CHUYÊN đề hàm số ôn THI đại học

Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung... Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1... Xác định m đ

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐẠI HỌC 1

CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I.Kiến thức cơ bản:

1 Định lý:

) ( 0

)

(

* /

x f D x

x

f     đồng biến trên D

) ( 0

* /    và f(x) liên tục trên a; b  f (x)đồng biến trên a; b

a b

x x

* /    và f(x) liên tục trên a; b  f (x)nghịch biến trên a; b

4 Điều kiện không đổi dấu trên R:

) (

) (

+ Xét sự biến thiên của g(x)

+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán

Cách 3 ( Không làm được như hai cách trên )

+ Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát

+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán

Ví dụ 1 Cho hàm số 1 3  1 2 2 1 6

3

a Xác định m để hàm số đồng biến trên R

R x

0 0 0 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biếntrên 2 ;  

Vậy hàm số đồng biến trên 2 ;   khi m = 0 hoặc

1 0

1 2 1 2

/

m x

x m

x m x

1

2      

 m m ( Thỏa mãn điều kiện m <0 )

Vậy m  2 hàm số nghịch biến trên  3 ; 1

R x

4 0 4 0 1

0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m 0

Vậy m 0 hàm số đồng biến trên 0 ;  

f/(x) - 0 +



f(x) -4 5

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  4 d * Tập xác định: D = R y/ x2  4x m y/   0 x2  4x m  0 Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1  phương trình ý  0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2  1                        1 4 4 1 2 0 4 1 0 2 2 1 2 2 1 2 1 / x x m x x m x   4 4 4 1 ) ( 4 2 2                  m m m m m Vậy m  43 thỏa mãn điều kiện bài toán Ví dụ 3 Cho hàm số 3 2 12 1    x mx x y a Xác định m để hàm số đồng biến trên R b Xác định m để hàm số đồng biến trên 1 ;  c Xác định m để hàm số nghịch biến trên 1 ; 2 d Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2 Giải: a Tập xác định: D = R / 3 2 2 12    x mx y Hàm số đồng biến trên R           0 0 0 / / a R x y 6 6 6 6 0 36 0 2                m m R m m b Tập xác định: D = R / 3 2 2 12    x mx y * Hàm số đồng biến trên 1 ;   y/  0 x  1 ;                 3 2 12 0 1 ; 2 3 12 1 ; 2 2 x x x m x mx x Xét hàm số ( ) 3 12 1 ;  2 trên x x x f Ta có / 3 2 2 12 ) ( x x x f              ) ( 2 ) ( 2 0 12 3 0 ) ( 2 2 / l x n x x x x f Ta có bảng biến thiên: x 1 2 

f/(x) - 0 +

15 

f(x) 12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m 12  m 6

Vậy m 6 thỏa mãn điều kiện bài toán c Tập xác định: D = R / 3 2 2 12    x mx y * Hàm số nghịch biến trên 1 ; 2 / 0  1 ; 2      y x 1 ; 2 2 3 12 1 ; 2 0 12 2 3 2        2     x x x m x mx x Xét hàm số ( ) 3 2 12 trên 1 ; 2 x x x f   Ta có / 3 2 2 12 ) ( x x x f              ) ( 2 ) ( 2 0 12 3 0 ) ( 2 2 / l x l x x x x f Bảng biến thiên: x 1 2

f/(x) -

15

f(x)

12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m 12  m 6

Vậy m 6 thỏa mãn điều kiện bài toán

d * Tập xác định: D = R

/ 3 2 2 12





y

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2

 phương trình ý  0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2  2

   

 























































4 4

;6 6

;

4

2

0

36

4

0

2 2

1

2

2

1

2

2

1

/

x

x

m

x

x

m

x

       











 











































m m m

m

6

; 6 6

; 4

4

.

4

3

;

6

6

;

2

Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 4 Cho hàm số

m x

mx y





a Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

b Xác định m để hàm số đồng biến trên 2 ;  

c Xác định m để hàm số nghịch biến trên   ;  1

Giải:

a TXĐ: DR\   m

;3 3

; 2

;3 1

m

m

m

Vậy:  3 m 1 thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 5 (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013)

Cho hàm số y  x 3  3x 2  3mx 1 (1)  , với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m 1

Vậy m 1 hàm số nghịch biến trên (0;  )

BÀI TẬP TỰ LÀM

1 Cho hàm số yx3  3x2 mx 4 có đồ thị ( )C Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;   ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009)

b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1;.

2 Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức:

2 sin 2 cos 1 )

x x

x x

f

) 2

; 0 (

0 2

2

0 2 sin 0 )

tan cos

1 1 )

2

x x

x x

f

) 2

; 0 (

0 0

tan 0 )

(

/

























x

f

Suy ra, f (x) nghịch biến trên 







 2

;















2

;

0 

x

Ta có 0 x f 0  f(x)  0 x tanx x tanx

















2

; 0 tanx x 

x

c 4 2 2 0  1 ; 1









x

Xét hàm số f(x) x4  2x2 với x 1 ; 1

Ta có f/ (x) 4x3 4x





 

                 1 1 0 0 1 4 0 4 4 0 ) ( 3 2 / x x x x x x x x f Bảng biến thiên: x -1 0 1

f/(x) + 0 -

0

f(x)

-1 -1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( ) 4 2 2 0  1 ; 1











x

CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai một điểm:

Cách 1 ( Thường dùng cho hàm đa thức )

* f(x) đạt cực trị tại x = x0 









0 ) (

0 ) ( 0 //

0 /

x y x y

* f(x) đạt cực đại tại x = x0 









0 ) (

0 ) ( 0 //

0 /

x y x y

* f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 









0 ) (

0 ) ( 0 //

0 /

x y x y

Cách 2 ( Thường dùng cho hàm phân thức )

* Nếu f(x) đạt cực trị tại x = x0 thì / ( 0) 0



x

* Giải phương trình / ( 0) 0



x

y tìm m, thay m vừa tìm được vào hàm số

* Lập bảng biến thiên và kết luận

3













a Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 0

b Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1

5 5

5 5

1 (

0 )

1 (

0 )

1 (

2

0 2

0 1

b a

a b

a a b a

/

4 12

4 4

m x

y

x m x

2 //

/

m m m y

/

4 12

4 4

m x

y

x m x

Hàm số đạt cực đại tại x = - 2

   

2 : 3 3

y/ + 0 - 0 +

CĐ 

y   CT

Dựa vào BBT ta thấy x = 3 là điểm cực tiểu

Vậy m = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

Ví dụ 5 Xác định m để hàm số

2 2

2

2 2

m x x

2 2 4 4

m mx x x

2 2

2 4 2 4 4 4

x x

x   1 2 

y/ - 0 + 0 -

1 CĐ

y

CT 1

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 2

Vậy m  2 2 thỏa mãn điều kiện bài toán

2 Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước:

Ví dụ 1 Cho hàm số 2 1 1 4  1

3











y

a Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x1  x2  4

c Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3x1x2  4

d Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x12 x22  2

e Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung

Giải:

a TXĐ: D = R

y/ x2 22m 1x 1 4m











/ 0 2 22 1 1 4 0 (*)













y

Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương (*) có hai nghiệm phân biệt

Vậy m 0 hàm số có cực đại và cực tiểu

b TXĐ: D = R

y/ x2 22m 1x 1 4m











/ 0 2 22 1 1 4 0 (*)













y

* Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt

* Với m 0hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  















m x

x

m x

x

4 1

1 2 2

2 1 2 1

Theo đề ta có x1  x2  4  x12x22 2x1x2 16 x1x22  4x1x2 16

 22m 12  4 1  4m 16 2 1 ( )

1 ( )

m







Vậy m = 1; m = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán

c TXĐ: D = R

y/ x2 22m 1x 1 4m











/ 0 2 22 1 1 4 0 (*)













y

* Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt

/ 4m2 0 m2 0 m 0

* Với m 0hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  

) 1 ( 1 2 2

2 1 2 1

m x

x

m x

x

m x

4 1 3

4

1 2 2 2

4

1 1

4

) 3 ( 2

) ( 3

2 0

16 32

n m

n m

* Với m 0hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  

x

m x

x

4 1

1 2 2

2 1 2 1

Theo đề ta có x12 x22  2  x1x22 2x1x2  2 22m 1 2 21  4m 2

2

1 0

0 8

x

m x

x

4 1

1 2 2

2 1 2 1

Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung

4

1 0

4 1 0

d Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1.

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4

4 0

2 2

3 /

m x

x m

x

x

mx x

y

Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4

4 0

2 2

3 /

m x

x m

x

x

mx x

y

* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

Ta có AB m4m ;AC  m4 m ABACnên tam giác ABC cân tại A

Do đó tam giác ABC vuông cân  ABC vuông tại A AB.AC  0(**)

) ( 0 0

0 ) ).(

( m

n m

l m m

m m

m m

Vậy m = 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4

4 0

2 2

3 /

m x

x m

x

x

mx x

y

* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

m m m m BC AC AC AB BC AC

4

4 4

4 4

) ( 0 3

0 3

3 3

4

n m

l m m

m m

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4

4 0

2 2

3 /

m x

x m

x

x

mx x

y

* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

1

 phương trình y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt  1 - m  1 + mm 0

Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

/

1

3 3 2

; 0

2 3 0

0 1 0

3 3

2

1 0 3 3 2 1

0

2 /

2

2

2 2 /

m m

m R

x m

m

x

x

x m

m x x

x

y

Ví dụ 5 Cho hàm số

m x

mx x y

m x

m mx

) 1 (

/

m mx

Hàm số có 3 cực trị  phương trình y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 phương (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Đối chiếu (1) và (2) ta được m < 0

Vậy m < 0 thỏa điều kiện bài toán

BÀI TẬP TỰ LÀM

1 Cho hàm số yx3  3 (m 1 )x2  9x m Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1  x2  2

2 Cho hàm số y (m 1)x4  (m 2)x2  3m Xác định m để hàm số có ba điểm cựctrị

3 Cho hàm số y x 3  3x2 m (1) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB 120 0

4 Cho hàm số y x 4  2mx2 m2 m Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có

ba điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 1200

5 Cho hàm số y x 4  2(m2  m 1)x2 m 1 Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất

3 Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực trị và cực trị của đồ thị hàm số:

A Kiến thức cơ bản:

a/ Cho hàm số yax3bx2 cxd

Thực hiện phép chia đa thức cho y cho y/ ta được:yy/ AxB CxD

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó,

y1 = Cx + D và y2 = Cx + D

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Cx + D b/ Cho hàm số

e dx

c bx ax y

y1  2 1 

và

d

b x

y2  2 2 

Suy ra, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y 2x db

c/ Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Khi đó,

* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về cùng phía so với trục hoành  y1.y2  0

* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về khác phía so với trục hoành  y1.y2  0

Giải:

TXĐ: D = R

7 2

21 2

/

m

m m

Thực hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được:

m x

m m

2 3

14 9

2 3

14

1 2

2 3

14

2 2

2 3

a Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cùng dấu

b Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành

c Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục tung

18 9

* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Chia y cho y/ ta được  2  22 1

1 2 1

m x x x x

17 4 2 0

2 1

m m m m

m y

 phương trình / 0



y có hai nghiệm phân biệt

2 0

18 9

* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Chia y cho y/ ta được  2  22 1

1 2 1

m x x x x

Do đó y1.y2 m 2 2 4m 17

Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành

2 17 2

17 2

a Đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm (2; -1)

b Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O Tính diện tích tam giác đó

c Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

6 3

/

2 /

x

x y

x x

y

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Thực hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được

x m x

Suy ra đường thẳng nối hai điểm cực trị là d: ym 2x

Đường thẳng d đi qua điểm (2; -1)  1 m 2 2  m 3

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán

6 3

/

2 /

x

x y

x x

) ( 0 0

4 0

.

m

O A Do l

m m

m OB

OA

Vậy m =4 thỏa điều kiện bài toán.

* Với m = 4 A( 0 ; 4 ) và B( 2 ; 0 )

4 2 4 2

1

6 3

/

2 /

x

x y

x x

y

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt y A.y B  0  m(m 4 )  0

b Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

c Xác định m để độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị bằng 2 5

x mx

x y

2

0 0

6 3

; 2 ( , )

1 0

2 4

m

m m

m x

x mx

x y

2

0 0

6 3

*Với m 0 đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là

) 0

; 2 ( , )

Vectơ chỉ phương của AB là AB (2 ; 4m  m3 )

Suy ra vectơ pháp tuyến của AB là: n (4 ; 2 )m3 m

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là:

x mx

x y

2

0 0

6 3

*Với m 0 đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu

Thức hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được:

x mx

x y

2

0 0

6 3

; 2 ( , ) 4

;

0

m B m

x

y

) 1 ( 1 0

1

2 2

2

/

m x x

x x

m x

.

2

1

0 3

m

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có

1

2

; 1

2

1 1

m x y m x

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m

Vậy m < 3 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m

) 1 ( 1 0

1

2 2

2

/

m x x

x x

m x

.

2

1

0 3

m

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có

1

2

; 1

2

1 1

m x y m x

2 1 2

1 2

1 2

1 2 1

m x x x x

) 1 ( 1 0

1

2 2

2

/

m x x

x x

m x

.

2

1

0 3

m

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có

1

2

; 1

2

1 1

m x y m x

2 1 2

1 2

1 2

1 2 1

m x x x x

) 1 ( 1 0

1

2 2

2

/

m x x

x x

m x

.

2

1

0 3

m

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy

 x1.x2 0  m 2  0  m 2

Đối chiếu với điều kiện m 3 ta được m 2

Vậy m 2 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy

a Xác định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

b Xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm

) 1 ( 1 0

1

1 2

2

/

m x x

x x

m x x

y

* Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 1   0 0

0 0 1 ) 1 (

2 1

* Với m > 0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có:

1

1 2

; 1

1

2

1 1

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x + 1

Vậy m >0 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x + 1

) 1 ( 1 0

1

1 2

2

/

m x x

x x

m x x

y

* Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 1   0 0

0 0 1 ) 1 (

2 1

* Với m > 0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có:

1

1 2

; 1

1

2

1 1

Suy ra, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(x1; 2x1 1 ), B(x2; 2x2  1 )

Ta có      2

1 2 2

1 2 2 1

Đồ thị h/s có 2 cực trị  y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 (x  2)2  m = 0 có 2 nghiệm phân biệt  2  m > 0

y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt  m > 0

Khi m > 0, pt đường thẳng qua 2 cực trị là

So với điều kiện m3 nhận m= 4

Vậy m = 4 thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 9: Cho hàm số yf x( )x3 (m3)x2 3x4 (m là tham số)

Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Khi đó, tìm m đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị này có hệ số góc bằng  149

) ( 1 0

7 6 9

14 6

9

n m

n m m

m m

m

Vậy m = 1; m = - 7 thỏa điều kiện bài toán

Vậy:x 1  x 2 khơng phụ thuộc m.

Ví dụ 11: Cho hàm số :y x  3  3x 2  m x m 2 

Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng

- Trung điểm I của M1M2 là tâm đối xứng của đồ thị:

So với điều kiện:  3 m   3 nhận m = 0

Vậy m = 0 thỏa điều kiện bài tốn

1 0

5 2 ) 1 ( 2 3

/

m x

x m

x m x

Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0

Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, MA+MB nhỏ nhất  3 điểm A, M, B thẳng hàng

Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=0.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

2/ (Dự bị 1 khối A 2002) Cho hàm số:y x  4 2m x2 2 1, (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10

4/ (Dự bị 1 khối B 2002) Cho hàm số:y mx  4 (m2 9)x2 10, (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị

5 Cho hàm số y x 3 3mx2 4m có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số đã cho cùng với gốc tọa

độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8

7 Cho hàm số y x 4  2mx2  1 (1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm

số (1) có ba cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị ấy nằm trên đường tròn

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

CHUYÊN ĐỀ 3: ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA ĐỂ GIẢI PHƯƠNG

) ( 2 0

12 3

0 )

/

n x

n x

x x

) ( 2 0

12 3

0 )

/

n x

l x

x x

Vậy m  16 thấy phương trình có nghiệm trên 0 ;  

Chú ý: Nếu yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt trên 0 ;  thì  16 m 0

) ( 2 0

12 3

0 )

/

l x

l x

x x

Ví dụ 2 Cho phương trình x 4  x2 m.Xác định m để phương trình

a có nghiệm b Có hai nghiệm phân biệt

4 0 4

4

2

2 /

x x x x

x x

x x y

4 0 4

4

2

2 /

x x x x

x x

x x y

a Có nghiệm b Nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định

c Có nghiệm duy nhất d Vô nghiệm

1 )

( /

x f

 5

Dựa vào BBT ta thấy bất phương trình có nghiệmm 5

b Dựa vào BBT ở câu a ta thấy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc

tập xác định  m  5

Ta có: ( ) ( 1)3 1

2 2

x x x

1 ) 1 (

3 1 0

) (

2 2

x x

f trên 0;4

Ta có: ( ) ( 1)3 1

2 2

x x x

f

3

1 0

1 ) 1 (

3 1 0

)

(

2 2

x x

x x

2

Xét

1

3 )

f trên 0 ;  

Ta có: ( ) ( 1)3 1

2 2

x x x

f

3

1 0

1 ) 1 (

3 1 0

)

(

2 2

x x

x x

Giải:

a a

Giao điểm với tiệm cận ngang y 2 là B a 2 1;2

Giao hai tiệm cận I(-1; 2)

2 1 1

x y x





Tiệm cận đứng d: x = - 1

Tiệm cận ngang : y = 2

d( M; d ) = |x0+1| , d( M; )= | y0- 2| = | 0

0

2 1 1

x x



 - 2| = |

0

1 1

x  |

Theo Côsi thì d( M; d ) +d( M; )= |x0+1| +

0

1 1

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số

đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.( Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007)

Phương trình tiệm cận xiên y  x 2   x y 2 0   

khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là 1

Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng

450 ( ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2008)

Vectơ pháp tuyến của d v d1 à 2 lần lượt là: n              1  (1;0),              n2  ( ; 1)m 

Góc giữa d1 và d2 bằng 450 khi và chỉ khi

Vậy m 1 thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sốy 2x2 x 1

x có đồ thị (C) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y=- +x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 60 0 (với O là gốc

(Do x = 1 không là nghiệm)

+ Đường thẳng y=- +x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Û Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt





 Gọi M là giao điểm của hai tiệm cận Tìm trên đồ thị (C) điểm I có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại I với đồ thị (C) cắt hai tiệm cận tại A, B thỏa mãn MA2 MB2  40

2 Cho hàm số 2 1

1

x y

x





 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận A là điểm trên (C)

có hoành độ a Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai tiệm cận tại P và Q Chứng minh

A là trung điểm của PQ Tính diện tích tam giác IPQ