Chuyên đề đường tròn

KIẾN THỨC CƠ BẢN * Định nghĩa đường tròn, hình tròn: - Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, ký hiệu O ; R, hoặc O * Định nghĩa hình tròn: - Hìn

1

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRÒN Tiết 21: XÁC ĐỊNH MỘT ĐƯỜNG TRÒN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

* Định nghĩa đường tròn, hình tròn:

- Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một

khoảng bằng R, ký hiệu (O ; R), hoặc (O)

* Định nghĩa hình tròn:

- Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm

nằm bên trong đường tròn đó

+ Tính chất của đường tròn:

- Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó

- Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường

- AB, CD là trục đối xứng của đường tròn

* Cung và dây cung:

- Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O Hai điểm

này chia đường tròn thành hai phần mỗi phần gọi là một cung tròn (Gọi

tắt là cung)

- Đoạn thẳng nối hai mút của cung là dây cung

- Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất

* Sự xác định đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam giác:

- Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của

đường tròn đó hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường

tròn đó

O R

R

O

D C

O A

D

B C

A A

2

Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B

Vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó

Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vẽ một đường tròn đi qua ba điểm đó

Giải:

Vẽ các đường trung trực ba cạnh của ∆ABC

O là giao của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác => O là tâm của đường tròn đi qua đi qua ba điểm A, B, C

- Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một đường tròn Nói cách khác qua ba đỉnh của một tam giác ABC bao giờ cũng dựng được một đường tròn xác định Ta nói đường tròn đó ngoại tiếp tam giác, hay tam giác đó nội tiếp đường tròn

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hình vuông ABCD O là giao điểm của hai đường chéo

OA = 2cm Vẽ (A; 2cm) Trong 5 điểm: A, B, C, D, O điểm nào

nằm trên đường tròn ? Điểm nào nằm trong đường tròn ? Điểm nào

nằm ngoài đường tròn ?

Giải:

OA = 2< 2 => O và A nằm trong đường tròn tâm A

AB = AD = 2 => B và D nằm trên đường tròn tâm A

AC = 2 2 > 2 => C nằm ngoài đường tròn tâm A

Bài 2: Cho (O), dây AB Biết M là trung điểm của AB, cho OA =

Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là

trung điểm của cạnh huyền

Chứng minh:

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A

Gọi O là trung điểm của BC => OB = OC

Nối O với A => OA là đường trung tuyến

C

O B A

5 3

O

M

B A

A

B C

O

2 2 A

3

Do đó OA = 1

2BC => OA = OB = OC

=> O là tâm đường tròn đi qua A, B, C

Vậy tâm của (O) ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC

Tiết 22: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

a) Tâm đối xứng:

A’ đối xứng với A qua O

Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn

O A'A

b) Trục đối xứng:

C’ đối xứng với C qua đường kính thẳng AB

Do đó đường kính AB là một trục đối xứng của (O)

I

O

C' C

B A

Vậy, bất kỳ đường kính nào cũng là một trục đối xứng của đường tròn; đường tròn có

vô số trục đối xứng

c) Đường kính và dây của đường tròn

Định lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn

nhất là đường kính

AB ≥CD; AB ≥ EF

F E

D C

O B A

d) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây

4

Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc

với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

AB là đường kính, CD là một dây của (O);

Nếu AB ⊥CD tại I thì IC = ID

C O

B A

Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua

trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc

với dây ấy

AB là đường kính, CD là một dây khác đường kính của

Ví dụ:

Đường kính AB đi qua trung điểm của dây CD nhưng

không vuông góc với CD

(Vì dây CD đi qua tâm O)

O D

C B

Học sinh dựng đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại

điểm thứ hai là M’, khi đó M’ là điểm đối xứng với M

5

Cho hình vẽ, tìm điểm C’ đối xứng với C qua đường

thẳng AB?

C O

B A

Giải:

Qua C dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại

I, cắt (O) tại C’, khi đó C’ là điểm đối xứng với C qua

AB

(Vì AB ⊥ CC’ và IC = IC’)

C O

B A

O

3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AH và BC Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A,B, H, K cùng thuộc một đường tròn

b) AB > HK

Hướng dẫn: a) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABH (Tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABH là trung điểm I của AB)

+ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABK (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABK là trung điểm I của AB)

+ (I) đường kính AB có đi qua bốn điểm A, B, H, K không? ( Đường tròn (I) đi qua bốn

điểm A, B, H, K )

b) AB là gì của (I)? ( AB là đường kính của (I) )

HK là gì của (I)? ( HK là dây của (I) )

So sánh đường kính AB và dây HK trong ( O )

Bài 5:

Cho hình vẽ, biết OA = 10 cm;

OM = 6 cm Tính AB =?

Hướng dẫn: Dây AB không đi qua tâm, đường kính OM

đi qua trung điểm M của AB nên OM ⊥AB⇒ AB =

2AM

Xét tam giác vuông AMO để tính AM⇒ AB = 2AM M B

A

O

TIẾT 23: DÂY CUNG VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

6

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Dây cung và khoảng cách đến tâm

+ Định lý : Trong một đường tròn

Định lí 1: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Định lí 1: - Dây lớn hơn thì gần tâm hơn

- Dây gần tâm hơn thì lớn hơn H

+Ví dụ : Cho AB và CD là 2 dây khác đường kính của đường tròn ( O ; R ) gọi

OH,OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB ,CD

- dây AB = CD ⇔OH = OK

- dây AB > CD ⇔OH < OK

2 Vị trí tương đối của dường thẳng và đường tròn :

Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a OH là khoảng cách từ tâm đường tròn đến

VD2: d = 7cm , R = 7cm ( Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau )

VD3: d = 6cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn không giao nhau )

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Cho hình vẽ, trong đó hai dây MN ; PQ bằng nhau và vuông góc với nhau tại

I IM = 2cm ; IN = 14cm Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây

H O

Q

P

N M

Tứ giác OHIK là hình chữ nhật lại có OH = OK nên OHIK là hình vuông

Do đó OH = OK = IH = 6(cm)

Bài 2 : Điền vào các chỗ trống (….) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d

là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng) :

và đường tròn 5cm

O

N

D C

Bài 2 Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 6 cm Vẽ đường tròn tâm O bán

kính 10cm

a Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn tâm O ? Vì sao ?

b Gọi B và C là giao điểm của đường thẳng a và đường tròn O Tính độ dài BC

Hướng dẫn

a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) vì OH = 6 cm, OB = 10 cm; OH < OB

Hình.2

5 Hình.2

6

8

hay d < R

b) HC =

2 2

OH

6

10 − = 8 (cm)

Ba vị trí tương đối của đường tròn

* Hai đường tròn cắt nhau:

+ Hai đường tròn có 2 điểm chung A và B

+ Hai điểm chung A và B được gọi là 2 giao điểm

+ Đoạn thẳng nối 2 giao điểm AB gọi là dây chung

+ OO’ gọi là đoạn nối tâm

+ R - R’ < OO' < R + R’

* Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

+ Hai đường tròn có 1 điểm chung A

+ Điểm chung A được gọi là giao điểm

a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài:

OO' = R + R’

b) Hai đường tròn tiếp xúc trong:

OO' = R – R’

* Hai đường tròn không giao nhau:

+ Hai đường tròn không có điểm chung

a) Nếu (O) và (O’) ở ngoài nhau thì: OO’ > R + R’

b) Nếu (O) đựng (O’) thì: OO’ < R + R’

c) (O) và (O’) đồng tâm thì: OO’ = 0

9

* Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

+ d1, d2 là hai tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường

tròn (O) và (O’)

+ m1 và m2 là 2 tiếp tuyến chung trong của 2

đường tròn (O) và (O’)

Xét ∆OAC có OA = OC (cùng là bán kính của (O))

Suy ra ∆OAC cân tại O do đó C = A1(1)

Chứng minh tương tự ta có: ∆O’AD cân tại O’

a) Hãy xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C

Chứng minh rằng AD = CD

Chứng mính:

a) Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA

Vì OO’ = OA – O’A nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong

b) Các tam giác cân AO’C và AOD có chung góc ở đỉnh A nên
'

ACO = D, suy ra O’C //

là góc ở tâm

VD:
AOB( hình 32) là góc ở tâm

- Cung AB được ký hiệu là:AB,

AmBlà cung nhỏ, AnBlà cung lớn

- Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn

VD: AmB là cung bị chắn bởi
AOB

A

B O

m

n

2 Số đo cung:

+ Định nghĩa :

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ

Số đo của nửa đường tròn bằng 1800+ Kí hiệu : Số đo của cung AB được kí hiệu Sđ AB

m

n 100

3 So sánh hai cung

+ Khái niệm : Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn

+ VD: - Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là AB= CD

- Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là EF < GHhay GH > EF

2 Liên hệ giữa cung và dây

2 1 Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn

bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

GT (0); A,B,C,D ∈(0)

Hình.3

3 Hình.3

2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:

a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?

b) Từ 1 giờ đến 1 giờ 30 phút thì kim phút quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?

Bài giải

Với mặt đồng hồ như đường tròn, thì mỗi giờ các kim quay được một góc 300

Do đó kết quả ý a, là: 600 ; ý b, là: 1800

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB > AC Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho:

AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD ( H ∈ BC, K ∈ BD)

Bài 1 Hai tiếp tiếp tuyến tại A, B của đường tròn tâm (O;R) Cắt nhau tại M Biết

OM = 2R Tính số đo của góc ở tâm AOB ?

Hình.3

5

Hình.3

6

12

Bài giải

Vì OM = 2R nên ON = NM, MA⊥OM suy ra AN = ON =

OA ⇒ ∆AON đều, nên
AOB= 600

Vậy
AOB= 2
AOM = 1200

A

OM

BN

TIẾT 26: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

+ Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung

+ Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn + Định lý:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ 1:

Hình 38 Đường thẳng xy đi qua điểm C của đường tròn (0)

và vuông góc với bán kính OC ⇒ đường thẳng xy là tiếp

C

y x

- Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (hình 39)

+ A cách đều hai tiếp điểm B và C

+ Tia AO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

AB, AC

+Tia OA là tia phân giác tạo bởi hai bán kính OB, OC

Ví dụ 2: Trên hình 43 ta có:

BA và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn (0)

Theo tính chất tiếp tuyến ta có :

AB ⊥ OB, AC ⊥ OC Hai tam giác vuông OAB và OAC có OB = OC , OA là cạnh chung

Do đó ∆OAB = ∆OAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

13

AOB=
AOC nên OA là tia phân giác của BOC

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC=5cm Vẽ đường tròn (B, BA)

Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn

Chứng minh :

Theo giả thiết ta có : ∆ABC có AB =3, AC = 4, BC =5 nên BC2 = 52 = 25

AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 vậy BC2 = AB2 + AC2

⇒ ∆ ABC vuông tại A Cũng theo giả thiết thì

A ∈ (B;BA) nên AC là tiếp tuyến (B,BA)

Bài 2 : Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) , kẻ

các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp

điểm).Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường

tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự ở D, E

Chứng minh rằng chu vi ∆ ADE bằng 2AB

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn (B, BA) và đường tròn (C,

CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)

Bài 2 : Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB Gọi Ax , By là các tia vuông góc

với AB (Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm bất

kỳ thuộc tia Ax Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt By ở N

a, Tính số đo MON
?

b, Chứng minh rằng MN = AM + BN

c, Chứng minh rằng AM BN = R2 (R là bán kính của đường tròn)

Tiết 27 : GÓC NỘI TIẾP

VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA GÓC NỘI TIẾP VÀ CUNG BỊ CHẮN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

+ Định nghĩa góc nội tiếp :

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó

- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn

Hình 42 (a;b) : BAC
là góc nội tiếp

+ Tính chất của góc nội tiếp :

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

- Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

D

E

J

I H

Hình.43 Hình.42.b Hình.42.a

WXZ và
ZYW cùng chắn cung ZW; XZY
và YWX
cùng chắn cung XY

Bài 3 Trên hình vẽ sau, cho biết ABC là tam giác đều Số đo cung nhỏ AC bằng :

Hình.43 Hình.48

Hình.49

16

Bài 4 Trên hình vẽ sau, cho biết
ADO = 250

Số đo cung DB bằng :

A 250

B 500

C 600

D Không tính được

Đ Án B : Vì DAB
=
ADO = 250 ( do ∆AOD là

tam giác cân )

Bài 1 Cho hai đường tròn (o) và (o,) cắt nhau tại A và

B Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn

Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng

Hướng dẫn :

Chỉ ra ABD
= 1V; ABC
= 1V => CBD
= 1800 =>

đpcm

Bài 2 Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (o)

Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song

song với dây BC Gọi giao điểm của MN và AC là S

NMC = MCB
( so le trong ) => ACM
=
NMC hay

SMC là tam giác cân

B M

N

Hình.50

Hình.53 Hình.52

Hình.51

xAB họăc
yAB

- Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

a) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc ở hình 4

b) Các hình còn lại không phải góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

- Hình 1: Đỉnh không nằm trên đường tròn

- Hình 2: Một cạnh không phải tia tiếp tuyến.(Là cát tuyến)

- Hình 3: Không có cạnh nào là dây cung

- Hình 5: Hai cạnh của góc chứa hai dây cung

Bài 2: Cho hình vẽ 6 Biết cung AmB có số đo 600

Tính
xAB= ?

n

m

O O

O

B x

GT Cho (O) ngoại tiếp△ABC,

AB = BC = CA, tia tiếp tuyến Ax

Kéo dài P0 cắt (0) tại Q Nhận xét hai góc 01 và 02

So sánh hai cung nhỏ QA và BP, từ đó so sánh hai góc

APO và
PBT

TIẾT 29: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN

GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

T P O

B A

A

Hình.61

Hình.62

Hình.63

Nối AD ta có DFB
là góc ngoài của tam giác ADF

Nên :
DFB=

DAB+ADC=  

- Đỉnh ở bên ngoài đường tròn

- Hai cạnh đều là cát tuyến hoặc 1 cạnh là cát tuyến, 1 cạnh là tiếp tuyến hoặc hai cạnh là tiếp

2) Định lí: Số đo của một góc có đỉnh ở bên ngoài đường

tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn

a) Hai cạnh đều là cát tuyến :

Nối AB Ta có :
DAB là góc ngoài của ∆EAB

DAB=DEB
+
ABC

Ta có:
DEB = DAB
-
ABC =  

2

sd DnB−sd AmC

b) Một cạnh là cát tuyến ,1 cạnh là tiếp tuyến :

Nối AC Ta có : DACLà góc ngoài của ∆EAC

Nối AC Ta có :CAx
là góc ngoài của ∆EAC

AEC = CAx
-
ACE =  

2

sd AnC−sd AmC

*Bài toán qũy tích “cung chứa góc” :

* Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc ∝ ( 00 < ∝ <

1800) Tìm quỹ tích( tập hợp) các điểm M thỏa mãn
AMB = ∝.Ta

cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới

góc ∝)

* Kết luận :Với đoạn thẳng AB và góc α(00

<α<1800

) cho trước thì quỷ tích các điểm M thoả mãn
AMB=αlà hai cung chứa góc αdựng

trên đoạn AB

E O

n

m D

C A

E O

n

m

C A

E

B

O

n mD

C A

m d

B A

Hình.64 Hình.64

Hình.65

Hình.66

Hình.67