01 đại số 09 chương i căn bậc hai, căn bậc ba

Căn thức bậc hai  Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A.. A xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm.. CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI... Để rút gọn

- oOo -

1 Căn bậc hai số học

 Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x2a

 Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là a



 Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 0

 Với số dương a, số a đgl căn bậc hai số học của a Số 0 cũng đgl căn bậc hai số học của 0

 Với hai số không âm a, b, ta có: a < b  a b

2 Căn thức bậc hai

 Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A

A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm

 A2  A  A A neáu A neáu A00

Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ A CÓ NGHĨA

 A có nghĩa  A 0  A1 có nghĩa  A > 0

Câu 1 Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

ĐS: a) x 0 b) x 2 c) x 2

3

3

9

6



Câu 2 Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

x

x

x24 2 d)

x

2

3

1

4





CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

I CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI

Đại số 9 www.vmathlish.com

ĐS: a) x 2 b) x 2 c) x 2 d) x 3

2

2

  f) x 1

Câu 3 Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) x21 b) 4x23 c) 9x26x1

d) x22x1 e)  x 5 f) 2x21

ĐS: a) x R b) x R c) x R d) x 1 e) x 5 f) không có

Câu 4 Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) 4 x2 b) x216 c) x23

d) x22x3 e) x x( 2) f) x25x6

ĐS: a) x 2 b) x 4 c) x  3 d) x 1 hoặc x 3 e) x 2 hoặc x 0

f) x 2 hoặc x 3

Câu 5 Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

d) x2 x1 e)

x x2

1

1

ĐS: a) x 1 b) x 2 hoặc x 4 c) x 4 d) x 1 e) x 3

2

Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Áp dụng: A A A neáu A

A neáu A

0

Câu 6 Thực hiện các phép tính sau:

a) 0,8 ( 0,125) 2 b) ( 2) 6 c)  2

3 2 d)  2

2

2 2



0,1 0,1

ĐS: a) 0,1 b) 8 c) 2 3 d) 3 2 2 e) 1 1

2

2  f) 0,1 0,1

Câu 7 Thực hiện các phép tính sau:

5 2 6  5 2 6 c)  2  2

2 1  2 5

ĐS: a) 6 b) 4 6 c) 1 d) 4 e) 2 5 f) 2 2 4

Câu 8 Thực hiện các phép tính sau:

a) 5 2 6  5 2 6 b) 7 2 10  7 2 10 c) 4 2 3  4 2 3

d) 24 8 5  9 4 5 e) 17 12 2  9 4 2 f) 6 4 2  22 12 2

ĐS: a) 2 2 b) 2 2 c) 2 3 d) 3 5 4

Câu 9 Thực hiện các phép tính sau:

a) 5 3 29 12 5 b) 13 30 2  9 4 2

c)  3 2 5 2 6  d) 5 13 4 3  3 13 4 3

e) 1 3 13 4 3  1 3 13 4 3

ĐS:

Dạng 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC

Áp dụng: A A A neáu A

A neáu A

0

Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Câu 10 Rút gọn các biểu thức sau:

a) x 3 x26x9 (x3) b) x24x 4 x2 ( 2  x 0)

x

2 2 1 ( 1)

1

x

2 4 4

2



ĐS: a) 6 b) 2 c) 1 d) 1x

Câu 11 * Rút gọn các biểu thức sau:

a) 1 4 a4a2 2a b) x2y x24xy4y2 c) x2 x48x216

x

2 10 25

5

 

x

4 2 2

2

x x

2 2

4 ( 4)

8 16



ĐS:

Câu 12 Cho biểu thức A x22 x2 1 x22 x21

a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?

b) Tính A nếu x 2

ĐS: a) x 1 hoặc x 1 b) A 2

Câu 13 Cho 3 số dương x y z, , thoả điều kiện: xy yz zx 1   Tính:

ĐS: A 2 Chú ý: 1y2 (xy yz zx  )y2 (x y y z )(  ),

1z2  (y z z x)(  ), 1x2  (z x x y)(  )

Đại số 9 www.vmathlish.com

Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Áp dụng: A2  A ; A2 B2   A B ;

 A B    A A B0 (hay B0)  A B B

A B2

0

 

  





 A B  A A B0 hay A A 0B

 A  B  A B hay A B  A B    0  B A 00

 A B    0  B A 00

Câu 14 Giải các phương trình sau:

a) (x3)2  3 x b) 4x220x25 2 x5 c) 1 12 x36x2 5

d) x2 x 1 2 e) x2 x 1 x 1 1 f) x2 1x 1 1 x

ĐS: a) x 3 b) x 5

2

3

4



Câu 15 Giải các phương trình sau:

a) 2x 5 1x b) x2 x 3x c) 2x2 3 4x3

d) 2x 1 x1 e) x2  x 6 x3 f) x2 x 3x5

ĐS: a) x 4

3

  b) x  3 c) x 2 d) vô nghiệm e) x 3 f) vô nghiệm

Câu 16 Giải các phương trình sau:

a) x2 x x b) 1x2  x 1 c) x24x  3 x 2

d) x2 1 x2 1 0 e) x2   4 x 2 0 f) 1 2 x2  x 1

ĐS: a) x 0 b) x 1 c) vô nghiệm d) x 1;x  2 e) x 2 f) vô nghiệm

Câu 17 Giải các phương trình sau:

a) x22x 1 x21 b) 4x24x  1 x 1 c) x42x2  1 x 1

d) x2 x 1 x

4

   e) x48x216 2 x f) 9x26x 1 11 6 2

ĐS: a) x1;x  2 b) vô nghiệm c) x 1 d) vô nghiệm

e) x2;x 3;x 1 f) x 2 2;x 2 4

Câu 18 Giải các phương trình sau:

a) 3x  1 x 1 b) x2  3 x 3

c) 9x212x 4 x2 d) x24x 4 4x212x9

II LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG – PHÉP

NHÂN – PHÉP CHIA

ĐS: a) x 0;x 1

2

   b) x 3;x   3 1; x  3 1 c) x 1;x 1

2

  d) x 1;x 5

3

Câu 19 Giải các phương trình sau:

a) x2   1 x 1 0 b) x28x16  x 2 0 c) 1x2  x 1 0

d) x2 4 x24x 4 0

ĐS: a) x 1 b) vô nghiệm c) x 1 d) x 2

 Khai phương một tích: A B  A B A ( 0,B0)

Nhân các căn bậc hai: A B  A B A ( 0,B0)

 Khai phương một thương: A A A B

B  B ( 0, 0) Chia hai căn bậc hai: A A A B

B

B  ( 0, 0)

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

Câu 20 Thực hiện các phép tính sau:

a) 12 2 27 3 75 9 48   b) 2 3( 27 2 48  75) c)  2

2 2 3 d) 1 3 2 1  3 2 e)  2

11 7  11 7

ĐS: a) 13 3 b) 36 c) 11 4 6 d) 2 2 3 e) 10 f) 2 7 4

Câu 21 Thực hiện các phép tính sau:

a) 2 3 2 3 b) 21 12 3  3

c)  6 2 3 2  3 2 d) 4 15 10 6 4  15

e) 13 160 53 4 90 f) 6 2 2 12 18 128

a) 2 b) 3 3 c) 2 d) 2 e) 4 5 f) 3 1

Câu 22 Thực hiện các phép tính sau:

a) 2 5 125 80 605 b) 15 216  33 12 6

c) 8 32 25 124 192 d) 2 3 6 2

Đại số 9 www.vmathlish.com

2 1  2 1

ĐS: a) 4 5 b) 6 c) 0 d) 2 e) 10 f) 14

Câu 23 Thực hiện các phép tính sau:

a) 10 2 10 8

d) 3 5 3 5



 2



ĐS: a) –2 b) 6

2

Câu 24 Thực hiện các phép tính sau:

a) A 12 3 7  12 3 7

b) B 4 10 2 5  4 10 2 5

c) C 3 5  3 5

ĐS: Chứng tỏ A0,B0,C0 Tính A B C2, ,2 2 A  6; B 5 1 , C 10

Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Câu 25 Rút gọn các biểu thức:

a) 15 6



8 12



2 15 2 10 6 3

x xy

y xy



ab 1



ĐS: a) 3

5



d) 1 2 Tách 16  4 4 e) x

ab 1





Câu 26 Rút gọn các biểu thức sau:

a) x x y y  x y

2

c) x y y 

2

4



ĐS: a) xy b) x

x

1 1



1

1 nếu 0 y 1 và x

1 1

 nếu y 1

Câu 27 Rút gọn và tính:

  với a7,25;b3,25 b) 15a28 15 16a  với a 3 5

III BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

THỨC BẬC HAI

c) 10a24 10 4a  với a 2 5

  d) a22 a2 1 a22 a21với a 5

ĐS: a) a

b

1 5;

1 3



 b) 4 c) 5 d) 2

Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Câu 28 Giải các phương trình sau:

a) x

x

1

x x

1

2

4  9 2 2 3

x

x



ĐS: a) x 1

2

 b) vô nghiệm c) x 3;x 7

Dạng 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Câu 29 So sánh các số:

a) 7 2 và 1 b) 8 5 và 7 6 c) 2005 2007 và 2006

ĐS:

Câu 30 Cho các số không âm a, b, c Chứng minh:

a) a b ab

2



2

d) a b c   ab bc ca e) a b a b

ĐS:

Câu 31 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) A x 2 4x b) B 6 x x2 c) C  x 2x

ĐS: a) A  2 x 3 b) B  4 x 2 c) C  2 x 1

 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B2 A B + Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B2  A B

 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B A B2 + Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B  A B2

 Với A.B ≥ 0 và B  0 thì A AB

B  B + Với B > 0 thì

B

B 

Đại số 9 www.vmathlish.com

 Với A ≥ 0 và A B 2 thì C C A B

A B A B2



 Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A  B thì C C A B

A B







Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

Câu 32 Thực hiện các phép tính sau:

a) 125 4 45 3 20   80 b)  99 18 11 11 3 22 

c) 2 27 48 2 75

3

8  2  18 e) 1 5 5 5 5 1

3 2  3 2

ĐS: a) 5 5 b) 22 c) 7 3

5 2 12

Câu 33 Thực hiện các phép tính sau:

6 2  6 2  6



12



ĐS: a) 32 7 20

9



b) 17 6

30

3

2 f) 1

Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC

Câu 34 Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

a) A x

x

11

2 3





2 3



c) C a a

4 2

4 2



  , a 3 2 d) D

2 2





3





ĐS: a) A x 2 3 2 3   b) B

a a2

7 1

a C a

2

9





IV RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

d) D h

h

2



2 2



Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Câu 35 Giải các phương trình sau:

a) x 1 4x 4 25x25 2 0  b) 1 x 1 3 9x 9 24 x 1 17



c) 9x218 2 x2 2 25x250 3 0  d) 2x x 2 6x212x 7 0

e) x( 1)(x 4) 3 x25x 2 6

ĐS: a) x 2 b) 290 c) vô nghiệm d) x 1 2 2  e) x2;x 7

Dạng 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Câu 36 Cho biểu thức: S n( 2 1) n( 2 1) n (với n nguyên dương)

a) Tính S S2; 3

b) Chứng minh rằng: Với mọi m, n nguyên dương và m n , ta có: S m n S S m n S m n

c) Tính S4

ĐS: a) S2 6;S310 2 b) Chứng minh S m n S m n S S m n c) S4 34

Câu 37 Cho biểu thức: S n( 3 2)n( 3 2)n (với n nguyên dương)

a) Chứng minh rằng: S2n S n22 b) Tính S S2, 4

HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a2b2 (a b)22ab b) S12 3;S210;S4 98

Câu 38 Cho biểu thức: S n (2 3)n (2 3)n (với n nguyên dương)

a) Chứng minh rằng: S3n3S nS n3 b) Tính S S3, 9

HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a3b3 (a b)33 (ab a b ) Chứng minh S3nS n33S n

b) S14;S361; S9 226798

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn

Đại số 9 www.vmathlish.com

x

4



a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để A 2

ĐS: a) x0,x4 b) A x

x

3 2



 c) x 16

2

a) Rút gọn A nếu x0,x 1 b) Tìm x để A dương c) Tìm giá trị lớn nhất của A

ĐS: a) A x x b) 0 x 1 c) maxA 1 khi x 1

a) Rút gọn A b) Tìm x để A 1

ĐS: a) A x

x

1 3





 b) 0 x 9;x4

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 7 c) Tìm a để A 6

ĐS: a) A a a

a

2 2 2

4

  c) a0,a1

a) Rút gọn A b) Tìm x để A 1

2



ĐS: a) A x

x

2 5

3





121

a) Rút gọn A b) Tìm x để A 0

ĐS: a) A x

x

2 1





1

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

ĐS: a) A a  a b) a 4 c) minA 1 khi a 1

2

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 0 c) Tìm a để A 2

ĐS: a) A a

a

1

 b) a 1 c) a 3 2 2 

A

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 6



 c) Chứng minh rằng A 2

3



ĐS:

a) Rút gọn A b) Tìm x để A 1

ĐS: a) A

x

5 3



 b) x4;x9;x25

          a) Rút gọn A b) Tìm a để A 1

6



ĐS: a) A a

a

2 3



a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi x 3 8 c) Tìm x để A 5

ĐS: a) 2

1

4

x

x

5

a) Rút gọn B b) Tính giá trị của B khi x3,y 4 2 3

ĐS: a) B y x b) B 1



a) Rút gọn B b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y 625 và B 0,2

ĐS: a) B x

y

 b) x2;3;4

B

x y

3 3



a) Rút gọn B b) Cho x y 16 Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất

ĐS:

Đại số 9 www.vmathlish.com

V CĂN BẬC BA

a) Rút gọn B b) Tính B khi a16, b4

ĐS:

B

y x

2

3 3

:

a) Rút gọn B b) Chứng minh B 0

ĐS:

a) Rút gọn B b) Tính giá trị của B nếu a 2  3 và b 3 1







c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B nếu a  b 4

ĐS:

 Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3a

 Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba

 A B 3A3B  3 A B 3 A B.3  Với B  0 ta có: A A

3 3 3



Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

Áp dụng: 3 3a a ;  3a 3a và các hằng đẳng thức:

a b 3 a3 a b2 ab2 b3

(  )  3 3  , (a b )3a33a b2 3ab2b3

a3b3 (a b a)( 2ab b 2), a3b3 (a b a)( 2ab b 2)

Câu 57 Thực hiện các phép tính sau:

a) 3( 2 1)(3 2 2)  b) 3(4 2 3)( 3 1)  c) 36431253216

d) 3  3 3 3

4 1  4 1 e) 3936343332

ĐS: a) 2 1 b) 3 1 c) 3 d) 12 2 23  e) 5

Câu 58 Thực hiện các phép tính sau:

a) A32 532 5 b) B39 4 5 39 4 5

c) C (2 3) 26 15 33  d) D 33 9 125 3 3 9 125

ĐS: a) A 1 Chú ý:

3

2

  b) B 3 Chú ý:

3

9 4 5

2

c) C 1 Chú ý: 26 15 3 (2   3)3

d) D 1 Đặt a 33 9 125

27

27

3

   Tính D3

Dạng 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Câu 59 Chứng minh rằng, nếu: ax3by3cz3 và

x y z

1 1 1 1   thì 3ax2by2cz2 3a3b3c

HD: Đặt ax3by3cz3 t  a t b t c t

x3, y3, z3

   Chứng tỏ VT VP 3t Câu 60 Chứng minh đẳng thức:

x y z 33xyz 13x 3y 3z 3 x 3y 2 3y 3z2 3z 3x2

2

HD: Khai triển vế phải và rút gọn ta được vế trái

Dạng 3: SO SÁNH HAI SỐ

Áp dụng: A B 3A3B

Câu 61 So sánh:

a) A2 33 và B323 b) A 33 và B3 1333 c) A5 63 và B6 53

ĐS: a) A B b) A B c) A B

Câu 62 So sánh:

a) A320 14 2 320 14 2 và B 2 5

ĐS: a) A B Chú ý:  3

20 14 2  2 2

Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Áp dụng: 3A B  A B3

Câu 63 Giải các phương trình sau:

Đại số 9 www.vmathlish.com

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I

a) 32x 1 3 b) 32 3 x  2 c) 3x  1 1 x

d) 3 3x 9x2  x 3 e) 35  x x 5

ĐS: a) x 13 b) x 10

3

 c) x0;x1;x2 d) x 1 e) x 5;x 4;x 6

Câu 64 Giải các phương trình sau:

a) 3x 2 x 1 3 b) 313 x 322 x 5 c) 3x 1 x3

ĐS: Sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ, đưa về hệ phương trình

a) x 3 b) x 14;x5 c) x 7

Câu 65 Rút gọn các biểu thức sau:

a) 20 45 3 18  72 b) ( 28 2 3  7) 7 84

c)  2

ĐS: a) 15 2 5 b) 21 c) 11 d) 54 2

Câu 66 Rút gọn các biểu thức sau:

4 2 3



2 3 6 3  3

ĐS: a)  3 b) 2

3 1 3



Câu 67 Chứng minh các đẳng thức sau:

2 2 3 2  1 2 2 2 6 9 b) 2 3 2 3  6

c)

d) 11 6 2  11 6 2 6 

ĐS: Biến đổi VT thành VP

Câu 68 So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) 2 3 và 10 b) 2003 2005 và 2 2004 c) 5 3 và 3 5

ĐS: a) 2 3 10 b) 2003 2005 2 2004 c) 5 3  3 5

   với x 3 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A < 2 c) Tìm x nguyên để A nguyên

ĐS: a) A x

x

3 3



 b)   6 x 3;x 3 c) x { 6; 0; 2; 4; 6; 12}

2 2

a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A

c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên

ĐS: a) x0;x 1 b) A x

x

2003



 c) x { 2003;2003} 

Câu 71 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1



ĐS: maxA 4

3

 khi x 1

4



Câu 72 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A 1 6 x9x2  9x212x4

ĐS: Sử dụng tính chất a b  a b , dấu "=" xảy ra  ab 0 minA 1khi 1 x 2

Câu 73 Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

x

1 3







ĐS: x {49;25;1;16;4} Chú ý: A

x

4 1

3

 

 Để A  Z thì x Z và x 3 là ước của 4

x

1



a) Rút gọn Q b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên

ĐS: a) Q

x

2 1



 b) x {2;3}

a) Rút gọn biểu thức M b) So sánh giá trị của M với 1

ĐS: a) M a



   b) M 1

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức P

c) Tính giá trị của P với x 3 2 2 

ĐS: a) x1;x2;x3 b) P x

x

2

 c) P 2 1

x

3 3

1

với x 0 và x 1 a) Rút gọn B b) Tìm x để B = 3

ĐS: a) B x 1 b) x 16