị hàm số sao cho hoảng cách từ M ñến ñường thẳng

y= x+ = là nhỏ nhất

Bài 5: Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= + Tìm trên ñồ thị hàm số những ñiểm có tổng khoảng cách ñến 2 tiệm cận có giá trị nhỏ nhất

5 Tương giao giữa hai ñồ thị

Bài 1: (ðH, Cð khối A năm 2006)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số

2 Tìm m ñể phương trình 2 x3 −9x2+12 x = có 6 nghiệm m

phân biệt

Bài 2: (ðH, Cð khối D năm 2006)

Cho hàm số y=x3−3x+ có ñồ thị 2 ( )C Gọi d là ñường thẳng

ñi qua ñiểm A(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m ñể ñường thẳng

d cắt ñồ thị ( )C tại 3 ñiểm phân biệt

Bài 3: (ðH, Cð khối D năm 2008)

Cho hàm số y=x3−3x2+ 4 (1) Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi qua ñiểm I( )1; 2 với hệ số góc k (k > −3) ñều cắt

ñồ thị của hàm số (1) tại 3 ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I là

trung ñiểm của ñoạn thẳng AB

Bài 4: Cho hàm số y= − +x3 ax2− 4 (1), (a là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi a = 3

2 Tìm a ñể phương trình x3−ax2+ + = có 3 nghiệm phân m 4 0

biệt với mọi m thỏa mãn ñiều kiện 4− <m< 0

Bài 5: (Dự bị 01 khối D – 2006)

Cho hàm số

3

3

x

y= − +x + x−

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( )C của hàm số ñã cho

2 Tìm trên ( )C hai ñiểm phân biệt ñối xứng nhau qua trục tung