Các bài toán đường thẳng và đường tròn luôn đi qua điểm cố định

Chứng minh rằng trung trực của KL luôn đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng đường tròn A’BC’ luôn đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng đường tròn ANP luôn đi qua một điểm cố đị

Đường thẳng và đường tròn luôn đi qua điểm cố định

I Các bài toán

Bài toán 1 Cho đường tròn (O, R) Đường kính AB quay quanh O Hai điểm C, D

cố định trên (O, R) (CD ≠ 2R) AC, BD cắt nhau tại E H là trực tâm của tam giác CDE Các điểm K, L theo thứ tự thuộc CE, DE sao cho KELH là hình bình hành Chứng minh rằng trung trực của KL luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 2 Cho tam giác nhọn ABC có BC > CA Điểm M chạy trên đoạn CA

Các điểm A’, C’ theo thứ tự thuộc các đoạn BC, BA sao cho MC = CA’, AM = MC’ Chứng minh rằng đường tròn (A’BC’) luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 3 Cho tam giác ABC và số dương k Điểm M cố định trên cạnh BC Các

điểm N, P theo thứ tự chạy trên các đoạn AB, AC sao cho S(ANMP) = k Chứng minh rằng đường tròn (ANP) luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 4 Cho tam giác ABC, điểm O thuộc tam giác, số k S(OAB)

S(OAC)

M, N theo thứ tự thay đối trên các cạnh AB, AC sao cho S(OMB) k

S(ONC)  Chứng minh rằng đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A

Bài toán 5 Cho tam giác ABC không cân tại A Điểm M chạy trong tam giác sao

cho AMB C AMCB Các điểm K, L theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM Chứng minh rằng đường thẳng KL luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 6 Cho tam giác ABC và điểm M thay đổi trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa

FCM ; FCMB Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm M chạy trên cung

BC không chứa A của (O) K, L theo tthứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM Chứng minh rằng đường tròn (MKL) luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 8 Cho tam giác ABC không cân và không vuông tại A Các điểm M, N

theo thứ tự chạy trên các cạnh AB, AC sao cho BN = CM P là giao điểm của BN và CM Phân giác của góc BPC theo thứ tự cắt AB, AC tại X, Y Z, T theo thứ tự là hình chiếu của

X, Y trên AC, AB Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm của XZ, YT luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 9 Cho tam giác ABC Điểm D chạy trên đường thẳng BC và khác B, C

AC, AB tại M, N X là giao điểm của BM, CN Chứng minh rằng đường thẳng DX luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) S = AB ∩ CD T = AD ∩

BC Điểm M chạy trên (O) MS, MT theo thứ tự lại cắt (O) tại N, P Chứng minh rằng đường tròn (ONP) luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 11 Cho hai đường tròn (O1), (O2) Điểm M chạy trên (O1) Đường thẳng qua O2 và song song với O1M cắt (O2) tại A B MA MB theo thứ tự lại cắt (O2) tại C, D Chứng minh rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 12 Cho tam giác đều ABC và điểm M Phép đối xứng tâm M theo thứ tự

Bài toán 13 Cho tam giác ABC Điểm X chạy trên đoạn BC Đường tròn (O) đi

qua A, tiếp xúc với BC tại X và cắt đường tròn (ABC) tại M, N sao cho MN đi qua trung điểm của AX MN cắt AB, AC tại Y, Z Chứng minh rằng đường tròn (AYZ) luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 14 Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A, B Đường thẳng ∆ quay quanh B và theo thứ tự lại cắt (O1), (O2) tại C, D M là trung điểm của CD AM lại cắt (O2) tại P Đường thẳng qua M và vuông góc với O1M cắt AC tại Q Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định

Bài toán 15 Cho tam giác ABC A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của BC, CA,

AB Các điểm P, P’ thay đổi sao cho PA = PA’, PB = PB’, PC = PC’ Chứng minh rằng đường thẳng PP’ luôn đi qua một điểm cố định

II Các lời giải

Bài toán 1 Cho đường tròn (O, R) Đường kính AB quay quanh O Hai điểm C, D

cố định trên (O, R) (CD ≠ 2R) AC, BD cắt nhau tại E H là trực tâm của tam giác CDE Các điểm K, L theo thứ tự thuộc CE, DE sao cho KELH là hình bình hành Chứng minh rằng trung trực của KL luôn đi qua một điểm cố định

Chú ý rằng KH // EQHQHC; KH   LE; KELH; C, D, P, Q cùng thuộc một đường tròn; LH // EPHPHD, ta có

 

2 2

2 2

KO ' R ' KC.KE KC.KE KH HC KE KH.KE HC.HQ

LH.LE HD.HP LH HD LE LD.LE LD.LE LO ' R '

K

L H E

B O

C

D A

(h.1)

Do đó KO' LO'.

Vậy trung trực của KL luôn đi qua O’ (đpcm)

Chú ý

Các cung nói trong lới giải trên là cung định hướng

Bài toán 2 Cho tam giác nhọn ABC có BC > CA Điểm M chạy trên đoạn CA

Các điểm A’, C’ theo thứ tự thuộc các đoạn BC, BA sao cho MC = CA’, MA = C’A Chứng minh rằng đường tròn (A’BC’) luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

Cách 1

Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của đường tròn (C, CA) với các đoạn BC, BA; K

là giao điểm thứ hai của các đường tròn (KBC), (KBA) (h.2)

Theo kết quả quen biết, các tam giác KEC, KAF đồng dạng cùng hướng (1)

Dễ thấy AE // MA’ và CF // MC’

Do đó CA ' CM AC ' ( ).2

CE  CA  AF

Từ (1) và (2) suy ra các tam giác KA’C, KC’F đồng dạng cùng hướng

Do đó các tam giác KA’C’ và KCF đồng dạng (cùng hướng)

Điều đó có nghĩa là K thuộc đường tròn (A’BC’) (đpcm)

K

E

F C'

Bổ đề Cho các đường thẳng x’x, y’y cắt nhau tại O và hai số a, b khác không các

điểm A, B theo thứ tự chạy trên x’x, y’y sao cho aOA bOB  Khi đó đường tròn 1.(OAB) luôn đi qua một điểm cố định khác O

Có thể tìm thấy phép chứng minh bổ đề trên trong Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 10, tr 84 tr 215

Trở lại giải bài toán 2

Bài toán 3 Cho tam giác ABC và số dương k Điểm M cố định trên cạnh BC Các

điểm N, P theo thứ tự chạy trên các đoạn AB, AC sao cho S(ANMP) = k Chứng minh rằng đường tròn (ANP) luôn đi qua một điểm cố định

Chú ý

Bài toán 4 thường được phát biểu dưới dạng bài toán vật lí (xem bài toán 4’) và được giải bằng phép vị tự quay

Bài toán 4’ Cho hai đường thẳng x’x, y’y cắt nhau tại O Các điểm A, B theo thứ

tự chuyển động đều trên x’x, y’y và không khi nào gặp nhau tại O Chứng minh rằng đường tròn (OAB) luôn đi qua một điểm cố định khác O

Bài toán 5 Cho tam giác ABC không cân tại A Điểm M chạy trong tam giác sao

cho AMB C AMCB Các điểm K, L theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM Chứng minh rằng đường thẳng KL luôn đi qua một điểm cố định

Bổ đề trên rất quen thuộc, không trình bày phép chứng minh ở đây

Trở lại giải bài toán 5

Gọi N là giao điểm của BK và CL; S là giao điểm của BC và KL (h.4)

Vì AMB C AMCB nên, theo bổ đề trên, MB AB

MC AC

Từ đó dễ dàng suy ra N thuộc AM

L K

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác NBC và cát tuyến SLK, SB LC KN 1.

S là chân đường phân giác ngoài kẻ từ A của tam giác ABC

Bài toán 6 Cho tam giác ABC và điểm M thay đổi trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa

T Y

Không mất tính tổng quát giả sử tam giác ABC có hướng dương

Về phía ngoài tam giác MBC dựng các hình chữ nhật MBEP, MCFQ

Theo bổ đề trên BQ, CP và EF đồng quy tại K (hình chiếu của M trên EF) và 90

BKC 

Do đó K thuộc đường tròn (O) (đường kí BC) và đường tròn (MBEP)

Gọi S là giao điểm thứ hai của EF và (O)

Ta cã tan(KS, KB) tan(KS, KB) tan(KE, KB) tan(ME, MB)

Không mất tính tổng quát giả sử tam giác ABC có hương dương (h.6.3)

Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy điểm P sao cho

90PBA ; PB AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm Q sao cho

90QCM ;QCAB

Do đó PEQF.

Từ đó, theo định lí Thales, suy ra SE PE PE ( ).1

QF

SF QF  Mặt khác, vì các cặp tam giác BEP, BMA và CFQ, CMA đồng dạng nên

Các điểm P, Q xuất hiện bằng cách cho M trùng A, một vị trí đặc biệt của M

Bài toán 7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm M chạy trên cung

BC không chứa A của (O) K, L theo tthứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM Chứng minh rằng đường tròn (MKL) luôn đi qua một điểm cố định

O S

L

K

Q P

Do đó MKTMKL

Vậy tứ giác MKLT nội tiếp

Nói cách khác đường tròn (MKL) đi qua T (đpcm)

Chú ý

Vì tứ giác TPAQ là ảnh của tứ giác TESF qua phép vị tự

R R' T

V và tứ giác TESF diều hoà nên tứ giác TPAQ điều hoà

Bài toán 8 Cho tam giác ABC không cân và không vuông tại A Các điểm M, N

theo thứ tự chạy trên các cạnh AB, AC sao cho BN = CN P là giao điểm của BN và CM Phân giác của góc BPC theo thứ tự cắt AB, AC tại X, Y.Z, T theo thứ tự là hình chiếu của

X, Y trên AC, AB Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm của XY, ZT luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

Ta cần có hai bổ đề

Bổ đề 1 Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh

CB, CD sao cho BN = DM P là giao điểm của BN, DM Khi đó BPADPA

Bổ đề 1 rất quen thuộc, không trình bày cách chứng minh ở đây (h.8.1)

P

N M

Bổ đề 2 Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau, không vuông góc với nhau và điểm P

không thuộc a, b Đường thẳng c quay quanh P và theo thứ tự cắt a, b tại A, B A’, B’ theo thứ tự là hình chiếu của A, B trên b, a M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BD Khi đó đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

a

b

c

d M

N

K Q D

B

C O

P A

Nói cách khác, MN đi qua K (đpcm)

Trở lại giải bài toán 8

Có hai trường hợp xảy ra

Trường hợp 1 BAC  90

Lấy K sao cho ABKC là hình bình hành (h.8.3)

Theo bổ đề 1, XY luôn đi qua K

Gọi d là đường thẳng chứa phân giác của góc BAC

Đặt cos A

O d

LV § (K)

Gọi G là trung điểm của LK

Theo bổ đề 2, đường thẳng nối trung điểm của các đoạn XY, ZT luôn đi qua G

d

G L

T

Z

X Y

P

M N

K

C B

A

(h.8.3)

Trường hợp 2. BAC  90

Tương tự trường hợp 1

Bài toán 9 Cho tam giác ABC Điểm D chạy trên đường thẳng BC và khác B, C

Các đường tròn (ABD), (ACD) theo thứ tự lại cắt AC, AB tại E, F DF, BE theo thứ tự cắt

AC, AB tại M, N X là giao điểm của BM, CN Chứng minh rằng đường thẳng DX luôn đi qua một điểm cố định

Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của MN với AX, BC (h.9)

Dễ thấy (MNPQ) 1 1( )

Mặt khác, dễ thấy

(DM, BC)(DF, DC)(AF, AC)(AB, AE)(DB, DE)(BC, DN)(mod ).

Do đó BC là phân giác của một trong hai góc tạo bởi các đường thẳng DM, DN (2)

Bài toán 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) S = AB ∩ CD T = AD ∩

BD Điểm M chạy trên (O) MS, MT theo thứ tự lại cắt (O) tại N, P Chứng minh rằng đường tròn (ONP) luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

Q L

là giao điểm của NP và AB, CD (h.11)

Ta có (SKAB) = N(SKAB) = N(MPAB) = C(MPAB) = (MPQT) = A(MPQT) = A(MPCD) = N(MPCD) = (SLCD)

Suy ra KL, AC, BD đồng quy

Điều đó có nghĩa là NP đi qua E

Gọi F là giao điểm thứ hai của OE và (ONP)

Ta có EF.EOEN.EPPE /(P )

Do đó PE /(P )

EFEO

S D L

C

F E

B

O1

M

O2A

(h.11.2)

Ta cã (MO , MD) (BA, BD) (mod ) (v× MO // BA)

(CA, CD)(mod ) (v× C (BAD))(CM, CD) (mod )

1

Ta cã (CO, CD) (CO, OD)(mod ) (v× OC OD)

2(CO, OC) (OC, OD) (mod )(MC, MD)(mod )

Các cung nói trong lời giải trên là các cung định hướng của đường tròn (O2)

Bài toán 12 Cho tam giác ABC vuông tại A Hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao

cho M thuộc AB, N thuộc AC và P, Q thuộc BC K = BN ∩ MQ; L = CM ∩ NP; X = MP

L K

P Q

N A

Do đó các tam giác ABU, ACV đồng dạng

Vậy KABLAC

Kết hợp với 1(AZOF)  suy ra X(AHEF) X(AZOF) X(AZEF).,  

M

(h.12.2)

Bài toán 13 Cho tam giác ABC Điểm X chạy trên đoạn BC Đường tròn (O) đi

qua A, tiếp xúc với BC tại X và cắt đường tròn (ABC) tại M, N sao cho MN đi qua trung điểm của AX MN cắt AB, AC tại Y, Z Chứng minh rằng đường tròn (AYZ) luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải. Trước hết ta cần có một bổ đề

Bổ đề Cho tam giác ABC Điểm X chạy trên đoạn BC Các điểm Y, Z theo thứ tự

thuộc AC, AB sao cho XYAZ là hình bình hàmh Khi đó đường tròn (AYZ) luôn đi qua một điểm cố định khác A

Bổ đề trên rất quen thuộc, không trình bày phép chứng minh ở đây

Trở lại giải bài toán 13 (h.13)

K O

T M

N

S Y Z

A

B

C X

(h.13) Lấy T thuộc BC sao cho AT // MN ( ) 1

Đặt K = AX ∩ MN; S = BC ∩ MN

Vì MN đi qua trung điểm của AX nên STSX ( ).2

Do đó, theo bổ đề trên, đường tròn (AYZ) luôn đi qua một điểm cố định khác A

Bài toán 14 Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A, B Đường thẳng ∆ quay quanh B và theo thứ tự lại cắt (O1), (O2) tại C, D M là trung điểm của CD AM lại cắt (O2) tại P Đường thẳng qua M và vuông góc với O1M cắt AC tại Q Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

Gọi (O3) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACP; K, N theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1), (O3) và AP, ∆; (O4) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AND; S là giao điểm thứ hai của PQ với đường tròn (O2) (h.14)

O3K

O4N

S Q

P

M

D B

O1

A

O2C

Điều đó có nghĩa là ĐM biến (O1) thành (O4)

Kết hợp với MQO O ,1 2 suy ra MQ là trục đẳng phương của các đường tròn (O1), (O4)

Từ đó, chú ý rằng AQ và NP theo thứ tự là trục đẳng phương của các cặp đường tròn (O1), (O3) và (O3), (O4) suy ra Q thuộc NP

VËy (BS, BA) (PS, PA)(mod ) (v× P thuéc (BSA))

(PN, PA)(mod )(v× PS PQ PN)(BK, AK)(mod ) (v× PN // BK; PA AK)

Bài toán 15 Cho tam giác ABC A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của BC, CA,

AB Các điểm P, P’ thay đổi sao cho PA = PA’, PB = PB’, PC = PC’ Chứng minh rằng đường thẳng PP’ luôn đi qua một điểm cố định

V , A, B, C theo thứ tự biến thành A’, B’, C’

Đặt

1 2 G

V (P) Q

Chú ý rằng

1 2 G

1

12

p 'Gọi S là giao điểm của PP’ và OE

Trở lại giải bài toán 15

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có

121

12

12

3

43

24

Z P

3

24