CHƯƠNG I - CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA ppt

Với số dương a, số a gọi là căn bậc hai số học của a.. Để khai phương của một số, ngoài cách tính nhẩm số và tính bình phương của số đó, người ta có thể dùng máy tính bỏ túi hoặc dùng bả

Phần ĐẠI SỐ

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI , CĂN BẬC BA

§1 Căn bậc hai

1 Căn bậc hai

Ta đã biết :

Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a

Ví dụ : Căn bậc hai của 16 là 4 và – 4 (vì 42 = 16 và (–4)2 = 16 )

• Mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối

nhau : số dương kí hiệu là a còn số âm là − a ;

• Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 = ; 0

• Số thực âm a không có căn bậc hai, khi đó ta nói biểu thức

a không có nghĩa hay không xác định

Với số dương a, số a gọi là căn bậc hai số học của a

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của số 0

Định nghĩa :

Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số không âm x sao cho x2 = a

Nhận xét :

* a ≥ 0 với a ≥ 0

* ( a )2 = a với a ≥ 0

* Phương trình x = ⇔a a 02

≥

⎧

⎨

=

⎩ Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là

phép khai phương (gọi tắt là khai phương) Chẳng hạn, khai

phương số 4 ta được số 2 Để khai phương của một số, ngoài cách tính nhẩm số và tính bình phương của số đó, người ta có thể dùng máy tính bỏ túi hoặc dùng bảng số

2 So sánh hai căn bậc hai

Định lí: Với a, b là các số dương, ta có:

a) Nếu a < b thì a < b

b) Nếu a < b thì a < b

Áp dụng: So sánh 3 với 10

Ta có 3 = 9 ;

Vì 9 < 10 nên 9 < 10

Vậy 3 < 10

Bài tập

1 Điền vào ô trống trong bảng sau :

Giải

2 Tìm căn bậc hai số học suy ra căn bậc hai các số sau :

a 169 ; b 289 ; c 529 ; d 361

3 So sánh các số :

a 5 và 3

b 23 và 5

c 102 và 6

d 15 + 16 và 8

Giải

a 3 = 9 Do 5 < 9 nên 5 3<

b 5 = 25 Do 23 < 25 nên 23 5<

c 6 = 36 ; 2 10 = 40 Do 40 > 36 nên 2 10 6>

d Giả sử 15 + 16 > 8 Vậy 15 4> ( sai do 15 < 16 4= )

x 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

x2

X 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

x2 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576

Vậy 15 + 16 < 8

4 Dùng kí hiệu , viết nghiệm của các phương trình dưới đây Sau đó, dùng máy tính bỏ túi để tính kết quả chính xác với 3 chữ số sau dấu phẩy

a) x2 = x; b) x2 = 3; c) x2 = 3,5; d) x2 = 4,12

Giải

a x = 0 hoặc x = 1

b 3x= ± ≈ ±1,732

c 3,5x= ± ≈ ±1,871

d 4,12x = ± ≈ ±2,03

5 Đố: Tính cạnh một hình vuông biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rông 3,5m còn chiều dài 14m (h.1)

14

3,5

Hình 1

Giải

Diện tích hình vuông : 3, 5.14 = 49

Vậy cạnh hình vuông = 49 7=

Có thể em chưa biết

Từ thời xa xưa, người ta đã thấy giữa Hình học và Đại số đã có liên quan mật thiết Khái niệm căn bậc hai cũng có phần xuất phát từ Hình học Khi biết độ dài cạnh hình vuông, ta tính được diện tích hình đó bằng cách tính bình phương (hay nâng lên lũy thừa bậc hai) độ dài cạnh Ngược lại, nếu biết diện tích hình vuông, ta tìm được độ dài cạnh nhờ khai phương của số đo diện tích Người ta coi phép lấy căn bậc hai số học là phép toán ngược của phép bình phương và coi việc tìm căn một số là tìm

“cái gốc, cái nguồn” Điều này hiện còn thấy trong ngôn ngữ

một số nước Chẳng hạn, ở tiếng Anh, hình vuông là square,

còn căn bậc hai là square root và căn bậc hai số học là

principal square root.Còn tiếng Pháp căn bậc hai của x là “ racine carré de x”.Chính vì thế căn bậc hai có ký hiệu là chữ cái “ r “

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Tìm x biết rằng :

b.4x2 −25 = 0

d.(x+1)2 = x2 +2x+3

Bài 2

Chứng minh :x2 + y2 + z2 +4x−2y−4z+10 > 0

Hướng dẫn

x + y + z + x− y− z+

( ) (2 ) (2 )2

Bài 3

Cho x2 =9 và y2 = 25 Hãy tính : E = x+ y Hướng dẫn

x2 = 9 ⇔ ⎢

⎣

⎡

−

=

= 3

3

x x

y2 = 25 ⇔ ⎢

⎣

⎡

−

=

= 5

5

y y

- Nếu x = 3 ; y = 5 thì E = 8

- Nếu x = 3 ; y = -5 thì E = -2

- Nếu x = -3 ; y = 5 thì E = 2

- Nếu x = -3 ; y = -5 thì E = -8

Bài 4

Cho 10 < a ≤ Chứng minh rằng :

a

a ≥

b a ≥ a

Hướng dẫn

0 ≤ a ≤ 1

a a 1. a2 a

a 0

≤

⎧

⇔ <

⎨ ≥

⎩

a

a

≤

⇒

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥

≤ 0 1

Bài 5

Cho x + y = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

Hướng dẫn

A x= + −(1 x) = x + −1 3x 3x+ −x

2

3 (x )

4

= (tại x y 1)

2

= =

Bài 6

a Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 ≥ 2 ab Đẳng thức xảy ra khi nào ?

b Chứng minh rằng : Nếu x + y > 2 thì : x2 + y2 > 2

Nếu x2 + y2 ≤ 2 thì : x + y ≤ 2

Hướng dẫn :

b

2 2

2 2

2 2

2(x y ) 4

⎫ + > − ⎪

+ >

⎬

2

2 2 2

2 2

do x

do y

⎫

⎬

Mà x2 +y2 ≤ nên 2(x y) 2 22, + − ≤ ⇒ x y 2+ ≤