3 đuờng conic

Ba đường conicTiết 40: elip Đường elip là loại đường thường gặp trong thực tế, ví dụ: - Bóng của một đường tròn trên mặt đất bằng phẳng dưới ánh sáng mặt trời là một đường elip.. - Ta đ

Đ 4 Ba đường conic

Tiết 40: elip

Đường elip là loại đường thường gặp

trong thực tế, ví dụ:

- Bóng của một đường tròn trên mặt đất

bằng phẳng dưới ánh sáng mặt trời là

một đường elip

- Ta đổ một ít nước màu vào một

cốc thuỷ tinh hình trụ Nếu ta

nghiêng cốc nước đi thì mặt

thoáng của nước được giới hạn

bởi một đường elip

elip 1) Định nghĩa: Cho F1, F2 cố định, F1F2 = 2c

elip (E) = M(x;y) / F1M + F2M = 2a ,(0 < c < a)

+ F1, F2 gọi là hai tiêu điểm của elip;

+ Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự;

+ e = c/a gọi là tâm sai của elip

y

0

Với cách chọn hệ trục toạ độ như vậy, toạ độ 2 tiêu điểm F 1 , F 2

là bao nhiêu ?

x

2) Phương trình chính tắc của elip:

* F1(- c; 0), F2(c; 0)

Cho điểm M(x;y) tuỳ ý, Tính F 1 M 2 , F 2 M 2 ?

1) Định nghĩa: Cho F1, F2 cố định, F1F2 = 2c

elip (E) = M(x;y) / F1M + F2M = 2a ,(0 < c < a)

M y

2) Phương trình chính tắc của elip:

* F1(- c; 0), F2(c; 0)

M(x;y)  F1M2 = (x + c) 2 + y2

F2M2 = (x - c) 2 + y2

 F1M2 - F2M2 =

F1M2 + F2M2 =

4cx 2(x2 + c2 + y2)

Với mọi điểm M(x,y), xét MF1F2 ta luôn có:

F1M -F2M F1F2 = 2c < 2a  (F1M - F2M)2 - 4a2  0

1) Định nghĩa: Cho F1F2 = 2c, F1, F2 cố định elip (E) = M(x;y) / F1M + F2M = 2a ,(0 < c < a)

M y

elip (E) = M(x;y) / F1M + F2M = 2a ,(0 < c < a)

F1M 2 - F2M 2 = 4cx ; F1M 2 + F2M 2 = 2(x 2 + c 2 + y 2 ); (F1M F – 2M) 2 4a – 2  0

M(x;y)  (E)  F1M + F2M = 2a  (F1M + F2M)2 - 4a2 = 0

 (F1M + F2M)2 - 4a2  (F1M - F2M)2 - 4a2  = 0

 (F1M2 - F2M2)2 - 8a2 (F1M2+ F2M2) + 16a4 = 0

16 c 2 x 2

 c 2 x 2 – a 2 x 2 - a 2 c 2 - a 2 y 2 + a 4 = 0

 x 2 (a 2 – c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 – c 2 )

 x 2 b 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ( víi b 2 = a 2 – c 2 )

2 2

2 2

1



– 16a 2 (x 2 + c 2 + y 2 ) + 16a 4 = 0

( để ý rằng a > b >0 ).

1

a + b = (1) Với b 2 = a 2 – c 2

2) Phương trình chính tắc của elip:

x

y

0

M

a) Định lý:

Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm

F1(-c;0) và F2(c;0)

Xét elip (E) = M(x;y) / F1M + F2M = 2a ,(0 < c < a)

Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y) thuộc (E) là:

b) Định nghĩa: Phương trình (1) được gọi là phương trình

chính tắc của e líp (E)

elip

Vậy phương trình chính tắc của (E) là

2 2

1

Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết một tiêu điểm là F1( ) và điểm M ( ) nằm trên (E).− 5 ; 0 1; 4 2

3

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip: với b x 2 2 y 2 2 1 2 = a 2 – c 2

a + b =

PT chính tắc của elip có dạng:

2 2

2 2

1

(E) Có một tiêu điểm F1( )  c = − 5 ; 0 5

M ( )  (E)  1; 4 2 (1)

1 32

1

a + 9b =

b 2 = a 2 – c 2  b2 = a 2 – 5 (2) Thế (2) vào (1) ta được:

2 2

1

−  9a 4 – 86a 2 + 45 = 0

2

a = 5 / 9 < c 2 ( loại)

 b2 = 4

PT chÝnh t¾c cña elip: víi b x 2 2 y 2 2 1 2 = a 2 – c 2 (1)

a +b =

3) H×nh d¹ng cña elip:

Cho elip (E) cã PT (1) vµ M(x0;y0)  (E) Hái c¸c ®iÓm M1

(-x0;y0), M2(x0;-y0), M3(-x0;-y0) cã

n»m trªn (E) kh«ng?

elip

3) Hình dạng của elip:

a) Elip có các trục đối xứng

là Ox, Oy và có tâm đối

xứng là gốc O

elip PT chính tắc của elip: với b 2 = a 2 – c 2

2 2

2 2

x y

1

a +b =

M

M1

M2

M3

O

y

x

A2

A1

B2

B1

3) Hình dạng của elip:

a) Elip có các trục đối xứng

là Ox, Oy và có tâm đối

xứng là gốc O

(E) cắt Ox tại A 1 , A 2 ; cắt Oy tại B 1 , B 2.

Các em h y tìm toạ độ ã của 4 điểm này ?

elip PT chính tắc của elip: với b 2 = a 2 – c 2

2 2

2 2

x y

1

a +b =

M

M1

M2

M3

O

y

x

A2

A1

B2

B1

M

M1

M2

M3

O

y

A2

A1

B2

B1

PT chính tắc của elip: với b 2 = a 2 – c 2

2 2

2 2

x y

1

a +b =

3) Hình dạng của elip:

a) Elip có các trục đối xứng

là Ox, Oy và có tâm đối

xứng là gốc O

elip

b) Elip cắt Ox tại A1(-a;0), A2(a;0)

cắt Oy tại B1(0;-b), B2(0;b) Các điểm A1,, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng A1A2gọi là trục lớn và A1A2 = 2a

c) Mọi điểm của elip đều nằm trong hình chữ nhật kích thước 2a, 2b, giới hạn bởi các đường thẳng hình chữ nhật đó được gọi là hình chữ nhật cơ sở của e líp x = ± a, y = ± b

Đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ và B1B2 = 2b

PT chính tắc của elip: với b 2 = a 2 – c 2

2 2

2 2

x y

1

a +b =

elip

Ví dụ 2: Tìm những điểm trên elip (E)

nhìn 2 tiêu điểm

dưới một góc vuông?

1

20 + 4 =

x

y

0

M

Lời giải:

Ta có: a 2 = 20, b 2 = 4  c 2 = 20 – 4 = 16  c = 4

Do đó F 1 F 2 = 2c = 8 Ta có M(x,y)(E) sao cho ∠ = 0

 2(x 2 + c 2 + y 2 ) = 64  x2 + y 2 = 16 Toạ độ M là nghiệm của hệ PT:

2 2 2

1 2 1 2

F M F M F F

Vậy có 4 điểm thoả m n bài toán ( 15 , 1) ,(± − 15 , 1)± ã

2 2

15 1

x y

 =



⇔

=



15 1

x y

 =±



⇔

=±



16

x y







Kiến thức cần nhớ:

2) Phương trình chính tắc của (E):

với b2 = a2 - c2 , a >b >0

1

a + b =

3) Hình dạng của elip.

elip

1) Định nghĩa: Cho F1F2 = 2c, F1, F2 cố định

Bài tập về nhà

2) Bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 97 sách giáo khoa;

3) Một đường hầm xuyên

qua núi có chiều rộng là

20m, mặt cắt thẳng của đư

ờng hầm có dạng nửa elip

như hình bên Biết rằng tâm

sai của elip là e = 0,5

elip

y

Hãy tìm chiều cao của hầm đó ?

1) Vẽ các đường cong:

2 2

bµi häc h«m nay dõng ë ®©y.

xin ch©n thµnh c¶m ¬n

C¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c em häc sinh