Đường tròn đường conic

Đường tròn Nhận dạng phương trình đường tròn.. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ... Ví dụ 2 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, viết đường tròn 1... Ta có kết quả sau đây tron

Dạng 3 Đường tròn

Nhận dạng phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn

Cách 1:

- Đưa phương trình về dạng: ( )C : x2+y2−2ax 2by c− + =0 ( )1 P

- Xét dấu biểu thức P=a2+b2− c

Nếu P> thì 0 ( )1 là phương trình đường tròn ( )C có tâm I a; b( ) và bán kính

R= a +b − c

Nếu P≤ thì 0 ( )1 không phải là phương trình đường tròn

Cách 2: Đưa phương trình về dạng: ( ) (2 )2

x a− + y b− = P ( )2 Nếu P> thì 0 ( )2 là phương trình đường tròn có tâm I a; b và bán kính ( ) R= P Nếu P 0≤ thì ( )2 không phải là phương trình đường tròn

Vị trí tương đối của điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn

• Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn ( )C

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn ( )C và tính IM

+ Nếu IM R< suy ra M nằm trong đường tròn

+ Nếu IM= suy ra M thuộc đường tròn R

+ Nếu IM> suy ra M nằm ngoài đường tròn R

• Vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và đường tròn ( )C

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn ( )C và tính d I; ∆ ( )

+ Nếu d I;( )∆ < suy ra ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt R

+ Nếu d I;( )∆ = suy ra ∆ tiếp xúc với đường tròn R

+ Nếu d I;( )∆ >R suy ra ∆ không cắt đường tròn

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng ∆ và

đường tròn ( )C bằng số giao điểm của chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

• Vị trí tương đối giữa đường tròn ( )C và đường tròn ( )C'

Xác định tâm I , bán kính R của đường tròn ( )C và tâm I' , bán kính R ' của đường tròn ( )C' và tính II' , R R ', R R '+ −

+ Nếu II ' R R '> + suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau + Nếu II ' R= +R ' suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau

+ Nếu II ' R R '< − suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau + Nếu II ' R R '= − suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau

+ Nếu R R '− <II ' R R '< + suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng ( )C và đường tròn ( )C' bằng số giao điểm của chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, viết đường tròn

1 Đi qua ba điểm: M(−2; 4 , N 5; 5 , P 6; 2) ( ) ( − )

2 Đi qua A 3; 4( ) và các hình chiếu của A lên các trục tọa độ

3 Đi qua ba điểm H,M, N Gọi H là chân đường cao kẻ từ B và M, N lần lượt là

trung điểm của AB, AC Biết rằng: A 0; 2 , B( ) (− −2; 2 ,) C 4; 2( − )

4 Tiếp xúc với trục hoành tại A 2; 0 khoảng cách từ tâm của ( ) ( )C đến điểm B 6; 4 ( )

bằng 5

Lời giải

1 Cách 1:

Gọi phương trình đường tròn ( )C có dạng là: x2+y2−2ax 2by c− + =0

Do đường tròn đi qua ba điểm M, N,P nên ta có hệ phương trình:

4 16 4a 8b c 0 a 2

25 25 10a 10b c 0 b 1

36 4 12a 4b c 0 c 20

 + − − + = ⇔ =

 + − + + =  = −

Vậy, phương trình đường tròn cần tìm là: x2+y2−4x 2y 20− − =0

Cách 2: Gọi I x; y và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm ( )

Vì

IM IN

IM IN IP

IM IP



= = ⇔ 

=

 nên ta có hệ

y 1





2 Gọi A , A1 2 lần lượt là hình chiếu của A lên hai trục Ox, Oy , suy ra

A 3; 0 , A 0; 4

Giả sử ( )C : x2+y2−2ax 2by c− + = 0

Do A,A , A1 2∈( )C nên ta có hệ:

3 a

 =



− − + = −



− + = − ⇔ =

− + = −  =



Vậy, phương trình ( )C :x2+y2−3x 4y− = 0

3 Ta có M(−1; 0 ,) N 1; 2 ,( − ) AC


=(4; 4− )

Gọi H x; y , ta có:( ) ( ) ( )

4 x 2 4 y 2 0 x 1

BH AC

y 1 4x 4 y 2 0

H AC



∈






( )

H 1;1

⇒

Giả sử phương trình đường tròn có dạng: x2+y2+ax by c+ + = 0

Ba điểm M, N,H thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình :

a 2b c 5 b 1

 − + = − ⇔ =

 + + = −  = −

Phương trình đường tròn: x2+y2− + − = x y 2 0

4 Gọi I a; b và R lần lượt là tâm của và bán kính của ( ) ( )C

Vì ( )C tiếp xúc với Ox tại A nên a= và R2 = b

Mặt khác: 2 ( )2 2

IB 5= ⇔4 + b 4− =5 ⇔ =b 1, b 7=

Với b 1= thì phương trình đường tròn ( ) ( ) (2 )2

C : x 2− + y 1− = 1 Với b 7= thì phương trình đường tròn ( ) ( ) (2 )2

C : x 2− + y 7− =49

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, viết đường tròn

1 Có tâm nằm trên đường thẳng d : x 6y 10 0− − = và tiếp xúc với hai đường thẳng

có phương trình d : 3x 4y 5 01 + + = và d : 4x 3y 5 02 − − =

2 có tâm nằm trên đường tròn ( ) ( )2 2

1

4

C : x 2 y

5

− + = và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1: x y− = và 0 ∆2: x 7y− = 0

3 Đi qua M 6; 6 và tiếp xúc với hai đường thẳng ( ) ∆1: 4x 3y 24− − = và 0

2: 4x 3y 8 0

∆ + + =

4 Có tâm M nằm trên d : x y 3 0 , bán kính bằng 2 lần bán kính đường tròn − + = ( )C

và ( )C tiếp xúc ngoài với đường tròn ( )C' : x2+y2−2x 2y 1 0− + =

Lời giải

1 Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K 6a 10; a( + )

Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d , d1 2 nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra

3 6a 10 4a 5 4 6a 10 3a 5

= 22a 35+ = 21a 35+ ⇔ = a 0

hoặc a 70

43

−

=

- Với a= thì 0 K 10; 0 và R( ) = suy ra 7 ( ) ( )2 2

C : x 10− +y =49

- Với a 70

43

−

= thì K 10; 70

43 43

 − 

  và

7 R 43

= suy ra

 −  + +  = 

Vậy, có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là:

( ) ( )2 2

C : x 10− +y =49 và ( ) 10 2 70 2 7 2

2 Gọi I a; b là tâm của đường tròn ( ) ( )C , vì I∈( )C1 nên: ( )2 2 4

a 2 b

5

− + = ( )∗

Do ( )C tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ ∆ nên 1, 2 d I,( ∆ =1) d I,( ∆ 2)

a b a 7b

b 2a

2 5 2

⇔ = ⇔ = − hoặc a=2b

• b= −2a thay vào ( )∗ ta có được: ( )2 2 4 2 16

− + = ⇔ − + = phương trình này vô nghiệm

• a 2b= thay vào ( )∗ ta có: ( )2 2 4 4 8

− + = ⇔ = = Suy ra ( 1) 4

R d I,

5 2

Vậy, phương trình ( ) 8 2 4 2 8

3 Gọi I a; b là tâm và R là bán kính của đường tròn ( ) ( )C

Vì ( )C tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ và 1 ∆ nên ta có 2 d I,( ∆ =1) d I,( ∆ 2)

Hay

16 4a 3b 24 4a 3b 8 4a 3b 24 4a 3b 8 b

3 4a 3b 24 4a 3b 8



− − = − − −

• a 2= , phương trình ( ) ( ) (2 ) (2 3b 16)2

C : x 2 y b

25

+

Do M∈( )C nên ( ) (2 ) (2 3b 16)2

25

+

4

= Suy ra phương trình ( ) ( ) (2 )2

C : x 2− + y 3− =25 hoặc

C : x 2 y

− + −  =

• b 16

3

= − , phương trình của ( )C : ( )2 16 2 (4a 8)2

−

− + +  =

Do M∈( )C nên ( )2 16 2 (4a 8)2

−

− + +  =

  phương trình vô nghiệm

4 Đường tròn ( )C' có tâm I 1;1( ) bán kính R=1

Ta có M d∈ ⇒M x; x 3( + )

Vì ( )C và ( )C’ tiếp xúc ngoài nên ta có MI=3R⇔(x 1− ) (2+ x 2+ )2=9

2

x x 2 0 x 2

⇔ + − = ⇔ = − hoặc x 1=

Vậy có hai đường tròn thỏa yêu cầu bài toán là:

x 1− + y 4− = và 4 ( ) (2 )2

x 2+ + y 1− = 4

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, viết đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC có trọng tâm G 2; 3 Gọi ( ) H là trực tâm của tam giác ABC Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA,HB, HC có phương trình :( ) (2 )2

x 1− + y 1− =10

Lời giải

Gọi ( )C là đường tròn ( ) (2 )2

x 1− + y 1− =10, suy ra ( )C có tâm I 1;1 , bán kính ( )

R= 10

Ta có kết quả sau đây trong hình học

phẳng:

“Trong tam giác, 9 điểm gồm trung

điểm của ba cạnh, chân ba đường cao

và ba trung điểm của các đoạn nối trực

tâm với đỉnh nằm trên một đường tròn

có tâm I , G, H thẳng hàng và

IH=3IG”

Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

A'

B'

G

M H E A

B

C

giác ABC và M là trung điểm BC Phép vị tự V(G, 2− ): I→E, M→A và

( )

M∈ C nên ta có: E 4; 7 và ( ) EA=2IM=2 10

Vậy, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

x 1− + y 10− =40

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn

( ) ( ) (2 )2

C : x 1− + y 1− =25 và đường thẳng d : 2x y 1 0− − = Lập phương trình đường tròn ( )C' có tâm nằm trên d và hoành độ lớn hơn 2, đồng thời ( )C' cắt ( )C tại hai điểm A, B sao cho dây cung AB có độ dài bằng 4 5 và tiếp xúc với đường thẳng : 3x y 15 0∆ − + =

Lời giải Cách 1: Đường tròn ( )C có tâm I 1;1 , bán kính ( ) R=5

Gọi I’ là tâm của đường tròn ( )C’ , I ' d∈ nên suy ra I ' m; 2m 1 ,m( − ) > và R' là 2 bán kính

Ta có: R ' d I',( ) m 16

10

+

Gọi H là giao điểm của II’ và AB, suy ra H là trung điểm của AB nên

AH=2 5

Vì IH I'H+ =II' nên R2−AH2 + R '2−AH2 =II' hoặc

R −AH − R ' −AH =II '

TH1: R2−AH2+ R '2−AH2 =II'

2

(m 16)

10

+

2

5 2 m 32m 56 5 2 m 1

m 32m 56 50 m 2m 2 2 m 1

2 2

2

49m 232m 144 0

49m 32m 56 0





(do m> ) 2

TH2: R2−AH2 − R '2−AH2 =II '⇔ 5 2− m2+32m+56 =5 2 m 1−

50 10 2(m 32m 56) m 32m 56 50m 100m 50

49m 132m 56 10 2(m 32m 56) 0

Do m> nên 2 49m2−132m 56 10 2(m− + 2+32m 56)+ >32 nên ( )∗ vô nghiệm Vậy, phương trình ( ) ( ) (2 )2

C' : x 4− + y 7− =40

Cách 2: ( )C và ( )C' cắt nhau tại A, B nên AB⊥d và AB : x 2y t 0+ + =

Gọi H là trung điểm AB nên AH 2 5=

IAH

∆ vuông tại H nên IH= 5=d I,AB( ), từ đạy tìm được: t= −8 hoặc t=2

∗ Với t= ⇒2 AB : x 2y 2 0+ + = Tọa độ A, Bthỏa mãn hệ phương trình:

x; y 4; 3

x 1 y 1 25



= −



( )C' tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x y 15 0− + = nên có: I' A d I',= ( ∆)

Tức là phải có: ( ) (2 )2 3m 2m 1 15

m 4 2m 2

10

− + +

2

49m 32m 56 0

⇔ − − = không thỏa với m>2

∗ t= −8, tìm được A(−2; 5 , B 6;1) ( ) hoặc ngược lại

( )C' tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x y 15 0− + = nên có: I' A d I',= ( ∆)

49m −232m 144 0+ = ⇒m= ⇒4 I' 4;7

Vậy, phương trình ( ) ( ) (2 )2

C' : x 4− + y 7− =40

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho đường tròn ( )C :x2+y2−4x 6y 12+ − = Lập phương trình đường thẳng đi 0

qua M 1;1 và cắt đường tròn ( ) ( )C tại 2 điểm A, B sao cho MA=2MB

2 Cho hai đường tròn: ( )C : x2+ y2−2x 2y 1 0,− + = ( )C' : x2+y2+4x – 5 = 0 cùng đi qua M 1; 0 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( )

lần lượt tại A, B sao cho MA=2MB

Lời giải

1 Gọi d là đường thẳng cần tìm có dạng ax by c 0+ + = , d đi qua M 1;1 ( )

Suy ra d : ax by a b 0+ − − =

Phương tích của điểm M đối với đường tròn :

MA.MB= − ⇔ −8 MA.MB= − ⇔8 MB= ⇒2 AB 6=

Gọi H là trung điểm AB , ta có: 2 2

a 4b

a b

−

+ 2

15a 8ab a 0

⇔ = − ⇔ = hoặc 15a= −8b

∗ a 0= thì d : y 1 0− = vì b 0≠

∗ 15a= −8b thì d : 8x 15y 7− + = 0

Vậy, có 2 đường thẳng cần tìm: y 1 0− = và 8x 15y 7 0− + =

2 ( )C có tâm I 1;1 , bán kính R( ) = và 1 ( )C' có tâm I '(−2; 0 ,) bán kính R '= 3 Đường thẳng ( )d đi qua M có phương trình:

a x 1− +b y 0− = ⇔0 ax by a+ − =0, a +b >0 ( )∗

Gọi H,H' lần lượt là trung điểm AM, BM

Khi đó: MA=2MB⇔ IA2−IH2 =2 I' A2−I'H'2

1 d I,d  4 9 d I',d  ,IA IH

⇔ −  = −  >

36a b

35 a 36b a 6b

a b

−

+

∗ Với a= −6b⇒d : 6x y 6 0− + + =

∗ Với a 6b= ⇒d : 6x y 6 0+ − =

Vậy, có 2 đường thẳng cần tìm: 6x y 6− + + =0, 6x y 6+ − = 0

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn

( )C :( ) (2 )2

x 1− + y 2− = Tìm tọa độ các đỉnh B,C,D của hình chữ nhật ABCD 5 nội tiếp trong ( )C , có A(−1; 3)

Lời giải

Đường tròn ( )C có tâm I 1; 2( ), bán kính R= 5

Điểm C đối xứng A qua I ⇒C 3;1( )

Đường thẳng BD đi qua I và vuông góc với AC nên nhận AC


=(4; 2− ) làm vectơ pháp tuyến, suy ra ( )BD : 2x y 0− =

Tọa độ điểm B, D là nghiệm của hệ:

x 2, y 4

 − + − =  = =



Vậy, B 0; 0 , ( ) C 3;1 , ( ) D 2; 4 hoặc ( ) B 2; 4 , ( ) C 3;1 , ( ) D 0; 0 thỏa bài toán ( )

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho A 7;1 , B và C là 2 ( )

điểm lần lượt thuộc đường thẳng ( )d : 2x y 7+ + = và 0 ( )d' : 4x 3y 27+ − = 0 Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC∆ , biết ABC∆ có trọng tâm G 7 5;

3 3

 

 

 

Lời giải

B∈ d ⇒B x ; 7 2x− − , ( ) C

C

27 4x

C d' C x ;

3

Vì G 7 5;

3 3

 

 

  là trọng tâm ABC∆ nên có:

=





( )

x 3, y 1 B 3; 1

3x 2x 3 x 3, y 5 C 3; 5

 = − = − ⇒ − −

 + =

Bài toán trở thành: “Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC∆ , biết rằng

( )

A 7;1 , B(− −3; 1 ,) C 3; 5 ” ( )

Gọi I a; b là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC( ) ∆

Ta có: IA IB a b 2 ( )

I 2; 0 R IA 26

IA IC 5a b 10

Vậy, phương trình đường tròn cần tìm có tâm I 2; 0 , bán kính R( ) =26

x 2− +y =26

Ví dụ 8 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp

đường tròn ( ) ( ) (2 )2

C : x 1− + y 2+ = 5, ABC=90 , A 2; 00 ( ) và diện tích tam giác ABC bằng 4 Tìm toạ độ đỉnh B, C

Lời giải

Đường tròn ( )C có tâm I 1; 2( − và bán kính R) = 5

Vì ABC có ABC=900⇒C đối xứng A qua tâm I 1; 2( − , nên ) C 0; 4( − )

Phương trình đường thẳng ( )AC : 2x y 4− − = 0

Diện tích tam giác ABC bằng 4 , nên khoảng cách từ B đến cạnh AC là :

d 2S 4

AC 5

= =

Do đó B nằm trên đường thẳng ( ) ( )d  AC nên phương trình ( )d :

2x y m− + = 0 ( )d cách AC một khoảng bằng 4

5

4 m 4

+

⇔ = ⇒m= 0 hoặc m= − 8

∗ Với m= ⇒0 ( )d1 : 2x y− = , toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 0

y 0

6 x 5 12 y 5



= −





 = −



∗ Với m= − ⇒8 ( )d2 :2x y 8− − = , toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương 0

trình:

y 4

16 x 5 8 y 5

 =





 = −



Vậy, toạ độ C 0; 4( − , toạ độ B hoặc (0; 0) hoặc ) 6; 12

5 5

− − 

  hoặc (2; 4− hoặc )

16 8

;

5 5

 − 

Ví dụ 9 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( )C :

x2+y2+2x 2y 1 0− + = Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( )C xuất phát

từ A 2; 3( − )

Lời giải

( )C có tâm I(−1;1), bán kính R= 1

Ta thấy, IA>R nên A nằm ngoài đường tròn

Do đó qua A kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( )C

Đường thẳng ∆ qua A có phương trình: a x 2( + ) (+b y 3+ )= 0

∆ tiếp xúc ( )C khi ( ) 2

a 4b

a b

+

b 8a 15b 0 b 0

⇔ + = ⇔ = hoặc b 8 a

15

= −

∗ Với b= ⇒0 a x 2( + ) (+0 y 3+ )= ⇒ + = vì a 00 x 2 0 ≠

∗ Với 8 ( ) 8 ( )

= − ⇒ + − + = hay 15x – 8y 6 0+ = vì a 0≠

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: x 2+ =0, 15x – 8y 6 0+ =

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( )C : ( )2 2

x 4− +y = và điểm 4 E 4;1 Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M ( )

kẻ được hai tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn ( )C với A, B là hai tiếp điểm sao cho đường thẳng AB đi qua E

Lời giải

Đường tròn ( )C có tâm I 4; 0 , bán kính R( ) = 2

Gọi M 0; m , giả sử ( ) T x; y là tiếp điểm của tiếp tuyến vẽ từ M tới ( ) ( )C

Suy ra MT


=(x; y m , IT− )

=(x 4; y− )

MT.IT 0 x y 4x my 0







⇒4x my 12− − = 0

Do đó, phương trình đường thẳng

AB : 4x my 12 0− − =

AB đi qua E⇔16 m 12− − = 0

⇔m= Vậy 4 M 0; 4 là điểm cần tìm.( ) B

I

A

M E

Ví dụ 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho phương trình là

x2+y2−4x 6y 3+ − = và đường thẳng d có phương trình là 3x 4y 1 00 + − = Gọi ( )C′ là đường tròn có bán kính bằng 5 tiếp xúc với ngoài với ( )C tại A và tiếp xúc với d tại B Tính đoạn AB

Lời giải

Đường tròn ( )C có tâm I 2; 3( − , bán kính R 4) =

Gọi I ' a; b , R '( ) lần lượt là tâm và bán kính của ( )C′ , suy ra R '= và 5

II ' R R ' 9= + =

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác AI' B ta có:

AB =I' A +I' B −2.I' A.I' B.cos AI' B=50(1 cos AI' B)−

Mà  ( ) n I 'I

cos AI' B cos n ,I'I

n I'I

∆

∆

∆













3(a 2) 4(b 3) 3a 4b 6

Mặt khác: d(I ', ) 5 3a 4b 1 5

5

+ −

⇔3a 4b+ =26 hoặc 3a 4b+ = −24

I A

I' B

• 3a 4b 26 cos AI' B 32

45

3a 4b 24 cos AI' B AB 50 1 30 AB 30

Ví dụ 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn ( )C1 : ( ) (2 )2

x 3− + y 2− = và 9 ( ) ( ) (2 )2

2

C : x 7− + y 1+ = Chứng minh 4 ( )C1 và ( )C2